专题12 一元一次不等式组压轴题八种模型全攻略（解析版）

专题12一元一次不等式组压轴题八种模型全攻略考点一一元一次不等式组的定义考点二求一元一次不等式组的解集考点三求一元一次不等式组的整数解考点四由一元一次不等式组的解集求参数考点五由一元一次不等式组的整数解求参数考点六不等式组和方程组结合的问题考点七列一元一次不等式组考点八一元一次不等式组的应用典型例题典型例题考点一一元一次不等式组的定义例题：（2021·全国·七年级课时练习）下列是一元一次不等式组的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用一元一次不等式组的定义判断即可．【详解】解：是一元一次不等式组．故选：B．【点睛】本题考查一元一次不等式组，掌握一元一次不等式组定义，会根据定义识别一元一次不等式组是解题关键．【变式训练】1．（2021·广东·八年级专题练习）下列不等式组中，是一元一次不等式组的是（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据一元一次不等式组的概念逐一辨析．【详解】A.是一元一次不等式组，故正确；

B.是二元一次不等式组，故不正确；

C.是一元二次不等式组，故不正确；

D.是分式不等式组，故不正确；故选A．【点睛】本题考查了对一元一次不等式组概念的理解，深刻理解基本定义是解决这类问题的关键．2．（2022·全国·八年级）下列不等式组，其中是一元一次不等式组的个数（

）①；②；③；④；⑤A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】B【分析】根据一元一次不等式组的概念，对5个式子逐一判断即可．【详解】解：①是一元一次不等式组；②是一元一次不等式组；③含有两个未知数，不是一元一次不等式组；④是一元一次不等式组；⑤，未知数是3次，不是一元一次不等式组，其中是一元一次不等式组的有3个，答案：B．【点睛】此题主要考查了一元一次不等式组的概念，掌握一元一次不等式组的概念是解决本题的关键.3．（2020·全国·七年级课时练习）有下列不等式组：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是一元一次不等式组的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】根据两个不等式中含有同一个未知数且未知数的次数是1次的，可得答案．【详解】①是一元一次不等式组，故①正确；②是一元一次不等式组，故②正确；③是一元二次不等式组，故③错误；④，含有分式，不是一元一次不等式组，故④错误；⑤是二元一次不等式组，故⑤错误；⑥是一元一次不等式组，故⑥正确.故选：C．【点睛】本题考查了一元一次不等式组的定义，每个不等式中含有同一个未知数且未知数的次数是1的不等式组是一元一次不等式组．考点二求一元一次不等式组的解集例题：（2022·广东·广州市第四中学九年级期中）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．【答案】，见解析【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据解集在数轴上的表示即可确定不等式组的解集．【详解】解：解不等式①得：，解不等式②得：，则不等式组的解集为．将不等式解集表示在数轴如下：．【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．【变式训练】1．（2022·湖北·武汉七一华源中学九年级阶段练习）解不等式组，请按下列步骤完成解答：(1)解不等式①，得；(2)解不等式②，得；(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；(4)原不等式组的解集为．【答案】(1)(2)(3)见解析(4)【分析】（1）按照一元一次不等式的解法即可得；（2）按照一元一次不等式的解法即可得；（3）根据不等式的解集在数轴上的表示方法即可得；（4）结合数轴，找出两个不等式解集的公共部分即可得不等式组的解集．（1）解：①，移项，得，合并同类项，得，系数化为1，得，即解不等式①，得，故答案为：．（2）解：②，去括号，得，移项，得，合并同类项，得，系数化为1，得，即解不等式②，得，故答案为：．（3）解：把不等式①和②的解集在数轴上表示出来如下：（4）解：由数轴可知，原不等式组的解集为，故答案为：．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组的解集，熟练掌握不等式组的解法是解题关键．2．（2022·江苏·连云港外国语学校七年级期末）解下列方程（或不等式）组(1)；(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）先整理方程，进而根据加减消元法解二元一次方程组；（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．（1）解：原方程组整理得：得：，解得：把代入②中得：，解得：，∴原方程组的解为：．（2），解不等式①得：，解不等式②得：，∴不等式组的解集为：．【点睛】本题考查了解一元一次不等式，解二元一次方程组，正确的计算是解题的关键．3．（2022·广东·普宁市普师高级中学八年级阶段练习）解不等式组解集在数轴上表示出来，并求出整数解【答案】解集为-2<x≤1，数轴见解析，整数解为：-1，0，1【分析】正确求解两个一元一次不等式，并准确找到它们的解集，再在数轴上把解集表示出来，进而求得整数解．【详解】解：解不等式①得：，解不等式②得：x>-2，所以此不等式组的解集为：-2<x≤1，在数轴上表示该解集如下图：故该不等式组的整数解为：-1，0，1．【点睛】本题考查了解不等式组及把不等式的解集表示在数轴上，按照解不等式的步骤正确求解不等式，准确找到两个不等式解集；在数轴上表示解集时，注意解集方向，以及端点处是实心还是空心是解题的关键．4．（2022·河南·安阳市第五中学七年级期末）解不等式组：，并将其解集表示在如图所示的数轴上．【答案】，数轴见解析【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．【详解】解：由①得，解得，由②得，解得，不等式组的解集为，将不等式组的解集表示在数轴上如下：【点睛】本题考查解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解题的关键．考点三求一元一次不等式组的整数解例题：（2022·辽宁葫芦岛·七年级阶段练习）不等式组的整数解是______．【答案】，0，1【分析】分别解不等式，求出不等式组的解集，即可得到整数解．【详解】解：，解不等式①得：，解不等式②得：，∴不等式组的解集为：，∴不等式组的整数解是：，0，1，故答案为：，0，1．【点睛】本题考查了求不等式组的整数解，熟练掌握求不等式组解集的方法是解题关键．【变式训练】1．（2022·甘肃·临洮县明德初级中学七年级阶段练习）不等式组的最大整数解是____________【答案】4【分析】分别解不等式组中的两个不等式，再取两个解集的公共部分，确定不等式组的解集，再确定最大整数解即可．【详解】解：由①得：解得：由②得：解得：∴不等式组的解集为：∴不等式组的最大整数解为：4．【点睛】本题考查的是不等式组的解法，求解不等式组的最大整数解，掌握“解一元一次不等式组的方法”是解本题的关键．2．（2022·浙江台州·七年级阶段练习）不等式的正整数解为______．【答案】2，3【分析】先求出不等式的解集，得到不等式组的解集，进而得出其正整数解．【详解】解：解不等式得：，∴不等式组的解集为：，∴不等式组的正整数解为2，3，故答案为：2，3．【点睛】本题考查了求不等式组的整数解，掌握确定不等式组解集的方法是解题的关键．3．（2022·河南信阳·七年级期末）不等式组的整数解的个数为______．【答案】4个【分析】先分别求出两个不等式的解集，再找出它们的公共部分即为不等式组的解集，然后找出其整数解即可得．【详解】解：，解不等式①得：，解不等式②得：，则不等式的解集为，不等式的整数解为0、1、2、3，共有4个，故答案为：4个．【点睛】本题考查了求一元一次不等式组的整数解，熟练掌握不等式组的解法是解题关键．考点四由一元一次不等式组的解集求参数例题：（2021·黑龙江鹤岗·七年级期末）若关于x的不等式组的解集是x＜2，则a的取值范围是（）A．a≥2 B．a＜2 C．a＞2 D．a≤2【答案】A【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到，结合不等式组的解集可得答案．【详解】解：由，得：x＜2，由-3x＞-2x-a，得：x＜a，∵不等式组的解集为x＜2，∴a≥2，故选：A．【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．【变式训练】1．（2022·陕西·西安市雁塔区第二中学八年级阶段练习）若不等式组的解集是x＞4，那么m的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出第一个不等式的解集，再根据不等式组的解集是x＞4得出m的范围即可．【详解】解：，解不等式①，得x＞4，∵不等式组的解集是x＞4，∴m≤4，故选：D．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，能熟记求不等式组解集的规律（同小取小，同大取大，大小小大中间找，大大小小找不了）是解此题的关键．2．（2022·重庆实验外国语学校八年级阶段练习）若整数a满足关于x的分式方程的解为非负整数，且使关于y的不等式组的解集为，则符合条件的所有整数a的和为（

）A．5 B．8 C．9 D．12【答案】C【分析】先解分式方程，用含有a的代数式表示方程的解，再根据解为非负数求出a的范围，然后根据不等式组的解集求出a的范围，进而得出答案．【详解】解:，解得，且，∵原方程得解为非负数，∴，且，解得，且．解不等式组，解不等式①得：解不等式②得：∴，∵使关于y的不等式组的解集为，∴解得，所以，且．可知则．故选：C．【点睛】本题主要考查了分式方程的解，不等式组的解集，及如何解分式方程，解不等式组，注意：解分式方程时分式的分母不等于0．3．（2022·甘肃·临泽县第三中学八年级期中）若关于x的不等式组的解集是x＞2，则m的取值范围是______．【答案】m≤2【分析】根据不等式组的解集，可判断m与2的大小．【详解】解：因为不等式组的解集是x＞2，根据同大取较大原则可知：m＜2，当m=2时，不等式组的解集也是x＞2，所以m≤2．故答案为：m≤2．【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解答本题的关键．先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分．不等式组解集的确定方法是：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解．考点五由一元一次不等式组的整数解求参数例题：（2022·江苏·泰州中学附属初中七年级期末）若关于x的不等式组有且只有两个整数解，则k的取值范围是_____．【答案】【分析】分别求出两个不等式的解集，再根据不等式组的解集只有两个整数解求解即可．【详解】解：解不等式①得：，解不等式②得：，∵不等式组只有两个整数解，即0，-1，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数，正确求出两个不等式的解集是解题的关键．【变式训练】1．（2022·广东·佛山市顺德区拔萃实验学校八年级期中）己知关于x的不等式组的整数解共有4个，则a的取值范围是_____________．【答案】【分析】先求出不等式组的解集，根据一元一次不等式组有四个整数解进行分析，即可得到答案．【详解】解：，解不等式①，得：，解不等式②，得：，∵关于的不等式组的整数解共有4个，则这四个整数解为：0，1，2，3，当时，不等式组的整数解为：0，1，2，3，∴．故答案为：．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组的知识；解题的关键是正确求得一元一次不等式组的解集．2．（2022·江苏扬州·七年级期末）若关于的不等式组的解有且只有个整数解，则的取值范围是______．【答案】-3≤a<-2【分析】表示出不等式组的解集，根据题意确定出的范围即可．【详解】解：不等式组整理得：，不等式组有且只有个整数解，，整数解为，，，，则的范围是．故答案为：．【点睛】此题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．3．（2022·黑龙江·大庆市庆新中学九年级阶段练习）关于x的不等式组恰好只有4个整数解，则a的取值范围为_________．【答案】【分析】先求出不等式组的解集，根据其只有四个整数解即可确定的取值范围．【详解】解：解不等式①得，解不等式②得，根据题意，可得该不等式组的解集为，∵不等式组只有4个整数解∴这4个整数解为3、2、1、0，∴，解得：，所以的取值范围是，故答案为：．【点睛】本题考查了不等式组，已知不等组解集的整数解情况确定参数的取值范围关键是灵活的表示不等式组的解集．考点六不等式组和方程组结合的问题例题：（2021·黑龙江·肇源县第二中学八年级期中）关于x、y的方程组的解满足x+y>0，则k的值满足的范围为___________．【答案】k＞−4【分析】两方程相加，再等式两边都除以4，根据已知x＋y＞0得出关于k的不等式，求出不等式的解集即可．【详解】解：①＋②得：4x＋4y＝k＋4，x＋y＝k＋1，∵关于x，y的方程组的解满足x＋y＞0，∴k＋1＞0，解得：k＞−4，故答案为：k＞−4．【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，一元一次不等式的应用，解此题的关键是能得出关于k的一元一次不等式．【变式训练】1．（2022·甘肃·景泰县第四中学八年级期中）若关于、的方程组满足，则的取值范围是______．【答案】【分析】先解二元一次方程组求出，再根据得到关于k的一元一次不等式组，解不等式组即可．【详解】解：用①+②得：，∴，∵，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，正确求出是解题的关键．2．（2021·广东江门·七年级期末）已知方程组的解满足x为非正数，y为负数，则m的取值范围是________．【答案】-＜m≤4【分析】解方程组用m的代数式表示出x、y，根据x为非正数，y为负数列出关于m的不等式组，解之求得m的范围．【详解】解：解方程组得，∵x≤0，y＜0，∴，解得-＜m≤4；∴m的取值范围是-＜m≤4．故答案为：-＜m≤4．【点睛】本题考查了解二元一次方程组和一元一次不等式，解决本题的关键是得出关于m的不等式组并求解．3．（2022·河南周口·七年级期末）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，且关于x的不等式组无解，那么所有符合条件的整数a的个数为_______．【答案】7【分析】先求出方程组的解，再根据x＞y得出关于a的不等式，求出a的范围，再求出不等式组中每个不等式的解集，根据不等式组无解得出关于a的不等式，求出不等式的解集，再求出整数a，最后求出答案即可．【详解】解：解方程组得：，∵x＞y，∴2a＋1＞a−2，解得：a＞−3，，解不等式①，得x＜，解不等式②，得x≥，∵关于x的不等式组无解，∴≥，解得：a≤4，∴−3＜a≤4，∵a为整数，∴a可以为−2，−1，0，1，2，3，4，∴所有符合条件的整数a的个数为7，故答案为：7．【点睛】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，二元一次方程组的解，解一元一次不等式等知识点，能得出a的范围−3＜a≤4是解此题的关键．考点七列一元一次不等式组例题：（2021·全国·九年级专题练习）“与5的和是正数且的一半不大于3”用不等式组表示，正确的是A． B． C． D．【答案】A【分析】利用a与5的和是正数得出a＋5＞0，再利用a的一半不大于3得出不等式组成不等式组即可．【详解】解：根据题意得：，故选A．【点睛】此题主要考查了由文字叙述抽象出一元一次不等式组，正确得出不等式组是解题关键．【变式训练】1．（2022·浙江杭州·八年级期末）检测游泳池的水质，要求三次检验的pH的平均值不小于7.2，且不大于7.8．前两次检验，pH的读数分别是7.4，7.9，那么第三次检验的pH应该为多少才能合格？设第3次的pH值为x，由题意可得（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据平均数的定义，并结合三次检验的pH的平均值不小于7.2，且不大于7.8可得7.2≤≤7.8，从而得出答案．【详解】解：根据题意知7.2≤≤7.8，∴7.2×3≤7.4+7.9+x≤7.8×3，故选：A．【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出一元一次不等式组，解题的关键是掌握平均数的定义．2．（2021·全国·九年级专题练习）为了治理环境，九年级部分同学去植树，若每人平均植树7棵，还剩9棵；若每人平均植树9棵．则有1名同学植树的棵树小于8棵．若设同学人数为x人，下列各项能准确的求出同学人数与种植的树木的数量的是（

）A．7x+9﹣9（x﹣1）＞0 B．7x+9﹣9（x﹣1）＜8C． D．【答案】C【分析】根据题意可得种植的树木的数量为（7x+9）棵，再根据关键语句“每人平均植树9棵．则有1名同学植树的棵树小于8棵”列出不等式组即可．【详解】解：设同学人数为x人，则种植的树木的数量为（7x+9）棵，由题意得：，故选：C．【点睛】本题主要考查一元一次不等式组，关键是根据题意设出未知数，然后得出相应的不等式组即可．3．（2021·黑龙江佳木斯·七年级期末）若干名学生住宿舍，每间住人，人无处住；每间住人，空一间还有一间不空也不满，问多少学生多少宿舍？设有间宿舍，则可列不等式组为____【答案】【分析】先根据“每间住人，人无处住”可得学生人数，再根据“每间住人，空一间还有一间不空也不满”建立不等式组即可得．【详解】设有间宿舍，则学生有人，由题意得：，故答案为：．【点睛】本题考查了列一元一次不等式组，理解题意，正确找出不等关系是解题关键．考点八一元一次不等式组的应用例题：（2022·江苏·连云港外国语学校七年级期末）某家电超市经营甲、乙两种品牌的洗衣机．经投标发现，1台甲品牌洗衣机进价比1台乙品牌洗衣机进价贵500元；购进2台甲品牌洗衣机和3台乙品牌洗衣机共需进货款13500元．(1)购进1台甲品牌洗衣机和1台乙品牌洗衣机进价各需要多少元？(2)超市根据经营实际情况，需购进甲、乙两种品牌的洗衣机总数为50台，其中甲品牌洗衣机购进的台数不少于乙品牌洗衣机台数的3倍，且购进甲、乙两种品牌的洗衣机的总费用不超过145250元．问该超市共有几种购进方案？试写出所有的购进方案．【答案】(1)购进1台甲品牌洗衣机进价3000元，1台乙品牌洗衣机进价2500元；(2)超市共有3种购进方案，购进方案如下：方案一：甲购进38台，乙购进12台；方案二：甲购进39台，乙购进11台；方案三：甲购进40台，乙购进10台．【分析】（1）设购进1台甲品牌洗衣机进价x元，1台乙品牌洗衣机进价y元，根据“1台甲品牌洗衣机进价比1台乙品牌洗衣机进价贵500元：购进2台甲品牌洗衣机和3台乙品牌洗衣机共需进货款13500元”列二元一次方程组，求解即可；（2）设超市购进m台甲品牌洗衣机，根据“甲品牌洗衣机购进的台数不少于乙品牌洗衣机台数的3倍，且购进甲、乙两种品牌的洗衣机的总费用不超过145250元”列一元一次不等式组，求出m的取值范围，进一步即可确定购进方案．（1）解：设购进1台甲品牌洗衣机进价x元，1台乙品牌洗衣机进价y元，根据题意，得解得，答：购进1台甲品牌洗衣机进价3000元，1台乙品牌洗衣机进价2500元；（2）设超市购进m台甲品牌洗衣机，根据题意，得解得37.5≤m≤40.5，m取正整数有：38，39，40，∴超市共有3种购进方案，购进方案如下：方案一：甲购进38台，乙购进12台；方案二：甲购进39台，乙购进11台；方案三：甲购进40台，乙购进10台．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，理解题意并根据题意建立关系式是解题的关键．【变式训练】1．（2022·重庆大学城第三中学校七年级期中）有甲、乙两种客车，3辆甲种客车与2辆乙种客车的总载客量为180人，2辆甲种客车与3辆乙种客车的总载客量为170人．(1)请问1辆甲种客车与1辆乙种客车的载客量分别为多少人？(2)某校组织不少于180名学生到某红色教育基地开展“庆祝中国共产主义青年团成立100周年”活动，拟租用甲、乙两种客车共5辆，总费用不超过1950元，一次将全部学生送到指定地点．若每辆甲种客车的租金为400元，每辆乙种客车的租金为320元，有哪几种租车方案，最少租车费用是多少？【答案】(1)1辆甲种客车的载客量为40人，1辆乙种客车的载客量为30人(2)租3辆甲车，2辆乙车或租4辆甲车，1辆乙车；最少租车费用是1840元．【分析】（1）设1辆甲种客车的载客量为x人，1辆乙种客车的载客量为y人，根据“3辆甲种客车与2辆乙种客车的总载客量为180人，2辆甲种客车与3辆乙种客车的总载客量为170人．”列出方程组，即可求解；（2）设租用甲种客车a辆，则租用乙种客车（5﹣a）辆，根据题意．列出不等式组，求出a，即可求解．（1）解：设1辆甲种客车的载客量为x人，1辆乙种客车的载客量为y人，根据题意得：，解得，答：1辆甲种客车的载客量为40人，1辆乙种客车的载客量为30人；（2）解：设租用甲种客车a辆，则租用乙种客车（5﹣a）辆，依题意有：，解得：，∵a为整数，∴a＝3或4，当a＝3时，租3辆甲车，2辆乙车，费用为：3×400+2×320＝1840（元），当a＝4时，租4辆甲车，1辆乙车，费用为：4×400+1×320＝1920（元），故有2种租车方案，租3辆甲车，2辆乙车或租4辆甲车，1辆乙车；最少租车费用是1840元．【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组及二元一次方程组的应用，解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的不等关系式及所求量的等量关系．2．（2021·重庆·巴川初级中学校七年级期中）光环购物广场“童趣”商店计划购进一批甲、乙两种玩具，已知一件甲种玩具的进价与一件乙种玩具的进价的和为40元，购买10件甲种玩具的费用与购买6件乙种玩具的费用相同．(1)求每件甲种、乙种玩具的进价分别是多少元？(2)商场计划购进甲、乙两种玩具共48件，其中甲种玩具的件数少于乙种玩具的件数的，商场决定此次进货的总资金不超过1080元，求商场共有几种进货方案？【答案】(1)甲，乙两种玩具分别是15元/件，25元/件(2)共有4种方案【分析】（1）可以通关两次购买的数量及单价列二元一次方程组求解，（2）利用甲种玩具的件数少于乙种玩具的件数的，商场决定此次进货的总资金不超过1080元这两个条件，列不等式组求解．（1）解：设甲种玩具进价元/件，则乙种玩具进价为元/件，解得答：甲，乙两种玩具分别是15元/件，25元/件；（2）设购进甲种玩具件，则购进乙种玩具（48﹣）件，则解得．因为是整数，∴=12，13，14，15，故共有4种方案．【点睛】本题考查二元一次方程组及不等式组的实际应用，准确列出方程和不等式组是解题关键．3．（2022·河南漯河·七年级期末）我市是“全国文明城市”．其小区为了响应号召，计划购进A、B两种树苗共棵．已知A种树苗每棵元，B种树苗每棵元．(1)若购进A、B两种树苗共花费了元，问购进A、B两种树苗各多少棵？(2)若购进A种树苗的数量不少于B种树苗的数量，且总费用不超过2100元，请你给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用．【答案】(1)购进A种树苗13棵，B种树苗10棵；(2)购进A种树苗12棵，B种树苗11棵；此时购进费用为2080元．【分析】（1）设购进A种树苗x棵，B种树苗y棵，根据A，B两种树苗共23棵，A，B两种树苗共花费了2100元，列出二元一次方程组求解；（2）设购进A种树苗a棵，根据A种树苗的数量不少于B种树苗的数量，总费用不超过2100元，列出不等式组，取其整数解，进而即可求解．（1）解：设购进A种树苗x棵，B种树苗y棵，由题意可得：解得：答：购进A种树苗13棵，B种树苗10棵；（2）设购进A种树苗a棵，则购进B种树苗棵，由题意可得：解得∵为正整数，∴∴A种树苗每棵元，B种树苗每棵元．当树苗数量较少时，费用较低，∴当时，费用最少，（元）此时A种树苗12棵，B种树苗11棵；此时购进费用为2080元．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，根据题意找到等量关系或不等关系列出方程或不等式是解题的关键．课后训练课后训练一、选择题1．（2022·山东烟台·七年级期末）下列各式不是一元一次不等式组的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据一元一次不等式的定义判断即可得到结果；【详解】符合一元一次不等式组的定义，故A是；因为有a、b两个未知数，故B不是；符合一元一次不等式组的定义，故C是；符合一元一次不等式组的定义，故D是；故答案选B．【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的定义，准确判断是解题的关键．2．（2022·浙江·萧山区回澜初级中学七年级期中）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式的解集表示在数轴上即可．【详解】解：，解不等式①得：x≤1，解不等式②得：x＞−1，故不等式组的解集为：−1＜x≤1，在数轴上表示为：故选：C．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式解集，熟知同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到的原则是解题的关键．3．（2022·内蒙古·霍林郭勒市第五中学七年级期末）若关于x的不等式组无解，则m的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】不等式组整理后，由无解确定出m的范围即可．【详解】解：不等式组整理得：，由不等式组无解，得到．故选C．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．4．（2022·重庆大学城第三中学校七年级期中）若不等式组的整数解恰有四个，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先确定不等式组的解集，利用含a的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于a的不等式，从而求出a的范围．【详解】解不等式，得：，∵不等式组整数解共有四个，∴不等式组的整数解为2、3、4、5，∴，故选A．【点睛】本题考查了一元一次不等式组的整数解，正确解出不等式组的解集，确定a的范围，是解答本题的关键．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．5．（2021·重庆·巴川初级中学校七年级期中）如果整数m使得关于x的不等式组有解，且使得关于x，y的二元一次方程组的解为整数（x，y均为整数），则符合条件的所有整数m的个数为（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】C【分析】不等式组整理后，根据有解确定出m的范围，再由方程组的解为整数确定出满足题意m的值，判断即可．【详解】解：由①得，，由②得，∵不等式组有解，∵不等式组的解集为m＜x≤4，∴m＜4，方程组，①－②得：（m﹣2）x＝4，解得：x，把x代入②得：y＝1，解得：y＝1，∵x与y都为整数，∵m＜4，∴m－2＜2，且m≠2，∴m－2＝1或﹣1或﹣2或﹣4，解得：m＝3或1或0或﹣2，故符合条件的所有整数m的个数为4个．故选：C．【点睛】此题考查了二元一次方程组的整数解，解一元一次不等式组，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．二、填空题6．（2022·辽宁·阜新市第十中学八年级期中）如果不等式组无解，则m的取值范围是_____．【答案】【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组无解，结合大大小小无解了可得答案．【详解】解：解不等式x+8＞4x﹣1，得：x＜3，解不等式x﹣m＞1，得：x＞m+1，∵不等式组无解，∴m+1≥3，解得m≥2，故答案为：m≥2．【点睛】此题考查不等式组的解集的应用，正确解不等式，掌握确定不等式组解集的方法是解题的关键．7．（2022·江苏·扬州市江都区华君外国语学校七年级阶段练习）关于x的不等式组的所有整数解之和为____________．【答案】3【分析】先求出不等式组的解集，再确定整数解，最后求和即可．【详解】解：解不等式①得，x＜3，解不等式②得，x≥1，∴不等式组的解集是1≤x＜3，∴不等式组的整数解是1，2，∴所有整数解之和为1＋2＝3，故答案为：3【点睛】此题考查了求不等式组的整数解，熟练掌握不等式组的解法是解题的关键．8．（2022·辽宁·丹东市第五中学八年级期末）已知关于x的不等式组仅有三个整数解，则a的取值范围是________【答案】≤a＜1【分析】根据解不等式组，可得不等式组的解，根据不等式组的解集是整数，可得答案．【详解】解：解不等式2x≥3（x-2）+5，得：x≤1，∵不等式组有且仅有三个整数解，∴此不等式组的整数解为1、0、-1，又x＞2a-3，∴-2≤2a-3＜-1，解得：≤a＜1，故答案为：≤a＜1．【点睛】本题考查了一元一次不等式组，利用不等式的解得出关于a的不等式是解题关键．9．（2022·重庆永川·七年级期末）七年级学生张明的母亲给他150元钱，作为他一周在校五天的生活费，假定张明平均每天所用的生活费为a元，且到周末略有剩余，则a的取值范围是_________．【答案】0＜a＜30【分析】根据题意列出不等式组即可求解．【详解】解：由周末略有剩余，得到不等式组：，解得：0＜a＜30．故答案为：0＜a＜30．【点睛】本题考查一元一次不等式组的应用，解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的不等关系式，需注意隐含条件的应用．10．（2022·湖北·武汉外国语学校美加分校七年级阶段练习）对，定义一种新的运算，规定：，若关于正数的不等式组恰好有3个整数解，则的取值范围是_________．【答案】【分析】分0＜x＜1和x≥1两种情况，由得到关于x的不等式组，解之得出x的取值范围，再根据不等式组整数解的个数可得m的取值范围．【详解】解：①若0＜x＜1，由得，解1-x＞4，得：x＜-3，与0＜x＜1不符，舍去；②若x≥1，由得，解得，∵不等式组恰好有3个整数解，∴8≤m-1＜9，解得9≤m＜10，故答案为：9≤m＜10．【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组，解题的关键是根据x的取值范围列出相应的关于x的不等式组，并解不等式组，结合整数解的个数得到关于m的不等式组．三、解答题11．（2022·甘肃·临泽县第三中学八年级期中）解下列不等式组，并将结果表示在数轴上．(1)(2)【答案】(1)，数轴见解析(2)，数轴见解析【分析】（1）先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集，然后画数轴表示即可．（2）先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集，然后画数轴表示即可．（1）解：解①得：，解②得：，∴．如图：（2）解：解①得：，解②得：，∴．如图：【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解答本题的关键．先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分．不等式组解集的确定方法是：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解．不等式组的解集在数轴上表示时，空心圈表示不包含该点，实心点表示包含该点．12．（2022·甘肃·张掖育才中学八年级期中）解下列不等式组，并把解集在数轴上表示出来(1)；(2)．【答案】(1)x＞4，数轴表示见解析(2)﹣1≤x＜2，数轴表示见解析【分析】（1）分别求出每一个不等式的解集，然后将解集表示在数轴上，进而求得不等式组的解集；（2）分别求出每一个不等式的解集，然后将解集表示在数轴上，进而求得不等式组的解集．（1）解：，由①得，x＞2，由②得，x＞4，在数轴上表示如下：所以，不等式组的解集是x＞4；（2）解：，由①得，x≥﹣1，由②得，x＜2，在数轴上表示如下：所以，不等式组的解集是﹣1≤x＜2．【点睛】本题考查了求不等式组的解集，在数轴上表示不等式的解集是解题的关键．13．（2022·广东·佛山市南海外国语学校八年级阶段练习）解不等式组，求出满足该不等式组的所有整数解的和．【答案】【分析】先解不等式组得出不等式组的解集，从而知道不等式组的整数解情况，再求和即可得出答案．【详解】解：解不等式①，得：，解不等式②，得：，∴不等式组的解集是：，∴该不等式组的整数解是：，，，，∴整数解的和是：．∴满足该不等式组的所有整数解的和是．【点睛】本题考查一元一次不等式组的整数解．解题的关键是得出不等式组的解集及其整数解的情况．14．（2021·贵州省三穗中学七年级期末）解不等式组：并把解集在数轴上表示出来．【答案】，数轴见解析【分析】分别解两个一元一次不等式，找出两个解集的公共部分，在数轴上表示出来即可．【详解】：解：解不等式①，得

解不等式②，得

所以不等式组的解集是：在数轴上表示如下：【点睛】本题考查解一元一次不等式组，并在数轴上表示不等式组的解集，准确的求出不等式组的解集是解题的关键．15．（2022·湖北省直辖县级单位·七年级阶段练习）解不等式组，并把解集表示在数轴上．【答案】x＞﹣1，图见解析【分析】分别解两个不等式，求出解集公共部分即可．【详解】，解不等式①得：x＞﹣3，解不等式②得：x＞﹣1．故不等式组解集为x＞﹣1．数轴表示如图：【点睛】本题考查解一元一次不等式组，解题关键是熟知解集公共部分的求法．16．（2022·甘肃·临洮县明德初级中学七年级阶段练习）已知方程组的解x为非正数，y为负数．(1)求a的取值范围；(2)当a为何整数时，不等式ax+2x＞a+2的解集为x＜1？【答案】(1)(2)【分析】（1）先解方程组可得，，再建立不等式组，从而可得答案；（2）根据不等式的两边都除以而不等号的方向发生了改变，可得再结合（1）的结论，从而可得答案．（1）解：①+②得：①-②得：∵x为非正数，y为负数，∴由③得：由④得：∴a的范围为：（2）∵ax+2x＞a+2，∴∵不等式ax+2x＞a+2的解集为x＜1，∴解得：∵∴∴整数【点睛】本题考查的二元一次方程组的解法，一元一次不等式组的解法，一元一次不等式的解法，掌握“确定不等式组的解集的方法”是解本题的关键．17．（2022·湖北省直辖县级单位·七年级阶段练习）阅读材料：对x，y定义一种新运算“T”，规定：T（x，y）＝（其中a，b均为非0常数，且x+y≠0）．如T（1，0）＝，若T（2，1）＝，T（1，﹣2）＝﹣7．(1)求T（2，3）的值；(2)若关于c的不等式组恰好有3个整数解，求实数m的取值范围．【答案】(1)0(2)1＜m≤4【分析】（1）利用新运算定义，代数求解即可；（2）利用不等式的解集，求符合题目要求的的取值范围即可．（1）解：，，．，，，解方程组：，得：，，．（2）解：，，由，得：，由，得：，恰好有3个整数解，则这个整数解一定是1、0、，，，．【点睛】本题考查的是新运算问题结合二元一次方程组及一元一次不等式组的解法，解题关键就是理解新运算法则，熟练运用法则进行计算．18．（2022·四川乐山·七年级期末）乐山市在创建全国卫生城市的活动中，为更好的增强人们对垃圾分类的意识，某小区积极响应，决定在其辖区内安装温馨提示牌和垃圾箱，若购买个温馨提示牌和个垃圾箱共需元，购买个温馨提示牌和个垃圾箱费用相同．(1)求温馨提示牌和垃圾箱的单价各是多少元？(2)该小区至少需要安放个垃圾箱，如果购买温馨提示牌和垃圾箱共个，且总费用不超过元，请问共有几种购买方案，并指出哪种方案所需资金最少？最少是多少元？【答案】(1)温馨提示牌和垃圾箱的单价各是元和元(2)购买温馨提示牌个，购买垃圾箱个时所需资金最少，最少是元【分析】（1）设温馨提示牌的单价为元，垃圾箱的单价为元，根据“购买个温馨提示牌和个垃圾箱共需元，购买个温馨提示牌和个垃圾箱费用相同．”列出方程组，即可求解；（2）设购买温馨提示牌个，则购买垃圾箱个，根据“小区至少需要安放个垃圾箱，如果购买温馨提示牌和垃圾箱共个，且总费用不超过元，”列出不等式组，即可求解．（1）解：设温馨提示牌的单价为元，垃圾箱的单价为元，依题意得，，解得，，答：温馨提示牌和垃圾箱的单价各是元和元；（2）解：设购买温馨提示牌个，则购买垃圾箱个，依题意得：，解得，为整数，，，，共有种购货方案：方案一：购买温馨提示牌个，购买垃圾箱个，此时费用为元；方案二：购买温馨提示牌个，购买垃圾箱个，此时费用为元；方案三：购买温馨提示牌个，购买垃圾箱个，此时费用为元；，购买温馨提示牌个，购买垃圾箱个时所需资金最少，最少是元．【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，理解题意得出相等关系与不等关系是解题关键．19．（2022·浙江台州·七年级阶段练习）为预防新冠肺炎病毒，小红同学到一家药店购买口罩．已知3个A型口罩和4个B型口罩共需17元；4个A型口罩和3个B型口罩共需18元．(1)求一个A型口罩和一个B型口罩的售价各是多少元？(2)小红有290元钱，现要买A型、B型口罩共120个，且A型的数量不少于B型数量的①请问有哪几种购买方案？②药店营业员告诉她：“口罩戴久后容易受潮，会导致呼吸受阻和防护能力下降，需及时更换，每个A型口罩累计使用3个小时需更换一次，每个B型口罩累计使用6小时需更换一次”．问怎样安排购买使