专题09 期末复习（二）整式的加减（解析版 ）

专题09期末复习（二）整式的加减（解析版）整式加减复习教学案知识点一代数式1．（2022秋•朝阳区月考）下列各式中，符合代数式书写规则的是（）A．x×5 B．112xy C．2.5t D．x﹣1÷思路引领：根据代数式的书写原则：数字在字母前，乘号省略；带分数要用假分数；除号要用分数；再结合所给的选项进行判断即可．解：x×5的正确写法是5x，故A不符合题意；112xy的正确写法是32xy，故2.5t的写法是正确的，故C符合题意；x﹣1÷y的正确写法x−1y，故故选：C．总结升华：本题考查代数式，熟练掌握代数式的书写原则是解题的关键．2．（2012秋•华容县期末）m与n的3倍的和可以表示为（）A．3m+n B．3（m+n） C．m+3n D．3m+3n+3思路引领：由“m与n的3倍的和”可知用m加上n的3倍即可．解：m与n的3倍的和是（m+3n）．故选：C．总结升华：此题考查列代数式，理解题意，正确列式即可，注意字母与数字的书写．3．（2021春•和平区月考）一件商品售价x元，利润率为a%（a＞0），则这件商品的成本为元．思路引领：设成本是y元，则y（1+a%）＝x，据此即可求解．解：设成本是y元，则y（1+a%）＝x，则y=x故答案是：x1+a%总结升华：本题考查了列代数式，正确理解增长率的含义是关键．知识点二整式的相关概念4．把下列各式填在相应的大括号里：x﹣7，13x，4ab，23a，5−3x，y，st，x+13，x7+y7单项式集合{…}；多项式集合{…}；整式集合{…}．思路引领：根据单项式、多项式、整式的定义解答即可．解：单项式有：13x，4ab，y，8a3x多项式有：x﹣7，x+13，x7+y整式有：13x，4ab，y，8a3x，﹣1，x﹣7，x+13，x7+故答案为：13x，4ab，y，8a3x，﹣1；x﹣7，x+13，x7+y7，x2+x2+1；13x，4ab，y，8a3x，﹣1，总结升华：本题主要考查的是整式，掌握单项式、多项式、整式的定义是解题的关键．5．（2021秋•常宁市期末）下列说法错误的是（）A．2x2﹣3xy﹣1是二次三项式 B．﹣x+1不是单项式 C．2ab2是二次单项式 D．﹣xy2的系数是﹣1思路引领：根据多项式的次数，多项式的定义，单项式的定义，单项式的次数和系数的定义逐个判断即可．解：A．2x2﹣3xy﹣1是二次三项式，故本选项不符合题意；B．﹣x+1是多项式，不是单项式，故本选项不符合题意；C．2ab2是三次单项式，故本选项符合题意；D．﹣xy2的系数是﹣1，故本选项不符合题意；故选：C．总结升华：本题考查了单项式和多项式的有关概念，能熟记多项式和单项式的有关概念是解此题的关键，注意：①表示数与数或数与字母的积的形式，叫单项式，单项式中的数字因数，叫单项式的系数，单项式中所有字母的指数的和，叫这个单项式的次数；②两个或两个以上的单项式的和，叫多项式，其中的每个单项式，叫多项式的项，多项式中，次数最高的项的次数，叫多项式的次数．6．（2021秋•晋江市校级期中）将多项式2x2﹣4+3x按x的降幂排列为．思路引领：根据降幂排列的要求对原整式进行排序．解：由题意得2x2﹣4+3x＝2x2+3x﹣4，故答案为：2x2+3x﹣4．总结升华：此题考查了对多项式进行降幂排列的能力，关键是能准确理解并运用以上知识．7．（2011秋•洛宁县期中）若﹣3xm﹣2nyn﹣2和13x5y4﹣m是同类项，求（m﹣2n）2﹣5（m+n）﹣2（m﹣2n）2+m+n思路引领：利用同类项的定义求出m与n的值，原式合并后代入计算即可求出值．解：∵﹣3xm﹣2nyn﹣2和13x5y4﹣m∴m﹣2n＝5，n﹣2＝4﹣m，解得：m=173，n可得m﹣2n＝5，m+n＝6，则原式＝﹣（m﹣2n）2﹣4（m+n）＝﹣25﹣24＝﹣49．总结升华：此题考查了整式的加减﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．知识点三添括号与去括号8．（2020秋•兴业县期末）下列去括号正确的是（）A．x﹣（5y﹣3x）＝x﹣5y﹣3x B．5x﹣[2y﹣（x﹣z）]＝5x﹣2y+x﹣z C．2x+（﹣3y+7）＝2x﹣3y﹣7 D．a﹣3（b﹣c+d）＝a﹣3b﹣3c﹣3d思路引领：根据去括号法则对四个选项逐一进行分析，要注意括号前面的符号，以选用合适的法则．解：A、x﹣（5y﹣3x）＝x﹣5y+3x．故本选项错误；B、5x﹣[2y﹣（x﹣z）]＝5x﹣2y+x﹣z．故本选项正确；C、2x+（﹣3y+7）＝2x﹣3y+7．故本选项错误；D、a﹣3（b﹣c+d）＝a﹣3b+3c﹣3d．故本选项错误；故选：B．总结升华：本题考查去括号的方法：去括号时，运用乘法的分配律，先把括号前的数字与括号里各项相乘，再运用括号前是“+”，去括号后，括号里的各项都不改变符号；括号前是“﹣”，去括号后，括号里的各项都改变符号．运用这一法则去掉括号．12．（2017秋•蒙自市期末）下列添括号的变形中，正确的是（）A．a+b﹣c＝a+（b﹣c） B．a﹣b+c＝a+（b+c） C．a+b﹣c＝a﹣（b+c） D．a+b﹣c＝a﹣（b﹣c）思路引领：根据添括号法则解答．解：A、原式＝a+（b﹣c），计算正确，符合题意．B、原式＝a+（﹣b+c），计算错误，不符合题意．C、原式＝a﹣（﹣b+c），计算错误，不符合题意．D、原式＝a﹣（﹣b+c），计算错误，不符合题意．故选：A．总结升华：本题主要考查了去括号与添括号，添括号法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号，如果括号前面是负号，括号括号里的各项都改变符号．添括号与去括号可互相检验．知识点四整式的化简9．（2021秋•江都区校级月考）化简：（1）2x+3y﹣（3x﹣y）；（2）4（m2+n）+2（n﹣2m2）．思路引领：（1）先去括号，然后合并同类项即可；（2）先去括号，然后合并同类项即可．解：（1）2x+3y﹣（3x﹣y）＝2x+3y﹣3x+y＝﹣x+4y；（2）4（m2+n）+2（n﹣2m2）＝4m2+4n+2n﹣4m2＝6n．总结升华：本题考查整式的加减，解答本题的关键是明确去括号法则和合并同类项的方法．10．先化简，再求值．（1）3（2x2y﹣3xy2）﹣（xy2﹣3x2y），其中x=12，（2）3a﹣[﹣2b+（4a﹣3b）]，其中a＝﹣1，b＝3．思路引领：（1）先把两多项式外的括号去掉，注意括号前是负因数时，把负因数同括号内各项相乘后，各项要改变符号；再把式子中的同类项进行合并整理，把字母的值代入化简后式子，即可得出答案；（2）从内到外先去小括号，再去中括号，最后合并同类项即可化简原式，再将字母的值代入计算即可得出答案．解：（1）3（2x2y﹣3xy2）﹣（xy2﹣3x2y）＝6x2y﹣9xy2﹣xy2+3x2y＝9x2y﹣10xy2，当x=12，原式＝9×（12）2×（﹣1）﹣10×1=−9=−29（2）3a﹣[﹣2b+（4a﹣3b）]＝3a﹣[﹣2b+4a﹣3b]＝3a+2b﹣4a+3b＝﹣a+5b，当a＝﹣1，b＝3时，原式＝﹣（﹣1）+5×3＝16．总结升华：本题考查整式加减，代数式求值的相关知识，熟知去括号法则及合并同类项法则是关键．知识点五求代数式的值与整体思想11．（2020秋•宽城区期末）数学中，运用整体思想方法在求代数式的值时非常重要．例如：已知a2+2a＝2，则代数式2a2+4a+3＝2（a2+2a）+3＝2×2+3＝7．请你根据以上材料解答以下问题：（1）若x2﹣3x＝4，求1﹣x2+3x的值．（2）当x＝1时，代数式px3+qx﹣1的值是5，求当x＝﹣1时，代数式px3+qx﹣1的值．（3）当x＝2020时，代数式ax5+bx3+cx+6的值为m，直接写出当x＝﹣2020时，代数式ax5+bx3+cx+6的值．（用含m的代数式表示）思路引领：（1）将1﹣x2+3x变形，再将x2﹣3x＝4整体代入计算即可．（2）先由当x＝1时，代数式px3+qx﹣1的值是5，得出p+q﹣1＝5，进而得出p+q的值，再将x＝﹣1代入px3+qx﹣1并对其变形，然后将p+q的值整体代入计算即可．（3）先由当x＝2020时，代数式ax5+bx3+cx+6的值为m，得出a×20205+b×20203+c×2020+6＝m，变形得出a×20205+b×20203+c×2020的值，再将x＝﹣2020代入ax5+bx3+cx+6，然后变形并整体将a×20205+b×20203+c×2020的值代入计算即可．解：（1）∵x2﹣3x＝4，∴1﹣x2+3x＝1﹣（x2﹣3x）＝1﹣4＝﹣3．（2）当x＝1时，代数式px3+qx﹣1的值是5，即p+q﹣1＝5，∴p+q＝6．∴当x＝﹣1时，px3+qx﹣1＝﹣p﹣q﹣1＝﹣（p+q）﹣1＝﹣6﹣1＝﹣7．（3）∵当x＝2020时，代数式ax5+bx3+cx+6的值为m，即a×20205+b×20203+c×2020+6＝m，∴a×20205+b×20203+c×2020＝m﹣6，∴x＝﹣2020时，ax5+bx3+cx+6＝a×（﹣2020）5+b×（﹣2020）3+c×（﹣2020）+6＝﹣（a×20205+b×20203+c×2020）+6＝﹣（m﹣6）+6＝﹣m+12．总结升华：本题考查了代数式求值，熟练掌握相关运算法则并运用整体代入思想是解题的关键．12．若（3x+1）5＝ax5+bx4+cx3+dx2+ex+f，则a+c+e＝．思路引领：可以令x＝±1，再把得到的两个式子相减，即可求值．解：∵（3x+1）5＝ax5+bx4+cx3+dx2+ex+f，令x＝﹣1，有﹣32＝﹣a+b﹣c+d﹣e+f①令x＝1，有1024＝a+b+c+d+e+f②由②﹣①有：1056＝2a+2c+2e，即：528＝a+c+e．总结升华：本题考查了代数式求值的知识，注意对于复杂的多项式可以给其特殊值，比如±1．知识点六整式“缺项”及与字母取值无关的问题13．已知关于x，y的多项式ax2+2bxy+x2﹣x﹣2xy+y不含二次项，求a，b的值．思路引领：先合并同类项，再根据题意得到a+1＝0，2b﹣2＝0，进而解决此题．解：ax2+2bxy+x2﹣x﹣2xy+y＝（a+1）x2+（2b﹣2）xy﹣x+y．∵关于x，y的多项式ax2+2bxy+x2﹣x﹣2xy+y不含二次项，∴a+1＝0，2b﹣2＝0．∴a＝﹣1，b＝1．总结升华：本题主要考查合并同类项、多项式，熟练掌握多项式的定义、合并同类项法则是解决本题的关键．14．（2022春•泰州期末）已知：A＝3x2+2xy+3y﹣1，B＝x2﹣xy．（1）计算：A﹣3B；（2）若A﹣3B的值与y的取值无关，求x的值．思路引领：（1）利用去括号的法则去掉括号再合并同类项即可；（2）令y的系数的和为0，即可求得结论．解：（1）A﹣3B＝（3x2+2xy+3y﹣1）﹣3（x2﹣xy）＝3x2+2xy+3y﹣1﹣3x2+3xy＝5xy+3y﹣1；（2）∵A﹣3B＝5xy+3y﹣1＝（5x+3）y﹣1，又∵A﹣3B的值与y的取值无关，∴5x+3＝0，∴x=−3总结升华：本题主要考查了整式的加减，正确利用去括号的法则进行运算是解题的关键．知识点七整式的实际应用15．（2021秋•曲阳县期末）把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠的放在一个底面为长方形（长为m，宽为n）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图②中两块阴影部分的周长和是（）A．4m B．4n C．2（m+n） D．4（m+n）思路引领：设图①小长方形的长为a，宽为b，由图②表示出上面与下面两个长方形的周长，求出之和，根据题意得到a+2b＝m，代入计算即可得到结果．解：设小长方形的长为a，宽为b，上面的长方形周长：2（m﹣a+n﹣a），下面的长方形周长：2（m﹣2b+n﹣2b），两式联立，总周长为：2（m﹣a+n﹣a）+2（m﹣2b+n﹣2b）＝4m+4n﹣4（a+2b），∵a+2b＝m（由图可得），∴阴影部分总周长为4m+4n﹣4（a+2b）＝4m+4n﹣4m＝4n．故选：B．总结升华：此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键．16．（2022春•南岸区期末）如图1，是（x+y）n（n为非负整数）去掉括号后，每一项按照字母x的次数从大到小排列，得到的一系列等式．如图2，是“杨辉三角”数阵，其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和；经观察：一个二项式和的乘方的展开式中，各项的系数与图2中某行的数一一对应．当y＝1时，（x+y）n＝（x+1）n＝anxn+an﹣1xn﹣1+⋯+a1x+a0，其中ai表示的是xi项的系数（i＝1，2，⋯，n），a0是常数项．如（x+1）3＝a3x3+a2x2+a1x+a0＝x3+3x2+3x+1，其中a3＝1，a2＝a1＝3，a0＝1．所以，（x+1）3展开后的系数和为a3+a2+a1+a0＝1+3+3+1＝8．也可令x＝1，（x+1）3＝a3×13+a2×12+a1×1+a0＝a3+a2+a1+a0＝23＝8．根据以上材料，解决下列问题：（1）写出（x﹣1）6去掉括号后，每一项按照字母x的次数从大到小排列的等式；（2）若（2x+1）4＝a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，求a4+a2+a0的值；（3）已知（x+t）5＝a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，其中t为常数．若a3＝90，求a5+a4+a3+a2+a1+a0的值．思路引领：（1）由题意可则，（x﹣1）6的系数与杨辉三角的第7行数对应，即可求解；（2）由（2x+1）4＝16x4+32x3+24x2+8x+1，求解即可；（3）求出t＝±3，当t＝3时，令x＝1，则a5+a4+a3+a2+a1+a0＝45＝1024；当t＝﹣3时，令x＝1，则a5+a4+a3+a2+a1+a0＝（﹣2）5＝﹣32．解：（1）由题意可则，（x﹣1）6的系数与杨辉三角的第7行数对应，∴（x﹣1）6＝x6﹣6x5+15x4﹣20x3+15x2﹣6x+1；（2）∵（2x+1）4＝16x4+32x3+24x2+8x+1，∴a4+a2+a0＝16+24+1＝41；（3）∵a3＝10t2＝90，∴t＝±3，当t＝3时，（x+3）5＝a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，令x＝1，则a5+a4+a3+a2+a1+a0＝45＝1024；当t＝﹣3时，（x﹣3）5＝a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，令x＝1，则a5+a4+a3+a2+a1+a0＝（﹣2）5＝﹣32；综上所述：a5+a4+a3+a2+a1+a0的值为1024或﹣32．总结升华：本题考查数字的变化规律，能够通过所给的阅读材料，找到展开式各项系数的规律是解题的关键．整式加减复习晚上作业1．（2014春•沛县期中）如果两块面积为a公顷、b公顷的棉田，分别产棉花m千克、n千克，那么这两块棉田的平均产量为（）A．ma千克/公顷 B．nbC．m+na+b千克/公顷 D．m思路引领：求这这两块棉田的平均产量，首先算出棉花的总产量和总面积数；再用棉花的总产量除以总面积数即可．解：（m+n）÷（a+b）=m+n故选：C．总结升华：此题考查列代数式，注意理解题意，利用常见数量关系解决问题．2．（2022•南京模拟）如果整式xn﹣2+5x﹣2是三次三项式，那么n等于（）A．3 B．4 C．5 D．6思路引领：根据多项式的概念解答即可．解：∵多项式xn﹣2+5x﹣2是关于x的三次三项式，∴n﹣2＝3，解得n＝5，故选：C．总结升华：本题考查了根据多项式的次数求参数的值，理解三次三项式的含义是解决本题的关键．3．（2021秋•建华区期中）已知单项式2a6bn+1与13a3mb3的和仍然是单项式，则式子9m2﹣mnA．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．﹣4思路引领：根据合并同类项法则得出3m＝6，n+1＝3，求出m、n的值，再代入求出答案即可．解：根据题意，得3m＝6，n+1＝3，解得m＝2，n＝2．所以9m2﹣mn﹣36＝9×22﹣2×2﹣36＝﹣4．故选：D．总结升华：本题考查了合并同类项法则和求代数式的值，能根据合并同类项法则得出3m＝6，n+1＝3是解此题的关键．4．（2022秋•玄武区期中）下列去括号正确的是（）A．a2﹣（2a﹣b2）＝a2﹣2a﹣b2 B．﹣（2x+y）﹣（﹣x2+y2）＝﹣2x+y+x2﹣y2 C．2x2﹣3（x﹣5）＝2x2﹣3x+5 D．﹣a﹣（﹣4a2+1﹣3a）＝4a2﹣1+2a思路引领：根据去括号法则逐个判断即可．解：A．a2﹣（2a﹣b2）＝a2﹣2a+b2，故本选项不符合题意；B．﹣（2x+y）﹣（﹣x2+y2）＝﹣2x﹣y+x2﹣y2，故本选项不符合题意；C．2x2﹣3（x﹣5）＝2x2﹣3x+15，故本选项不符合题意；D．﹣a﹣（﹣4a2+1﹣3a）＝﹣a+4a2﹣1+3a＝4a2+2a﹣1，故本选项符合题意；故选：D．总结升华：本题考查了去括号法则，能熟记去括号法则是解此题的关键，①括号前面是“+”号，把括号和它前面的“+”去掉，括号内各项都不改变符号，②括号前面是“﹣”号，把括号和它前面的“﹣”去掉，括号内各项都改变符号．5．（2018秋•大丰区期中）下列添括号错误的是（）A．﹣x+5＝﹣（x+5） B．﹣7m﹣2n＝﹣（7m+2n） C．a2﹣3＝+（a2﹣3） D．2x﹣y＝﹣（y﹣2x）思路引领：根据添括号的方法：添括号时，若括号前是”+“，添括号后，括号里的各项都不改变符号；若括号前是”﹣“，添括号后，括号里的各项都改变符号．逐一验证即可．解：A：应为﹣x+5＝﹣（x﹣5）错误；B、C、D均符合添括号法则．故选：A．总结升华：添括号时要注意若括号前是”﹣“，添括号后，括号里的各项都改变符号，不能漏项．6．（2020秋•婺城区校级期末）如图，把六张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠的放在一个底面为长方形（长为7cm，宽为6cm）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图②中两块阴影部分的周长和是（）A．16cm B．24cm C．28cm D．32cm思路引领：设小长方形的长为x，宽为y，根据图形求出3y+x＝7，表示出阴影部分周长之和即可解：设小长方形的长为xcm，宽为ycm（x＞y），则根据题意得：3y+x＝7，阴影部分周长和为：2（6﹣3y+6﹣x）+2×7＝12+2（﹣3y﹣x）+12+14＝38+2×（﹣7）＝24（cm）故选：B．总结升华：此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键．7．（2021春•拱墅区校级期中）已知2x＝y﹣3，则代数式（2x﹣y）2﹣6（2x﹣y）+9的值为．思路引领：将2x＝y﹣3变形为2x﹣y＝﹣3，然后将2x﹣y＝﹣3整体代入代数式（2x﹣y）2﹣6（2x﹣y）+9可得结果．解：∵2x＝y﹣3，∴2x﹣y＝﹣3，∴（2x﹣y）2﹣6（2x﹣y）+9＝（﹣3）2﹣6×（﹣3）+9＝9+18+9＝36，故答案为：36．总结升华：本题主要考查了代数式求值，运用整体代入思想是解答此题的关键．8．（2021秋•丹江口市期中）化简：（1）2x+3y﹣（3x﹣y）；（2）12思路引领：（1）直接去括号，进而合并同类项得出答案；（2）直接去括号，进而合并同类项得出答案．解：（1）2x+3y﹣（3x﹣y）＝2x+3y﹣3x+y＝﹣x+4y；（2）1=3＝﹣a2b+2ab2．总结升华：此题主要考查了整式的加减，正确去括号、合并同类项是解题关键．9．先化简，再求值：（1）5（3a2b﹣ab2）﹣4（−112ab2+3a2b），其中a＝﹣2，（2）10a﹣[﹣2b+3（4a﹣b）]，其中a＝﹣1，b＝