专题03直线和圆的方程

专题03直线和圆的方程专题03直线和圆的方程一、直线的倾斜角、斜率1．直线的倾斜角①定义．当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴的正方向与直线l向上的方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.②范围：倾斜角的范围为．2．直线的斜率①定义．一条直线的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即，倾斜角是90°的直线没有斜率．当直线与x轴平行或重合时,,.②过两点的直线的斜率公式．经过两点的直线的斜率公式为.3.每一条直线都有唯一的倾斜角，但并不是每一条直线都存在斜率．倾斜角为90°的直线斜率不存在．、斜率k之间的大小变化关系：（1）当时，越大，斜率越大；（2）当时，越大，斜率越大.二、直线方程：直线经过点，且斜率为，则直线的方程为：.这个方程就叫做直线点斜式方程.特别地，直线过点，则直线的方程为：.这个方程叫做直线的斜截式方程.直线过两点其中，则直线的方程为：.这个方程叫做直线的两点式方程.当时，直线与轴垂直，所以直线方程为：；当时，直线与轴垂直，直线方程为：.特别地，若直线过两点，则直线的方程为：，这个方程叫做直线的截距式方程.关于的二元一次方程（A，B不同时为0）叫做直线的一般式方程.由一般式方程可得，B不为0时，斜率，截距.三、两条直线的平行与垂直1．两直线的平行关系(1)对于两条不重合的直线，其斜率为，有.(2)对于两条直线，有.2．两条直线的垂直关系(1)对于两条直线，其斜率为，有.(2)对于两条直线，有.四、两条直线的交点坐标1.两条直线相交：对于两条直线，若，则方程组有唯一解，两条直线就相交，方程组的解就是交点的坐标.2.两条直线，联立方程组，若方程组有无数组解，则重合．五、距离设两点，则.2.点到直线的距离公式设点，直线，则点到直线的距离.3.两平行线间的距离公式设两条平行直线，则这两条平行线之间的距离.六、对称问题：2．中心对称：点A、B关于点O对称，是中心对称，用中点坐标公式.3.轴对称：点A、B关于直线l对称，则l是线段AB的垂直平分线，可以利用垂直和平分分别列方程：和在直线l上.七、圆的标准方程1．圆的定义：在平面内，到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆．2．圆的标准方程(1)若圆的圆心为C(a,b),半径为r，则该圆的标准方程为：．(2)方程表示圆心为C(a,b),半径为r的圆．3.点与⊙C的位置关系(1)|AC|<r⇔点A在圆内⇔；(2)|AC|＝r⇔点A在圆上⇔；(3)|AC|>r⇔点A在圆外⇔.八、圆的一般方程(1)任意一个圆的方程都可化为：.这个方程就叫做圆的一般方程．(2)对方程：.①若，则方程表示以，为圆心,为半径的圆；②若，则方程只表示一个点，；③若，则方程不表示任何图形．九、直线与圆的位置关系1.直线与圆相切：（1）直线与圆相切：直线与圆有且只有一个公共点；（2）几何法：圆心到直线的距离等于半径，即；（3）代数法：，方程组有一组不同的解.（1）直线与圆相交：直线与圆有两个公共点；（2）几何法：圆心到直线的距离小于半径，即；（3）代数法：，方程组有两组不同的解.十、圆与圆的位置关系设两圆的圆心分别为、，圆心距为，半径分别为、().(1)两圆相离：无公共点；，方程组无解.(2)两圆外切：有一个公共点；，方程组有一组不同的解.(3)两圆相交：有两个公共点；，方程组有两组不同的解.(4)两圆内切：有一公共点；，方程组有一组不同的解.(5)两圆内含：无公共点；，方程组无解.特别地，时，为两个同心圆.题型一直线的倾斜角与斜率【典例1】（2023秋·云南昆明·高二校考阶段练习）已知点，，若过的直线与线段相交，则直线斜率k的取值范围为（

）A． B． C．或 D．【答案】D【分析】根据题意，求出直线，的斜率，结合图象可得答案.【详解】根据题意，，，，则，，结合图象可得直线的斜率k的取值范围是.故选：D.【典例2】（2002·北京·高考真题）若直线与直线的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出两直线的交点坐标，根据交点位于第一象限列式求出的范围，可得倾斜角的取值范围.【详解】当时，两直线平行，无交点，不合题意，故，由，得，则两直线的交点为，依题意得，解得，所以直线l的倾斜角的取值范围是.故选：B【总结提升】1.求直线的斜率与倾斜角.若已知两点的坐标，则直接利用斜率公式求斜率；若条件中给出一条直线，则求出直线上的两点的坐标，然后利用斜率公式求斜率.求直线的倾斜角，则先求出直线的斜率，再利用求倾斜角.2.k是含参数的一个式子，则利用函数或不等式的方法求其范围；若是给出图形求斜率与倾斜角的范围，则采用数开结合的方法求其范围．题型二：求直线方程【典例3】（2022秋·河南洛阳·高二宜阳县第一高级中学校考阶段练习）数学家默拉在1765年提出定理，三角形的外心,重心,垂心(外心是三角形三条边的垂直平分线的交点重心是三角形三条中线的交点,垂心是三角形三条高的交点)依次位于同一直线上,且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半,这条直线被后人称之为三角形的欧拉线,已知△ABC的顶点B(1,0),C(0,2),AB=AC,则△ABC的欧拉线方程为（）A．2x4y3=0 B．2x+4y+3=0C．4x2y3=0 D．2x+4y3=0【答案】D【分析】由题意计算出线段的垂直平分线【详解】,则中点坐标为,则BC的垂直平分线方程为,,即,，的外心，重心，垂心，都在线段BC的垂直平分线上的欧拉线方程为故选D【典例4】（2023秋·山东日照·高二山东省日照实验高级中学校考阶段练习）过点且在两坐标轴上截距相等的直线的方程为．【答案】或.【分析】分直线过原点和不过原点两种情况求直线方程.【详解】当直线过原点时，设直线，代入点，得，得，即；当直线不过原点时，设直线，代入点，得，得，即，化简得.综上可知，满足条件的直线方程为或.故答案为：或.【规律方法】求直线方程的注意事项(1)在求直线方程时，根据题目的条件选择适当的形式．(2)对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类与整合思想的运用(若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应先判断截距是否为零)．【易错提醒】涉及直线在两坐标轴上截距相等问题，要特别注意截距均为的情况；另外，某些涉及直线问题中，往往要讨论直线的斜率是否存在的情况，也应特别注意.题型三两条直线平行与垂直【典例5】（2009·全国·高考真题）若直线m被两平行线与所截得的线段的长为，则m的倾斜角可以是①15°，②30°，③45°，④60°，⑤75°.其中正确答案的序号是(写出所有正确答案的序号)．【答案】①⑤【分析】先求两平行线间的距离为，结合题意直线m被两平行线所截得的线段的长为得到直线m与两平行线的夹角为30°，再根据已知直线的倾斜角进行求解．【详解】因为，所以直线，间的距离．设直线m与直线，分别相交于点B，A，则，过点A作直线l垂直于直线，垂足为C，则，则在中，，所以，又直线的倾斜角为45°，所以直线m的倾斜角为或．故答案为：①⑤．【典例6】（2023秋·山东日照·高二山东省日照实验高级中学校考阶段练习）（1）如果直线l经过点，且直线l的法向量为，求直线l的方程；（2）已知直线与直线垂直，求的值．【答案】（1）；（2）【分析】（1）利用直线的法向量与斜率的关系再结合点斜式计算即可；（2）根据直线垂直的充要条件计算即可.【详解】（1）由直线l的法向量为可得直线的一个方向向量为，故直线的斜率为，由点斜式可知直线的方程为：；（2）因为两直线垂直，故有.【规律方法】1.解决两直线的位置关系问题要根据已知直线方程的形式灵活选用相应的条件，显然该题中直接利用一般式方程对应的条件更为简洁．另外利用直线的斜率和截距讨论时，不要忘记斜率不存在时的讨论．2.可将方程化成斜截式，利用斜率和截距进行分析；也可直接利用一般式套用两直线垂直与平行的条件求解．一般式方程化成斜截式方程时，要注意直线的斜率是否存在（即的系数是否为0）.题型四对称问题【典例7】（2004·浙江·高考真题）曲线关于直线对称的曲线方程是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】设曲线关于直线对称的曲线为，得到其对称点，代入计算化简，即可得到结果.【详解】设曲线关于直线对称的曲线为，在曲线上任取一点，则关于直线对称的点为因为在曲线上，所以，即故选:C.【典例8】（2020·山东·统考高考真题）直线关于点对称的直线方程是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】设对称的直线方程上的一点的坐标为,则其关于点对称的点的坐标为，代入已知直线即可求得结果.【详解】设对称的直线方程上的一点的坐标为，则其关于点对称的点的坐标为，因为点在直线上，所以即.故选：D.【典例9】（2023秋·四川南充·高三四川省南充高级中学校考阶段练习）已知双曲线的左右焦点点关于一条渐近线的对称点在另一条渐近线上，则双曲线C的离心率是（

）A． B． C．2 D．3【答案】C【分析】利用双曲线的渐近线方程及点关于线对称的特点，结合双曲线的离心率公式即可求解.【详解】双曲线的右焦点,设点关于一条渐近线的对称点为，由题意知，，解得.又知，解得，所以，即，所以双曲线C的离心率是故选：C.【典例10】（2023·河北·统考模拟预测）已知直线和两点，若直线上存在一点使得最小，则点的坐标为.【答案】【分析】利用对称转化，再根据图象，转化为三点共线求点的坐标.【详解】首先设点关于的对称点，则，解得：，即根据对称性可知，，当点三点共线时，等号成立，此时最小，即点是直线与的交点，，直线，联立，解得：，即此时故答案为：【典例11】（2023·全国·高三专题练习）M是抛物线上一点，N是圆C：关于直线x－y＋1＝0的对称圆上的一点，则的最小值是．【答案】【分析】由题意求出圆的对称圆的圆心坐标，求出对称圆的圆心坐标到抛物线上的点的距离的最小值，减去半径即可得到的最小值.【详解】假设圆心关于直线对称的点为，则有，解方程组可得，所以曲线的方程为，圆心为，设，则，又，所以，，即，所以，故答案为：.【规律方法】涉及对称问题，主要有以下几种情况：1．若点关于直线对称，设对称点是，则线段的中点在直线上且直线，由此可得一方程组，解这个方程组得：的值，从而求得对称点的坐标.2．若直线关于点对称，由于对称直线必与直线平行，故可设对称直线为.因为直线间的距离是点到直线的距离的二倍，则有，解这个方程可得的值（注意这里求出的有两个），再结合图形可求得对称直线的方程．3．若直线关于直线对称，则在直线上取两点，求出这两点关于直线对称的两点的坐标，再由两点式便可得直线关于直线对称的直线的方程．题型五光线的反射问题【典例12】（2023春·江西赣州·高三校联考阶段练习）已知圆，从圆心C射出的光线被直线反射后，反射光线恰好与圆C相切，则反射光线所在直线的斜率为（

）A．或 B．或 C．或 D．或【答案】C【分析】由题可得圆心关于直线的对称点为，设反射光线所在的直线斜率为k，然后利用直线与的圆的位置关系求解即可.【详解】圆，圆心为，设圆心关于直线的对称点为，则，解得，即，设反射光线所在的直线斜率为k，则反射光线所在的直线方程为，因为反射光线恰好与圆C相切，所以，整理得，解得或.故选：C．【典例13】（2022秋·山西·高二长治市上党区第一中学校校联考期中）一条沿直线传播的光线经过点和，然后被直线反射，则反射光线所在的直线方程为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】首先根据两点式求得入射光线的直线方程，求得入射光线和直线的交点，再根据反射光线经过入射点的对称点，结合点关于直线对称求得对称点，再利用两点式即可得解.【详解】入射光线所在的直线方程为，即，联立方程组解得即入射点的坐标为．设关于直线对称的点为，则解得，即．因为反射光线所在直线经过入射点和，所以反射光线所在直线的斜率为，所以反射光线所在的直线方程为，即．故选：D.【总结提升】反射光线经过入射点的对称点，归结为“对称问题”.题型六求圆的方程【典例14】（2020·山东高考真题）已知圆心为的圆与轴相切，则该圆的标准方程是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】圆的圆心为，半径为，得到圆方程.【详解】根据题意知圆心为，半径为，故圆方程为：.故选：B.【典例15】（2022·全国·统考高考真题）过四点中的三点的一个圆的方程为．【答案】或或或．【分析】方法一：设圆的方程为，根据所选点的坐标，得到方程组，解得即可；【详解】[方法一]：圆的一般方程依题意设圆的方程为，（1）若过，，，则，解得，所以圆的方程为，即；（2）若过，，，则，解得，所以圆的方程为，即；（3）若过，，，则，解得，所以圆的方程为，即；（4）若过，，，则，解得，所以圆的方程为，即；故答案为：或或或．[方法二]：【最优解】圆的标准方程（三点中的两条中垂线的交点为圆心）设（1）若圆过三点，圆心在直线，设圆心坐标为，则，所以圆的方程为；（2）若圆过三点，设圆心坐标为，则，所以圆的方程为；（3）若圆过三点，则线段的中垂线方程为，线段的中垂线方程为，联立得，所以圆的方程为；（4）若圆过三点，则线段的中垂线方程为，线段中垂线方程为，联立得，所以圆的方程为．故答案为：或或或．【整体点评】方法一；利用圆过三个点，设圆的一般方程，解三元一次方程组，思想简单，运算稍繁；方法二；利用圆的几何性质，先求出圆心再求半径，运算稍简洁，是该题的最优解．【总结提升】(1)要确定圆的标准方程需要两个条件(包含三个代数量)：圆的圆心坐标和圆的半径长；反之如果已知圆的标准方程也能直接得到圆的圆心坐标和半径；(2)求解圆的标准方程时，一般先求出圆心和半径，再写方程．题型七与圆相关的轨迹问题【典例16】（2023秋·浙江金华·高三阶段练习）已知圆的直径，点满足.记点的轨迹为，设与交于两点，则.【答案】【分析】首先建立坐标系，分别求圆和圆的方程，两圆相减后求直线的方程，再根据弦长公式求解弦长.【详解】以线段的中点为原点，以所在直线为轴，线段的中垂线为轴建立平面直角坐标系，则圆的方程为，，，设，由题意可知，，整理为，，则圆的方程为；两圆相减得直线的方程为，圆心到直线的距离，所以线段.故答案为：【典例17】（2023·全国·高二随堂练习）已知点A是圆上一动点，O为坐标原点，连接OA并延长到B，使．问：所有满足条件的点B组成的曲线是什么形状的？【答案】以为圆心，以4为半径的圆【分析】设，由题意A为OB的中点，得，结合点A在圆C上，代入即可求得点B的轨迹．【详解】由圆得，该圆的圆心坐标为，半径为2，如图，设，由题意A为OB的中点，得，∵点A是圆上一动点，∴，则整理得，即∴所有满足条件的点B组成的曲线是以为圆心，以4为半径的圆．【规律方法】求轨迹方程的常用方法：(1)直接法：能直接根据题目提供的条件列出方程．步骤如下：(2)代入法(也称相关点法)若动点P(x，y)跟随某条曲线(直线)C上的一个动点Q(x0，y0)的运动而运动，则找到所求动点与已知动点的关系，代入已知动点所在的方程．具体步骤如下：①设所求轨迹上任意一点P(x，y)，与点P相关的动点Q(x0，y0)；②根据条件列出x，y与x0、y0的关系式，求得x0、y0(即用x，y表示出来)；③将x0、y0代入已知曲线的方程，从而得到点D(x，y)满足的关系式即为所求的轨迹方程．(3)定义法：动点的运动轨迹符合圆的定义时，可利用定义写出动点的轨迹方程．题型八圆的切线问题【典例18】（2023·全国·统考高考真题）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（

）A．1 B． C． D．【答案】B【分析】方法一：根据切线的性质求切线长，结合倍角公式运算求解；方法二：根据切线的性质求切线长，结合余弦定理运算求解；方法三：根据切线结合点到直线的距离公式可得，利用韦达定理结合夹角公式运算求解.【详解】方法一：因为，即，可得圆心，半径，过点作圆C的切线，切点为，因为，则，可得，则，，即为钝角，所以；法二：圆的圆心，半径，过点作圆C的切线，切点为，连接，可得，则，因为且，则，即，解得，即为钝角，则，且为锐角，所以；方法三：圆的圆心，半径，若切线斜率不存在，则切线方程为，则圆心到切点的距离，不合题意；若切线斜率存在，设切线方程为，即，则，整理得，且设两切线斜率分别为，则，可得，所以，即，可得，则，且，则，解得.故选：B.【典例19】（2023秋·江西·高三校联考阶段练习）汉代初年成书的《淮南万毕术》记载：“取大镜高悬，置水盆于下，则见四邻矣”．这是中国古代入民利用平面镜反射原理的首个实例，体现了传统文化中的数学智慧．在平面直角坐标系中，一条光线从点射出，经轴反射后的光线所在的直线与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（

）A． B．或1 C．1 D．2【答案】C【分析】由对称性可知反射光线过且又在该圆上，即可得为切点，再由斜率乘积为即可求出答案.【详解】易知关于轴的对称点为，由平面镜反射原理，反射光线所在的直线过且与该圆相切，将圆化简后可得，所以圆心，易知在该圆上，所以即为切点，因此圆心与切点连线与反射光线垂直，设反射光线所在直线的斜率为，即，解得故选：C．【典例20】（2021·天津高考真题）若斜率为的直线与轴交于点，与圆相切于点，则____________．【答案】【分析】设直线的方程为，则点，利用直线与圆相切求出的值，求出，利用勾股定理可求得.【详解】设直线的方程为，则点，由于直线与圆相切，且圆心为，半径为，则，解得或，所以，因为，故.故答案为：.【规律方法】求过某一点的圆的切线方程，首先判定点与圆的位置关系，以确定切线的条数．(1)求过圆上一点P(x0，y0)的圆的切线方程：先求切点与圆连线的斜率k，则由垂直关系得切线斜率为－eq\f(1,k)，由点斜式方程可求得切线方程．如果k＝0或斜率不存在，则由图形可直接得切线方程为y＝y0或x＝x0．(2)求过圆外一点P(x0，y0)的圆的切线方程时，常用几何方法求解：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y－kx0＋y0＝0，由圆心到直线的距离等于半径，可求得k，进而求出切线方程．但要注意，若求出的k值只有一个时，则另一条切线的斜率一定不存在，切线方程为x＝x0．题型九圆的弦长、弦心距问题【典例21】（2020·全国高考真题（文））已知圆，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（）A．1 B．2C．3 D．4【答案】B【解析】圆化为，所以圆心坐标为，半径为，设，当过点的直线和直线垂直时，圆心到过点的直线的距离最大，所求的弦长最短，此时根据弦长公式得最小值为.故选：B.【典例22】（2020·全国·统考高考真题）若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题意可知圆心在第一象限，设圆心的坐标为，可得圆的半径为，写出圆的标准方程，利用点在圆上，求得实数的值，利用点到直线的距离公式可求出圆心到直线的距离.【详解】由于圆上的点在第一象限，若圆心不在第一象限，则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限，设圆心的坐标为，则圆的半径为，圆的标准方程为.由题意可得，可得，解得或，所以圆心的坐标为或，圆心到直线的距离均为；圆心到直线的距离均为圆心到直线的距离均为；所以，圆心到直线的距离为.故选：B.【规律方法】1.弦长的两种求法(1)代数方法：将直线和圆的方程联立方程组，消元后得到一个一元二次方程．在判别式Δ＞0的前提下，利用根与系数的关系，根据弦长公式求弦长．(2)几何方法：若弦心距为d，圆的半径长为r，则弦长l＝2eq\r(r2－d2).2.具体方法步骤：设直线l的方程为ax＋by＋c＝0，圆O的方程为(x－x0)2＋(y－y0)2＝r2，求弦长的方法通常有以下两种：(1)几何法：由圆的性质知，过圆心O作l的垂线，垂足C为线段AB的中点．如图所示，在Rt△OCB中，|BC|2＝r2－d2，则弦长|AB|＝2|BC|＝2eq\r(r2－d2)．(2)代数法：解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax＋by＋c＝0,x－x02＋y－y02＝r2))，消元后可得关于x1＋x2，x1·x2或y1＋y2，y1·y2的关系式，则|AB|＝eq\r(1＋k2[x1＋x22－4x1x2])＝eq\r(1＋\f(1,k2)[y1＋y22－4y1y2])题型十圆与圆的位置关系【典例23】（2020·全国·统考高考真题）已知⊙M：，直线：，为上的动点，过点作⊙M的切线，切点为，当最小时，直线的方程为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由题意可判断直线与圆相离，根据圆的知识可知，四点共圆，且，根据可知，当直线时，最小，求出以为直径的圆的方程，根据圆系的知识即可求出直线的方程．【详解】圆的方程可化为，点到直线的距离为，所以直线与圆相离．依圆的知识可知，四点四点共圆，且，所以，而，当直线时，，，此时最小．∴即，由解得，．所以以为直径的圆的方程为，即，两圆的方程相减可得：，即为直线的方程．故选：D.【典例24】（2022·全国·统考高考真题）写出与圆和都相切的一条直线的方程．【答案】或或【分析】先判断两圆位置关系，分情况讨论即可.【详解】[方法一]：显然直线的斜率不为0，不妨设直线方程为，于是，故①，于是或，再结合①解得或或，所以直线方程有三条，分别为，，填一条即可[方法二]：设圆的圆心，半径为，圆的圆心，半径，则，因此两圆外切，由图像可知，共有三条直线符合条件，显然符合题意；又由方程和相减可得方程，即为过两圆公共切点的切线方程，又易知两圆圆心所在直线OC的方程为，直线OC与直线的交点为，设过该点的直线为，则，解得，从而该切线的方程为填一条即可[方法三]：圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，两圆圆心距为，等于两圆半径之和，故两圆外切，如图，当切线为l时，因为，所以，设方程为O到l的距离，解得，所以l的方程为，当切线为m时，设直线方程为，其中，，由题意，解得，当切线为n时，易知切线方程为，故答案为：或或.【规律方法】常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差的绝对值的关系，一般不用代数法．2．两圆公共弦长的求法两圆公共弦长，先求出公共弦所在直线的方程，转化为直线与圆相交的弦长问题．比较两圆半径的和、差与两圆圆心距的大小可得两圆的位置关系；两圆方程相减即得公共弦方程；公共弦长要通过解直角三角形获得．题型十一直线、圆的位置关系的综合应用【典例25】（2023秋·江苏扬州·高二统考开学考试）一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为的圆形区域内，已知小岛中心位于轮船正西处，港口位于小岛中心正北处，如果轮船沿直线返港，不会有触礁危险，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】建立平面直角坐标系，写出轮船沿直线返港时直线的方程及暗礁分布的圆形区域的边界的方程，由轮船沿直线返港不会有触礁危险可得直线与相离，进而可求得结果.【详解】以小岛中心为原点O，东西方向为x轴，南北方向为y轴建立平面直角坐标系，则设轮船所在位置为点B，港口所在位置为点A，如图所示，则，（），暗礁分布的圆形区域的边界的方程为，所以轮船沿直线返港时直线的方程为，即，又因为轮船沿直线返港不会有触礁危险，所以直线与相离，即圆心O到直线的距离（），解得.故选：A.【典例26】（2023秋·江苏·高二校联考开学考试）已知圆C过，，且圆心C在x轴上．(1)求圆C的标准方程；(2)若直线过点，且被圆C截得的弦长为，求直线的方程；(3)过点C且不与x轴重合的直线与圆C相交于M，N，O为坐标原点，直线，分别与直线相交于P，Q，记，面积为，，求的最大值．【答案】(1)(2)或(3)【分析】（1）设圆的方程为，将，代入求得即可；（2）讨论直线斜率是否存在，当直线斜率存在时，设直线方程，根据圆的弦长公式求得直线方程；（3）设直线的方程分别为，求出的坐标，将表达为的函数，用基本不等式求最大值.【详解】（1）由圆心C在x轴上，设圆的方程为，又圆C过，得，解得，，所以圆的方程为；（2）因为直线与圆C截得的弦长为，所以圆心C到直线的距离为，①若直线斜率不存在时，直线与圆C交点为，直线与圆C截得的弦长为，故直线符合题意．②若直线斜率存在时，设，整理得，所以圆心C到直线的距离为，解得，则直线，即直线．综上所述，直线的方程为或．（3）由题意知，，设直线的斜率为，则直线的方程为，由，得，解得或，则点的坐标为，又直线的斜率为，同理可得：点的坐标为由题可知：，，故，又∵，同理，∴．当且仅当时等号成立．所以的最大值为．【典例27】（2023秋·云南昆明·高二云南师范大学实验中学校考阶段练习）过点的直线为为圆与轴正半轴的交点.(1)若直线与圆相切，求直线的方程：(2)证明：若直线与圆交于两点，直线的斜率之和为定值.【答案】(1)或(2)证明见解析【分析】（1）根据已知求出圆心、半径，设出直线方程，根据直线与圆相切列出方程求解，即可得出答案；（2）求出，设出直线方程，代入圆的方程，根据韦达定理得出.进而表示出直线的斜率，整理即可得出证明.【详解】（1）由已知可得，圆心，半径.当直线斜率不存在时，方程为，此时直线与圆不相切；当直线斜率存在时，设直线斜率为，则方程为，即.由直线与圆相切，可知圆心到直线的距离，整理可得，，解得或.所以，直线的方程为或.综上所述，直线的方程为或.（2）由题设得到点，当直线斜率不存在时，方程为，此时直线与圆的交点为，，则；当直线斜率存在时，设直线方程为，代入圆的方程可得.设点，则.所以，，则.综上所述，与的斜率之和为定值.故与的斜率之和为定值.【典例28】（2023秋·河北保定·高二河北省唐县第一中学校考阶段练习）某公园有一圆柱形建筑物，底面半径为2米，在其南面有一条东西走向的观景直道（图中用实线表示），建筑物的东西两侧有与直道平行的两段辅道（图中用虚线表示），观景直道与辅道距离5米．在建筑物底面中心O的北偏东45°方向米的点A处，有一台360°全景摄像头，其安装高度低于建筑物高度．请建立恰当的平面直角坐标系，并解决问题：(1)在西辅道上与建筑物底面中心O距离4米处的游客，是否在摄像头监控范围内？(2)求观景直道不在摄像头的监控范围内的长度．【答案】(1)游客在该摄像头的监控范围内【分析】（1）建立坐标系，利用直线和圆的位置关系可以判断；（2）根据直线和圆相切求出切线，利用切线和观景直道所在直线的交点可得范围.【详解】（1）设为原点，正东方向为轴，建立平面直角坐标系，，因为，，则，依题意得，游客所在位置为，则直线的方程为，所以圆心到直线的距离，所以直线与圆相离，所以游客在该摄像头的监控范围内．（2）由图知，过的直线与圆相切或相离时，摄像头监控不会被建筑物挡住，所以设直线过点且和圆相切，①若直线垂直于轴，则直线不会和圆相切；②若直线不垂直于轴，设，整理得，所以圆心到直线的距离为，解得或，所以或，即或，观景直道所在直线方程为，设两条直线与的交点为D，E，由，解得，由，解得，所以，答：观景直道不在该摄像头的监控范围内的长度为8.75米．【规律方法】直线与圆的位置关系常用处理方法：（1）直线与圆相切处理时要利用圆心与切点连线垂直，构建直角三角形，进而利用勾股定理可以建立等量关系；（2）直线与圆相交，利用垂径定理也可以构建直角三角形；（3）直线与圆相离时，当过圆心作直线垂线时长度最小．一、选择题：1．（2020·山东·统考高考真题）直线关于点对称的直线方程是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】设对称的直线方程上的一点的坐标为,则其关于点对称的点的坐标为，代入已知直线即可求得结果.【详解】设对称的直线方程上的一点的坐标为，则其关于点对称的点的坐标为，因为点在直线上，所以即.故选：D.2．（2020·全国·统考高考真题）点(0，﹣1)到直线距离的最大值为（

）A．1 B． C． D．2【答案】B【分析】首先根据直线方程判断出直线过定点，设，当直线与垂直时，点到直线距离最大，即可求得结果.【详解】由可知直线过定点，设，当直线与垂直时，点到直线距离最大，即为.故选：B.3.（2022·北京·统考高考真题）若直线是圆的一条对称轴，则（

）A． B． C．1 D．【答案】A【分析】若直线是圆的对称轴，则直线过圆心，将圆心代入直线计算求解．【详解】由题可知圆心为，因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，即，解得．故选：A．4.（2023·全国·统考高考真题）已知实数满足，则的最大值是（

）A． B．4 C． D．7【答案】C【分析】法一：令，利用判别式法即可；法二：通过整理得，利用三角换元法即可，法三：整理出圆的方程，设，利用圆心到直线的距离小于等于半径即可.【详解】法一：令，则，代入原式化简得，因为存在实数，则，即，化简得，解得，故的最大值是，法二：，整理得，令，，其中，则，，所以，则，即时，取得最大值，法三：由可得，设，则圆心到直线的距离，解得故选：C.5.（2014·四川·高考真题）设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的取值范围是A． B． C． D．【答案】B【详解】试题分析：易得.设，则消去得：，所以点P在以AB为直径的圆上，，所以，令，则.因为，所以.所以，.选B.法二、因为两直线的斜率互为负倒数，所以，点P的轨迹是以AB为直径的圆.以下同法一.二、多项选择题：6．（2022秋·安徽阜阳·高二安徽省太和中学校考竞赛）下列说法错误的是（

）A．直线的倾斜角的取值范围是B．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件C．若直线与直线相交，且交点的横坐标的范围为，则实数的取值范围是D．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为【答案】BD【分析】根据斜率为求得的范围可判断A；根据两直线垂直的等价条件和充分条件必要条件的定义可判断B；由两直线相交得出，因为，所以，解不等式可判断C；分为两种情况讨论，当在轴和轴上截距都为时；当过点且在轴和轴上截距相等不为时，求出直线方程可判断D.【详解】对于A：直线的倾斜角为，则，因为，所以，故选项A正确；对于B：当时，与直线斜率乘积等于，两直线互相垂直，所以充分性成立；若“直线与直线互相垂直”，则可得或，所以不一定有，故必要性不成立，所以“”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件，故选项B错误；对于C：因为直线与直线相交，所以两直线的斜率不相等，即，即，由与消去得，因为，所以，整理得且，解得或，故选项C正确；对于D：当过点且在轴和轴上截距都为时，所求直线方程为，当过点且在轴和轴上截距相等不为时，设所求直线方程为，即，可得，所求直线的方程为，综上，所求直线方程为或，故选项D错误.故选：BD.7.（2021·全国·统考高考真题）已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（

）A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切【答案】ABD【分析】转化点与圆、点与直线的位置关系为的大小关系，结合点到直线的距离及直线与圆的位置关系即可得解.【详解】圆心到直线l的距离