一轮复习数学新课改省份专用课时跟踪检测（四）基本不等式

课时跟踪检测(四)基本不等式一、题点全面练1．已知f(x)＝eq\f(x2－2x＋1,x)，则f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，3))上的最小值为()A.eq\f(1,2)B.eq\f(4,3)C．－1 D．0解析：选Df(x)＝eq\f(x2－2x＋1,x)＝x＋eq\f(1,x)－2≥2－2＝0，当且仅当x＝eq\f(1,x)，即x＝1时取等号．又1∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，3))，所以f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，3))上的最小值是0.2．(2018·哈尔滨二模)若2x＋2y＝1，则x＋y的取值范围是()A．[0,2] B．[－2,0]C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]解析：选D由1＝2x＋2y≥2eq\r(2x·2y)，变形为2x＋y≤eq\f(1,4)，即x＋y≤－2，当且仅当x＝y时取等号．则x＋y的取值范围是(－∞，－2]．3．若实数a，b满足eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)＝eq\r(ab)，则ab的最小值为()A.eq\r(2) B．2C．2eq\r(2) D．4解析：选C因为eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)＝eq\r(ab)，所以a>0，b>0，由eq\r(ab)＝eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)≥2eq\r(\f(1,a)·\f(2,b))＝2eq\r(\f(2,ab))，所以ab≥2eq\r(2)(当且仅当b＝2a时取等号)，所以ab的最小值为2eq\r(2).4．已知函数f(x)＝x＋eq\f(a,x)＋2的值域为(－∞，0]∪[4，＋∞)，则a的值是()A.eq\f(1,2) B.eq\f(3,2)C．1 D．2解析：选C由题意可得a>0，①当x>0时，f(x)＝x＋eq\f(a,x)＋2≥2eq\r(a)＋2，当且仅当x＝eq\r(a)时取等号；②当x<0时，f(x)＝x＋eq\f(a,x)＋2≤－2eq\r(a)＋2，当且仅当x＝－eq\r(a)时取等号，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－2\r(a)＝0，,2\r(a)＋2＝4，))解得a＝1，故选C.5．(2019·青岛模拟)已知x>0，y>0，(lg2)x＋(lg8)y＝lg2，则eq\f(1,x)＋eq\f(1,3y)的最小值是________．解析：因为(lg2)x＋(lg8)y＝lg2，所以x＋3y＝1，则eq\f(1,x)＋eq\f(1,3y)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(1,3y)))(x＋3y)＝2＋eq\f(3y,x)＋eq\f(x,3y)≥4，当且仅当eq\f(3y,x)＝eq\f(x,3y)，即x＝eq\f(1,2)，y＝eq\f(1,6)时取等号，故eq\f(1,x)＋eq\f(1,3y)的最小值为4.答案：46．规定：“⊗”表示一种运算，即a⊗b＝eq\r(ab)＋a＋b(a，b为正实数)．若1⊗k＝3，则k的值为________，此时函数f(x)＝eq\f(k⊗x,\r(x))的最小值为________．解析：由题意得1⊗k＝eq\r(k)＋1＋k＝3，即k＋eq\r(k)－2＝0，解得eq\r(k)＝1或eq\r(k)＝－2(舍去)，所以k＝1，故k的值为1.又f(x)＝eq\f(1⊗x,\r(x))＝eq\f(\r(x)＋x＋1,\r(x))＝1＋eq\r(x)＋eq\f(1,\r(x))≥1＋2＝3，当且仅当eq\r(x)＝eq\f(1,\r(x))，即x＝1时取等号，故函数f(x)的最小值为3.答案：137．(1)当x<eq\f(3,2)时，求函数y＝x＋eq\f(8,2x－3)的最大值；(2)设0<x<2，求函数y＝eq\r(x4－2x)的最大值．解：(1)y＝eq\f(1,2)(2x－3)＋eq\f(8,2x－3)＋eq\f(3,2)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3－2x,2)＋\f(8,3－2x)))＋eq\f(3,2).当x<eq\f(3,2)时，有3－2x>0，∴eq\f(3－2x,2)＋eq\f(8,3－2x)≥2eq\r(\f(3－2x,2)·\f(8,3－2x))＝4，当且仅当eq\f(3－2x,2)＝eq\f(8,3－2x)，即x＝－eq\f(1,2)时取等号．于是y≤－4＋eq\f(3,2)＝－eq\f(5,2)，故函数的最大值为－eq\f(5,2).(2)∵0<x<2，∴2－x>0，∴y＝eq\r(x4－2x)＝eq\r(2)·eq\r(x2－x)≤eq\r(2)·eq\f(x＋2－x,2)＝eq\r(2)，当且仅当x＝2－x，即x＝1时取等号，∴当x＝1时，函数y＝eq\r(x4－2x)的最大值为eq\r(2).二、专项培优练(一)易错专练——不丢怨枉分1，若a，b∈R，则下列恒成立的不等式是()A.eq\f(|a＋b|,2)≥eq\r(|ab|)B.eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2C.eq\f(a2＋b2,2)≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2 D．(a＋b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))≥4解析：选C由于a，b∈R，所以A、B、D项不能直接运用基本不等式考察，先考虑C项．∵eq\f(a2＋b2,2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2＝eq\f(2a2＋b2－a2＋2ab＋b2,4)＝eq\f(a2－2ab＋b2,4)＝eq\f(a－b2,4)≥0，∴eq\f(a2＋b2,2)≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2.2．函数y＝1－2x－eq\f(3,x)(x<0)的值域为________．解析：∵x<0，∴y＝1－2x－eq\f(3,x)＝1＋(－2x)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,x)))≥1＋2eq\r(－2x·\f(3,－x))＝1＋2eq\r(6)，当且仅当x＝－eq\f(\r(6),2)时取等号，故函数y＝1－2x－eq\f(3,x)(x<0)的值域为[1＋2eq\r(6)，＋∞)．答案：[1＋2eq\r(6)，＋∞)(二)素养专练——学会更学通3．[数学建模]高三学生在新的学期里，刚刚搬入新教室，随着楼层的升高，上下楼耗费的精力增多，因此不满意度升高，当教室在第n层楼时，上下楼造成的不满意度为n，但高处空气清新，嘈杂音较小，环境较为安静，因此随教室所在楼层升高，环境不满意度降低．设教室在第n层楼时，环境不满意度为eq\f(8,n)，则同学们认为最适宜的教室应在()A．2楼 B．3楼C．4楼 D．8楼解析：选B由题意知，同学们总的不满意度y＝n＋eq\f(8,n)≥2eq\r(n·\f(8,n))＝4eq\r(2)，当且仅当n＝eq\f(8,n)，即n＝2eq\r(2)≈3时，不满意度最小，所以同学们认为最适宜的教室应在3楼．4．[数学运算]已知x＞0，y＞0，且2x＋8y－xy＝0，求：(1)xy的最小值；(2)x＋y的最小值．解：(1)由2x＋8y－xy＝0，得eq\f(8,x)＋eq\f(2,y)＝1.又x＞0，y＞0，则1＝eq\f(8,x)＋eq\f(2,y)≥2eq\r(\f(8,x)·\f(2,y))＝eq\f(8,\r(xy))，得xy≥64，当且仅当eq\f(8,x)＝eq\f(2,y)，即x＝16且y＝4时，等号成立．所以xy的最小值为64.(2)由2x＋8y－xy＝0，得eq\f(8,x)＋eq\f(