函数的奇偶性-

学习目标1、奇偶性的定义2、奇偶性的作用情景引入问题1：利用初中所学过的知识，说说这是怎样的图形？情景引入问题2：请从对称的角度对下列函数进行分类.③OxyOxy①②

xy④

Oxy

Ox⑤yo复习引入问题3.

观察下面两个函数图象.自变量取一对相反数时,函数值是什么关系?即f(x)与f(-x)有什么关系?xyo1-12-22313-3f(x)=x2xyo1-12-22313-3f(x)=|x|(1)两图象都关于y

轴对称.(2)第一个函数f(x)=x2,f(1)=f(-1)=1,f(2)=f(-2)=4,f(3)=f(-3)=9,……第二个函数f(x)=|x|,f(1)=f(-1)=1,f(2)=f(-2)=2,f(3)=f(-3)=3,……f(-x)=

f(x).情景引入定义:如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数.

偶函数的图象关于y

轴对称.合作探究问题4.

观察下面两个函数图象.自变量取一对相反数时,函数值是什么关系?即f(x)与f(-x)有什么关系?(1)两图象都关于原点对称.(2)第一个函数f(x)=x,f(1)=1,f(-1)=-1,f(2)=2,…………xyo1-13-313-3f(x)=xxyo1-13-313-3f(-2)=-2,第二个函数f(1)=1,f(-1)=-1,f(-x)=-f(x).合作探究

定义:如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数.

奇函数的图象关于原点对称.数学建构

例1:

如图是函数y=f(x)的图象的一部分,根据下列条件,画出函数的另一部分.

(1)

函数是奇函数;(2)

函数是偶函数.xyO解:(1)奇函数的图象关于原点对称.xyO(2)偶函数的图象关于y

轴对称.xyO数学应用例2.

判断下列函数的奇偶性:

(1)

f(x)=x4;(2)

f(x)=x5;(3)

(4)解:(1)∵f(x)=x4,其定义域为R,f(-x)=(-x)4=x4=f(x),∴f(x)=x4是偶函数.(2)∵f(x)=x5,其定义域为R,f(-x)=(-x)5=-x5=-f(x),∴f(x)=x5是奇函数.则对任意x

都有则R

内任意x

都有(3)=-f(x),定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),是奇函数.(4)=f(x),定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),是偶函数.合作探究变.

判断下列函数的奇偶性:

解:(1)其定义域为[1,+∞)

,f(x)是非奇非偶函数.(2)定义域为{-1，1}既奇也偶函数.，

f(x)=0

结论:四种结果

奇函数

偶函数

既奇也偶

非奇非偶课堂达标例3.

若f(x)=(x+a)(x-4)为偶函数,则实数a=

.解:∵f(x)=(x+a)(x-4)为偶函数,则(-x+a)(-x-4)=(x+a)(x-4)解得a=4.4课堂达标总结:

(1)反比例函数一定是奇函数.(2)正比例函数一定是奇函数.(3)二次函数f(x)=ax2+bx+c为偶函数,则实数b=

.(4)一次函数f(x)=ax+b为奇函数，则实数b=

.00练.

若函数为奇函数,求a

的值.解:∵f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x),得(-2x+1)(-x-a)=(2x+1)(x-a),解得数学应用例4.

已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=

x(1+x).画出函数f(x)的图象,并求出函数的解析式.解:则

x<0的部份如图.f(x)=

x(1+x)=x2+x是二次函数,x≥0的部份如图.奇函数的图象关于原点对称,xyO解:∵f(x)是奇函数,当x>0时,f(x)=

x(1+x),当x<0时,

-x>0,则f(-x)=

-x(1-x),∴f(-x)=-f(x),则-f(x)=

-x(1-x),得f(x)=

x(1-x).即课堂小结练.

设f(x)是定义在R

上的奇函数,当x≤0时,f(x)=2x2-x,则f(1)等于()(A)-3(B)-1(C)1(D)3解:∵f(x)是R上的奇函数,∴f(1)=-f(-1)=-[2(-1)2-(-1)]=-3.A课堂达标练.已知y=f(x)+x2是奇函数,且f(1)=1,若g(x)=f(x)+2,则g(-1)=

.解:g(-1)=∵y=f(x)+x2是奇函数,∴f(-1)+(-1)2=-[f(1)+12]=-2,则f(-1)=-3,∴g(-1)=-3+2=-1.-1由

g(x)=f(x)+2得f(-1)+2,课堂达标例5.

已知f(x)是定义在R

上的奇函数,且在[1,+∞)上是增函数,则下列结论中:①f(x)在(-∞,1]上是增函数;②f(x)在(-∞,-1]上是增函数;③f(x)在(-∞,0)上是增函数;④f(0)=0.其中一定成立的有

.分析:f(x)在[1,+∞)上是增函数,如图:xyO1又是在R

上的奇函数,图象关于原点对称,如图:①不一定,如图:②肯定对.③不对.④是对的.②④课堂达标

练.

已知函数y=f(x)是R上的偶函数,在[0,+∞)上是减函数,且f(0)=0,则函数f(x)有最

值是

.解:图象法,函数在[0,+∞)上是减函数,其f(0)=0,如图:xyO1又在R

上是偶函数,图象关于y

轴对称,如图:由图可知函数有最大值0.大0课堂小结例6.

已知奇函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,则满足的x

的取值范围是()(A)(B)(C)(D)xyO函数f(x)的图象如图:解:函数在(-∞,+∞)上是增函数解得A课堂小结变.

已知偶函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,则满足的x

的取值范围是()(A)(B)(C)(D)xyO函数f(x)的图象如图:解:函数在[0,+∞)上是增函数得2x-1≥0,解得函数在(-∞,0]上是减函数得2x-1≤0,∴x

的范围为A

解得课堂达标