天一大联考顶尖联盟2024届高三阶段性测试(二)（新教材版）数学试题及参考答案

数学

考生注意：

L答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘

贴在答题卡上的指定位置.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上・写

在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.已知复数z满足z(l-i)=3+5i,则z的共巳复数2=

A.4+4iB.4-4iC.-1+4iD.-1-4i

2.已知集合A=|%eN*11log2x<3|,B=或％25}，贝!J4A(CR5)=

A.[1,2,3}B.|2,3}C.12,3,41D.12,3,4,5(

7

3.已知向量a=(3,-4),5=(-若a-5在“方向上的投影向量为亍明则实数机的

值为

A17

A-5B.1C.—D.2

4.已知函数f(x)='72一7为偶函数，则a=

(X+2%)(%+Q)

A.-2B.-1C.0D.2

5.斐波那契数列，又称黄金分割数列，指的是这样一个数列：1」,2,3,5,8,这个数列从第3

项开始，每一项都等于前两项之和.小李以前6项数字的某种排列作为他的银行卡密码，如

果数字1与2不相邻，则小李可以设置的不同的密码个数为

A.144B.120C.108D.96

6.函数/(*)=log-的单调递增区间为

2X

A.(0,1)B.C.伶,+8)D.

数学试题第1页(共4页)

7.已知椭圆E：［+W=l（a>b>。）的左焦点为R离心率为J，直线工=加（-a<m<a）^E

abz

交于4,B两点，^ABF周长的最大值为8,则E的方程为

A-7+y2=1B-T+^=1C-^+4=1D-^+12=1

8.已知0<a<l,若函数/（x）=a1na-e尤有两个不同的零点，则a的取值范围是

氐（吟）R（P1）仁（。/。.隹,：）

二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符

合题目要求,全部选对的得5分，部分选对的得2分,有选错的得0分.

9.设数列9/，电｝满足册=f（几）,/（“）=兀,则下列函数/（X）使得列"｝,I”｝有相等的项

的是

A./（x）=2x+lB.f（x）C./（x）=2XD/(x)=(y)

X+1

10.已知函数/（%）=sin^2x+yj|-sin^2x-yj|,则

A./（x）的最小正周期为eBJ（x）为奇函数

CJ（%）在区间（J周上单调递增口工=竽（心2）是/（工）的零点

11.陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，如图所示，某陀螺可以视为由圆锥SO和圆柱。。1

组合而成的几何体，点在圆锥SO的底面圆周上，且△SMN的面积为厅,sin乙MSN=

圆锥S。的侧面积为44e圆柱。。1的母线长为3,则

A.SM与圆锥底面所成的角为45°

B.该几何体的体积是空

C.点。1到△SMN所在平面的距离为平

D.该几何体可以被整体放入半径为3的球形容器（容

器壁厚度忽略不计）中

12.某种疾病的患病率为5%,通过验血诊断该病的误诊率（将未患病者判定为阳性的概率）

为10%，漏诊率（将患病者判定为阴性的概率）为20%，每人的诊断结果互不影响，则下列

说法正确的是

A.任选1人进行验血，诊断结果为阳性的概率为15%

B.任选1人进行验血，诊断结果正确的概率为89.5%

C.对2名未患病者和1名患病者进行验血,诊断结果均正确的概率大于65%

D.若某人验血的诊断结果是阳性，则该人患病的概率为看

数学试题第2页（共4页）

三、填空题:本题共4小题,每小题5分，共20分.

13.已知圆C：x2+/-4x-2y=m+l不经过第三象限,则实数m的最大值为.

14.已知。为坐标原点，过抛物线C.y2=6x的焦点F的直线与C交于A,B两点，其中/!在第

一象限，加=2方,若14/1=I4MI,则1481=.

15.在正四棱柱4BC0-4禺G"中,/18=2,佃=4,平面。与棱明，叫，田，0,分别交

于点尸洪中E,5分别是3名，0,的中点，且4clME,则4也=•

16.已知xe(0,用,ye(-5■，用，若tan(x+y)+tan(x-y)=4sin2x,则cosxcosy的最小值

为.

四、解答题:共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(10分)

随着寒冷冬季的到来，羽绒服进入了销售旺季，某调查机构随机调查了400人，询问他们

选购羽绒服时更关注保暖性能还是更关注款式设计，得到以下的2x2列联表：

更关注保暖性能更关注款式设计合计

女性16080240

男性12040160

合计280120400

(I)根据小概率值a=0.05的独立性检验，能否认为男性和女性在选购羽绒服时的关注

点有差异？

(H)若从这400人中按男女比例用分层随机抽样的方法抽取5人进行采访,再从这5人

中任选2人赠送羽绒服，记X为抽取的2人中女生的人数，求X的分布列和数学

期望.

幅.2_________n(ad-bc)2_______

(a+b)(c+d)(a+c)(6+</).

a0.100.050.010

Xa2.7063.8416.635

18.(12分)

如图，矩形ABCF与梯形FCDE所在的平面垂直,OE〃C尸,EFJ.尸=EF=DE=1,

48=2,P为45的中点.

(I)求证坪面EP/U平面OPC；k——去

(D)求平面BCD与平面DPC夹角的余弦值./寺/W

APB

数学试题第3页(共4页)

19.（12分）

在一列I。」中，巳知册=2a“_i-2n+4（心2）吗=4.

（1）求I。」的通项公式；

（口）求数歹八2",4-4"|的前〃项和.

20.（12分）

记△4BC的内角4,8,C的对边分别为a,b,c,分别以a,6,c为边长的正三角形的面积依次

为5,55,且S,-S2-S3=~^-bc.

（I）求角A;

（口）若6=",D为线段BC延长线上一点，且4&1。=为即=4CD,求的BC边上

O

的高.

21.（12分）

22

已知双曲线。：3-匕=1（。>0,6>0）实轴的左、右端点分别为4,42，点2（2,1）在。上,

ab

且出1，弘2的斜率之积为今.

（I）求C的方程；

（n）已知直线，与C交于M,N两点（均与P不重合），与直线X=2交于点Q,且点M,N

在直线x=2的两侧，若IMP­\NQ\=\MQ\•INPI,线段M/V的中点为R,证明:点

R在一条定直线上.

22.（12分）

已知函数/U）=xex.

（I）若存在唯一的负整数%,使得/（%）<血与-1）,求m的取值范围；

（II）若a>0,当xe（-1,+8）时，虫工）+3Nln/山，求a的取值范围.

O

数学试题第4页（共4页）

数学•答案

一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.

1.D2.C3.B4.A5.A6.D

7.B8.B

二、多项选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分.每小题全部选对的得5分,部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.AC10.BCD11.ABD12.BD

三、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分.

25

13.-114.早

4

15.316.二

2

四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

朝用用由2400x（160x40-80x120）22002［八”八、

17.解析（I）因为*=240x160x280x120=63=*75,（2分）

因为3.175<3.841,所以不能认为男性和女性在选购羽绒服时的关注点有差异...................（4分）

（U）选出的男性人数为5x提=2,选出的女性人数为5';1=3,...........................................................（5分）

由题意可得X的所有可能取值为0,1,2,..........................................................................................................（6分）

P（X=0）=!|=A.P（X=1）=室L*,P（X=2）=旨=磊,.................................（8分）

故X的分布列为

X012

133

P

10V10

.......................................................................................................................................................................................（9分）

所以X的数学期望E（X）=0x春+1x1~+2x哈=多.....................................（10分）

18.解析（I）因为EF_LFC,平面EFCO_L平面4BCF,

所以EFJ_平面48CF,......................................................................................................................................（1分）

又因为PCU平面48CF,所以EF_LPC...............................................................................................................（2分）

在矩形ABCF中=1,42=2,P为AB的中点,

所以FP=CP=乃,尸C=2,根据勾股定理可得9P_LPC.................................................................................（3分）

因为=F，所以PC_L平面EPF,..............................................................................................................（4分）

所以平面EPF_L平面DPC.....................................................................................................................................（5分）

（U）以F为坐标原点,RI,FC,FE所在直线分别为%y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系，

—1—

则0（0,1,1）,。（0,2,0）,5（1,2,0）/（1,1,0）........................................................................................（6分）

所以比二（0,1,-1）,凉二（1,0，-1）,晶二（1,1，-1）............................................................................（7分）

rn,DC=0,ry-2=0,

设平面DPC的法向量为n二（%,y,z），由一得

[n.DP=0,[x-z=0,

令y=l,则"=（1,1,1）................................................................................................................................（9分）

同理可得平面BC0的一个法向量为相=（0,1,1）....................................................................................（10分）

设平面BCD与平面DPC的夹角为仇

故3。=詈普==，=9,即平面85与平面。尸。夹角的余弦值为*................（12分）

l»»lIni百x"33

19.解析（I）因为册=2%--2n+4（g2）,

所以册-2"=2[册_]-2（〃-1）]（心2）..............................................................................................（2分）

所以｛%-2.是首项为2,公比为2的等比数列............................................（4分）

所以%一2屋二2",即=2"+2必.........................................................（6分）

（D）由（I）知2"・4-・2"i............................................................................................................（7分）

设前几项和为T,,

则7；=1x2?+2x23+3x2,+…+〃x2"+i,

2T„=1x23+2x24+3x25+•••+nx2n+2,...............................................................................................（9分）

两式相减可得

234n+l+22（,lt2n+2+2

-Tn=2+2+2+••■+2-nx2"='-zix2=2'”-4-nx2=（1-n）2"-4,

1—2

所以7；二（八—1）2^2+4............................................................................................................................（12分）

20.解析（I）由题意得51=^a,S2二纾§=①，.....................................（1分）

贝I]Si-52-S3=fa2-4H-号/二,庆，所以a-b2-c2=be,.............................（2分）

由余弦定理可得cos4="-浸二-；,...............................................（3分）

又0<4<叮,所以4二言................................................................（4分）

（D）设乙=a（a为锐角），在△4BO和a4⑵中,

BDADCD4。

由正弦定理可得（6分）

sin（TT-a）

sin-

o

CD•sina

（7分）

sin-7Tr

o

—2—

又3O=4CO,sin"二sin多,

66

sina

所以

1.

—sina

化简得cosa=^-sina......................................................................（9分）

根据同角三角函数基本关系，解得sina=苧，...........................................（10分）

故△4BC的8c边上的高为4Csina=Qx罕=2...........................................（12分）

21.解析(I)由题意知4(-a,0)H(a,0),

所以即4,^PA=T~~*—=/12=;，解得a二衣,

2(2分)

1/z,+az.—a4—a2

41

又丁一方~=1,所以6=1,

ab

所以C的方程为［-r=1..................................................................（4分）

（H）因为IMPI-\NQ\=\MQ\TNP，所以端■=岗，

又因为点M,N在直线x=2的两侧，所以直线PQ：v=2是NMRV的平分线，

所以如+%=0..........................................................................（5分）

由题，显然直线I的斜率存在且斜率不是土,，设/：y=瓶+m.（与±¥）,吗，力），N（X2,%）,

联立双曲线方程可得（2必-1）£+4kmx+2m2+2=0,

4km2m2+2

故％]+x=

2*二?％物二/二F(6分)

kV.-1y?-1kx.4-771-1k%0+TH-1=0

»p+%=丁4++¥r_2+；_2'(8分)

*V1J42J入1J-Az?J

-

化简得2dx2+(Tn-1-2k)(%i+%2)4(m—1)=0,

故2?*2)+(吁一川-^7)-4(»-1)=0,

2K-1\Z/C-1/

即（4+1）（机+24-1）=0,而直线/不过。点,故人二-1.（10分）

所以线段MN的中点R的坐标为（"这，”匹卜（2m,-机），

所以点R恒在直线＞二一冷％上........................................................（12分）

22.解析（I）尸（%）=（%+1）/,...............................................................（1分）

可得了（%）在（-8,-1）上单调递减，在（-1,+8）上单调递增..............................（2分）

令力（％）=m（%-1）,作出了（%）与九（％）的大致图象如图所示,

—3—

因为存在唯一的负整数X。，使得了（X。）＜Mx。），则殉=-I,

"-1)<乂_1),即与6<;

故

次-2)三M-2),3e-2e

故？n的取值范围为[奈...........................................................(4分)

(H)根据题意,4(彳)+3NlnRW对xe(-1,+8)恒成立，

O

等价于Q%e*-]n(%+1)N21na-3In2—3对%w(-1,+oo)恒成立..............................(5分)

令/(%)=axex-In(%+1),x>-1，贝！j有F'(%)=a(xex+ex)--