2024年高考数学复习：6类解三角形公式定理解题技巧

题型136类解三角形公式定理解题技巧

(海伦、射影、角平分线、张角、倍角、恒等式)

我汉海伦公式的应用及解题技巧

技泣02射影定理的应阳及解1B技巧

技注。3角平分线定理的龙用及就麴技巧

ua.(M张#|定用的应用及解题检巧

技法。5信仰定理的应用及解网技巧

技法0610类忻号式的应用及新燃技巧

技法01海伦公式的应用及解题技巧

•常见题型解读

海伦•奉九10公式能塘*决已知三边的三角形的面职求解,是群三角形中必不可少的解题利

界.也会作为胭在岛号及模考中出现，福加以练习.

知识迁移海伦-秦九韶公式

三角形的三边分别是。、b、c,则三角形的面积为S=Jp(p-a)(p-b)(p-c)

其中p=£!|土£,这个公式就是海伦公式，为古希腊的几何学家海伦所发现并证明。

我国南宋的秦九韶也曾提出利用三角形三边求三角形面积的秦九韶公式：

02

跟我学•解题思维剖析

例1.

(2022・浙江•统考高考真题)

我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三

斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白.如果把这个方法写成公式，就是

S=j：,其中①6,c是三角形的三边，S是三角形的面积.设

某三角形的三边。=也，b=6，c=2,则该三角形的面积S=_.

试卷第1页，共10页

技巧点拨o

【详解】因为5=，所以S=j；4x2［土苧.故

答案为:学

力鲁•知识迁移强化

（2022•全国•校联考模拟预测）

1.在古希腊数学家海伦的著作《测地术》中记载了著名的海伦公式，利用三角形的三

边长求三角形的面积.若三角形的三边分别为a,b,c,则其面积

S,这里P=a+，c.已知在“3C中，内角/,B,C所对

的边分别为a,b,c,。=6,6+c=10,则AJBC的面积最大值为（）.

A.66B.8啦C.10D.12

（2023上•河北石家庄•高三校考阶段练习）

2.海伦公式是利用三角形的三条边的边长a,b,c直接求三角形面积S的公式，表达

式为：S^^p（p-a）（p-b）（p-c）（其中。=”产）；它的特点是形式漂亮，便于记

忆.中国宋代的数学家秦九韶在1247年独立提出了“三斜求积术”，但它与海伦公式完

全等价，因此海伦公式又译作海伦-秦九韶公式.现在有周长为10+26的“8C满足

sin/:sin8:sinC=2:3:"，则用以上给出的公式求得“3C的面积为（）

A.877B.4近C.673D.12

（2023•海南•校联考模拟预测）

3.古希腊的数学家海伦在他的著作《测地术》中最早记录了“海伦公式”：

S=Np（p_a）（p_b）（p_c）,其中°=a+：+c,a,b,c分别为“BC的三个内角N,

B,C所对的边，该公式具有轮换对称的特点.已知在^ABC中，sin/:sinB:sinC=8:7:3,

且的面积为126，则（）

A.角4,B,C构成等差数列B.“BC的周长为36

C.”3C的内切圆面积为gD.8C边上的中线长度为伍

技法02射影定理的应用及解题技巧

试卷第2页，共10页

识高考•常见题型解读

三角形中随或笥许多性随.比如：角形3也定理就修幡住*:角形中口化计才过程，但是白

号试中就祚豆不能lilt使用，品鎏推V.不少岛学IftiB用射影定胛可以快速化商的出答案.

在一些小也中.应用三角形射骷定理度幡快速用到管案.雷强化练习

知识迁移射影定理。=bcosC+ccosB,b=acosC+ccosA,c=acosB+bcosA

02

跟我学•解题思维剖析

例2.

（全国・高考真题）

A4BC的内角4B,C的对边分别为a,b,c,若26cosH=acosC+ccosZ,则8=

技巧点拨

在△45C中，acosC+ccosA=b,；・条件等式变为26cos5=6,cosB=y.

一71

又0<5〈兀，:・B=一.

3

摩荣证•知识迁移强化

（2023・上海浦东新•统考二模）

4.在△4BC中，角/、B、C的对边分别记为a、b、c,若5acos/=6cosC+ccosB,

贝ljsin2N=

（全国•高考真题）

5.28C的内角/,B,C的对边分别为a,b,c.已知2cosc（acosB+6cos/）=c.

（）求角；（）若°=近，S=—,求的周长.

1C2ZM\/1B£>OC2A1BC

（2023•全国•统考高考真题）

6.记》8C的内角4瓦。的对边分别为仇c,已知一+「』=2.

cosA

⑴求加；

acosB-bcosAb,…八—巾

⑵若————；—一=1,求”面积.

acosB+bcosAc

（上海虹口•高三上外附中校考期中）

Q43

7.在MBC中，tzcos2——Fccos2—=—b,贝!J（）

222

试卷第3页，共10页

A.a,b,c依次成等差数列

B.b,a,c依次成等差数列

C.a,c,b依次成等差数列

D.a,b,c既成等差数列，也成等比数列

（2023•全国•高三专题练习）

8.在中，三个内角A、B、C所对的边分别为a、6、c,若"8C的面积S./BC=2C，

acosB+bcosA„

a+b=6,----------------------------------二2cosC,则。=

c

技法03角平分线定理的应用及解题技巧

用高年•常见题型解读

仔U三角形中.应用他平分线定理及乂变形公式能做到快速求解及K杪解,也艮高考命题的

岛顿考点.需K点学习.

知识迁移

角平分线定理

ARAT

(1)在A48c中，为/历1C的角平分线，则有二=次

DL）CJL9

.ABAC

2/JXCXCOS—

(2)AD=---------------2_

b+c

(3)AD2=ABxAC-BDxCD(库斯顿定理)

(4)——AB=S"ABD

ACSArn

02

跟我学•解题思维剖析

例3.

（2023・全国•统考高考真题）

在“BC中，NA4c=60。，AB=2,3C=«,/A4c的角平分线交8C于D,则/D=_.

试卷第4页，共10页

技巧点拨o

由余弦定理可得，22+Z>2-2x2xftxcos600=6,因为6>0,解得：6=1+百，

NBAC

则xc°s”一计算即可，故答案为：2.

b+c

摩荣证•知识迁移强化

（2023・全国•高三专题练习）

9.△NBC中，边6C内上有一点。，证明：是2/的角平分线的充要条件是

ABBD

AC~DC

（2023春•宁夏银川•高三校考阶段练习）

10.在“3C中，角/的角平分线交8c于点。，且/8=4,/C=2,则N万等于（

1―►2—►5—►2—►

A.-AC+-ABB.-AB——AC

3333

2—.1—.2——►1——►

C.-AC——ABD.-AC+-AB

3333

（2023春・湖北・高一赤壁一中校联考阶段练习）

11.在“3C中，内角N,B,C所对的边分别是a,b,C,若4=至，。=7,6=3,

则角A的角平分线AD=.

（2023春・安徽滁州•高一统考期末）

12.在康8。中，角/,B,C所对的边分别为a,b,c.已知

asm^-isinS-csinC-Z>sinC=O.

（1）求角A的大小；

（2）若/3=5,AC=3,4D是△/2C的角平分线，求的长.

技法04张角定理的应用及解题技巧

•常见题型解读

试卷第5页，共10页

在解二曲形中.应用张用定理健做制快速求薪及共杪*.也是晶号命局的高喊号点，需4（点

知识迁移

张角定理嗤+尧=任好

02

跟我学•解题思维剖析

例4-1.

（内蒙古呼和浩特•统考一模）

如图，已知4D是A43c中NA4c的角平分线，交BC边于点D.

ABBD

（1）用正弦定理证明:

ACDC

(2)若N8/C=120。，AB=2,AC=1,求的长.

技巧点拨

先用面积之和来证明张角定理，然后直接由张角定理求得AD的长为■1.

例4-2.

在AABC中，角48、C所对的边分别为服从c,已知点。在3C边

±,AD±^GsinABAC,AB=yp2AD=3,则

3

技巧点拨

解：如图

试卷第6页，共10页

BD

■：sinZBAC=2拒

3

sinNBACsinABADsinADAC

-------------=--------------+--------------

2拒

即丁

AC

2V2-cosZBAC1

~9~~AC+372

2V2__J1

~9~~^4C+yj2

:.AC=36

CD=yjAD2+AC2=3^/3

你来练•知识迁移强化

13.在^ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知

b=2,c=4,Z8/C=120。，ABAC的角平分线交边BC于点Z）,Hi]\AD\=

14.在“BC中，角4B、。所对的边分别为a、b、c,4D是的角平分线，若

/A4C=§,[4D|=2G,则26+c的最小值为.

（2023上•河南信阳•高二河南宋基信阳实验中学校考期末）

15.春8。中，角/,3,C所对的边分别为a,6,c,NABC=120。，BD工BC交AC于点、D,

且2。=1,2a+c的最小值为（）

D.8也

技法05倍角定理的应用及解题技巧

识高考•常见题型解读

试卷第7页，共10页

在*三肺形中.应用信知定理能做到快速求解及林杪川.也凡商写命目的小叁号点,篱*点

学习.

知识迁移

倍角定理

在。8c中，三个内角4B、C的对边分别为。、b、c,

(1)如果/=28,贝!］有:a2=6。+be,

(2)如果C=2/,则有:c'Y+aZ),

(3)如果3=2C,则有E=c2+ac

倍角定理的逆运用

在AABC中，三个内角/、B、C的对边分别为a、b、c,

(1)如果/=/+%,则有:N=22,

(2)如果,2=/+",则有:C=24,

(3)如果〃=c2+ac,则有:3=2C。

02

跟我学•解题思维剖析

例5.在dBC中，角4CB、C所对的边分别为a、b、c,若8=24,

a=1,6=®,贝!Ic-

解题

技巧点拨o

•••B=2A,由倍角定理得：/=/+℃即(百)=1+1XC

:.c=2

喘然福•知识迁移强化

16.在“3C中，内角/,B,C所对的边分别是a,b,c,已知86=5c,C=2B,则

cosC-.

17.在AABC中，角A、B、C所对的边分别为。、b、c,若4=28,则反+(竺］的

bya)

最小值为

试卷第8页，共10页

18.AABC中，角4B、C所对的边分别为服b、c,若/-/=bc，且sinN=Gsin8,

则角/=

(2023•重庆・统考模拟预测)

19.在锐角△N3C中，角/,B,C所对的边分别是a,b,c,满足/=c(c+a).

(1)证明：B=2C；

(2)求二"———+3sin5的取值范围.

tanCtanB

技法0610类恒等式的应用及解题技巧

喟3•常见题型解读

在孵三角形中，应用忸等式能做到快速求*及靛秒解.也是高考命心的聿要考点.福，点学，

知识迁移

三角恒等式

在AABC中，

(1)sinA+sin5+sinC=4cos^-cos^-cos^-；

.A.B.C

(2)cosA+cosB+cosC=l+4sinysin—sin—；

③sin2A+sin2B+sin2C=2+2cos4cos5cosC;

(4)cos2A+cos2B+cos2C=l-2cos^4cosficosC;

.2.2B.?C.A.B.C

(5)sin——I-sin——i-sin—1=l-2sin-sin—sin一•

222222

4A2B2c>A.B.C

(6)co2s—Fcos—Fcos——2+2sm—sin—sin—•

222222

⑦tan4+tanB+tanC=tanA•tanB-tanC；

(8)cotA-cotB+cotA-cotC+cotB-cotC=1；

ABCABC

(9)cot—+cot—■I-cot——=cot—cot—cot——：

222222

cABBCCA

(10)tan-tan——btan-tan——btan-tan一=A1。

222222

02

例6.

(2023,全国,高三专题练习)

在锐角“3C中，角4B,。所对的边分别为。，b,c,若

试卷第9页，共10页

tarU+tan5+tanC=>/3tan5tanC，A=

技巧点拨o

tarU+tan5+tanC=tan^tanStanC,可得tai》=JL所以/J.

喘普福•知识迁移强化

20.在"BC中，tanA:tan5:tanC=1:2:3,求-=______________.

AC

（河南•高一竞赛）

ABC

21.在A4BC中，设工=以）5%+cos5+cosC,y=sin—+sin—+sin—^!jx、》的大小

222

关系是（）.

A.x=VB.

c.xKyD.不能确定

（全国•高三竞赛）

ABC

22.在A4BC中，M-sin^4+sinB+sinC,N=cos—+cos—+cos—.则"、N的大

222

小关系是（）.

A.M=NB.M<N

C.M>ND.无法确定

试卷第10页，共10页

参考答案:

1.D

【分析】根据给定信息列出关于b的函数关系，再借助二次函数计算作答.

【详解】依题意，p="<c=3,则

S=；8x2x(8叫(6-2)=4，-1+106-16=4^-(&-5)2+9，

所以6=5,Smax=12,

所以A48C的面积最大值是12.

故选：D

2.C

【分析】

由正弦定理得三角形三边之比，由周长求出三边，代入公式即可.

【详解】

：siik4:sinB:sinC=2:3:a:b:c-2:3:y/1>

：“BC周长为10+2』,即a+b+c=10+2近,

4+6+2

:.a=4,b=6,c=2近，：.p=^=5+77,

2

AABC的面积S=^(5+V7)(l+V7)(V7-1)(5-77)=6/3.

故选：C.

3.ACD

【分析】

利用正弦定理和余弦定理可知B=],满足/+。=会=28,即A正确；根据海伦公式可得

a=8亚,所以周长为18直，故B错误；由等面积法可知内切圆的半径厂=半，可知C

正确，由利用余弦定理可得BC边上的中线长度为而，即D正确.

【详解】

对于A,由正弦定理可知a:6:c=8:7:3,

设〃=8左，b=lk,c=3k(k>0),

82+32-72_1_

由余弦定理可得cosB="一

2ac2x8x32

答案第1页，共12页

所以8=],A+C=y=2B,故角N,B,C构成等差数列，故A正确；

对于B,根据海伦公式得P=9左，S=gkxkx2kx6k=6品枢,得左=也,

所以a=8V^，b=7A/2>c=3也,所以28c的周长为18V^,故B错误；

对于C,设ABC内切圆的半径为r,则、18万=126，得厂=地，

23

所以的内切圆面积为兀r=g,故C正确；

对于D,设3c的中点为。，则8。=4收，

在八ABD中，AD=^BD2+AB2-2ABxBD-cos60°=726，故D正确.

故选：ACD

4.巫

25

【分析】

由正弦定理得到cos/=；,求出正弦，利用二倍角公式求出答案.

【详解】5acosA=bcosC+ccosB,由正弦定理得

5sinAcos/=sin8cosC+sinCcosB=sin(3+C)=sin/,

因为力£(0,兀)，所以sin/wO,故cos/=1,

由于440,兀)，故sin/=Jl—cos?/

则sin24=2sinAcosA=2x—x.

5525

故答案为：巫

25

5.(1)C=y(2)5+V7

【详解】试题分析：⑴根据正弦定理把2cosc(QCOSB+6COS/)=C化成

2cosC(sin4cosB+sinBcos4)=sinC,利用和角公式可得cosC=士从而求得角C；(2)根据

2

三角形的面积和角C的值求得ab=6,由余弦定理求得边。得到AABC的周长.

试题解析：(1)由已知可得2cosc(sinZcos5+sin5cos/)=sinC

]71

2cosCsin(4+5)=sinC=>cosC=-^C=—

(2)SMBC=—absinC=>—y/3=^-ab-^-=>ab=6

答案第2页，共12页

Xva2+b~-2abcosC=c2

a2+b2=13,(a+b')2=2.5=>a+b=5

...乙486的周长为5+4

考点：正余弦定理解三角形.

6.(1)1

(2)手

4

【分析】

(1)根据余弦定理即可解出；

(2)由(1)可知，只需求出sin/即可得到三角形面积，对等式恒等变换，即可解出.

【详解】(1)

因为/-a。cos/,所以'—L=c°s"=2bc=2，解得：bc=l.

cosAcosA

(2)

,r/p,acosB-bcosAbsinAcos-sin5cosAsin5

由正弦定理可得------——；—一二—;一-————--——

acosB+bcosAcsinAcosB+smBcosAsinC

sin(/-B)sin5sin(A-B)-sin5]

sin(/+8)sin(4+8)sin0+B)

变形可得：sin(Z—B)—sin(/+B)=sin5,即一2cos4sin8=sinB,

i/7

而0<sin5Wl,所以cosZ=—7，又0</<兀，所以sin/=、一，

22

故^ABC的面积为SAABC=^bcsin^4=^-xlx^-=.

7.A

【分析】根据已知条件，利用三角函数余弦的二倍角公式以及正弦定理逐步化简可得出

a+c=2b,即可求出。、b、。关系.

CA3

【详解】设尺是三角形A4BC外接圆半径，・・・“052”+。32二=不3

222

.^(1+cosC)c(l+cosA\3口口「,c,

..------------+-------------=—b,a+acosC+c+ccosA=3b,

222

答案第3页，共12页

即Q+c+(QcosC+ccos%)=36即Q+C+(QcosC+ccosA)=2b+b

Q+c+2A(sin力cosC+sinCcosA)=2b+2RsinB

Q+c+2Rsin(%+C)=26+2Rsin8

TA、B、。在三角形中，

所以sin(/+C)=sin3,所以〃+c+27?sin(Z+C)=26+27?sin5

得至！JQ+C=26,

即。，b,。成等差数列，

故选：A.

【点睛】本题主要考查学生对三角函数余弦的二倍角公式、正弦定理以及等差数列性质的熟

练掌握，解题时要注重整体思想的运用，望同学们平常多加练习.

8.273

【分析】

由正弦定理、诱导公式、两角和的正弦公式化简竺巴丝包巴W=2cosC,由C的范围特殊

C

角的三角函数值求出C,代入三角形的面积公式列出方程，利用余弦定理列出方程，变形

后整体代入求出C的值.

【详解］由"c°sB0°s4_2cos。可得acosB+bcosA=2ccosC,

c

在^ABC中，由正弦定理得：sinAcos5+sin5cosA=2sinCcosC

sin(/+B)=2sinCcosC,

'：A+B=7i-C,

sin(/+B)=sinC=2sinCcosC,

sinCw0,「.cos。，

7T

由0<C<7T得，C=—

3

由SARr=2由得LabsinC=26,

△/IJDv2

得“b=8,

'：a+b=6,

・,•由余弦定理得—=(a+b)2—2qb—2abcosC=36—16—8=12

答案第4页，共12页

解得c=2A/3，

故答案为：28.

9.证明见解析

【分析】证明两个命题为真：一个是由/。是//的角平分线证明噜=黑，一个是由

ARDF)

*=若证明ND是//的角平分线.

7iCzDC

AB_BD

【详解】证明：设?：是//的角平分线，q：~AC~^C

如图，过点5作BE〃ZC交4。的延长线与点E,

(1)充分性(P=q):若N1=N2,贝|JN1=NE,所以N2=NE,所以又

ABEBDABBD

ABDE^/AXCDA,所以六二法，所crH以I=

(2)必要性(qnp)：反之,若空=器，则；BE"4C,：.公BDEs八CDA,；.器=器,

ACDC力cDC

所以4B=BE,所以N2=NE,又BE"AC,所以N1=NE,所以N1=N2.

由(1)(2)可得，是//的角平分线的充要条件是耳=黑.

ACDC

【点睛】本题考查充分必要条件的证明，要证明夕是9的充要条件，必须证明两个命题为真:

即充分性：P=q,必要性：qnP.

10.D

【分析】

利用角平分线定理以及平面向量的线性运算法则即可求解.

【详解】因为/。是“5C的角平分线，所以/氏4。=/。4。,

所以由正弦定理得送=竟需ACDC

sinZADCsin/CAD

又因为sin/ADB=sin/ADC，sinABAD=sinZCAD，

答案第5页，共12页

所以"=这，^-=—=-=2,所以屈=方+丽=焉+劣就

BDDCDCAC23

=AB+-（AC-AB）=-AB+-ACfS.pAD=-AC+-AB.

3、）3333

故选：D

15

11.——

8

【分析】运用正弦定理和两角和差公式求解.

A

［详解］

BDc

由正弦定理得空=父,.博inB=—sin—=,NZ=—^，.=者B是锐角，

sinAsinB73143

〃13.（兀）•兀rj兀♦5

cosB=——,sinC=sin——B=sin—cosn-cos-sm5=-----，

14（3）3314

sinZADC=sin（S+/DAB）=sii

ADACfsinC15

在△/DC中，由正弦定理得：------=--------------,AD=AC*---------=—；

sinCsin//。。sinZADC8

故答案为：

O

12.⑴/

（2）—

8

【分析】

（1）先利用正弦定理角化边，再利用余弦定理即可得到答案；

（2）根据S"BC='"BD+S“cD,再利用三角形面积公式得到关于4。的方程，解出即可.

【详解】（1）由正弦定理可知,a2-b2-c2=be.

22

由余弦定理可得cosA=々h+r*_a2—be1

2bc•_2bc_2，

77T

又/£（0,兀），所以/=与-.

（2）由题意知S“8c=；，sACD，

答案第6页，共12页

所以一xABxZCxsin——=—xABxADxsin—+—xZCxADxsin—,

232323

grpl1^261G1

n\kA—x5x3x——x5x4DxF―x3x4Dx,

222222

解得

o

4,1

13.-##1-

33

【分析】

根据三角形面积公式，由等面积建立等量关系可得结果.

【详解】

依题思，因为SAABC=S&BAD+S^CAD,

即g|/c|M同sin/2/C=；|AD|Masin/BAD+1|^CpZ）|sinZC^D,

所以4x2sinl20°=|ZD|x4sin600+2|y4£>|sin60°,

化简得：K=p

4

故答案为：—.

14.6+4五

【分析】利用张角定理得到加J,再利用不等式中1的妙用来求解最值.

【详解】•・•40是/A4c的角平分线,

1JI

...ABAD=ACAD=-ABAC=-

26

sinNBACsin/BADsinZDAC

由张角定理得:------=-------+-------

ADACAB

JEJEit

ansin—sin—sin—

即_3=—6+_L，

2也一bc

111

—F—=—

bc2

2b+c=（2b+c）J-lx2=^^6>6+4融乜6+4「

b+cb

答案第7页，共12页

（当且仅当f=上，即°=回=2+2行时取"=”）.

bc

故答案为：6+472.

15.B

【分析】根据题意由面积关系可得,+工=6,再结合基本不等式运算求解.

ac

【详解】由题意可知：AABD=12Q°,

因为=s"即+SAWBP—6ZCX—=—xlxcx—+—xlxa，

22222

整理得工+2=百，

ac

cAa\1

贝U2〃+c=+c)+4+2

ardT

当且仅当c=2a=迪时，等号成立.

3

所以2a+c的最小值为迪.

3

故选：B.

16-i

4

【分析】根据C=28,由正弦定理得到26cosB=c,再由8b=5c,得到cos8=不，然后由

二倍角公式求解.

【详解】解：因为C=28,

b

所以由正弦定理得:

sinBsinCsin282sinBcosB

即2bcosB=c,

因为86=5c,

Q

所以26cosB=—b,

4

即cosB=—,

所以cosC=cos2B=2C0S?5-1=-1=—

⑶25

答案第8页，共12页

故答案为：5

17.3

【分析】

借助正弦定理与余弦定理，可由4=28得到/=/b+c）,即可将+化简为

T+审c-\-h+片4b，结合基本不等式即可得解.

bb+c

【详解】

由/=25,则/-8=8,故sin（4-3）=sin3,

即sinAcos5-sin5cosA=sin5,

由正弦定理可得〃cos3-bcos/=b,

由余弦定理可得ax'+c2-'-6x"+1-，=g,

2ac2bc

222222

即可得a+c-b-（b+c-a）=2bcf即有/=办e+Q,

c(26丫c4Z>2c4Z>2c4b1d■b4Z)

___i_Ii।----------______।_____________|________।_।______

b\a)bdbb(b-\-c)bbvcbh-c

当且仅当b+今c二4分b时，等号成立.

bb+c

故答案为：3.

18.-

3

【分析】根据"一6』。求出4=22,根据sin/=gsinB得到sin23=6sinB即可求解.

\9a2—b2=bc9:.a2=b2+bcfa2=b1+c2-2bccosA，

be=c2-2bccosA,/.b=c—2bcosA,

/.sin8=sinC—2sin8cosA,

/.sinB=sin(/+B)—2sinBcosA,

sin8=sin4cos5+sin8cos4一2sin8cosA，

sin5=sin4cos5-sin5cos/=sin(4—5),

因为48e（0,7i）,所以

答案第9页，共12页

=4—B或B+4—B=n(舍)，:.A=2B,

因为sin/二百sinBsin25=sin5

即2sinScos5=V3sin5，丁sin5w0,

...cosB————90<8<兀,

2

:.B=~,:.A=2B=-.

63

、7T

故答案为：—.

19.(1)证明见详解

【分析】

(D利用正余弦定理得5诒/=5出。(2<：058+1),再利用两角和与差的余弦公式化简得

sin(S-C)=sinC,再根据8,C范围即可证明；

(2)根据三角恒等变换结合(1)中的结论化简得>=—二+3sin5,再求出B的范围，从

sm3

而得到sinB的范围，最后利用对勾函数的单调性即可得到答案.

【详解】(1)由/=。2+〃c及/=+。2一2QCCOSB得，a=C(2COS5+1).

由正弦定理得sin"=sinC(2cos8+l),

又4+5+。=兀，

sin/=sin(5+C)=sinBcosC+cosBsinC=2sinCcosB+sinC9

/.sinBcosC-cosBsinC=sinC,

sin(B-C)=sinC,

•••4B,C都是锐角，则瓦C<0,?,5—C)

:.B-