重庆市中学2024年高三第二次模拟考试数学试卷含解析

重庆市西南大学附属中学2024年高三第二次模拟考试数学试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再

选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知AABC中，BC\=2,BABC=-2.点尸为8c边上的动点，则PC-(PA+P3+PC)的最小值为()

325

A.2B.——C.—2D.------

412

2-3z,、

2.---=()

1+Z

15.15.15.15.

A.----1B.----1C.—+—zD.--+—z

22222222

3.已知a=log374,b=logm,c=若a>b>c,则正数加可以为()

22

A.4B.23C.8D.17

4.如图，正三棱柱ABC-AqC各条棱的长度均相等，。为AA的中点，分别是线段8瓦和线段CG的动点

(含端点)，且满足6"=GN,当运动时，下列结论中不F确的是

4将―---------Ci

/\

*

H

A.在ADACV内总存在与平面ABC平行的线段

B.平面DAWJ_平面5。£四

C.三棱锥A-DMN的体积为定值

D.ADACV可能为直角三角形

5.已知函数/(尤)是奇函数，且/(x)—/⑴=In(l+x)—ln(l—x)—7若对Vxeg。，|/(依+1)|<|/(x—1)|

1—x62

恒成立，则。的取值范围是()

A.(-3,-1)B.(-4,-1)C.(-3,0)D.«0)

6.体育教师指导4个学生训练转身动作，预备时，4个学生全部面朝正南方向站成一排.训练时，每次都让3个学生“向

后转”，若4个学生全部转到面朝正北方向，则至少需要“向后转”的次数是（）

A.3B.4C.5D.6

7.已知复数z=（l+，）（3—为虚数单位）,则z的虚部为（）

A.2B.2iC.4D.4z

8.函数=—d（<y>0）,当x«0,司时，/（%）的值域为―-梳，1，则。的范围为（）

535524

A.B.D.

6526,32?3

9.已知/为抛物线必=4〉的准线，抛物线上的点M至I"的距离为d,点尸的坐标为（4,1）,贝!!|阴+d的最小值是

()

A.V17B.4C.2D.1+#7

10.已知AABC是边长为1的等边三角形，点。，E分别是边AB,的中点，连接OE并延长到点尸，使得

£史=2跖，则的值为（）

11.设点A,B,C不共线，则“（45+4。），5。”是“|筋卜,4”（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件

12.已知机为实数，直线4：nvc+y-l=O,l2：（3m-2）x+my-2=0,贝!机=1”是“4//夕的（）

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知E为抛物线C：/=4x的焦点，过尸作两条互相垂直的直线4，/2,直线式与C交于A、B两点,直线4

与C交于D、E两点,贝！）|45|+|。£|的最小值为.

14.若X,y均为正数，s,x+y=xy,则x+y的最小值为.

15.已知集合4={-1,0,2},3={无,=2"-1,neZ},则AB=.

16.函数/（%）=5加12%+口的最小正周期为;若函数〃尤）在区间（0,上单调递增，则c的最大值为

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)如图，直三棱柱ABC—中，底面ABC为等腰直角三角形，ABLBC,/%=2AB=4,M,N

分别为CG，8用的中点，G为棱A4上一点，若A3,平面肱VG.

"1

(1)求线段AG的长;

(2)求二面角5—MG—N的余弦值.

18.(12分)某中学为研究学生的身体素质与体育锻炼时间的关系，对该校200名高三学生平均每天体育锻炼时间进

行调查，如表：(平均每天锻炼的时间单位：分钟)

平均每天锻炼

[0,10)[10,20)[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)

的时间/分钟

总人数203644504010

将学生日均体育锻炼时间在［40,60)的学生评价为“锻炼达标”.

(1)请根据上述表格中的统计数据填写下面2x2列联表:

锻炼不达标锻炼达标合计

男

女20110

合计

并通过计算判断，是否能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“锻炼达标”与性别有关？

(2)在“锻炼达标”的学生中，按男女用分层抽样方法抽出10人，进行体育锻炼体会交流.

(i)求这10人中，男生、女生各有多少人？

(ii)从参加体会交流的10人中，随机选出2人发言，记这2人中女生的人数为X,求X的分布列和数学期望.

参考公式：K2=------------------------,其中〃=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

临界值表:

2

P(K>k0)0.100.050.0250.010

0k°2.7063.8415.0246.635

19.(12分)已知函数/(x)=|2x+a|-|尤一3|(。wR).

(1)若a=—1,求不等式/(x)+l>0的解集；

(2)已知a>0,若/'(x)+3a>2对于任意恒成立，求”的取值范围.

20.(12分)我国在2018年社保又出新的好消息，之前流动就业人员跨地区就业后，社保转移接续的手续往往比较繁

琐，费时费力.社保改革后将简化手续，深得流动就业人员的赞誉.某市社保局从2018年办理社保的人员中抽取300人,

得到其办理手续所需时间(天)与人数的频数分布表：

时间［。，2)[2,4)[4,6)[6,8)[8,10)[10,12)

人数156090754515

(1)若300名办理社保的人员中流动人员210人，非流动人员90人，若办理时间超过4天的人员里非流动人员有60

人，请完成办理社保手续所需时间与是否流动人员的列联表，并判断是否有95%的把握认为“办理社保手续所需时间

与是否流动人员”有关.

列联表如下

流动人员非流动人员总计

办理社保手续所需

时间不超过4天

办理社保手续所需

60

时间超过4天

总计21090300

(2)为了改进工作作风，提高效率，从抽取的300人中办理时间为［8,12)流动人员中利用分层抽样，抽取12名流动

人员召开座谈会，其中3人要求交书面材料，3人中办理的时间为［10,12)的人数为自，求出自分布列及期望值.

附：K2=___-___

(a+b)(c+d)(〃+c)(Z?+d)

2

P(K>k0)0.100.050.0100.005

2.7063.8416.6357.879

21.(12分)已知抛物线。d=4力(〃为大于2的质数)的焦点为凡过点尸且斜率为网后0)的直线交。于A,6两点,

线段A3的垂直平分线交y轴于点E,抛物线C在点A,3处的切线相交于点G.记四边形AE5G的面积为S.

(1)求点G的轨迹方程；

(2)当点G的横坐标为整数时，S是否为整数？若是，请求出所有满足条件的S的值；若不是，请说明理由.

22.(10分)手工艺是一种生活态度和对传统的坚持，在我国有很多手工艺品制作村落，村民的手工技艺世代相传，

有些村落制造出的手工艺品不仅全国闻名，还大量远销海外.近年来某手工艺品村制作的手工艺品在国外备受欢迎，该

村村民成立了手工艺品外销合作社，为严把质量关，合作社对村民制作的每件手工艺品都请3位行家进行质量把关，

质量把关程序如下：(i)若一件手工艺品3位行家都认为质量过关，则该手工艺品质量为A级；(ii)若仅有1位行家

认为质量不过关，再由另外2位行家进行第二次质量把关，若第二次质量把关这2位行家都认为质量过关，则该手工

艺品质量为B级，若第二次质量把关这2位行家中有1位或2位认为质量不过关，则该手工艺品质量为C级；(iii)

若有2位或3位行家认为质量不过关，则该手工艺品质量为D级.已知每一次质量把关中一件手工艺品被1位行家认为

质量不过关的概率为:，且各手工艺品质量是否过关相互独立.

(1)求一件手工艺品质量为3级的概率；

(2)若一件手工艺品质量为A,B,C级均可外销，且利润分别为900元，600元，300元，质量为O级不能外销，

利润记为100元.

①求10件手工艺品中不能外销的手工艺品最有可能是多少件；

②记1件手工艺品的利润为X元，求X的分布列与期望.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、D

【解析】

以3c的中点为坐标原点，建立直角坐标系，可得6(—1,O),C(1,O),设P(a,O),A(x,y),运用向量的坐标表示,

求得点A的轨迹，进而得到关于。的二次函数，可得最小值.

【详解】

以3c的中点为坐标原点，建立如图的直角坐标系，

可得6(-1,O),C(LO),设P(a,0),A(x,y),

由348c=-2，

可得(x+1,y).(2,0)=2x+2=—2,即x=-2,ywO,

贝！jPC.(_PA+P3+PC)=(1-a,0).(x-a-1-a+1-a,y+0+0)

=(1_a)(x_3a)=(1—Q)(-?—3a)=3cr—ci—2

当a=J■时，PC.(PA+P3+PC)的最小值为一生.

6''12

本题考查向量数量积的坐标表示，考查转化思想和二次函数的值域解法，考查运算能力，属于中档题.

2、B

【解析】

利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.

【详解】

_2-3i_(2-3z)(l-z)_-l-5z_15.

z-------=-----------------=-------------------1

1+i+222'

故选B.

【点睛】

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题.

3、C

【解析】

首先根据对数函数的性质求出。的取值范围，再代入验证即可；

【详解】

解：•..3=log327<a=log374<log381=4,.•.当加=8时，6=log2〃，=3满足。>b>c,...实数a可以为8.

故选：C

【点睛】

本题考查对数函数的性质的应用，属于基础题.

4、D

【解析】

A项用平行于平面ABC的平面与平面MDN相交，则交线与平面ABC平行；

B项利用线面垂直的判定定理；

C项三棱锥A的体积与三棱锥N-4。/体积相等，三棱锥N-ADM的底面积是定值，高也是定值，则

体积是定值；

D项用反证法说明三角形DMN不可能是直角三角形.

【详解】

A项，用平行于平面ABC的平面截平面MND,则交线平行于平面ABC,故正确；

B项，如图：

当M、N分别在BBi、CCi上运动时,若满足BM=CN,则线段MN必过正方形BCCiBi的中心O,由DO垂直于平面BCCiBi

可得平面DMN±平面BCC&],故正确；

C项，当M、N分别在BBi、CCi上运动时,△AiDM的面积不变,N到平面AjDM的距离不变，所以棱锥N-AiDM的体积

不变，即三棱锥Ai-DMN的体积为定值，故正确；

D项，若△DMN为直角三角形，则必是以NMDN为直角的直角三角形，但MN的最大值为BCi,而此时DM,DN的长大于

BBi,所以△DMN不可能为直角三角形，故错误.

故选D

【点睛】

本题考查了命题真假判断、棱柱的结构特征、空间想象力和思维能力，意在考查对线面、面面平行、垂直的判定和性

质的应用，是中档题.

5、A

【解析】

先根据函数奇偶性求得了(%),/'(x),利用导数判断函数单调性，利用函数单调性求解不等式即可.

【详解】

因为函数/Xx)是奇函数，

所以函数/'(%)是偶函数.

f(1%)一/'(—X)=ln(l-%)-ln(l+x)-----,

即—f(x)-f\x)=ln(l-x)-ln(l+%)-

1-x

2

又/(x)—f\x)=ln(l+x)-ln(l-x)-

所以1/(x)=ln(l+x)-ln(l-x),f'(x)=-——-

2

函数”x)的定义域为(-U),所以尸(x)=^—~F>0,

则函数“x)在(-1/)上为单调递增函数.又在(o,i)上,

/(x)>/(0)=0,所以|/(刈为偶函数，且在(0,1)上单调递增.

^\f(ax+V)\<\f(x-V)\,

可得

|ar+l|<1-%1——<a<-\

2对％w恒成立’,

——<a<062

—3<a<—1

-4<tz<0

所以a的取值范围是（-3,-1）.

故选：A.

【点睛】

本题考查利用函数单调性求解不等式，根据方程组法求函数解析式，利用导数判断函数单调性，属压轴题.

6、B

【解析】

通过列举法，列举出同学的朝向，然后即可求出需要向后转的次数.

【详解】

“正面朝南”“正面朝北”分别用“A”“V”表示，

利用列举法，可得下表，

原始状态第1次“向后转”第2次“向后转”第3次“向后转”第4次“向后转”

AAAAAVVVVVAAAAAVVVVV

可知需要的次数为4次.

故选：B.

【点睛】

本题考查的是求最小推理次数，一般这类题型构造较为巧妙，可通过列举的方法直观感受，属于基础题.

7、A

【解析】

对复数z进行乘法运算，并计算得到z=4+2"从而得到虚部为2.

【详解】

因为z=（l+，）（3—力）=4+27,所以％的虚部为2.

【点睛】

本题考查复数的四则运算及虚部的概念，计算过程要注意『=—1.

8、B

【解析】

首先由可得ox-：的范围，结合函数/（力的值域和正弦函数的图像，可求的关于实数0的不等式，解

不等式即可求得范围.

【详解】

因为xe［。,丐I，所以—,a)n--,若值域为—,1,

所以只需工—工《生，，。4。三3.

23363

故选：B

【点睛】

本题主要考查三角函数的值域，熟悉正弦函数的单调性和特殊角的三角函数值是解题的关键，侧重考查数学抽象和数

学运算的核心素养.

9、B

【解析】

设抛物线焦点为尸，由题意利用抛物线的定义可得，当共线时，+d取得最小值，由此求得答案.

【详解】

解：抛物线焦点b(0,1),准线y=-l,

过M作MN工l交l于前N,连接F0

由抛物线定义Ww|=|MF|=d,

:.\MP\+d=|W|+|MF|>|PF|=A/47=4,

当且仅当RM,尸三点共线时，取“=”号，

.•.|叫+"的最小值为4.

故选:B.

【点睛】

本题主要考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，体现了数形结合的数学思想，属于中档题.

10、D

【解析】

设A4=o，BC=b，作为一个基底，表示向量场=［*=［伍—a),DF=lDE^(b-a\,

22'，24'，

AF=AD+DF^--a+-（b-a\=--a+-b,然后再用数量积公式求解.

24、'44

【详解】

设BA=。，BC=b»

所以£）百=24。=9仿一a）,DF=-DE=AF=AD+DF=--6?+-^-^=--a+-b,

22、'24、'24、'44

531

所以AE・BC=——a-b+—b-b=—.

448

故选：D

【点睛】

本题主要考查平面向量的基本运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.

11、C

【解析】

利用向量垂直的表示、向量数量积的运算，结合充分必要条件的定义判断即可.

【详解】

由于点A,B,。不共线，贝!I

（45+4。）,5。0（45+4。）.8。=00（45+40.比_必=402-府=0。舅=加

网=,中；

故“（AB+AC）15。”是“|筋卜的充分必要条件.

故选：C.

【点睛】

本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查向量垂直的表示，考查向量数量积的运算，属于基础题.

12、A

【解析】

根据直线平行的等价条件，求出m的值，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.

【详解】

当m=l时，两直线方程分别为直线h：x+y-1=0,h:*+丫-2=0满足11〃12,即充分性成立，

当m=0时，两直线方程分别为y-1=0,和-2x-2=0,不满足条件.

当m/）时，则h〃12n网二2=‘7二，

m1—1

3m—2F77

由------二一得in?-3m+2=0得m=l或m=2,

m1

由一H—得m,2,则m=L

1—1

即“m=l”是“h//L”的充要条件，

故答案为：A

【点睛】

(1)本题主要考查充要条件的判断，考查两直线平行的等价条件，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能

力.(2)本题也可以利用下面的结论解答，直线qx+4_y+G=0和直线。2%+4丁+。2=。平行，则。也一。24=0且两

直线不重合,求出参数的值后要代入检验看两直线是否重合.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、16.

【解析】

由题意可知抛物线C:/=4x的焦点/:(1,0),准线为x=—1

设直线4的解析式为y=M九-1)

•.•直线/1」2互相垂直

：,I的斜率为-7

k

与抛物线的方程联立｛)=—1)，消去y得公尤2—(2K+4)X+左2=0

y~=4x\)

242+42；+4

由跟与系数的关系得占+々=：，同理—

•.•根据抛物线的性质，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离

.**|二年+1+%2+1，同理|DE^=Xy+I+X4+1

22—+4

\AB\+\DE\=lk^+—+4=8+p+4F>8+2A/4^4=16,当且仅当左2=1时取等号.

故答案为16

点睛：(1)与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关.利用定义可将抛物线上的点到焦点的距离

转化为到准线的距离，可以使运算化繁为简.“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题

的重要途径；(2)圆锥曲线中的最值问题，可利用基本不等式求解，但要注意不等式成立的条件.

14、4

【解析】

由基本不等式可得个寄］，则,即可解得x+y»4.

【详解】

方法一：x+y=xy<^^nx+yN4,当且仅当x=y=2时取等.

X+V1II

方法二：因为彳+丁=孙，所以一^=l=>-+-=l,

xyxy

所以尤+y=(x+y)-+-=-+^+2>2Vl+2=4,当且仅当x=y=2时取等.

vxyJyx

故答案为：4.

【点睛】

本题考查基本不等式在求最小值中的应用，考查学生对基本不等式的灵活使用，难度较易.

15、{-1}

【解析】

由6={%=2〃-1,“ez}可得集合B是奇数集，由此可以得出结果.

【详解】

解：因为5={x|x=2"-l,"ez}

所以集合3中的元素为奇数，

所以AB={-1}.

【点睛】

本题考查了集合的交集，解析出集合3中元素的性质是本题解题的关键.

16、万—

8

【解析】

直接计算得到答案，根据题意得到2x+fef,2a+f,2«+^<^,解得答案.

4(44)42

【详解】

：

sinf2x+故T=兀,当xe(0,a)时，2x+：e户+j，

故2戊+£三9,解得cwj.

428

JT

故答案为：兀；—•

8

【点睛】

本题考查了三角函数的周期和单调性，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)AG=1(2)6

5

【解析】

(1)先证得44，GN,设45与GN交于点E,在ABNE中解直角三角形求得,由此求得AG的值.

(2)建立空间直角坐标系，利用平面3MG和平面NMG的法向量，计算出二面角3-MG-N的余弦值.

【详解】

\B1平面MNG

(1)由题意,>^AiB±GN,

GNu平面A/NG

设4/与GN交于点E,在ABNE中,可求得BE=竽，则4石=?

可求得AG=3,则AG=1

(2)以月为原点，片3方向为x轴，同。方向为y轴，44方向为z轴，

建立空间直角坐标系.

3(4,0,0),M(2,2,0),G(3,0,2),N(2,0,0)

BM=(-2,2,0),BG=(-1,0,2),易得平面朋TG的法向量为1=(2,2,1).

NM=(0,2,0),NG=(1,0,2),易得平面NMG的法向量为％=(2,0,—1).

设二面角3—MG—N为。，由图可知。为锐角，所以

cos"3注=3=旦

l^l-l^l3-V55

即二面角5—MG—N的余弦值为好.

5

【点睛】

本小题主要考查根据线面垂直求边长，考查二面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.

4

18、(1)能；(2)(i)男生有6人，女生有4人；(ii)£(X)=-,分布列见解析.

【解析】

(1)根据所给数据可完成列联表.由总人数及女生人数得男生人数，由表格得达标人数，从而得男生中达标人数，这

样不达标人数随之而得，然后计算K?可得结论；

(2)由达标人数中男女生人数比为3：2可得抽取的人数，总共选2人，女生有4人，X的可能值为0,1,2,分别

计算概率得分布列，再由期望公式可计算出期望.

【详解】

(1)列出列联表，

锻炼不达标锻炼达标合计

男603090

女9020110

合计15050200

%=200x(60x20-30x90)2=200.^咐〉5.024,

150x50x90x11033

所以在犯错误的概率不超过0.025的前提下能判断“课外体育达标”与性别有关.

(2)(i)在“锻炼达标”的学生50中，男女生人数比为3:2,

用分层抽样方法抽出10人，男生有6人，女生有4人.

(ii)从参加体会交流的10人中，随机选出2人发言，2人中女生的人数为X,

则X的可能值为0,1,2,

「21「1只「27

则P(X=0)=-f~=—,P(X=1)=^^=—,P(X=2)=m=—,

*3'15C*15

可得X的分布列为:

X012

p182

31515

1o94

可得数学期望E(X)=0x-+lx^+2x—=-.

【点睛】

本题考查列联表与独立性检验，考查分层抽样，随机变量的概率分布列和期望.主要考查学生的数据处理能力，运算

求解能力，属于中档题.

19、(1){x|x<-l或%>1}；(2)(2,+oo).

【解析】

(1)a=-1时，分类讨论，去掉绝对值，分类讨论解不等式.

(2)。>0时，分类讨论去绝对值，得到/(%)解析式，由函数的单调性可得/(光)的最小值，通过恒成立问题，得

到关于。的不等式，得到。的取值范围.

【详解】

—x—2,%<一

2

(1)因为。=一1,所以/'(%)=<3x—4,一<%«3,

2

x+2,x>3

1

-<x<3x>3

所以不等式/(尤)+1>0等价于｛2或v2或4

[x+2+l>0

-x-2+l>03x—4+1>0

解得或%>1.

所以不等式/■(九)+1>0的解集为{x|x<—l或％>1}.

a

—x—a—3c,%<—

2

(2)因为〃>0,所以因(%)=<3x+〃-3,-9

x+a+3,x>3

a

根据函数的单调性可知函数/(%)的最小值为f-t-3

因为/（%）+3。>2恒成立，所以一£—3+3a>2,解得。>2・

所以实数a的取值范围是（2,转）.

【点睛】

本题考查分类讨论去绝对值，分段函数求最值，不等式恒成立问题，属于中档题.

3

20、（1）列联表见解析，有；（2）分布列见解析，一.

4

【解析】

（1）根据题意，结合已知数据即可填写列联表，计算出K?的观测值，即可进行判断；

（2）先计算出时间在［8,10）和［10,12）选取的人数，再求出J的可取值，根据古典概型的概率计算公式求得分布列,

结合分布列即可求得数学期望.

【详解】

（1）因为样本数据中有流动人员210人，非流动人员90人，所以办理社保手续

所需时间与是否流动人员列联表如下：

办理社保手续所需时间与是否流动人员列联表

流动人员非流动人员总计

办理社保手续所需

453075

时间不超过4天

办理社保手续所需

16560225

时间超过4天

总计21090300

结合列联表可算得K?=3。。；；黑募R=詈.4.762>3,841.

有95%的把握认为“办理社保手续所需时间与是否流动人员”有关.

（2）根据分层抽样可知时间在［8,10）可选9人，时间在［10,12）可以选3名,

故&=0,1,2,3,

贝！|。（。=。）=/=||C2c127

P(^=l)=^-A=—

一a55

c'c227c0c31

3=看』心3)=『五

可知分布列为

40123

2127271

P

5555220220

21272713

可知E((^)=0x—+lx—+2x—+3x—=-.

55552202204

【点睛】

本题考查独立性检验中K2的计算，以及离散型随机变量的分布列以及数学期望，涉及分层抽样，属综合性中档题.

21、(1)y=~P(2)当G点横坐标为整数时，S不是整数.

【解析】

(1)先求解导数，得出切线方程，联立方程得出交点G的轨迹方程；

(2)先求解弦长仙耳，再分别求解点E,G到直线的距离，表示出四边形的面积，结合点G的横坐标为整数进行

判断.

【详解】

⑴设如当卜6(为,先),则x；=4孙芯=4p%,

12,1

抛物线C的方程可化为工而贝仃=57,

11

所以曲线C在点A处的切线方程为y=「Xiz(x-xJ+%=—

2P2P

1/、1

在点B处的切线方程为y=—x(x-x,)+y=-xx-y,

2p222p22

11

因为两切线均过点G,所以%=丁石/一%，%=丁々%—%

2P2P

11

所以A,5两点均在直线上先=丁/工->,所以直线A5的方程为方=丁毛%一丁，

2P2p

又因为直线AB过点尸(0,p),所以%=-〃，即G点轨迹方程为>="?；

1

(2)设点G(x0,一P),由(1)可知，直线A3的方程为一〃=「玉)》一丁,

2P

1

即y=『xox+"，

2P

1

y=——xx+p、、

将直线A3的方程与抛物线联立，《-2po,整理得%2—2/x—4p2=o,

=4py

所以石+々—2%0,王%=—4p~＞解得忖—%|=2+4p-）

因为直线AB的斜率左=丁/70,所以％o,O,

2P

1

且|AB|=A/1+k|xj-x2|="+4P,

1,

线段45的中点为M(x(),丁/+。)，

2P

所以直线EM的方程为：y=-—(x-x0)+^-xl+p,

/2P

12

所以E点坐标为(0,—x；+p),

2P

直线AB的方程整理得/X—2py+2P2=0,

忖+4/|_

则G到AB的距离4=

收+4p2

|-xo-4°2|_

则E到A3的距离d2=

（%；+4p2）Jx：+4p2

所以S=；|A@(4+d2)=

P

设/=%，因为p是质数，且.%为整数，所以同="1