2024届佛山市普通高中数学高二年级上册期末监测试题含解析

2024届佛山市普通高中数学高二上期末监测试题

注意事项

1.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.

2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.

3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.

4.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他

答案.作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.

5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设a,b,c,dGR,a>b,c<d,则下列不等式中一定成立的是（）

^..a+ob+dB.a-ob-d

,,ab

C.aobdD.—>—

dc

2.设数列｛&｝的前八项和为S〃，当“eN*时，an,n+1,%用成等差数列，若S“=2020,且为<3,则”的最

大值为（）

A.63B.64

C.65D.66

3.在空间四边形。45c中，Q4=a，OB=b>OC=c，点M在线段上，且=N为BC中点,

则等于（）

1-2,1-

A.一〃——b+—cB.——a+~b+—c

232322

irn2r2r2：lr

C.—aT-b—cD.—a+—b——c

223332

4.如图，A、3分别是椭圆的左顶点和上顶点，从椭圆上一点P向》轴作垂线，垂足为右焦点产，且〃。尸，点P

到右准线的距离为G，则椭圆方程为（）

322

A.---1---=1B.±+工=1

6342

5.某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表:

广告费用、(万元)4235

销售额「(万元)49263954

根据上表可得回归方程夕=良+6中的B为9.4,据此模型预报广告费用为6万元时销售额为

A.63.6万元B.65.5万元

C.67.7万元D.72.0万元

6.在正方体ABC。—A与中，AC^xA^+yAB+zAD,贝！|(x,y,z)=()

A.(1,1,1)B.(1,1,O)

C.(l,l,-1)D.(1,O,-1)

7.设抛物线C:y2=2px的焦点为产，准线为/.P是抛物线C上异于。的一点，过P作尸。，/于Q,则线段尸Q的

垂直平分线()

A.经过点PB.经过点0

C.平行于直线OPD.垂直于直线0P

8.下列命题中正确的个数为()

①若向量a,匕与空间任意向量都不能构成基底，则。//匕；

②若向量a+b,b+c,c+a是空间一组基底，则a,b，c也是空间的一组基底；

③{a,。,c}为空间一组基底，若xa+yZ?+zc=O(尤,y,zwR),则炉+/+22=0；

④对于任意非零空间向量。=(4,%,%),〃=低也,&),若则消=,=/"

A.lB.2

C.3D.4

9.倾斜角为45。，在V轴上的截距是-2的直线方程为()

A.x-y+2=0B.x-y-2=0

C.x-\[2y-2=0D.x+V2y+2=0

10.直线y=1的倾斜角为()

A30°B.45°

C.60°D.75°

11.设aeH,直线ar+2y-l=。与直线x+ay+l=。平行，则。=()

A.72B.-72

C.+V2D.±l

12.给出下列结论:

①如果数据石，孙，X”的平均数为3,方差为0.2,则3占+5,3%+5,，3%+5的平均数和方差分别为14和1.8；

②若两个变量的线性相关性越强，则相关系数r的值越接近于L③对A、B、C三种个体按3：1:2的比例进行分层

抽样调查，若抽取的A种个体有15个，则样本容量为30.则正确的个数是().

A.3B.2

C.1D.0

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2

13.过双曲线C：二—=1(«>O,Z?>0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C于点P.若点P的横坐标为

a

2a,则C的离心率为-.

14.已知数列｛4｝的前"项和为邑,"=1,匕1—%>。)，则g++5=.

15.若1,0),则与向量。同方向的单位向量的坐标为.

16.从编号为01,02,…，60的60个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本，已知样本中的前两个编号分别为02,

08(编号按从小到大的顺序排列)，则样本中最大的编号是

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知椭圆C'+j_=1(。〉人〉0)的右顶点为4,上顶点为反离心率为不，=

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)设椭圆的右焦点为尸，过点尸的直线,与椭圆C相交于O,E两点,直线1：x=4与x轴相交于点H,过点O

作。垂足为2

①求四边形(O为坐标原点)面积的取值范围;

②证明：直线过定点G,并求点G的坐标

n

18.（12分）在数列数“｝中,%=1,an+1=2an+2,

⑴设〃=翡，证明：数列｛包｝是等差数列；

（2）求数列｛4｝的前〃项和.

19.（12分）在直角坐标系中，点尸到两点河（0,-石）、N（0,6）的距离之和等于4,设点尸的轨迹为C,直线

y=Ax+l与。交于A、B两点

（1）求曲线。的方程；

（2）若Q4_LO3，求左的值

20.（12分）已知数列｛4｝是递增的等差数列，4=3,若。1，%一。1，%+4成等比数列.

（1）求数列｛4｝的通项公式；

3

（2）若b,=-----,数列也｝的前〃项和S“，求S”.

aa

„n+l

21.（12分）已知函数〃龙）=e『—lux.

（1）当。=1时，讨论了（%）的单调性;

（2）当知2时，证明：/（x）＞0.

22.（10分）已知函数〃x）=;vlnx—x+1

（I）求"％）的单调区间和最值;

（II）设。＞1,证明：当xe（L。）时，（a—l）logaX＞x—1

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B

【解题分析】利用特殊值法可判断ACD的正误，根据不等式的性质，可判断B的正误.

【题目详解】对于A中，令a=l,b=-l,d=1»c=-l,满足a>6,c<d,但a+c=Z?+d,

故A错误；

对于B中，因为a>"c<d,所以由不等式的可加性，可得a+d>b+c,

所以a-c>b-d,故B正确；

对于C中，令a=l,b=-l,d=l,c=-l,满足。>6,c<d,但ac=bd,

故C错误；

（2b

对于D中，令q=2,b=—lfd=—l,c=—2满足c<d但一<一,

99dc

故D错误

故选：B

2、A

【解题分析】根据等差中项写出式子，由递推式及求和公式写出S62和臬“进而得出结果.

【题目详解】解：由%,n+g,。,用成等差数列，可得。“+4+1=2〃+1,“eN*

贝!]4]+%=3,/+。4=7,[5+4=11，L

可得数列｛4｝中，每隔两项求和是首项为3,公差为4的等差数列.

则S62=3x31+31；°-4=1953<2020,

3231

564=3x32+^x4=2080>2020,

则〃的最大值可能为63.

由4+4+1=2〃+1，〃eN*，可得4+1+。”+2=2〃+3・

$63=4+（。2+/）+（。4+为）++（。62+。63）=%+5+9++125

=4+31x5+=2015+4

因为〃i+%=3,。1=3—。2，%<3,即一%>—3,所以％〉0,贝!|

563=2015+^>2015,当且仅当q=5时，S63=2020,符合题意，

故〃的最大值为63・

故选：A.

【题目点拨】本题考查等差数列的性质和递推式的应用，考查分析问题能力，属于难题.

3、B

【解题分析】由题意结合图形，直接利用MN=ON+VO,求出ON，然后即可解答.

【题目详解】解：因为空间四边形04BC如图，OA=a>OB=b，OC=c>

点M在线段上，且OM=2MA,N为3c的中点,

所以。N=LC+L/J.

22

21I

所以M2V=ON+MO=——a+-b+-c.

322

故选：B.

4、A

Y2

【解题分析】设椭圆方程为T=1（«〉6〉0）,设该椭圆的焦距为2c,则歹（c,0），求出点P的坐标，根据

a琮

〃。「可得出七B=ep,可得出b=c,a=显，结合已知条件求得。的值，可得出。、b的值，即可得出椭圆

的方程.

V2y2

【题目详解】设椭圆方程为二+=l(a>b>0),设该椭圆的焦距为2c,则/（G。）,

a"

由图可知，点P第一象限，将x=c代入椭圆方程得(+贵=1,

a2b2

(h4(h2^

得y2=/i----=—,所以，点尸C,一

易知点4(—a,0)、B(O,b),kAB=~,k0P=—,

aac

b方2_____

因为AB〃QP,则=%op，得———，可得b=c,则〃=J/+「=,

aac一

点P到右准线的距离为为L—c=2c—c=c=百，则。=遥，b=c=6

C

22

因此，椭圆的方程为土+乙=1.

63

故选：A.

5、B

4+2+3+549+26+39+54

【解题分析】不^^=35产----------------二42,

4

•••数据的样本中心点在线性回归直线上,

回归方程$=6%+6中的石为9.4,

.*.42=9.4x3.5+a,

：.d=9.1,

.•.线性回归方程是y=9.4x+9.1,

广告费用为6万元时销售额为9.4x6+9.1=65.5

考点：线性回归方程

6,A

【解题分析】根据空间向量基本定理，结合空间向量加法的几何意义进行求解即可.

【题目详解】因为AC；=AC+CG=AB+5C+CG=AB+AD+M,

而AQ=xA^+yAB+zAD,

所以有x=l,y=Lz=l,

故选：A

7、A

【解题分析】依据题意作出焦点在x轴上的开口向右的抛物线，根据垂直平分线的定义和抛物线的定义可知，线段用2

的垂直平分线经过点P,即可求解.

【题目详解】如图所示：

因为线段FQ的垂直平分线上的点到F,Q的距离相等，又点P在抛物线上,根据定义可知，|尸|尸司，所以线段FQ

的垂直平分线经过点P.

故选：A.

8、C

【解题分析】根据题意、空间向量基底的概念和共线的运算即可判断命题①②③，根据空间向量的平行关系即可判断

命题④.

【题目详解】①：向量°力与空间任意向量都不能构成一个基底，则°与b共线或a与b其中有一个为零向量，所以

a//b，故①正确；

②：由向量a+Ab+c,c+a是空间一组基底，则空间中任意一个向量d，存在唯一的实数组(%，y，z)使得

d=x(a+b)+y(b+c)+z(c+«)=(%+z)a+(x+y)b+(y+z)c,

所以a,b,c也是空间一组基底，故②正确；

③：由｛a,。,c｝为空间一组基底，xa+yb+zc=0(%,y,zeR),

则x=y=z=0,所以x?+V+z?=0,故③正确；

④：对于任意非零空间向量a=(&生)，〃=(外b2,伪)，若a//b，

a1=他

则存在一个实数2使得a=Ab，有出=彳仇，

。3=4b3

又伪，b2,打中可以有为0的，分式没有意义，故④错误.

故选:c

9、B

【解题分析】先由倾斜角为45。，可得其斜率为1,再由y轴上的截距是-2,可求出直线方程

【题目详解】解：因为直线的倾斜角为45。，所以直线的斜率为左=tan45。=1,

因为直线在V轴上的截距是-2,

所以所求的直线方程为y=x—2,即尤—y_2=0,

故选：B

10、C

【解题分析】设直线y=1倾斜角为夕，则tane=6,再结合直线的斜率与倾斜角的关系求解即可.

【题目详解】设直线y=—1的倾斜角为。，则tang=6，

所以6=g.

故选：C

11、C

【解题分析】根据直线平行求解即可.

【题目详解】因为直线以+2y-1=。与直线x+ay+l=O平行，

所以/=2,

即“=土立，经检验，满足题意.

故选：C

12、B

【解题分析】对结论逐一判断

【题目详解】对于①，贝!!3%+5,3々+5，，3%,+5的平均数为3x3+5=14,方差为0.2x32=1.8，故①正确

对于②，若两个变量的线性相关性越强，则相关系数r的绝对值越接近于1,故②错误

对于③，对A、B、C三种个体按3：1：2的比例进行分层抽样调查，若抽取的4种个体有15个，则样本容量为

15义3+；+2=30,故③正确

故正确结论为2个

故选:B

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、2+73

22L

【解题分析】双曲线3-与=1的右焦点为（。,0）.不妨设所作直线与双曲线的渐近线y=-x平行，其方程为

aba

h丫222222

y=-（x-c）,代入=一1=1求得点P的横坐标为x=巴士1,由巴士1=2。，得（一）2—4—+1=0,解之得

aab2c2caa

-=2+V3,-=2-73（舍去，因为离心率£〉1）,故双曲线的离心率为2+G.

aaa

考点：1.双曲线的几何性质；2.直线方程.

〃+1

1c,11、

【解题分析】根据题意求得4+1-4=1,得到4=〃，利用等差数列的求和公式，求得不=2,(---------),结合裂项

3“nn+\

法求和法，即可求解.

【题目详解1由d+i-an+1=a；+an,可得a^+l-a：=an+l+an,即(an+l-an)(%+an)=an+1+an,

因为。“〉0,所以4+i—a”=1,

又因为q=l,所以a“=l+("-l)xl=〃,

可得S—

所以$；=诉1=2义(7Q)

111C.八1、」1、11C八1、2〃

所以不+《++不=2义[(1_3)+(3一£)++Z(---------7)]-2x(1-------)=-----.

n〃+1〃+1n+1

In

故答案为:

n+1

fl1©

、

15”22)

【解题分析】由空间向量的模的计算求得向量的模，再由单位向量的定义求得答案.

【题目详解】解：因为a=(l，-1，、后)，所以同=J12+(_Q2+(、Q)2=2,所以与向量a同方向的单位向量的坐标为

16、56

【解题分析】根据系统抽样的定义得到编号之间的关系，即可得到结论.

【题目详解】由已知样本中的前两个编号分别为02,08,

则样本数据间距为8-2=6,则样本容量为竺=10,

6

则对应的号码数x=2+6(〃—

则当〃=10时，x取得最大值为56

故答案为：56

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

22

17、⑴土+匕=1

43

（2）①（0,6］；②详见解析；R,0L

C1

e=—=—

a2

22

【解题分析】（1）由题得yja+b即求;

/=6?+c2

丝巨I,进而可得四边形面积，再利用对

（2）①由题可设。£:%=9+1,利用韦达定理法可得卜一

3r+4

勾函数的性质可求范围；②由题可得后2：，-乂=三匚三（》-4）,令y=0,通过计算可得x=』，即得.

4-X22

【小问1详解】

C1

e----

a2

由题可得＜4a+b2=近,

a=b2+c2

解得a=4,/=3,，=1,

22

...椭圆c的标准方程L+^=1.

43

【小问2详解】

①由题可知尸（1,0）,可设直线DE：x=9+l,D（xl,y1）,E（x2,y2）,

x=ty+l

由尤2y2_,可得（3产+4）巾+6力—9=0,

U3

二A=⑹丫-4(3r+4)x(-9)>0,%+%=,%%=，

1I_.iII1,12"v?2+24"+1

二四边形。。HE面积S=ri-Yj-y=-x4x————

2111-122123产+43产+4

S24m24

2

令m=J产+1,m>lf则3m+13Hl+J_，

m

因为加21,所以3加+124,当根=1时，取等号，

m

,0<S<6,

・・・四边形ODHE面积取值范围为(0,6]；

②由上可得R(4,%),直线—%=产2%—4),

4_%2

令y=。，得户型凸―力,

>2乂一%

_6/_9

由'+%=养百，四%=武w’可得3(%+%)=2缶%’

3

.彳(弘+%)+%-4%5

''x=------------------------=-，

X-为2

直线过定点G[,O].

18、(1)略(2)S„=nx2n-2n+1

【解题分析】(1)题中条件勿=券，而要证明的是数列「是等差数列，因此需将条件中所给的；的递推公式

口用=24+2"转化为；的递推公式：智=2+1,从而2+1=2+1,I=2=1,进而得证；(2)由(1)可

得，q=〃2"T,因此数列二的通项公式可以看成一个等差数列与等比数列的乘积，故可考虑采用错位相减法求其

前项和，即有：S-11-22：+32;-------M.-1I①，①.得：

25-12'-21+32---，「：I-2②，

②-①得；一2-12:-2-2;--2-2-2-1.

试题解析：⑴•••。用=24+2"，器=券+1,又•."，=券，.•.&]=〃+1，

b=三=1,.•.则也｝是：为首项[为公差的等差数列；

■

l

由(1)得bn=l+(n-l)-l=n,：.an=nT~,

1

.-.$c=lx20+2x2+3x21+…+0»-l)x2i-八2-①，

1l

①.2得：25x=1>2+22*-3F-----（n-l）x2*+nx2

②-①得：-2-12'-2-2;--2--<2-2-1.

考点：1.数列的通项公式；2.错位相减法求数列的和.

2[

19、（1）x2+=1;（2）k=±-.

42

【解题分析】（1）本题可根据椭圆的定义求出点P的轨迹C;

（2）本题首先可设A（玉,%）、5（尤2,%），然后联立椭圆与直线方程，通过韦达定理得出

今十£

-2k

+x=-一"，最后通过Q4_L03得出为々+%%=0,代入王%2、%+%的值并计算，即可得出结果.

2T-Irv

【题目详解】（1）因为点P到两点M（0,-右）、N仅6）的距离之和等于4,

所以结合椭圆定义易知，点P的轨迹是以点V、N为焦点且2a=4的椭圆，

则a=2,c=JLb=Ja2-c2=1>点P的轨迹。：/+乙=1.

4

（2）设A（XI,yJ,_8（无2，%），

联立〈尤+T=1，整理得（4+公）f+2.—3=0,

y=kx+l

-3-2k

贝U%,X9=7"，%+=T，

1-4+左21，4+左2

因为。4_L03，所以X]%+%%=0，

即XxX2+（区]+l）（Axo+1）=0,整理得（左2+1）%为2+k（石+尤2）+1=0，

贝1（42+。？二2^左？3T1=0,整理得4左2=1,解得女=士"

\）4+左24+左22

【题目点拨】关键点点睛：本题考查根据椭圆定义求动点轨迹以及直线与抛物线相关问题的求解，椭圆的定义为动点

到两个定点的距离为一个固定的常数，考查韦达定理的应用，考查计算能力，是难题.

3n

20、（1）a=2n-l；（2）-----.

n2n+l

【解题分析】（1）设等差数列｛4｝的公差为d,根据题意列出方程组，求得4,d的值，即可求解；

,33/11、

（2）由（1）求得优=------=-（-~ryf），结合“裂项法”即可求解.

%%22n-12〃+1

【题目详解】(D设等差数列｛4｝的公差为dS>0),

因为。2=3,若〃1，。3-41，。8+。1成等比数列，

“I+d=3

可得<%(2q+7d)=(2d『，解得a[=l,d=2,

d>0

所以数列｛4｝的通项公式为4=1+(〃—1)义2=2〃—1.

(2”；2"+i)=《Cr》

(2)由(1)可得用=-----

44+1

所以s〃=|[(i_5+q_g+,-；)+3n

+(

2n-l"]=5(1一"=

2«+1

【题目点拨】关于数列的裂项法求和的基本策略:

1、基本步骤：

裂项：观察数列的通项，将通项拆成两项之差的形式;

累加：将数列裂项后的各项相加；

消项：将中间可以消去的项相互抵消，将剩余的有限项相加，得到数列的前几项和.

2、消项的规律：

消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项.

21、(1)/(%)在(0,1)上单调递减，在(L+8)上单调递增

(2)证明见解析

【解题分析】(1)当。=1时，利用/(%)求得八%)的单调区间.

(2)将问题转化为证明/(%)=/-2-19>0,利用导数求得了(%)的最小值大于零，从而证得不等式成立.

【小问1详解】

当a=］时，/(x)=e-—=工，

且了(1)=0,

又y=e'T与y