江西省宜丰2024年高考数学五模试卷含解析

江西省宜丰中学2024年高考数学五模试卷

考生须知：

1.全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色

字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.将函数y=sin2x的图像向左平移叭甲＞0）个单位得到函数y=sin2x+-的图像，则。的最小值为（）

6

~6

2.在边长为2的菱形ABCD中，BD=26,将菱形ABCD沿对角线AC对折，使二面角3-AC-O的余弦值为:，

则所得三棱锥A-BCD的外接球的表面积为（）

2万,

A.—B.2〃C.4万D.67T

3

3.已知三棱锥P-ABC的四个顶点都在球。的球面上,上4，平面ABC,AABC是边长为26的等边三角形，若球。

的表面积为207，则直线PC与平面八钻所成角的正切值为（）

A.-B.立C.-V7D.立

4374

4.若不相等的非零实数X,y,z成等差数列，且X,y,z成等比数列，则二=（）

Z

57

A.——B.-2C.2D.-

22

5.据国家统计局发布的数据，2019年11月全国CP1（居民消费价格指数），同比上涨4.5%,CP/上涨的主要因素是

猪肉价格的上涨，猪肉加上其他畜肉影响CP/上涨3.27个百分点.下图是2019年11月CP/一篮子商品权重，根据该

图，下列结论错误的是（）

教育文化和

娱乐8.5%

A.CP/一篮子商品中所占权重最大的是居住

B.CP/一篮子商品中吃穿住所占权重超过50%

C.猪肉在。尸/一篮子商品中所占权重约为2.5%

D.猪肉与其他畜肉在CP/一篮子商品中所占权重约为0.18%

6.己知全集为实数集R,集合4=｛小2+2工-8>0｝,B=｛x\log2^<l｝9贝！）（5A）c5等于（）

A.[-4,2]B.[-4,2）C.（-4,2）D.（0,2）

-+X2,X<1

7.已知函数/（%）=alnx、一若曲线>上始终存在两点A,B,使得OALQ5,且AB的中点在V

-------,%>1

x（x+l）

轴上，则正实数，的取值范围为（）

1

A.(0,+oo)C.D.[e,+oo)

e

8.等比数列｛4｝中，=-,q=2,则%与他的等比中项是（）

8

11

A.±4B.4C.±-D.-

44

9.设正项等比数列｛4｝的前〃项和为S,,,若邑=3,%+为=12,则公比4=（）

A.+4B.4C.±2D.2

10.已知正三角形ABC的边长为2,。为边的中点，E、R分别为边A3、AC上的动点，并满足|AE|=2|"卜

则。£・。尸的取值范围是（）

A.B.（-00,—]C.[一[0]D.（-00,0]

2lo162

11.某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的外接球表面积为（）

A.12万B.16乃

C.24%D.48乃

12.椭圆是日常生活中常见的图形，在圆柱形的玻璃杯中盛半杯水，将杯体倾斜一个角度，水面的边界即是椭圆.现有

一高度为12厘米，底面半径为3厘米的圆柱形玻璃杯，且杯中所盛水的体积恰为该玻璃杯容积的一半（玻璃厚度忽略

不计），在玻璃杯倾斜的过程中（杯中的水不能溢出），杯中水面边界所形成的椭圆的离心率的取值范围是（）

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

22

13.已知双曲线C:二-2=1（。>03>0）的左右焦点分别为耳，工，。为坐标原点，点M为双曲线右支上一点，

ab

若|耳闾=2|。叫，12112航工耳22,则双曲线C的离心率的取值范围为.

14.设全集U=R,集合4=卜|必—2x<0},B={x\x>l},则集合Ac05）=.

15.已知平面向量.，人的夹角为g,口=（行,1）,且|a—切=6，则|切=

22

16.已知椭圆r：=+•=1（。〉6〉0）,尸I、仍是椭圆r的左、右焦点，A为椭圆r的上顶点，延长Ab2交椭圆r

ab

于点况若AB片为等腰三角形，则椭圆r的离心率为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）已知函数;'（xhalnx—史:曲线y=/（力在点（I"⑴）处的切线方程为2x—y—2—e=0.

（1）求a,b的值;

（2）证明函数/（x）存在唯一的极大值点/，且/（%）<21n2—2.

18.（12分）管道清洁棒是通过在管道内释放清洁剂来清洁管道内壁的工具，现欲用清洁棒清洁一个如图1所示的圆

管直角弯头的内壁，其纵截面如图2所示，一根长度为Ls的清洁棒在弯头内恰好处于A5位置（图中给出的数据是

圆管内壁直径大小，.

（2）若想让清洁棒通过该弯头，清洁下一段圆管，求能通过该弯头的清洁棒的最大长度.

19.（12分）已知函数/（4）=/+=,g（x）=e1nx.

（1）若对于任意实数％20,/（可>0恒成立，求实数a的范围;

（2）当a=-1时，是否存在实数九使曲线C：y=g（x）—/（x）在点/处的切线与V轴垂直？若存在，求

出与的值；若不存在，说明理由.

22

20.（12分）设点耳（-c,O）,心（G。）分别是椭圆C:=+匕=1（。〉2）的左，右焦点，P为椭圆C上任意一点，且

一a24

PR时的最小值为L

（2）如图，直线/:x=5与％轴交于点E,过点B且斜率左W0的直线4与椭圆交于A,3两点，M为线段E名的中

点，直线AM交直线/于点N,证明：直线BNJU.

21.（12分）在①J§（Z?cosC-a）=csinB；®2a+c=2Z?cosC；@Z?sinA=A/3«sin~~~~这三个条件中任选一

个，补充在下面问题中的横线上，并解答相应的问题.

在AABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足,b=2^3,a+c=4,求AABC的面

积.

22.（10分）为了打好脱贫攻坚战，某贫困县农科院针对玉米种植情况进行调研，力争有效地改良玉米品种，为农民

提供技术支援，现对已选出的一组玉米的茎高进行统计，获得茎叶图如图（单位：厘米），设茎高大于或等于180厘米

的玉米为高茎玉米，否则为矮茎玉米.

抗倒状易倒状

77314

9733115

9640167

554175

12667

9S521900345899

6632023

（1）求出易倒伏玉米茎高的中位数加；

（2）根据茎叶图的数据，完成下面的列联表:

抗倒伏易倒伏

矮茎

高茎

（3）根据（2）中的列联表，是否可以在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为抗倒伏与玉米矮茎有关?

n(ad-be)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(KL.K)0.0500.0100.001

K3.8416.63510.828

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B

【解析】

根据三角函数的平移求出函数的解析式，结合三角函数的性质进行求解即可.

【详解】

将函数y=sin2x的图象向左平移（p（（p>0）个单位，

得至（Jy=sin2（%+。）=sin（2x+2（p）,

TT

此时与函数y=sin（2九十:）的图象重合，

6

JI

贝（］2（p=2k兀H——,即0=左力—,keZ,

612

77

二当左=0时，9取得最小值为°=一，

故选：B.

【点睛】

本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数的平移关系求出解析式是解决本题的关键.

2、D

【解析】

取AC中点N,由题意得即为二面角5—AC—。的平面角，过点3作3OLDN于0,易得点。为_ADC的

/7丫/巧丫

中心，则三棱锥A-BCD的外接球球心在直线3。上，设球心为。1，半径为乙列出方程2以-r+乂=1

33

即可得解.

【详解】

如图，由题意易知-ABC与_ADC均为正三角形，取AC中点N,连接BN,DN,

则的VLAC,ONLAC,,即为二面角3—AC—。的平面角，

过点B作BOLDN于。，则50,平面AC。，

=BN-cosZBND=^~,0D=^-,03=}—［个］=^~'

由BN=ND=6,cosNBND=；可得ON二

ON=gNL＞即点。为一ADC的中心，

•••三棱锥A-BCD的外接球球心在直线BO上,设球心为。1，半径为厂，

BOX=DO{=r,OO]=乎—r,

...其5—力+f—“解得一逅，

332

23

•••三棱锥A—BCD的外接球的表面积为S=4乃r=4A〃x—=.

2

故选：D.

B

【点睛】

本题考查了立体图形外接球表面积的求解，考查了空间想象能力，属于中档题.

3、C

【解析】

设。为中点,先证明CD，平面八钻，得出NCP。为所求角，利用勾股定理计算PA,PD,CD，得出结论.

【详解】

设。，石分别是45,3。的中点AECD=F

R4_L平面ABC:.PA±CD

AABC是等边三角形:.CD±AB

又QAAB=A

\CE>A平面245.•.NCP。为PC与平面八旬所成的角

AABC是边长为26的等边三角形

2

.-.CD=AE=3,AF=—AE=2且歹为AABC所在截面圆的圆心

3

球。的表面积为20万二球。的半径。4=6

:.OF=^O^-AF2=1

24,平面ABC:.PA=2OF=2

PD=VPA2+AD2=V7

CD_3_377

tan/CPD=

本题正确选项：C

【点睛】

本题考查了棱锥与外接球的位置关系问题，关键是能够通过垂直关系得到直线与平面所求角，再利用球心位置来求解

出线段长，属于中档题.

4、A

【解析】

Y+7X7

由题意，可得y=一z2=孙，消去y得f+xz—2z2=0,可得一二—2,继而得到y=—不，代入即得解

2z2

【详解】

由X,y,Z成等差数列，

所以y=±5二，又%z,y成等比数列，

所以z2=孙，消去y得好+xz—2Z2=0，

所以2=0,解得二=1或2=-2,

\7.)ZZZ

因为％,y,z是不相等的非零实数，

X7

所以一二—2,此时y=—三,

z2

所以二=-2—L_9.

z22

故选：A

【点睛】

本题考查了等差等比数列的综合应用，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.

5、D

【解析】

A.从第一个图观察居住占23%,与其他比较即可.B.一篮子商品中吃穿住所占23%+8%+19.9%=50.9%,再判断.C.

食品占19.9%,再看第二个图，分清2.5%是在C7V一篮子商品中，还是在食品中即可.D.易知猪肉与其他畜肉在CP/

一篮子商品中所占权重约为2.1%+2.5%=4.6%.

【详解】

A.CP/一篮子商品中居住占23%,所占权重最大的，故正确.

B.CP/一篮子商品中吃穿住所占23%+8%+19.9%=50.9%,权重超过50%,故正确.

C.食品占中19.9%,分解后后可知猪肉是占在CP/一篮子商品中所占权重约为2.5%,故正确.

D.猪肉与其他畜肉在CP/一篮子商品中所占权重约为2.1%+2.5%=4.6%,故错误.

故选：D

【点睛】

本题主要考查统计图的识别与应用，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.

6、D

【解析】

求解一元二次不等式化简A,求解对数不等式化简5,然后利用补集与交集的运算得答案.

【详解】

解：由*2+2*-8>0,得xV-4或x>2,

/.A={x|x2+2x-8>0}={x|x<-4或x>2},

由，ogzxvl,x>0,得0VxV2,

/.B={x\log2X<l}={x|0<x<2},

则^A={xM<x<2},

A(^A)i6=(0,2).

故选：D.

【点睛】

本题考查了交、并、补集的混合运算，考查了对数不等式，二次不等式的求法，是基础题.

7,D

【解析】

根据中点在y轴上，设出A,B两点的坐标B(t,f(ty),a>0).对f分成三类，利用

04,03则0403=0,列方程，化简后求得。=乙，利用导数求得L的值域，由此求得。的取值范围.

InfInr

【详解】

根据条件可知A,B两点的横坐标互为相反数,不妨设A(-r,「+巧，,(/>0),若，<1,则/⑺=-?+/，

由O瓦所以。403=0，即一/+(/+/)(—产+〃)=o,方程无解；若/=i,显然不满足a。QB；若/>1,

2/32、。In/八t(tln^-1t

则/«)=/=，由04.03=0,即T+卜+/)/二=0,即。=「，因为—=;~所以函数「

t(t+1)'，/«+1)Inz(in?)'Inr

在(O,e)上递减，在(e,+s)上递增，故在/=e处取得极小值也即是最小值丘=6,所以函数丁=士在(1+8)上的

值域为[e,+8),故ae[e,+8).故选D.

【点睛】

本小题主要考查平面平面向量数量积为零的坐标表示，考查化归与转化的数学思想方法，考查利用导数研究函数的最

小值，考查分析与运算能力，属于较难的题目.

8、A

【解析】

利用等比数列{4}的性质可得城=%%，即可得出.

【详解】

设应与a8的等比中项是

由等比数列｛%｝的性质可得忧=%。8，・••元=±。6.

，为与〃8的等比中项％=±。6=±—X25=±4.

8

故选A.

【点睛】

本题考查了等比中项的求法，属于基础题.

9、D

【解析】

由$2=3得q+4=3,又％+%=(4+%)"2=12,两式相除即可解出4.

【详解】

解：由$2=3得q+%=3,

又。3+。4=(/+%)/=12,

q2=4,q=-2,或q=2,

又正项等比数列｛4｝得q>0,

/.q=2,

故选：D.

【点睛】

本题主要考查等比数列的性质的应用，属于基础题.

10、A

【解析】

建立平面直角坐标系，求出直线AB:y=6(x+l),AC:y=-A^(X-I)

设出点石(冽,石(加+1)),/(",-6(〃—1))，通过IAE|=2|CR|,找出相与”的关系.

通过数量积的坐标表示，将上.)表示成〃，与〃的关系式，消元，转化成机或〃的二次函数，利用二次函数的相关

知识，求出其值域，即为£>?£>/的取值范围.

【详解】

以D为原点，BC所在直线为x轴，AD所在直线为V轴建系，

设A(O,g),B(—1,O),C(1,O),则直线AB:y=g(x+l),AC:y=—6(x—D

设点E(m,限m+1)),F(n,-瓜n-1)),-l<m<O,O<n<l

所以AE=(m,A^m),CF=(n-l,-73(M-1))

由|荏|=2|序|得加=4(〃-l)2,即加=2("—l),

7i

所以DE-DF=nm-3(m+1)(〃-1)=-4n2+7n-3=-4(〃一一)2+—,

816

由—1<m=2(〃-1)<0及0<〃Wl,解得由二次函数y=-4(〃一1)2+J_的图像知，je[-lX],所以

2816216

DE.。厂的取值范围是•故选A.

216

【点睛】

本题主要考查解析法在向量中的应用，以及转化与化归思想的运用.

n、A

【解析】

由三视图知：几何体为三棱锥，且三棱锥的一条侧棱垂直于底面，结合直观图判断外接球球心的位置，求出半径，代

入求得表面积公式计算.

【详解】

由三视图知：几何体为三棱锥，且三棱锥的一条侧棱垂直于底面，高为2,

底面为等腰直角三角形，斜边长为2应，如图：

.•.AABC的外接圆的圆心为斜边AC的中点。，0D1AC,且。。u平面SAC,

SA=AC^2,

SC的中点。为外接球的球心，

•4•半径R=6,

外接球表面积S=4万X3=12万.

故选：A

【点睛】

本题考查了由三视图求几何体的外接球的表面积，根据三视图判断几何体的结构特征，利用几何体的结构特征与数据

求得外接球的半径是解答本题的关键.

12、C

【解析】

根据题意可知当玻璃杯倾斜至杯中水刚好不溢出时，水面边界所形成椭圆的离心率最大，由椭圆的几何性质即可确定

此时椭圆的离心率，进而确定离心率的取值范围.

【详解】

当玻璃杯倾斜至杯中水刚好不溢出时，水面边界所形成椭圆的离心率最大.

此时椭圆长轴长为J12?+6?=6小，短轴长为6,

故选：C

【点睛】

本题考查了楠圆的定义及其性质的简单应用，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、l<e<

【解析】

P4°2=|叫「+阳闾2,1311/；明耳=需|,又由双曲线

法一:根据直角三角形的性质和勾股定理得/片Mg=

....,...\MF.\e2=l+---

的定义得|5|-|a1=2。，将离心率表示成关于|M|，|叫|的式子，再令扁=后2,则右?+1_2,令

/（0=?+p对函数求导研究函数在[2,+8）上单调性，可求得离心率的范围.

法二：令|上阴|=、|叫|=马，ZMF2F=0,tan6>>2,]=2csin。，根据直角三角形的性质和勾股定理得

71

ZF.MF^-,将离心率表示成关于角。的三角函数，根据三角函数的恒等变化转化为关于tan夕的函数，可求得离

心率的范围.

【详解】

\MF.\

2

法一：国用|=2|QM|,.•./[叫=]:.4c=\MF}f+\MF2ftan/MF?F\—-----:

2悭研____________

4c_\MF}f+\MF2f

\MF^-\MF^=2a,才一(的周一|咽|)2

师居

MK1-2IMI+\MF2f

\MF2f

铅四则/r+12

L>2-；-----------=1H-------：------

设同一62'则2、

t-2t+l—IH-1---Z

令/("=/+；,/，("=]_:'宁—1),所以/>2时,/'(?)>0,/(。在[2,+8)上单调递增,

115厂

•-t+->2n+—=—,：.l<e2<5f:.l<e<V5.

t22

法二：⑶月令|阿|=、|叫|=&,

|=2|0M|,.•.NGMg=T，ZMF2F=0,tan(9>2,r=2csm6,

r>=2ccos0,:.2a=r,-n=2c(sin0-cos6),e=---------------,

sin0-cos0

1_sin20+cos20_tan26^+1

1+-------------------<5

222

(sin-cosOYsin^+cos0-2sin^cos^tan0+1-2tan0tan0+--------2

tan。

故答案为：l<e<^.

【点睛】

本题考查求双曲线的离心率的范围的问题，关键在于将已知条件转化为与双曲线的”,dc有关，从而将离心率表示关

于某个量的函数，属于中档题.

14、(0,1]

【解析】

分别解得集合A与集合B的补集，再由集合交集的运算法则计算求得答案.

【详解】

由题可知，集合A中7-2x<0=>x(x-2)<0n0<x<2

集合8的补集g3={x|x<l},则Ac&3)={x|0<x〈l}

故答案为：(0,1]

【点睛】

本题考查集合的交集与补集运算，属于基础题.

15、1

【解析】

rrr

根据平面向量模的定义先由坐标求得。，再根据平面向量数量积定义求得a力；将化简并代入即可求得

【详解】

a=(G,l),则卜卜J(百丁+俨=2,

平面向量a，匕的夹角为则由平面向量数量积定义可得a2=W-Wcosg=2xMx；=M|,

根据平面向量模的求法可知1=V3，

代入可得,4—2忖+此=73，

解得卜|=1，

故答案为：L

【点睛】

本题考查了平面向量模的求法及简单应用，平面向量数量积的定义及运算，属于基础题.

16、B

3

【解析】

由题意可得等腰三角形的两条相等的边，设忸囚=/,由题可得忸耳|的长，在三角形耳中，三角形幽心中由余

弦定理可得的值相等，可得a,c的关系，从而求出椭圆的离心率

【详解】

如图，若AA5耳为等腰三角形，贝！］|3为|平为.设|3g|=f,贝!J|BR|=2a-f,所以|4昨a+U|3尸i|=2a-f,解得a=2f,即

尸i|=3f,\AFi\=2t,设NR40=仇贝!|/区4歹尸2仇所以「的离心率e='=当"=sin®,结合余弦定理，易得在

AA54中，cos20=-=l-2sin2^,所以sin2g=L,即e=sin。=占，

333

故答案为：走.

3

【点睛】

此题考查椭圆的定义及余弦定理的简单应用，属于中档题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)a=2,b=l(2)证明见解析

【解析】

(1)求导，可得了'(1)=。，f(1)=-be,结合已知切线方程即可求得。，〃的值；

e"22

(2)利用导数可得了(%)=2历x。----=2lnx0---------x0e(l,2),再构造新函数〃(幻=2历x------------,l<x<2,利用导

Xox0-1x-1

数求其最值即可得证.

【详解】

(1)函数的定义域为(0,+8),广(x)--ge：e、),

XX

则/'(1)=a,f(1)=-be,

故曲线y=/(x)在点a,f(1))处的切线方程为办-y-a-%=0,

又曲线y=/(x)在点(1,f(1))处的切线方程为2x-y-2-e=0,

..a=2,b=1；

x2x-xex+ex

(2)证明：由(1)知，f(x)=2lnxe--,则广㈤二:,

XX

令g(x)=2x-xe*+e*,贝!)g，(x)=2-xe",易知g'(x)在(0,+℃)单调递减，

又g，(0)=2>0,g'(1)=2-e<0,

故存在占€(0,1),使得g@)=0,

且当xe(0,』)时，g'(x)>0,g«)单调递增，当+co)时，g，(x)<0,g(x)单调递减，

由于g(0)=l>0,g(1)=2>0,g(2)=4-e2<0,

故存在/e(1,2),使得g(xO)=O,

且当xw(O,%)时，g(x)>0,/(%)>0,f(x)单调递增,当xe®,+8)时，g(x)<0,f(x)<0,f(x)单调递

减，

故函数存在唯一的极大值点%,且g(无。)=21-瓦洲+*=0,即*=用、,为e(l,2),

*2

贝(I/(%)=2历%----=2lnx0----------,

%X。-1

222

令h(x)=2lnx--------,1<%<2,贝！］h\x)=-+-------j>0,

x-1x(x-1)

故川犬)在(1,2)上单调递增，

2

由于毛£(1,2),故帖；0)</2(2)=2历2-2,即2g)--------<2/n2-2,

/T

二./(犬0)<2ln2-2.

【点睛】

本题考查导数的几何意义以及利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查推理论证能力，属于中档题.

18、(1)-^r+—0,^1；(2)13A/13COT.

sm0cos0\2J

【解析】

(1)过A作PC的垂线，垂足为C,易得AP=「，BP=-进一步可得£；

sin6cos6

(2)利用导数求L(0)=三+一6e|0,^|得最大值即可.

sinacos，I2)

【详解】

(1)如图，过A作PC的垂线，垂足为C,在直角△APC中，AAPC=0,

278

AC=27cm,所以=——cm,同理3尸二----cm,

sin0cos0

',IZvZI,I

sin。cos夕I2J

rmi丁“、27cos68sin^8sin3^-27cos3^

贝（1L（6）=-----5一+——==------5-----5—，

sin20cos20sin2<9cos20

令工⑹=0,则tai?*?,即tan6=m

设6oe]o,1^,且tan%=|,则

当。€（0,〃）时，tan0<|,£（0）<0,所以单调递减；

当时，tan9>m，Z（e）>0,所以单调递增,

所以当。=%时，〃，）取得极小值，

所以L（。）1rali="4）.

33

2

因为tan4=—,所以sinq=—cos^,又sin?综+cos00=1,

所以COSKJ,又4+目，

~2.3

所以COS6O=7U，所以sin6o=7^,

所以■为"嘉+e=13万(。〃)

所以能通过此钢管的铁棒最大长度为13疝%.

【点睛】

本题考查导数在实际问题中的应用，考查学生的数学运算求解能力，是一道中档题.

19、(1)(-e,-Hx>)；(2)不存在实数九0e[l,e],使曲线y="(尤)在点x=/处的切线与丁轴垂直.

【解析】

(1)分类x=0时，恒成立，龙W0时，分离参数为。〉-乙，引入新函数H(x)=-利用导数求得函数最值即

XX

可；

(2)M(x)=f(x)-g(x)=ex]nx-ex+x,导出导函数”(x),问题转化为"(x)=0在口⑷上有解.再用导数研

究M(x)的性质可得.

【详解】

解：(1)因为当尤20时，/(x)=e*+ax>0恒成立,

所以，若x=0,。为任意实数，/(%)="+3:>0恒成立.

若%>0,/(%)=e，+ax>0恒成立，

即当尤>0时，a>-—,

X

山口/\e*〃，/\exx-ex(l-x)ex

设H(%)=---9H(x)=------—=-------9

xxx

当xe(O,l)时，H'(x)>0,则H(x)在(0,1)上单调递增，

当时，H'(x)<0,则H(x)在。,+»)上单调递减，

所以当x=l时，H(x)取得最大值.

用"厘二"⑴”，

所以，要使“0时，/(尤)>0恒成立，。的取值范围为(—％+8).

(2)由题意，曲线。为：y=exlnx-ex+x.

令M(x)=e*lnx-e*+x,

所以M'(x)=J+e*Inx-e*+1=［4+lnx-l］e*+1,

设/i(x)=^+lnx—1,贝U/f(x)=—二+工=与，

XXJCJC

当xe［l,e］时，/z'(%)>0,

故h(x)在［1,e\上为增函数，因此/i(x)在区间［1,e\上的最小值%⑴=In1=0,

所以/z(x)=—+ln%-l>0,

当/epe］时,*>0,—+ln%0-l>0,

X。

(1、

所以M'(xo)=---blnx0-1*+1〉0,

\x0)

曲线y=einx-e'+x在点x=/处的切线与y轴垂直等价于方程AT(%)=。在％e[1,e]上有实数解.

而"'(%)>0,即方程”(不)=0无实数解.

故不存在实数xoe[l,e],使曲线y=M(尤)在点x=%处的切线与丁轴垂直.

【点睛】

本题考查不等式恒成立，考查用导数的几何意义，由导数几何把问题进行转化是解题关键.本题属于困难题.

22

20、(1)—+^=1(2)见解析

54

【解析】

(1)设p(x,y),求出PE后由二次函数知识得最小值，从而得a,即得椭圆方程；

(2)设直线4的方程为y=1),4W0,代入椭圆方程整理，设由韦达定理得

X+X,=-^^,为々=V，设N(5,y°),利用AM,N三点共线，求得％=T，

1-4+5左2，]24+5左之Xj-3

然后验证%-%=0即可.

【详解】

解：(I)设P(x,y),则"=(—c—%—y)，朋=(c—x,—y)，

所以「=必+>2一°2=q:1必+4-°2,

a

因为Q>2,尤£[-a,a].

所以当x=0时，月片•"值最小，

所以4—/=3,解得。=1,(舍负)

所以/=5,

22

所以椭圆C的方程为土+匕=1,

54

(2)设直线4的方程为y=1),左W0,

y=k(x-V),

联立2,得(4+5左2)/一10左2JC+5/—20=0.

1一5+一4=1,

、几4/xox、„।lQk~5k~—20

设4%,%),5(%2，>2)，贝！I%+々=-——j,为々=~~ZTF，

/1I，>vID

设N(5,y0),因为AM,N三点共线，又M(3,0)

所以m=+，解得为=上\.

3_%2玉—3

°,1015A2—20「

-1K-------------K---------------1K

2

而2M_24(芭―1)3左(西+々)一打马一5左—4+5424+5Z:所以

%—3%-3%-3%—3

直线的V//x轴，即3NU.

【点睛】

本题考查求