2024年高考数学大一轮(人教A版文)第十一章11.1　随机事件的概率复习讲义(学生版+解析)

§11.1随机事件的概率考试要求1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义以及频率与概率的区别.2.理解事件间的关系与运算．知识梳理1．事件的相关概念2．频数、频率和概率(1)频数、频率：在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的________，称事件A出现的比例fn(A)＝eq\f(nA,n)为事件A出现的________．(2)概率：对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率fn(A)稳定在区间[0,1]中的某个常数上，把这个常数记作P(A)，称为事件A的概率．3．事件的关系与运算名称条件结论符号表示包含关系A发生⇒B发生事件B包含事件A(事件A包含于事件B)B⊇A(或A⊆B)相等关系若B⊇A且A⊇B事件A与事件B________A＝B并(和)事件A发生或B发生事件A与事件B的________(或和事件)A∪B(或A＋B)交(积)事件A发生且B发生事件A与事件B的________(或积事件)A∩B(或AB)互斥事件A∩B为不可能事件事件A与事件B________A∩B＝∅对立事件A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件事件A与事件B互为________________A∩B＝∅，P(A∪B)＝14.概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：________________.(2)必然事件的概率：P(A)＝________.(3)不可能事件的概率：P(A)＝________.(4)概率的加法公式：若事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝________________.(5)对立事件的概率：若事件A与事件B互为对立事件，则A∪B为必然事件．P(A∪B)＝________，P(A)＝________________.常用结论1．当随机事件A，B互斥时，不一定对立；当随机事件A，B对立时，一定互斥，即两事件互斥是对立的必要不充分条件．2．若事件A1，A2，…，An两两互斥，则P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)必然事件一定发生．()(2)事件发生的频率与概率是相同的．()(3)两个事件的和事件发生是指这两个事件至少有一个发生．()(4)若A∪B是必然事件，则A与B是对立事件．()教材改编题1．在10件同类产品中，有2件次品，从中任取3件产品，其中不可能事件为()A．3件都是正品 B．至少有1件次品C．3件都是次品 D．至少有1件正品2．一个人打靶时连续射击两次，事件“至多有一次中靶”的互斥事件是()A．至少有一次中靶 B．两次都中靶C．只有一次中靶 D．两次都不中靶3．从某班学生中任意找出一人，如果该同学的身高小于160cm的概率为0.2，该同学的身高在[160,175](单位：cm)内的概率为0.5，那么该同学的身高超过175cm的概率为()A．0.2B．0.3C．0.7D．0.8题型一随机事件间的关系例1(1)抛掷一枚骰子，“向上的点数是1或2”为事件A，“向上的点数是2或3”为事件B，则()A．A⊆BB．A＝BC．A∪B表示向上的点数是1或2或3D．A∩B表示向上的点数是1或2或3听课记录：_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)从某班级中任意选出三名学生，设A＝{三名学生都是女生}，B＝{三名学生都不是女生}，C＝{三名学生不都是女生}，则下列结论不正确的是()A．A与C为互斥事件B．A与B互为对立事件C．B与C存在包含关系D．B与C不是对立事件听课记录：_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华互斥、对立事件的判别方法(1)在一次试验中，不可能同时发生的两个事件为互斥事件．(2)两个互斥事件，若有且仅有一个发生，则这两个事件为对立事件．跟踪训练1(1)某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名参加演讲比赛，设A＝{2名全是男生}，B＝{2名全是女生}，C＝{恰有一名男生}，D＝{至少有一名男生}，则下列关系不正确的是()A．A⊆D B．B∩D＝∅C．A∪C＝D D．A∪B＝B∪D(2)新高考实行“3＋1＋2”模式，即语文、数学、外语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二，共有12种选课模式．某同学已选了物理，记事件A＝{他选择政治和地理}，事件B＝{他选择化学和地理}，则事件A与事件B()A．是互斥事件，不是对立事件B．既是互斥事件，也是对立事件C．既不是对立事件，也不是互斥事件D．无法判断题型二随机事件的频率与概率例2某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温[10，15)[15，20)[20，25)[25，30)[30，35)[35，40]天数216362574以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华概率和频率的关系概率可看成频率在理论上的稳定值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小，它是频率的科学抽象，当试验次数越来越多时频率向概率靠近，只要次数足够多，所得频率就近似地当作随机事件的概率．跟踪训练2下面是英文字母和空格使用频率的一份统计表：字母频率字母频率字母频率空格0.2H0.047W0.012E0.105D0.035G0.011T0.071L0.029B0.0105O0.0644C0.023V0.008A0.063F0.0221K0.003N0.059U0.0225X0.002I0.054M0.021J0.001R0.053P0.0175Q0.001S0.052Y0.012Z0.001根据上表回答：(1)若使用了1000次键盘的按键，字母M键约使用了多少次？(2)若字母Y键使用了6次，那么键盘的按键约使用了多少次？(3)使用空格键的概率是多少？________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________题型三互斥事件、对立事件的概率例3在某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．其中1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，求：(1)P(A)，P(B)，P(C)；(2)1张奖券的中奖概率；(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华复杂的互斥事件的概率的两种求法(1)直接法：第一步，根据题意将所求事件分解为一些彼此互斥的事件的和；第二步，运用互斥事件的概率求和公式计算概率．(2)间接法：第一步，求事件的对立事件的概率；第二步，运用公式P(A)＝1－P(eq\x\to(A))求解．特别是含有“至多”“至少”的题目，用间接法就显得比较简便．跟踪训练3一盒中装有12个球，其中5个红球，4个黑球，2个白球，1个绿球．从中随机取出1球，求：(1)取出1球是红球或黑球的概率；(2)取出1球是红球或黑球或白球的概率．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________§11.1随机事件的概率考试要求1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义以及频率与概率的区别.2.理解事件间的关系与运算．知识梳理1．事件的相关概念2．频数、频率和概率(1)频数、频率：在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝eq\f(nA,n)为事件A出现的频率．(2)概率：对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率fn(A)稳定在区间[0,1]中的某个常数上，把这个常数记作P(A)，称为事件A的概率．3．事件的关系与运算名称条件结论符号表示包含关系A发生⇒B发生事件B包含事件A(事件A包含于事件B)B⊇A(或A⊆B)相等关系若B⊇A且A⊇B事件A与事件B相等A＝B并(和)事件A发生或B发生事件A与事件B的并事件(或和事件)A∪B(或A＋B)交(积)事件A发生且B发生事件A与事件B的交事件(或积事件)A∩B(或AB)互斥事件A∩B为不可能事件事件A与事件B互斥A∩B＝∅对立事件A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件事件A与事件B互为对立事件A∩B＝∅，P(A∪B)＝14.概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1.(2)必然事件的概率：P(A)＝1.(3)不可能事件的概率：P(A)＝0.(4)概率的加法公式：若事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．(5)对立事件的概率：若事件A与事件B互为对立事件，则A∪B为必然事件．P(A∪B)＝1，P(A)＝1－P(B)．常用结论1．当随机事件A，B互斥时，不一定对立；当随机事件A，B对立时，一定互斥，即两事件互斥是对立的必要不充分条件．2．若事件A1，A2，…，An两两互斥，则P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)必然事件一定发生．(√)(2)事件发生的频率与概率是相同的．(×)(3)两个事件的和事件发生是指这两个事件至少有一个发生．(√)(4)若A∪B是必然事件，则A与B是对立事件．(×)教材改编题1．在10件同类产品中，有2件次品，从中任取3件产品，其中不可能事件为()A．3件都是正品 B．至少有1件次品C．3件都是次品 D．至少有1件正品答案C解析10件产品中只有2件次品，所以不可能取出的3件都是次品．2．一个人打靶时连续射击两次，事件“至多有一次中靶”的互斥事件是()A．至少有一次中靶B．两次都中靶C．只有一次中靶D．两次都不中靶答案B解析射击两次中“至多有一次中靶”即“有一次中靶或两次都不中靶”，与该事件不能同时发生的是“两次都中靶”．3．从某班学生中任意找出一人，如果该同学的身高小于160cm的概率为0.2，该同学的身高在[160,175](单位：cm)内的概率为0.5，那么该同学的身高超过175cm的概率为()A．0.2B．0.3C．0.7D．0.8答案B解析由题意知该同学的身高小于160cm的概率、该同学的身高在[160,175](单位：cm)内的概率和该同学的身高超过175cm的概率和为1，故所求概率为1－0.2－0.5＝0.3.题型一随机事件间的关系例1(1)抛掷一枚骰子，“向上的点数是1或2”为事件A，“向上的点数是2或3”为事件B，则()A．A⊆BB．A＝BC．A∪B表示向上的点数是1或2或3D．A∩B表示向上的点数是1或2或3答案C解析由题意，可知A＝{1,2}，B＝{2,3}，则A∩B＝{2}，A∪B＝{1,2,3}，∴A∪B表示向上的点数为1或2或3.(2)从某班级中任意选出三名学生，设A＝{三名学生都是女生}，B＝{三名学生都不是女生}，C＝{三名学生不都是女生}，则下列结论不正确的是()A．A与C为互斥事件B．A与B互为对立事件C．B与C存在包含关系D．B与C不是对立事件答案B解析事件C的可能情况有：一女二男、二女一男、三男，事件B为“三男”，事件A为“三女”．故A与C为互斥事件，A正确；A与B为互斥事件，但不互为对立事件，B错误；B与C存在包含关系，C，D正确．思维升华互斥、对立事件的判别方法(1)在一次试验中，不可能同时发生的两个事件为互斥事件．(2)两个互斥事件，若有且仅有一个发生，则这两个事件为对立事件．跟踪训练1(1)某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名参加演讲比赛，设A＝{2名全是男生}，B＝{2名全是女生}，C＝{恰有一名男生}，D＝{至少有一名男生}，则下列关系不正确的是()A．A⊆D B．B∩D＝∅C．A∪C＝D D．A∪B＝B∪D答案D解析至少有1名男生包含2名全是男生、1名男生1名女生，故A⊆D，A∪C＝D，故A，C正确；事件B与D是互斥事件，故B∩D＝∅，故B正确，A∪B表示的是2名全是男生或2名全是女生，B∪D表示2名全是女生或至少有一名男生，故A∪B≠B∪D，故D不正确．(2)新高考实行“3＋1＋2”模式，即语文、数学、外语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二，共有12种选课模式．某同学已选了物理，记事件A＝{他选择政治和地理}，事件B＝{他选择化学和地理}，则事件A与事件B()A．是互斥事件，不是对立事件B．既是互斥事件，也是对立事件C．既不是对立事件，也不是互斥事件D．无法判断答案A解析∵事件A和事件B不能同时发生，∴事件A和事件B是互斥事件；∵该同学还有政治和化学、政治和生物等不同选择，∴事件A和事件B不是对立事件；综上所述，事件A和事件B是互斥事件，不是对立事件．题型二随机事件的频率与概率例2某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温[10，15)[15，20)[20，25)[25，30)[30，35)[35，40]天数216362574以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．解(1)当且仅当最高气温低于25时，这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，由表中数据可知，最高气温低于25的频率为eq\f(2＋16＋36,90)＝0.6.所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，若最高气温低于20，则Y＝200×6＋(450－200)×2－450×4＝－100；若最高气温位于区间[20,25)，则Y＝300×6＋(450－300)×2－450×4＝300；若最高气温不低于25，则Y＝450×(6－4)＝900，所以利润Y的所有可能值为－100,300,900.Y大于零当且仅当最高气温不低于20，由表格数据知，最高气温不低于20的频率为eq\f(36＋25＋7＋4,90)＝0.8.因此Y大于零的概率的估计值为0.8.思维升华概率和频率的关系概率可看成频率在理论上的稳定值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小，它是频率的科学抽象，当试验次数越来越多时频率向概率靠近，只要次数足够多，所得频率就近似地当作随机事件的概率．跟踪训练2下面是英文字母和空格使用频率的一份统计表：字母频率字母频率字母频率空格0.2H0.047W0.012E0.105D0.035G0.011T0.071L0.029B0.0105O0.0644C0.023V0.008A0.063F0.0221K0.003N0.059U0.0225X0.002I0.054M0.021J0.001R0.053P0.0175Q0.001S0.052Y0.012Z0.001根据上表回答：(1)若使用了1000次键盘的按键，字母M键约使用了多少次？(2)若字母Y键使用了6次，那么键盘的按键约使用了多少次？(3)使用空格键的概率是多少？解(1)因为使用字母M键的频率是0.021，所以使用1000次键盘的按键，字母M键约使用了1000×0.021＝21(次)．(2)因为使用字母Y键的频率是0.012，而字母Y键使用了6次，所以键盘的按键约使用了eq\f(6,0.012)＝500(次)．(3)因为使用空格键的频率是0.2，我们可以把它近似地表示为使用空格键的概率，因此使用空格键的概率约是0.2.题型三互斥事件、对立事件的概率例3在某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．其中1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，求：(1)P(A)，P(B)，P(C)；(2)1张奖券的中奖概率；(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．解(1)易知P(A)＝eq\f(1,1000)，P(B)＝eq\f(1,100)，P(C)＝eq\f(1,20).(2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖．设“1张奖券中奖”这个事件为M，则M＝A∪B∪C.因为A，B，C两两互斥，所以P(M)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝eq\f(1,1000)＋eq\f(1,100)＋eq\f(1,20)＝eq\f(61,1000).故1张奖券的中奖概率为eq\f(61,1000).(3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N，则事件N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，所以P(N)＝1－P(A∪B)＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,1000)＋\f(1,100)))＝eq\f(989,1000).故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为eq\f(989,1000).思维升华复杂的互斥事件的概率的两种求法(1)直接法：第一步，根据题意将所求事件分解为一些彼此互斥的事件的和；第二步，运用互斥事件的概率求和公式计算概率．(2)间接法：第一步，求事件的对立事件的概率；第二步，运用公式P(A)＝1－P(eq\x\to(A))求解．特别是含有“至多”“至少”的题目，用间接法就显得比较简便．跟踪训练3一盒中装有12个球，其中5个红球，4个黑球，2个白球，1个绿球．从中随机取出1球，求：(1)取出1球是红球或黑球的概率；(2)取出1球是红球或黑球或白球的概率．解记事件A1＝{任取1球为红球}，A2＝{任取1球为黑球}，A3＝{任取1球为白球}，A4＝{任取1球为绿球}，则P(A1)＝eq\f(5,12)，P(A2)＝eq\f(4,12)＝eq\f(1,3)，P(A3)＝eq\f(2,12)＝eq\f(1,6)，P(A4)＝eq\f(1,12).方法一(利用互斥事件求概率)根据题意知，事件A1，A2，A3，A4彼此互斥，由互斥事件的概率公式，得(1)取出1球是红球或黑球的概率为P(A1＋A2)＝P(A1)＋P(A2)＝eq\f(5,12)＋eq\f(4,12)＝eq\f(3,4).(2)取出1球是红球或黑球或白球的概率为P(A1＋A2＋A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝eq\f(5,12)＋eq\f(4,12)＋eq\f(2,12)＝eq\f(11,12).方法二(利用对立事件求概率)(1)由题意知，取出1球为红球或黑球的对立事件为取出1球为白球或绿球，即A1＋A2的对立事件为A3＋A4，所以取出1球为红球或黑球的概率为P(A1＋A2)＝1－P(A3＋A4)＝1－P(A3)－P(A4)＝1－eq\f(2,12)－eq\f(1,12)＝eq\f(3,4).(2)因为A1＋A2＋A3的对立事件为A4，所以P(A1＋A2＋A3)＝1－P(A4)＝1－eq\f(1,12)＝eq\f(11,12).课时精练1．下面四个选项中，是随机现象的是()A．守株待兔 B．水中捞月C．流水不腐 D．户枢不蠹答案A解析A为随机现象，B为不可能现象，CD为必然现象．2．在一个袋子中装有分别标注1,2,3,4,5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同，现从中随机取出2个小球，则取出小球标注的数字之差的绝对值为2或4的事件包含的基本事件个数为()A．2B．4C．6D．8答案B解析从5个小球中任取2个，其中数字之差的绝对值为2或4的事件包含(1,3)，(1,5)，(2,4)，(3,5)，共4个基本事件．3．50名同学的体重情况如表所示：分组(kg)[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90]频数6815183则这50名同学体重小于70kg的频率为()A．0.28 B．0.58C．0.42 D．0.94答案B解析这50名同学体重小于70kg的频率为eq\f(6＋8＋15,50)＝0.58.4．某商店的一位售货员，发现顾客购买商品后有现金支付、微信支付、支付宝支付、银联支付4种支付方式，其中用现金支付的概率为0.2，支付宝支付的概率为0.3，银联支付的概率为0.1，则选择用微信支付的概率为()A．0.1B．0.2C．0.3D．0.4答案D解析选择用微信支付的概率为1－0.1－0.2－0.3＝0.4.5．设条件甲：“事件A与事件B是对立事件”，结论乙：“概率满足P(A)＋P(B)＝1”，则甲是乙的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析若事件A与事件B是对立事件，则A∪B为必然事件，再由概率的加法公式得P(A)＋P(B)＝1；投掷一枚硬币3次，事件A：“至少出现一次正面”，事件B：“出现3次正面”，则P(A)＝eq\f(7,8)，P(B)＝eq\f(1,8)，满足P(A)＋P(B)＝1，但A，B不是对立事件．6．一个盒子内装有红球、白球、黑球三种球，其数量分别为3,2,1，从中任取两球，则互斥而不对立的两个事件为()A．至少有一个白球；都是白球B．至少有一个白球；至少有一个红球C．恰有一个白球；一个白球一个黑球D．至少有一个白球；红球、黑球各一个答案D解析对于D，红球、黑球各取一个，则一定取不到白球，故“至少有一个白球”“红球、黑球各一个”为互斥事件，也有可能取到两球都是红球，故不是对立事件，所以D选项符合．7．掷一枚均匀的硬币100次，其中54次出现正面，则出现正面的频率是________．答案0.54解析由频率＝eq\f(频数,总数)可知，出现正面的频率为eq\f(54,100)＝0.54.8．杭州亚运会吉祥物是一组名为“江南忆”的机器人．三个吉祥物分别取名“琮琮”“莲莲”“宸宸”．某纸盒中有印着“琮琮”“莲莲”“宸宸”图案的三种卡片(卡片的形状大小相同)，若摸出印有“莲莲”图案的卡片的概率是0.36，摸出印有“莲莲”或“宸宸”图案的卡片的概率是0.69，那么摸出印有“宸宸”图案的卡片的概率是________．答案0.33解析因为摸出印有“莲莲”图案的卡片与摸出印有“宸宸”图案的卡片是互斥事件，所以摸出印有“宸宸”图案的卡片的概率是0.69－0.36＝0.33.9．盒子里有6个红球、4个白球，现从中任取3个球，设事件A＝{3个球中有1个红球、2个白球}，事件B＝{3个球中有2个红球、1个白球}，事件C＝{3个球中至少有1个红球}，事件D＝{3个球中既有红球又有白球}．(1)事件D与A，B是什么样的运算关系？(2)事件C与A的积事件是什么事件？解(1)对于事件D，可能的结果为1个红球、2个白球或2个红球、1个白球，故D＝A＋B.(2)对于事件C，可能的结果为1个红球、2个白球或2个红球、1个白球或3个红球，故CA＝A.10．设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9,18.现采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛．(1)求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数；(2)将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为A1，A2，A3，A4，A5，A6.现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛．①用所给编号列出所有基本事件；②设事件A为“编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到”，写出该事件的集合表示．解(1)甲、乙、丙三个协会共有的运动员人数为27＋9＋18＝54，则应从甲协会抽取27×eq\f(6,54)＝3(人)，从乙协会抽取9×eq\f(6,54)＝1(人)，从丙协会抽取18×eq\f(6,54)＝2(人)．故从甲、乙、丙三个协会中抽取的运动员人数分别为3,1,2.(2)①从6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛的所有基本事件为(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A1，A5)，(A1，A6)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A2，A5)，(A2，A6)，(A3，A4)，(A3，A5)，(A3，A6)，(A4，A5)，(A4，A6)，(A5，A6)，共15种．②事件A可用集合表示为{(A1，A5)，(A1，A6)，(A2，A5)，(A2，A6)，(A3，A5)，(A3，A6)，(A4，A5)，(A4，A6)，(A5，A6)}．11．有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：[11.5