2024年高考数学大一轮(人教A版文)第二章2.11　函数的零点与方程的根复习讲义(学生版+解析)

§2.11函数的零点与方程的根考试要求1.理解函数的零点与方程的解的联系.2.理解函数零点存在定理，并能简单应用.3.了解用二分法求方程的近似解．知识梳理1．函数的零点与方程的根(1)函数零点的概念对于函数y＝f(x)，我们把使______________的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．(2)函数零点与方程实数根的关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与________有交点⇔函数y＝f(x)有________．(3)函数零点存在定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有________________，那么，函数y＝f(x)在区间________________内有零点，即存在c∈(a，b)，使得__________，这个c也就是方程f(x)＝0的根．2．二分法对于在区间[a，b]上连续不断且____________的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间______________，使区间的两个端点逐步逼近________，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．常用结论1．若连续不断的函数f(x)是定义域上的单调函数，则f(x)至多有一个零点．2．连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．()(2)连续函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，则f(a)·f(b)<0.()(3)函数y＝f(x)为R上的单调函数，则f(x)有且仅有一个零点．()(4)用二分法求函数零点的近似值适合于变号零点．()教材改编题1．观察下列函数的图象，判断能用二分法求其零点的是()2．函数y＝eq\f(3,x)－lnx的零点所在区间是()A．(3,4)B．(2,3)C．(1,2)D．(0,1)3．函数f(x)＝ex＋3x的零点个数是()A．0B．1C．2D．3题型一函数零点所在区间的判定例1(1)函数f(x)＝lnx＋2x－6的零点所在的区间是()A．(1,2) B．(2,3)C．(3,4) D．(4,5)听课记录：________________________________________________________________________________________________________________________________________________延伸探究用二分法求函数f(x)＝lnx＋2x－6在区间(2,3)内的零点近似值，至少经过________次二分后精确度达到0.1()A．2B．3C．4D．5(2)(2023·蚌埠模拟)已知x1＋＝0，x2＋log2x2＝0,－log2x3＝0，则()A．x1<x2<x3 B．x2<x1<x3C．x1<x3<x2 D．x2<x3<x1思维升华确定函数零点所在区间的常用方法(1)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．跟踪训练1(1)函数f(x)＝ex－x－2在下列哪个区间内必有零点()A．(－3，－2) B．(－1,0)C．(0,1) D．(1,2)(2)若a<b<c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间()A．(a，b)和(b，c)内B．(－∞，a)和(a，b)内C．(b，c)和(c，＋∞)内D．(－∞，a)和(c，＋∞)内题型二函数零点个数的判定例2(1)若函数f(x)＝|x|，则函数y＝f(x)－的零点个数是()A．5B．4C．3D．2听课记录：________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(4＋x)＝f(x)，当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－2，则f(x)在区间(0,8)上零点的个数为()A．2B．3C．4D．5听课记录：________________________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华求解函数零点个数的基本方法(1)直接法：令f(x)＝0，方程有多少个解，则f(x)有多少个零点；(2)定理法：利用定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等；(3)图象法：一般是把函数拆分为两个简单函数，依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数．跟踪训练2(1)(2022·泉州模拟)设定义域为R的函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|lgx|，x>0，,－x2－2x，x≤0，))则关于x的函数y＝2f2(x)－3f(x)＋1的零点的个数为()A．3B．7C．5D．6(2)函数f(x)＝eq\r(36－x2)·cosx的零点个数为________．题型三函数零点的应用命题点1根据零点个数求参数例3(2023·黄冈模拟)函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4－x2，x≤2，,log3x－1，x>2，))g(x)＝kx－3k，若函数f(x)与g(x)的图象有三个交点，则实数k的取值范围为()A．(2eq\r(2)－6,0) B．(2eq\r(3)－6,0)C．(－2,0) D．(2eq\r(5)－6,0)听课记录：________________________________________________________________________________________________________________________________________________命题点2根据函数零点的范围求参数例4函数f(x)＝x2－ax＋1在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，3))上有零点，则实数a的取值范围是()A．(2，＋∞) B．[2，＋∞)C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(5,2))) D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(10,3)))听课记录：_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华根据函数零点的情况求参数的三种常用方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解.跟踪训练3(1)函数f(x)＝2x－eq\f(2,x)－a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是()A．0<a<3 B．1<a<3C．1<a<2 D．a≥2(2)(2023·唐山模拟)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(lnx,x)，x>0，,x2＋2x，x≤0，))若g(x)＝f(x)－a有3个零点，则实数a的取值范围为()A．(－1,0) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,e)))C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,e))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,e)))∪{－1}§2.11函数的零点与方程的根考试要求1.理解函数的零点与方程的解的联系.2.理解函数零点存在定理，并能简单应用.3.了解用二分法求方程的近似解．知识梳理1．函数的零点与方程的根(1)函数零点的概念对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．(2)函数零点与方程实数根的关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．(3)函数零点存在定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．2．二分法对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．常用结论1．若连续不断的函数f(x)是定义域上的单调函数，则f(x)至多有一个零点．2．连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．(×)(2)连续函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，则f(a)·f(b)<0.(×)(3)函数y＝f(x)为R上的单调函数，则f(x)有且仅有一个零点．(×)(4)用二分法求函数零点的近似值适合于变号零点．(√)教材改编题1．观察下列函数的图象，判断能用二分法求其零点的是()答案A解析由图象可知，B，D选项中函数无零点，A，C选项中函数有零点，C选项中函数零点两侧函数值符号相同，A选项中函数零点两侧函数值符号相反，故A选项中函数零点可以用二分法求近似值，C选项不能用二分法求零点．2．函数y＝eq\f(3,x)－lnx的零点所在区间是()A．(3,4)B．(2,3)C．(1,2)D．(0,1)答案B解析因为函数的定义域为(0，＋∞)，且函数y＝eq\f(3,x)在(0，＋∞)上单调递减；y＝－lnx在(0，＋∞)上单调递减，所以函数y＝eq\f(3,x)－lnx为定义在(0，＋∞)上的连续减函数，又当x＝2时，y＝eq\f(3,2)－ln2>0；当x＝3时，y＝1－ln3<0，两函数值异号，所以函数y＝eq\f(3,x)－lnx的零点所在区间是(2,3)．3．函数f(x)＝ex＋3x的零点个数是()A．0B．1C．2D．3答案B解析由f′(x)＝ex＋3>0，所以f(x)在R上单调递增，又f(－1)＝eq\f(1,e)－3<0，f(0)＝1>0，因此函数f(x)有且只有一个零点.题型一函数零点所在区间的判定例1(1)函数f(x)＝lnx＋2x－6的零点所在的区间是()A．(1,2) B．(2,3)C．(3,4) D．(4,5)答案B解析由题意得，f(x)＝lnx＋2x－6，在定义域内单调递增，f(2)＝ln2＋4－6＝ln2－2<0，f(3)＝ln3＋6－6＝ln3>0，则f(2)f(3)<0，∴零点在区间(2,3)上．延伸探究用二分法求函数f(x)＝lnx＋2x－6在区间(2,3)内的零点近似值，至少经过________次二分后精确度达到0.1()A．2B．3C．4D．5答案C解析∵开区间(2,3)的长度等于1，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，经过n次操作后，区间长度变为eq\f(1,2n)，故有eq\f(1,2n)≤0.1，解得n≥4，∴至少需要操作4次．(2)(2023·蚌埠模拟)已知x1＋＝0，x2＋log2x2＝0,－log2x3＝0，则()A．x1<x2<x3 B．x2<x1<x3C．x1<x3<x2 D．x2<x3<x1答案A解析设函数f(x)＝x＋2x，易知f(x)在R上单调递增，f(－1)＝－eq\f(1,2)，f(0)＝1，即f(－1)f(0)<0，由函数零点存在定理可知，－1<x1<0.设函数g(x)＝x＋log2x，易知g(x)在(0，＋∞)上单调递增，geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝－eq\f(1,2)，g(1)＝1，即geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))g(1)<0，由函数零点存在定理可知，eq\f(1,2)<x2<1，设函数h(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x－log2x，易知h(x)在(0，＋∞)上单调递减，h(1)＝eq\f(1,3)，h(x3)＝0，因为h(1)>h(x3)，由函数单调性可知，x3>1，即－1<x1<0<x2<1<x3.思维升华确定函数零点所在区间的常用方法(1)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．跟踪训练1(1)函数f(x)＝ex－x－2在下列哪个区间内必有零点()A．(－3，－2) B．(－1,0)C．(0,1) D．(1,2)答案D解析易得f(－3)＝eq\f(1,e3)＋1>0，f(－2)＝eq\f(1,e2)>0，f(－1)＝eq\f(1,e)－1<0，f(0)＝－1<0，f(1)＝e－3<0，f(2)＝e2－4>0，因为f(1)·f(2)<0，所以f(x)在(1,2)内存在零点．(2)若a<b<c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间()A．(a，b)和(b，c)内B．(－∞，a)和(a，b)内C．(b，c)和(c，＋∞)内D．(－∞，a)和(c，＋∞)内答案A解析函数y＝f(x)是开口向上的二次函数，最多有两个零点，由于a<b<c，则a－b<0，a－c<0，b－c<0，因此f(a)＝(a－b)(a－c)>0，f(b)＝(b－c)(b－a)<0，f(c)＝(c－a)(c－b)>0.所以f(a)f(b)<0，f(b)f(c)<0，即f(x)在区间(a，b)和区间(b，c)内各有一个零点．题型二函数零点个数的判定例2(1)若函数f(x)＝|x|，则函数y＝f(x)－的零点个数是()A．5B．4C．3D．2答案D解析在同一平面直角坐标系中作出f(x)＝|x|，g(x)＝的图象如图所示，则y＝f(x)－的零点个数，即f(x)与g(x)图象的交点个数，由图可知选D.(2)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(4＋x)＝f(x)，当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－2，则f(x)在区间(0,8)上零点的个数为()A．2B．3C．4D．5答案C解析因为f(4＋x)＝f(x)，所以函数的周期为4，当x∈[0,2]时，令f(x)＝2x－2＝0，得x＝1，即f(1)＝0，因为函数是偶函数且周期为4，所以有f(1)＝f(－1)＝f(3)＝f(7)＝f(－3)＝f(5)＝0，所以f(x)在区间(0,8)上零点的个数为4.思维升华求解函数零点个数的基本方法(1)直接法：令f(x)＝0，方程有多少个解，则f(x)有多少个零点；(2)定理法：利用定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等；(3)图象法：一般是把函数拆分为两个简单函数，依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数．跟踪训练2(1)(2022·泉州模拟)设定义域为R的函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|lgx|，x>0，,－x2－2x，x≤0，))则关于x的函数y＝2f2(x)－3f(x)＋1的零点的个数为()A．3B．7C．5D．6答案B解析根据题意，令2f2(x)－3f(x)＋1＝0，得f(x)＝1或f(x)＝eq\f(1,2).作出f(x)的简图如图所示，由图象可得当f(x)＝1和f(x)＝eq\f(1,2)时，分别有3个和4个交点，故关于x的函数y＝2f2(x)－3f(x)＋1的零点的个数为7.(2)函数f(x)＝eq\r(36－x2)·cosx的零点个数为______．答案6解析令36－x2≥0，解得－6≤x≤6，∴f(x)的定义域为[－6,6]．令f(x)＝0得36－x2＝0或cosx＝0，由36－x2＝0得x＝±6，由cosx＝0得x＝eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z，又x∈[－6,6]，∴x的取值为－eq\f(3π,2)，－eq\f(π,2)，eq\f(π,2)，eq\f(3π,2).故f(x)共有6个零点．题型三函数零点的应用命题点1根据零点个数求参数例3(2023·黄冈模拟)函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4－x2，x≤2，,log3x－1，x>2，))g(x)＝kx－3k，若函数f(x)与g(x)的图象有三个交点，则实数k的取值范围为()A．(2eq\r(2)－6,0) B．(2eq\r(3)－6,0)C．(－2,0) D．(2eq\r(5)－6,0)答案D解析作出函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4－x2，x≤2，,log3x－1，x>2))的图象，如图所示，设与y＝4－x2相切的直线为l，且切点为P(x0,4－xeq\o\al(2,0))，因为y′＝－2x，所以切线的斜率为k＝－2x0，则切线方程为y－4＋xeq\o\al(2,0)＝－2x0(x－x0)，因为g(x)＝kx－3k过定点(3,0)，且在切线l上，代入切线方程求得x0＝3－eq\r(5)或x0＝3＋eq\r(5)(舍去)，所以切线的斜率为k＝2eq\r(5)－6，因为函数f(x)与g(x)的图象有三个交点，由图象知，实数k的取值范围为(2eq\r(5)－6,0)．命题点2根据函数零点的范围求参数例4函数f(x)＝x2－ax＋1在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，3))上有零点，则实数a的取值范围是()A．(2，＋∞) B．[2，＋∞)C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(5,2))) D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(10,3)))答案D解析由题意知，方程ax＝x2＋1在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，3))上有解，即a＝x＋eq\f(1,x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，3))上有解，设t＝x＋eq\f(1,x)，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，3))，则t的取值范围是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(10,3))).所以实数a的取值范围是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(10,3))).思维升华根据函数零点的情况求参数的三种常用方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解.跟踪训练3(1)函数f(x)＝2x－eq\f(2,x)－a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是()A．0<a<3 B．1<a<3C．1<a<2 D．a≥2答案A解析因为函数y＝2x，y＝－eq\f(2,x)在(0，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)＝2x－eq\f(2,x)－a在(0，＋∞)上单调递增，a)×(3－a)<0，解得0<a<3.(2)(2023·唐山模拟)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(lnx,x)，x>0，,x2＋2x，x≤0，))若g(x)＝f(x)－a有3个零点，则实数a的取值范围为()A．(－1,0) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,e)))C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,e))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,e)))∪{－1}答案B解析设h(x)＝eq\f(lnx,x)(x>0)，则h′(x)＝eq\f(1－lnx,x2)，令h′(x)>0，得0<x<e，令h′(x)<0，得x>e，所以函数h(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减．所以h(x)max＝h(e)＝eq\f(1,e).因为函数g(x)＝f(x)－a有3个零点，所以方程f(x)＝a有3个解．作出函数y＝f(x)和y＝a的图象如图所示，所以a的取值范围为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,e))).课时精练1．(2022·焦作模拟)设函数f(x)＝2x＋eq\f(x,3)的零点为x0，则x0所在的区间是()A．(－4，－2) B．(－2，－1)C．(1,2) D．(2,4)答案B解析易知f(x)在R上单调递增且连续，f(－2)＝eq\f(1,4)－eq\f(2,3)<0，f(－1)＝eq\f(1,2)－eq\f(1,3)>0，所以x0∈(－2，－1)．2．用二分法研究函数f(x)＝x5＋8x3－1的零点时，第一次经过计算得f(0)<0，f(0.5)>0，则其中一个零点所在区间和第二次应计算的函数值分别为()A．(0,0.5)，f(0.125) B．(0,0.5)，f(0.375)C．(0.5,1)，f(0.75) D．(0,0.5)，f(0.25)答案D解析因为f(0)f(0.5)<0，由函数零点存在定理知，零点x0∈(0,0.5)，根据二分法，第二次应计算

f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(0＋0.5,2)))，即f(0.25)．3．函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－2x－3，x≤0，,log2x－3x＋4，x>0))的零点个数为()A．1B．2C．3D．4答案C解析当x≤0时，令f(x)＝x2－2x－3＝0，得x＝－1(x＝3舍去)，当x>0时，令f(x)＝0，得log2x＝3x－4，作出y＝log2x与y＝3x－4的图象，如图所示，由图可知，y＝log2x与y＝3x－4有两个交点，所以当x>0时，f(x)＝0有两个零点，综上，f(x)有3个零点．4．已知函数f(x)＝log2(x＋1)－eq\f(1,x)＋m在区间(1,3]上有零点，则实数m的取值范围为()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,3)，0))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(5,3)))∪(0，＋∞)C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(5,3)))∪(0，＋∞)D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,3)，0))答案D解析由于函数y＝log2(x＋1)，y＝m－eq\f(1,x)在区间(1,3]上单调递增，所以函数f(x)在(1,3]上单调递增，由于函数f(x)＝log2(x＋1)－eq\f(1,x)＋m在区间(1,3]上有零点，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f1<0，,f3≥0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m<0，,m＋\f(5,3)≥0，))解得－eq\f(5,3)≤m<0.因此，实数m的取值范围是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,3)，0)).5．已知函数f(x)＝x2－2|x|－m的零点有两个，则实数m的取值范围为()A．(－1,0) B．{－1}∪(0，＋∞)C．[－1,0)∪(0，＋∞) D．(0,1)答案B解析在同一平面直角坐标系内作出函数y＝x2－2|x|的图象和直线y＝m，可知当m>0或m＝－1时，直线y＝m与函数y＝x2－2|x|的图象有两个交点，即函数f(x)＝x2－2|x|－m有两个零点．6．函数f(x)＝sinx＋2|sinx|，x∈[0,2π]的图象与直线y＝k的交点个数不可能是()A．1B．2C．4D．6答案D解析由题意知，f(x)＝sinx＋2|sinx|，x∈[0,2π]，f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3sinx，x∈[0，π]，,－sinx，x∈π，2π]，))在坐标系中画出函数f(x)的图象如图所示．由其图象知，直线y＝k与y＝f(x)的图象交点个数可能为0,1,2,3,4.7．(2023·南京模拟)在数学中，布劳威尔不动点定理可应用到有限维空间，是构成一般不动点定理的基石，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔(L.E.J.Brouwer)，简单地讲，就是对于满足一定条件的连续函数f(x)，存在一个点x0，使得f(x0)＝x0，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列函数是“不动点”函数的个数是()①f(x)＝2x＋x；②f(x)＝x2－x－3；③f(x)＝＋1；④f(x)＝|log2x|－1.A．1B．2C．3D．4答案C解析对于①，若f(x0)＝x0，则＝0，该方程无解，故该函数不是“不动点”函数；对于②，若f(x0)＝x0，则xeq\o\al(2,0)－2x0－3＝0，解得x0＝3或x0＝－1，故该函数是“不动点”函数；对于③，若f(x0)＝x0，则＋1＝x0，可得xeq\o\al(2,0)－3x0＋1＝0，且x0≥1，解得x0＝eq\f(3＋\r(5),2)，故该函数是“不动点”函数；对于④，若f(x0)＝x0，则|log2x0|－1＝x0，即|log2x0|＝x0＋1，作出y＝|log2x|与y＝x＋1的函数图象，如图，由图可知，方程|log2x|＝x＋1有实数根x0，即存在x0，使|log2x0|－1＝x0，故该函数是“不动点”函数．8．已知函数f(x)＝x－eq\r(x)(x>0)，g(x)＝x＋ex，h(x)＝x＋lnx(x>0)的零点分别为x1，x2，x3，则()A．x1<x2<x3 B．x2<x1<x3C．x2<x3<x1 D．x3<x1<x2答案C解析函数f(x)＝x－eq\r(x)(x>0)，g(x)＝x＋ex，h(x)＝x＋lnx(x>0)的零点，即为y＝x与y＝eq\r(x)(x>0)，y＝－ex，y＝－lnx(x>0)的交点的横坐标，作出y＝x与y＝eq\r(x)(x>0)，y＝－ex，y＝－lnx(x>0)的图象，如图所示．可知x2<x3<x1.9．已知指数函数为f(x)＝4x，则函数y＝f(x)－2x＋1的零点为________．答案1解析由f(x)－2x＋1＝4x－2x＋1＝0，得2x(2x－2)＝0，x＝1.10．(2023·苏州质检)函数f(x)满足以下条件：①f(x)的定义域为R，其图象是一条连续不断的曲线；②∀x∈R，f(x)＝f(－x)；③当x1，x2∈(0，＋∞)且x1≠x2时，eq\f(fx1－fx2,x1－x2)>0；④f(x)恰有两个零点，请写出函数f(x)的一个解析式________．答案f(x)＝x2－1(答案不唯一)解析因为∀x∈R，f(x)＝f(－x)，所以f(x)是偶函数，因为当x1，x2∈(0，＋∞)且x1≠x2时，eq\f(fx1－fx2,x1－x2)>0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，因为f(x)恰有两个零点，所以f(x)图象与x轴只有2个交点，所以函数f(x)的一个解析式可以为f(x)＝x2－1(答案不唯一)．11．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log2x，x>0，,3x，x≤0，))且关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是________．答案(1，＋∞)解析方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，即f(x)＝－x＋a有且只有一个实根，即函数y＝f(x)的图象与直线y＝－x＋a有且只有一个交点．如图，在同一直角坐标系中分别作出y＝f(x)与y＝－x＋a的图象，其中a表示直线y＝－x＋a在y轴上的截距．由图可知，当a≤1时，直线y＝－x＋a与y＝f(x)有两个交点，当a>1时，直线y＝－x＋a与y＝f(x)只有一个交点．故实数a的取值范围是(1，＋∞)．12．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|2x－1|，x≤1，,x－22，x>1，))函数y＝f(x)－a有四个不同的零点x1，x2，x3，x4，且x1<x2<x3<x4，则＝________.答案eq\f(1,2)解析y＝f(x)－a有四个不同的零点x1，x2，x3，x4，即方程f(x)＝a有四个不同的解，即y＝f(x)的图象与直线y＝a有四个交点．在同一平面直角坐标系中分别作出y＝f(x)与y＝a的图象，如图所示，由二次函数的对称性可得，x3＋x4＝4.因为，所以＝2，故＝eq\f(1,2).13．已知函数f(x)＝|ex－1|＋1，若函数g(x)＝[f(x)]2＋(a－2)f(x)－2a有三个零点，则实数a的取值范围是()A．(－2，－1) B．(－1,0)C．(0,1) D．(1,2)答案A解析令t＝f(x)，则函数g(t)＝t2＋(a－2)t－2a，由t2＋(a－2)t－2a＝0得，t＝2或t＝－a.f(x)＝|ex－1|＋1＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ex，x≥0，,2－ex，x<0，))作出函数f(x)的图象，如图所示，由图可知，当t＝2时，方程f(x)＝|ex－1|＋1＝2有且仅有一个根，则方程f(x)＝|ex－1|＋1＝－a必有两个不同的实