2023-2024学年浙江省绍兴一中创新班高一（下）期中数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年浙江省绍兴一中创新班高一（下）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若复数Z满足Z=i(2+Z)A.1+i B.1−i C.2.如图所示，梯形A′B′C′D′是平面图形ABCD用斜二测画法得到的直观图，A′A.2

B.3

C.53.已知样本数据x1，x2，⋯，x100的平均数和标准差均为4，则数据−x1−1，−xA.−5，4 B.−5，16 C.4，16 D.44.一个圆锥的侧面展开图是半径为1的半圆，则此圆锥的内切球的表面积为(

)A.π B.π2 C.π3 5.光源P(3,2,1)经过平面OyA.(0,72,52) 6.若4，2，1，4，5的第p百分位数是4，则p的取值范围是(

)A.(40,80] B.[40,7.如图是棱长均相等的多面体EABCDF，其中四边形ABCD是正方形，点P，Q，M，N分别为DE，AB，ADA.13

B.12

C.23

8.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点M，N分别是直线CD，AB上的动点，点P是△A1C1D内的动点(不包括边界A.3−66 B.3+二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.在12件同类产品中，有9件正品和3件次品，从中任意抽出3件产品，设事件A“3件产品都是次品”，事件B“至少有1件是次品”，事件C“至少有1件是正品”，则下列结论正确的是(

)A.A与C为对立事件 B.B与C不是互斥事件

C.A∩B=10.在某市高三年级举行的一次模拟考试中，某学科共有20000人参加考试.为了了解本次考试学生成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩作为样本进行统计，样本容量为n，按照[50,60)，[60,70)，[70,80)A.图中x=0.016

B.样本容量n=1000

C.估计该市全体学生成绩的平均分为71.6分

D.该市要对成绩前11.勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动.勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分，如图所示，若正四面体ABCD的棱长为a.则A.能够容纳勒洛四面体的正方体的棱长的最小值为a

B.勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为(1−32)a

C.勒洛四面体中过A，B，C三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.从含有6件次品的50件产品中任取4件，观察其中次品数，这个试验的样本空间Ω=______．13.如图，甲乙做游戏，两人通过划拳(剪刀、石头、布)比赛决胜谁首先登上第3个台阶，并规定从平地开始，每次划拳赢的一方登上一级台阶，输的一方原地不动，平局时两人都上一个台阶.如果一方连续赢两次，那么他将额外获得上一级台阶的奖励，除非已经登上第3个台阶，当有任何一方登上第3个台阶时游戏结束，则游戏结束时恰好划拳3次的概率为______．14.在三棱锥A−BCD中，二面角A−BD−C的大小为π四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知复数z=(2m2−3m−2)+(m2−3m+2)16.(本小题15分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是以2为边长的菱形，且∠BAD=120°，PB=PD，M为PC17.(本小题15分)

为了了解学生躯干、腰、髋等部位关节韧带和肌肉的伸展性、弹性等，某学校对在校1500名学生进行了一次坐位体前屈测试，采用按学生性别比例分配的分层随机抽样抽取75人，已知这1500名学生中男生有900人，且抽取的样本中男生的平均数和方差分别为13.2cm和13.36，女生的平均数和方差分别为15.2cm和17.56．

(1)求样本中男生和女生应分别抽取多少人；

(2)求抽取的总样本的平均数，并估计全体学生的坐位体前屈成绩的方差．

(参考公式：总体分为2层，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：n118.(本小题17分)

如图，已知直角三角形ABC的斜边BC/​/平面α，A在平面α上，AB，AC分别与平面α成30°和45°的角，BC=6．

(119.(本小题17分)

如图，四棱锥S−ABCD的底面是平行四边形，平面α与直线AD，SA，SC分别交于点P，Q，R，且APAD=SQSA=CRCS，点M在直线SB上运动，在线段CD上是否存在一定点N

答案和解析1.【答案】C

【解析】解：由Z=i(2+Z)，

得Z=2i1−i2.【答案】C

【解析】解：由直观图知原几何图形是直角梯形ABCD，如图，

由斜二测法则知AB=A′B′=2，BC=B′C3.【答案】A

【解析】解：由题意知，样本数据x1，x2，⋯，x100的标准差为4，

所以样本数据x1，x2，⋯，x100的方差为16，

因为样本数据x1，x2，⋯，x100的平均数为4和方差为16，

所以−x1−1，−x2−1，⋯，−x100−1的平均数为−4−1=−5，

−x14.【答案】C

【解析】解：设圆锥底面半径为r，则2πr=12×2π×1=π，解得：r=12，

∴圆锥的轴截面是边长为1的正三角形，∴此正三角形内切圆的半径为135.【答案】D

【解析】解：设P′为P关于平面Oyz的对称点，

则P′(−3,2,1)，

R为P′Q与平面Oyz的交点．

令R(0,m,n)，

P′R=λP′Q，6.【答案】D

【解析】解：1，2，4，4，5，共5个数据，

若1，2，4，4，5第p百分位数是4，

则n×p%∈(2,4)，

所以p7.【答案】C

【解析】解：由柏拉图多面体的性质可知，四边形ABCD，BEDF均是边长为a的正方形，柏拉图多面体的侧面均为等边三角形．如图，

取AE的中点K，连接PK，QK，则PQ=PK+KQ=12DA+12EB．

同理可得MN=12DF+12AB．

所以PQ⋅MN=(12DA+12EB)⋅(12DF+12AB)=14DA⋅DF+14DA8.【答案】B

【解析】解：如图所示，连接BD1，交平面A1C1D于点Q，

设D1P与平面A1C1D所成角为α，正方体的棱长为a，

根据正方体的性质可得，BD1⊥平面A1C1D，

所以QD1⊥平面A1C1D，且点Q为△A1C1D的中心，

所以sinα=sin∠D1PQ，

又因为直线D1P与MN所成角为θ，且θ的最小值为π3，

所以D1P与平面A1B1C1D1所成角为π3，

所以∠DD19.【答案】AB【解析】解：从中任意抽出3件产品，共有4种情况：3件产品都是次品，2件次品1件正品，1件次品2件正品，3件产品都是正品．

事件C的可能情况有：2件次品1件正品，1件次品2件正品，3件产品都是正品．

事件B的可能情况有：3件产品都是次品，2件次品1件正品，1件次品2件正品，

A与C为对立事件，故A正确；

B∩C={2件次品1件正品，1件次品2件正品}，则B与C不是互斥事件，故B正确；

∵A⊆B，∴A∩B=A，故C正确；

10.【答案】AD【解析】解：因为(x+0.030+0.040+0.010+0.004)×10=1，解得x=0.016，故A正确；

因为成绩落在区间[50,60)内的人数为16，所以样本容量n=16÷(0.016×10)=100，故B不正确；

学生成绩平均分为0.016×10×55+0.030×10×65+0.040×10×75+0.010×10×85+0.004×10×95=70.6，故11.【答案】AD【解析】解：由题意知：勒洛四面体表面上任意两点间距离为a，

则能够容纳勒洛四面体的正方体的棱长的最小值为a，故A正确；

勒洛四面体能容纳的最大球，与勒洛四面体的弧面相切，如图，

其中点E为该球与勒洛四面体的一个切点，O为该球的球心，

由题意得该球的球心O为正四面体ABCD的中心，半径为OE，连接BE，可知B，O，E三点共线，

设正四面体ABCD的外接球半径为r，

由题意得：(63a−r)2+(33a)2=r2，解得r=64a，

∴BE=a，OB=64a，由题意得OE=a−64a=(1−64)a，故B错误；

勒洛四面体最大的截面即经过四面体ABCD表面的截面，如图，

则勒洛四面体截面面积最大值为三个半径为a，圆心角为60°的扇形的面积减去两个边长为a的正三角形的面积，

即3×16×πa2−2×34a2=12(π−312.【答案】{0【解析】解：取出的4件产品中，最多有4件次品，最少是没有次品．

所以样本空间Ω={0,1,2,3,4}．13.【答案】1327【解析】解：设事件第i(i∈N*)次划拳甲赢为A1，事件第i(i∈N*)次划拳甲平局为B1，事件第i(i∈N*)次划拳甲输为C1，

则P(A14.【答案】8【解析】解：

取△ABD外心O1，△BCD外心O2，BD中点为E，

则O2A=O2B=O2D，O1B=O1C=O1D，OO2⊥面ABD，OO1⊥面BCD，

所以O1E⊥BD,O2E⊥BD,∠O1EO2=π15.【答案】解：(1)由题意有2m2−3m−2=0m2−3m+2≠0，

解得m=−1【解析】(1)复数z是纯虚数，其实部为0，虚部不为0，解方程与不等式组2m2−3m−2=16.【答案】(1)证明：设AC交BD于点N，连接PN，

因为PB=PD，所以PN⊥BD，

因为底面ABCD是以2为边长的菱形，所以AC⊥BD，

又因为PN∩AC=N，PN，AC⊂平面PAC，BD⊥平面PAC，

又因为BD⊂平面PBD，所以平面PBD⊥平面PAC；

(2)解：因为底面ABCD是以2为边长的菱形，且∠BAD=120°，

所以△ABC与△ACD均为等边三角形，所以AC=2，

因为PC=2PA=22，所以PC2=PA2+AC2，即PA⊥AC，

由(1)知BD⊥平面PAC，PA⊂平面PAC，所以BD⊥P【解析】(1)设AC交BD于点N，连接PN，可证明BD⊥平面PAC，从而得到平面PBD⊥平面P17.【答案】解：(1)总体容量1500，样本容量75，则抽样比为751500=120，

所以样本中男生数量n1=900×120=45，女生数量n2=(1500−900)×120=30．

(2【解析】(1)根据分层抽样的概念即可求解；

(218.【答案】解：(1)过B作BE⊥α，垂足为E，过C作CF⊥α，垂足为F，连AE、AF、EF，

则∠BAE=30°，∠CAF=45°，

设BC到平面α的距离为d，因为BC/​/平面α，所以BE=CF=d，

在直角三角形BEA中，sin30°=dAB，所以AB=d12=2d，

在直角三角形CAF中，AC=2d，

在直角三角形AB【解析】(1)过B作BE⊥α，垂足为E，过C作CF⊥α，由题意可得∠BAE=30°，∠CAF=45°，设BC到平面α的距离为d，因为BC/​/