北京市汇文中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷(含答案)

北京市汇文中学2023-2024学年高一（下）期中数学试卷一、选择题（每题5分，共50分）1．（5分）若复数z＝﹣2+i，则复数z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．（5分）已知向量＝（2，1），＝（4，x），且∥，则x的值为（）A．﹣2 B．2 C．﹣8 D．83．（5分）在三角形ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若∠A＝120°，a＝2，b＝，则B＝（）A． B． C． D．4．（5分）已知圆锥的轴截面是一个边长为2的等边三角形，则该圆锥的体积为（）A． B．π C． D．2π5．（5分）已知P为△ABC所在平面内一点，，则（）A． B． C． D．6．（5分）已知非零向量，，则“”是“”成立的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件7．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若2acosB＝c，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形8．（5分）对于非零向量，，定义运算“×”：×＝||||sinθ，其中θ为，的夹角．设，，为非零向量，则下列说法错误的是（）A．×＝× B．（+）×＝×+× C．若×＝0，则∥ D．×＝（﹣）×9．（5分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥BC，AA1＝AB，P为棱A1B1的中点，Q为线段A1C上的动点．以下结论中正确的是（）A．存在点Q，使BQ∥AC B．不存在点Q，使BQ⊥B1C1 C．对任意点Q，都有BQ⊥AB1 D．存在点Q，使BQ∥平面PCC110．（5分）圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”）．当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图2是一个根据北京的地理位置设计的圭表的示意图，已知北京冬至正午太阳高度角（即∠ABC）为26.5°，夏至正午太阳高度角（即∠ADC）为73.5°，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即DB的长）为a，则表高（即AC的长）为（）A． B． C． D．二、填空题（每题5分，共30分）11．（5分）已知复数z＝i（1+i），则＝；|z|＝．12．（5分）已知向量＝（1，﹣1），＝（﹣2，1），则2＝；向量在上的投影向量的坐标为．13．（5分）正四面体ABCD中，二面角A﹣BC﹣D大小的余弦值为．14．（5分）已知点O（0，0），A（1，2），B（m，0）（m＞0），则cos＜，＞＝，若B是以OA为边的矩形的顶点，则m＝．15．（5分）若△ABC的面积为（a2+c2﹣b2），且∠C为钝角，则∠B＝；的取值范围是．16．（5分）如图矩形ABCD中，AB＝2BC＝2，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻转成△A1DE．若M为线段A1C的中点，则在△ADE翻转过程中，下列叙述正确的有（写出所有序号）．①BM是定值；②一定存在某个位置，使CE⊥DA1；③一定存在某个位置，使DE⊥A1C；④一定存在某个位置，使MB∥平面A1DE．三、解答题（每题14分，共70分）17．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，E，F分别是AB，PB的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面PAD；（Ⅱ）求证：EF⊥CD．18．（14分）已知f（x）＝sin2x+2cos2x．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及单调递减区间；（Ⅱ）求函数f（x）在区间上的最大值和最小值．19．（14分）如图，四边形ABCD是菱形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE＝3AF．（1）求证：平面BAF∥平面CDE；（2）求证：平面EAC⊥平面EBD；（3）设点M是线段BD上一个动点，试确定点M的位置，使得AM∥平面BEF，并证明你的结论．20．（14分）已知在△ABC中，sin2A＝sinBsinC．（1）若∠A＝，求∠B的大小；（2）若bc＝1，求△ABC的面积的最大值．21．（14分）对于数集X＝{﹣1，x1，x2，…x}，其中0＜x1＜x2＜…＜xn，n≥2，定义向量集Y＝{|＝（s，t），s∈X，t∈X}，若对任意∈Y，存在∈Y，使得•＝0，则称X具有性质P．（Ⅰ）判断{﹣1，1，2}是否具有性质P；（Ⅱ）若x＞2，且{﹣1，1，2，x}具有性质P，求x的值；（Ⅲ）若X具有性质P，求证：1∈X，且当xn＞1时，x1＝1．参考答案与试题解析一、选择题（每题5分，共50分）1．（5分）若复数z＝﹣2+i，则复数z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【解答】解：复数z＝﹣2+i，则复数z在复平面内对应的点（﹣2，1）位于第二象限．故选：B．2．（5分）已知向量＝（2，1），＝（4，x），且∥，则x的值为（）A．﹣2 B．2 C．﹣8 D．8【解答】解：∵＝（2，1），＝（4，x），且∥，∴2x﹣4＝0，即x＝2．故选：B．3．（5分）在三角形ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若∠A＝120°，a＝2，b＝，则B＝（）A． B． C． D．【解答】解：∵∠A＝120°，a＝2，b＝，∴由正弦定理可得：sinB＝．∵∠A＝120°∴B＝30°，即B＝．方法2：∵∠A＝120°，∴0°＜B＜60°，排除A，B，C，故选：D．4．（5分）已知圆锥的轴截面是一个边长为2的等边三角形，则该圆锥的体积为（）A． B．π C． D．2π【解答】解：由题知，如图，△PAB为圆锥的轴截面，边长均为2，则圆锥的高，底面半径，故圆锥体积．故选：A．5．（5分）已知P为△ABC所在平面内一点，，则（）A． B． C． D．【解答】解：由于，利用向量的线性运算，，整理得：．故选：A．6．（5分）已知非零向量，，则“”是“”成立的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【解答】解：若非零向量，满足，则，，故“”是“”成立的必要条件，若，两边同时平方可得，，，令，时，满足非零向量，且，成立，但．故“”不是“”成立的充分条件，综上所述，“”是“”成立的必要不充分条件．故选：B．7．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若2acosB＝c，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形【解答】解：c＝2acosB，由正弦定理可得sinC＝sin（A+B）＝2sinAcosB，由两角和的正弦公式可得：sinAcosB+cosAsinB＝2sinAcosB，∴sinAcosB＝cosAsinB，可得tanA＝tanB，又0＜A，B＜π，∴A＝B，故△ABC的形状为等腰三角形．故选：A．8．（5分）对于非零向量，，定义运算“×”：×＝||||sinθ，其中θ为，的夹角．设，，为非零向量，则下列说法错误的是（）A．×＝× B．（+）×＝×+× C．若×＝0，则∥ D．×＝（﹣）×【解答】解：非零向量，，定义运算“×”：×＝||||sinθ，其中θ为，的夹角．故：①，故A正确．②，则：θ＝0或π，所以：和共线，故：C正确．③由于：，故：D正确，所以利用排除法得到：B错误．故选：B．9．（5分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥BC，AA1＝AB，P为棱A1B1的中点，Q为线段A1C上的动点．以下结论中正确的是（）A．存在点Q，使BQ∥AC B．不存在点Q，使BQ⊥B1C1 C．对任意点Q，都有BQ⊥AB1 D．存在点Q，使BQ∥平面PCC1【解答】解：A选项，由于BQ∩平面ABC＝B，B∉AC，AC⊂平面ABC，则BQ，AC一定异面，A选项错误；B选项，根据直三棱柱性质，BB1⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，故BB1⊥BC，又AB⊥BC，AB∩BB1＝B，AB，BB1⊂平面ABB1A1，故BC⊥平面ABB1A1，又BA1⊂平面ABB1A1，故BC⊥BA1，显然BC∥B1C1，即B1C1⊥BA1，故A1，Q重合时，BQ⊥B1C1，B选项错误；C选项，直棱柱的侧面ABB1A1必是矩形，而AA1＝AB，故矩形ABB1A1成为正方形，则AB1⊥BA1，B选项已经分析过，BC⊥平面ABB1A1，由AB1⊂平面ABB1A1，故AB1⊥BC，又BC∩BA1＝B，BC，BA1⊂平面BCA1，故AB1⊥平面BCA1，又BQ⊂平面BCA1，则BQ⊥AB1必然成立，C选项正确；D选项，取AB中点M，连接CM，PM，根据棱柱性质可知，CM和C1P平行且相等，故平面PCC1可扩展成平面CMPC1，过B作BN⊥CM，垂足为N，根据BB1⊥平面ABC，BN⊂平面ABC，故BB1⊥BN，显然BB1∥CC1，故BN⊥CC1，由BN⊥CM，CC1∩CM＝C，CC1，CM⊂平面CMPC1，故BN⊥平面CMPC1，若BQ∥平面PCC1，则BQ⊥BN，过Q作QO∥BB1，交A1C1于O，连接B1O，于是BQOB1共面，又BQ∩BB1＝B，BQ，BB1⊂平面BQOB1，故BN⊥平面BQOB1，由于B1O⊂平面BQOB1，故BN⊥B1O，延长OQ交AC于J，易得B1O∥BJ，则BJ⊥BN，而J在线段AC上，这是不可能的，D选项错误．故选：C．10．（5分）圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”）．当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图2是一个根据北京的地理位置设计的圭表的示意图，已知北京冬至正午太阳高度角（即∠ABC）为26.5°，夏至正午太阳高度角（即∠ADC）为73.5°，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即DB的长）为a，则表高（即AC的长）为（）A． B． C． D．【解答】解：由题可知：∠BAD＝73.5°﹣26.5°＝47°，在△BAD中，由正弦定理可知：，即，则，又在△ACD中，，所以，故选：D．二、填空题（每题5分，共30分）11．（5分）已知复数z＝i（1+i），则＝﹣1﹣i；|z|＝．【解答】解：z＝i（1+i）＝﹣1+i，则，|z|＝．故答案为：﹣1﹣i；．12．（5分）已知向量＝（1，﹣1），＝（﹣2，1），则2＝（0，﹣1）；向量在上的投影向量的坐标为（）．【解答】解：＝（1，﹣1），＝（﹣2，1），则2＝（2，﹣2）+（﹣2，1）＝（0，﹣1）；，＝，故向量在上的投影向量的坐标为：＝＝（）．故答案为：（0，﹣1）；（）．13．（5分）正四面体ABCD中，二面角A﹣BC﹣D大小的余弦值为．【解答】解：设正四面体ABCD的棱长为2，取BC中点O，连接AO，DO，则∠AOD就是二面角A﹣BC﹣D的平面角，∵AO＝DO＝，∴cos∠AOD＝＝．故答案为：．14．（5分）已知点O（0，0），A（1，2），B（m，0）（m＞0），则cos＜，＞＝，若B是以OA为边的矩形的顶点，则m＝5．【解答】解：根据题意，点O（0，0），A（1，2），B（m，0），则＝（1，2），＝（m，0），则||＝，||＝m，•＝m，故cos＜，＞＝＝，若B是以OA为边的矩形的顶点，而与不垂直，则必有⊥，又由＝（m﹣1，﹣2），则有•＝（m﹣1）+2×（﹣2）＝0，解可得m＝5，故答案为：，5．15．（5分）若△ABC的面积为（a2+c2﹣b2），且∠C为钝角，则∠B＝；的取值范围是（2，+∞）．【解答】解：△ABC的面积为（a2+c2﹣b2），可得：（a2+c2﹣b2）＝acsinB，，可得：tanB＝，所以B＝，∠C为钝角，A∈（0，），tanA＝，∈（，+∞）．＝＝＝cosB+sinB＝∈（2，+∞）．故答案为：；（2，+∞）．16．（5分）如图矩形ABCD中，AB＝2BC＝2，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻转成△A1DE．若M为线段A1C的中点，则在△ADE翻转过程中，下列叙述正确的有①②④（写出所有序号）．①BM是定值；②一定存在某个位置，使CE⊥DA1；③一定存在某个位置，使DE⊥A1C；④一定存在某个位置，使MB∥平面A1DE．【解答】解：对于①④，取CD中点F，连接MF，BF，则MF∥DA1，BF∥DE，∴平面MBF∥平面A1DE，∴MB∥平面A1DE，故④正确，由∠A1DE＝∠MFB＝，MF＝A1D＝，FB＝DE＝，由余弦定理可得MB2＝MF2+FB2﹣2MF•FB•cos∠MFB＝，所以MB＝是定值，故①正确，对于②，当A1C＝时，因为A1E＝1，CE＝，所以，所以A1E⊥CE，因为矩形ABCD中，DE＝CE＝，DC＝2，所以DE2+CE2＝DC2，即DE⊥EC，又因为A1E∩DE＝E，所以CE⊥平面A1DE，所以CE⊥DA1，故②正确，假设③正确，即在某个位置，使DE⊥A1C，又因为矩形ABCD中，DE＝CE＝，DC＝2，所以DE2+CE2＝DC2，即DE⊥EC，又因为A1C∩EC＝C，所以DE⊥平面A1EC，则DE⊥A1E，这与DA1⊥A1E矛盾，所以不存在某个位置，使DE⊥A1C，故③错误．故答案为：①②④．三、解答题（每题14分，共70分）17．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，E，F分别是AB，PB的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面PAD；（Ⅱ）求证：EF⊥CD．【解答】证明：（Ⅰ）E，F分别是AB，PB的中点，可得EF∥PA，而EF⊄平面PAD，PA⊂平面PAD，所以EF∥平面PAD；（Ⅱ）PD⊥底面ABCD，PD⊂平面PAD，所以平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，因为底面ABCD为正方形，CD⊥AD，CD⊂平面ABCD，所以CD⊥平面PAD，所以CD⊥PA，由（Ⅰ）可得EF∥PA，所以EF⊥CD．18．（14分）已知f（x）＝sin2x+2cos2x．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及单调递减区间；（Ⅱ）求函数f（x）在区间上的最大值和最小值．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）＝sin2x+2cos2x＝sin2x+cos2x+1＝2sin（2x+）+1，∴f（x）的最小正周期T＝＝π，令2kπ+≤2x+≤2kπ+，k∈Z，解得：kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，可得f（x）单调递减区间为[kπ+，k]，k∈Z．（Ⅱ）∵x∈[0，]，∴2x+∈[，]，∴由函数图象性质可有，当2x+＝，即x＝时，f（x）max＝3；当2x+＝，即x＝时，f（x）min＝0．19．（14分）如图，四边形ABCD是菱形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE＝3AF．（1）求证：平面BAF∥平面CDE；（2）求证：平面EAC⊥平面EBD；（3）设点M是线段BD上一个动点，试确定点M的位置，使得AM∥平面BEF，并证明你的结论．【解答】证明：（1）∵AF∥DE，AF⊄平面CDE，DE⊂平面CDE，∴AF∥平面CDE．同理，AB∥平面CDE，∵AF∩AB＝A，∴平面BAF∥平面CDE；（2）∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵DE⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥DE，∵BD∩DE＝D．∴AC⊥平面EBD，∵AC⊂平面EAC，∴平面EAC⊥平面EBD；解：（3）BM＝BD时，AM∥平面BEF，理由如下：作MN∥ED，则MN平行且等于BD，∵AF∥DE，DE＝3AF，∴AF平行且等于MN，∴AMNF是