西藏山南市普通高中2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题(含答案)

西藏山南市普通高中2023～2024学年第一学期期末考试高二数学全卷满分150分，考试时间120分钟。注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚。4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交。5.本卷主要考查内容：必修第二册第七章、第九章、第十章，选择性必修第一册。一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数，，则（）A. B. C. D.2.抛物线的准线方程为（）A. B. C. D.3.已知椭圆的左顶点为A，上顶点为B，则（）A. B.3 C.4 D.4.无论m为何值，直线所过定点的坐标为（）A. B. C. D.5.已知双曲线的虚轴长是实轴长的3倍，则实数的值为（）A. B. C. D.6.小张某一周的总开支分布如图①所示，该星期的食品开支如图②所示，则以下说法正确的是（）A.储蓄比通信开支多50元 B.日常开支比食品中的其他开支少150元C.娱乐支出为100元 D.肉类开支占总开支的7.已知椭圆：的离心率为，双曲线：的离心率为，则（）A. B. C. D.8.在四棱锥中，底面为平行四边形，E为的中点，F为的中点，，，，则（）A. B.C. D.9.抛掷一枚硬币出现正面或反面，记事件A表示“出现正面”，事件B表示“出现反面”，则（）A.A与B相互独立 B.C.A与不相互独立 D.10.已知点，，若点A，B到直线的距离都为2，则直线的方程不可能为（）A. B.C. D.11.已知抛物线C：，O为坐标原点，点P为抛物线上的一点，且点P在x轴的上方，若线段的垂直平分线过点，则直线的斜率为（）A.1 B.2 C. D.12.如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，，E为的中点，F为的中点，则异面直线与所成角的正弦值为（）A. B. C. D.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知直线被圆所截得的弦长为√，则实数___________.14.某校高一年级共有300名同学参加法制知识竞赛，已知所有学生成绩的第70百分位数是75分，则成绩大于或等于75分的学生至少有__________名.15.已知平面的一个法向量为，点是平面上的一点，则点到平面的距离为________.16.已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点P为椭圆上一点，且点P位于第一象限，，则_______，________.（本题第一空2分，第二空3分）三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.17.（本小题满分10分）已知直线经过直线与的交点P.（1）若直线与直线垂直，求直线的方程；（2）若直线在坐标轴上的截距相等，求直线的方程.18.（本小题满分12分）为了实现中国梦的构想，在社会主义新农村建设中，某市决定在一个乡镇投资农产品加工、绿色蔬菜种植和水果种植三个项目，据预测，三个项目成功的概率分别为，，，且三个项目是否成功相互独立.（1）求恰有两个项目成功的概率；（2）求至少有一个项目成功的概率.19.（本小题满分12分）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点P为双曲线上一点，且点P在第一象限，.（1）求的正弦值；（2）求点的纵坐标.20.（本小题满分12分）如图，在三棱锥中，平面，，，为的中点.（1）证明：平面；（2）求平面与平面所成二面角的正弦值.21.（本小题满分12分）已知抛物线：的焦点为F，过焦点F的直线与抛物线C相交于A，B两点，O为坐标原点.（1）求的值；（2）证明：.22.（本小题满分12分）已知椭圆：的一个长轴顶点到另一个短轴顶点的距离为，且椭圆的短轴长与焦距长之和为4.（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点的直线与椭圆C相交于M，N两点（异于椭圆长轴顶点），求（O为坐标原点）面积的最大值，并求此时直线的方程.西藏山南市普通高中2023～2024学年第一学期期末考试·高二数学参考答案、提示及评分细则1.D因为，，所以.故选D.2.B抛物线的标准方程为，可得，，故抛物线的准线方程为.3.D由，，可得.4.C当时，，可知直线过定点（-2，1）.5.A由题意有，解得.6.C由食品开支图，可知食品开支有30+40+100+80+50=300（元），所以一星期的总开支300÷30%=1000（元），其中娱乐支出为1000×10%=100（元），故C正确；储蓄比通信开支多1000×（30%-5%）=250（元），故A错误；日常开支为1000×20%=200（元），故日常开支比食品中的其他开支多150元，故B错误；肉类开支占总开支的，故D错误.故选C.7.D由，，可得.8.A连，，.9.C由题意得，，，故A与B，A与均不相互独立，A，B，D不正确，故选C.10.D直线的斜率为，①直线与直线平行时，设直线的方程为，有，解得；②若直线过的中点（1，3）时，若直线的斜率存在，设直线的方程为，整理为，有，解得，有；若直线的斜率不存在，符合题意.11.A设点P的坐标为，有的中点为，直线的斜率为，直线的斜率为，有，解得，故直线的斜率为1.12.A由，，两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，设，点，，，，，，可得，，设异面直线与所成的角为，有，.13.由直线被圆截得的弦长为，可得圆心到直线的距离为，有，解得.14.90200-200×70%=90.15.，点到平面的距离.16.设，，焦点，有，有，解得，.17.解：（1）由解得即.因为直线与直线垂直，所以直线的斜率为，所以直线的方程为，即；（2）显然，直线的斜率存在，设直线的方程为，令，解得，令，解得，所以，解得或，所以直线的方程为或.18.解：（1）只有农产品加工和绿色蔬菜种植两个项目成功的概率为，只有农产品加工和水果种植两个项目成功的概率为，只有绿色蔬菜种植和水果种植两个项目成功的概率为，∴恰有两个项目成功的概率为；（2）三个项目全部失败的概率为，∴至少有一个项目成功的概率为；19.解：（1）由双曲线的定义，有，又由，可得，，在中，可得，有；（2）设点的纵坐标为，，，有，得.20.（1）证明：∵，，∴，∴，∵平面，平面，∴，∵，，，平面，∴平面；（2）解：以点C为坐标原点，向量，方向分别为x，y轴的正方向，过点C且与向量同向的方向为z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，各坐标如下：，，，，.设平面的法向量为，由，，有取，，，可得平面的一个法向量为.设平面的法向量为，由，，有取，，，可得平面的一个法向量为.有，，可得，故平面与平面所成二面角的正弦值为.21.解：（1）设A，B两点的坐标分别为，，由点F的坐标为（1，0），设