高三数学一轮复习讲义直线与方程

课题：直线与方程知识点一、直线方程1．直线的倾斜角①定义．当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴的正方向与直线l向上的方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.②范围：倾斜角的范围为．2．直线的斜率①定义．一条直线的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即，倾斜角是90°的直线没有斜率．当直线与x轴平行或重合时,,.②过两点的直线的斜率公式．经过两点的直线的斜率公式为.直线的点斜式方程直线经过点，且斜率为，则直线的方程为：.这个方程就叫做直线点斜式方程.特别地，直线过点，则直线的方程为：.这个方程叫做直线的斜截式方程.4.直线的两点式方程直线过两点其中，则直线的方程为：.这个方程叫做直线的两点式方程.当时，直线与轴垂直，所以直线方程为：；当时，直线与轴垂直，直线方程为：.特别地，若直线过两点，则直线的方程为：，这个方程叫做直线的截距式方程.5.直线的一般式方程关于的二元一次方程（A，B不同时为0）叫做直线的一般式方程.由一般式方程可得，B不为0时，斜率，截距.6．两直线的平行关系(1)对于两条不重合的直线，其斜率为，有.(2)对于两条直线，有.7．两条直线的垂直关系(1)对于两条直线，其斜率为，有.(2)对于两条直线，有.8．两点间的距离公式设两点，则.9．点到直线的距离公式设点，直线，则点到直线的距离.10．两平行线间的距离公式设两条平行直线，则这两条平行线之间的距离.【典型例题】【例1】已知直线的倾斜角为，则的值是（）A．B．C．D．【答案】C试题分析：，选C.【例2】过点且与直线垂直的直线方程为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】所求直线与垂直，则斜率为，由所求直线过点，得直线方程为【例3】过点，且在轴上的截距是在轴上截距2倍的直线方程是（）A.B.或C.D.或【答案】B试题分析：当直线过原点时所求方程为；当直线不过原点时，可设其截距式为，由该直线过即可解得，对应方程为，即.故选B.【例4】“”是“直线与直线平行”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A试题分析：两直线平行，则有，故为充分不必要条件.【例5】已知直线过点且与点，等距离，则直线的方程为（）A．B．C．或D．或【答案】D试题分析：设所求直线的方程为，即，由已知及点到直线的距离公式可得，解得或，即所求直线方程为或．【举一反三】1．过点且垂直于直线的直线方程为（）A．B．C．D．【答案】A试题分析：根据两直线垂直，斜率乘积为，得直线斜率为，由点斜式得.2．设直线，，若，则（）A.B.1C.D.0【答案】A【解析】，解得：，故选A.3．已知，则“”是“直线与直线垂直”的（）A.充要条件B.必要而不充分条件C.充分而不必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】“直线与直线垂直”的充要条件为，因此“”是“直线与直线垂直”的充分而不必要条件，选C.4．过点，的直线的斜率为，则（）A．B．C．D．【答案】D试题分析：，解得：，即,,所以,故选D.5．已知直线在轴和轴上的截距相等，则的值是（）A．1B．C．或D．或1【答案】D试题分析：由直线的方程：得此直线在轴与轴上的截距分别为和，由得或，故选D.【巩固练习】1．点（3，5）在直线l：ax﹣y+2=0上，则直线A.30°B.45°C.60°D.120°【答案】C【解析】∵点(3,5)在直线l:ax−y+2=0上∴3a−4+2=0,∴a=3即直线的斜率为3，直线l2．两条平行直线和之间的距离为A.B.C.D.4【答案】A【解析】∵和互相平行，∴，即m=2或1，经检验：m=2两直线重合，故m=1；两条平行直线和之间的距离d=3．下列直线中与直线平行的一条是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】试题分析：两直线平行，斜率相等，原题直线斜率是，故排除A，C，B选项化简后和原直线重合，故选D.考点：直线与直线的位置关系.【易错点晴】本题主要考查两条直线的位置关系.在平面中，两条之间的位置关系有相交和平行，当直线斜率不相同时，两直线相交，当斜率相同且截距不相同时，两直线平行.所以两条平行线斜率是相等的，在选项中，B，D两个选项的斜率都是，和原直线的斜率相同，但是通过观察后发现，B选项可以化简，所得直线和原直线重合，故要排除.4．经过点且在两坐标轴上截距相等的直线是（）．A.B.C.或D.或【答案】D【解析】若直线过原点，则直线为符合题意，若直线不过原点设直线为，代入点解得，直线方程整理得，故选．5．若，，三点共线，则的值为（）．A.B.C.D.【答案】A【解析】∵，，∵三点共线，∴，共线，∴，解得，选择．6．已知直线与直线有相同的斜率，且，则实数的值是____________．【答案】【解析】试题分析：依题意有，解得.考点：直线斜率.7．已知线段两端点的坐标分别为和，若直线与线段有交点，则实数的取值范围是.【答案】【解析】试题分析：.考点：1、两直线的位置关系；2、直线的斜率和倾斜角.倾斜角的变化范围，再利用斜率图象确定斜率的取值范围，再解相关不等式，即：先求得.8．直线的倾斜角等于_________．【答案】【解析】直线的斜率为1.设倾斜角为，则有.所以.直线的倾斜角等于.9．已知两直线，若，则_______；若，则__________【答案】【解析】两直线，若，则，经检验符合题意；若，则故答案为，10．经过点（2，0），与平行的直线方程是_______________.【答案】；【解析】设与平行的直线方程是∵要求的直线过（2，0）∴，即∴经过点（2，0），与平行的直线方程是故答案为11．已知两条直线与平行，则的值为________________.【答案】1【解析】由得：，当k=0时，显然不符合题意；当k时，，即时，两直线重合舍去，∴故答案为：12．点到直线的距离为__________.【答案】【解析】试题分析：根据点到直线的距离公式可得.考点：点到直线的距离公式.【课后练习】正确率：________1．直线和直线.若，则的值为（）A.1B.0C.0或1D.0或1【答案】C由两直线平行可得,解得.代入两直线的方程验证,当.2．若直线与直线垂直，则的值为（）A.3B.3C.D.【答案】B试题分析：直线的斜率为，直线的斜率为，因为两直线垂直所以，解得。故B正确。3．两直线与平行，则它们之间的距离为（）A．B．C．D．【答案】D试题分析：由两直线平行可知，所以距离为4．已知关于直线对称的点为，则满足的直线方程为（）A．B．C．D．【答案】D试题分析：由题意得，设点，因为点关于直线对称的点为，所以，解得，此时点满足直线，故选D．5．“”是“直线与互相平行”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．即不充分也不必要条件【答案】A试题分析：直线与互相平行的充要条件为，即或，因此“”是“直线与互相平行”的充分不必要条件，选A.6．已知直线与直线平行，则直线在轴上的截距为（）A．B．C．D．【答案】B试题分析：由已知得，得，则直线在轴上的截距为,故选B．7．若直线经过点和，且与经过点斜率为的直线垂直，则实数的值为（）A．B．C．D．【答案】A试题分析：由题意得，直线的斜率为，所以，所以，8．过点，且在轴上的截距是在轴上截距的2倍的直线方程是（）（A）（B）或（C）（D）或【答案】B试题分析：当此直线经过原点时,又过点,所以直线方程为；当此直线不过原点时,设此直线方程为,点在此直线上,所以,此时直线方程为.综上,满足题意得直线方程为或,故选B.9．已知直线与直线平行，则它们之间的距离为__________．【答案】【解析】两条直线平行即斜率相等，所以，即，直线化简为，所以距离，故答案为10．若直线与直线平行，则__________．【答案】由题设可得或，当时，两直线重合，故，应填答案。11．直线在两坐标轴上的截距互为相反数，且坐标原点到直线的距离为，则直线的方