甘肃省平凉市庄浪县紫荆中学2024届高三第四次模拟考试 数学试题（含解析）

紫荆中学2024年高考第四次模拟考试试题（卷）高三数学命题人：高三数学备课组一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，则（

）A． B． C． D．2．（

）A． B． C． D．3．已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（

）A． B． C． D．4．若，则（

）A． B． C． D．5．设，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件6．已知数列，若，则称数列为“凸数列”．已知数列为“凸数列”，且，，则的前2024项的和为（

）A．0 B．1 C．－5 D．－17．已知两个不等的正实数x，y满足，则下列结论一定正确的是（

）A． B．C． D．8．正四面体的棱长为1，点是该正四面体内切球球面上的动点，当取得最小值时，点到的距离为（

）A． B． C． D．二､选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知函数的图像关于点中心对称，则（

）A．在区间单调递减B．在区间有两个极值点C．直线是曲线的对称轴D．直线是曲线的切线10．已知正方体，则（

）A．直线与所成的角为 B．直线与所成的角为C．直线与平面所成的角为 D．直线与平面ABCD所成的角为11．已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（

）A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切12．已知为坐标原点，点，，，，则（

）A． B．C． D．三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知函数是偶函数，则.14．已知为等比数列，，，则.15．函数的最小值为.16．在中，，的角平分线交BC于D，则．四､解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．17．在中，角、、所对的边长分别为、、，，.．（1）若，求的面积；（2）是否存在正整数，使得为钝角三角形?若存在，求出的值；若不存在，说明理由．18．已知数列满足，（1）记，写出，，并求数列的通项公式；（2）求的前20项和.19．在四棱锥中，底面是正方形，若．（1）证明：平面平面；（2）求二面角的平面角的余弦值．20．已知椭圆的一个顶点，焦点在x轴上，离心率为．（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线与椭圆交于不同的两点．当时，求m的取值范围．21．某冰糖橙是甜橙的一种，以味甜皮薄著称.该橙按照等级可分为四类：珍品、特级、优级和一级.某采购商打算订购一批橙子销往省外，并从采购的这批橙子中随机抽取100箱（每箱有5kg），利用橙子的等级分类标准得到的数据如下表：等级珍品特级优级一级箱数40301020(1)若将频率作为概率，从这100箱橙子中有放回地随机抽取4箱，求恰好有2箱是一级品的概率；(2)利用样本估计总体，果园老板提出两种方案供采购商参考：方案一：不分等级出售，价格为27元/kg；方案二：分等级出售，橙子价格如下表.等级珍品特级优级一级价格/（元∕kg）36302418从采购商的角度考虑，应该采用哪种方案？(3)用分层随机抽样的方法从这100箱橙子中抽取10箱，再从抽取的10箱中随机抽取3箱，X表示抽取的珍品的箱数，求X的分布列及均值.22．已知函数．(1)判断的单调性；(2)设方程的两个根分别为，求证：．1．B【分析】方法一：求出集合后可求.【详解】[方法一]：直接法因为，故，故选：B.[方法二]：【最优解】代入排除法代入集合，可得，不满足，排除A、D；代入集合，可得，不满足，排除C.故选：B.【整体点评】方法一：直接解不等式，利用交集运算求出，是通性通法；方法二：根据选择题特征，利用特殊值代入验证，是该题的最优解．2．D【分析】利用复数的乘法可求.【详解】，故选：D.3．B【分析】设圆锥的母线长为，根据圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长可求得的值，即为所求.【详解】设圆锥的母线长为，由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则，解得.故选：B.4．C【分析】将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简，然后增添分母()，进行齐次化处理，化为正切的表达式，代入即可得到结果．【详解】将式子进行齐次化处理得：．故选：C．【点睛】易错点睛：本题如果利用，求出的值，可能还需要分象限讨论其正负，通过齐次化处理，可以避开了这一讨论．5．A【分析】由三角函数的性质结合充分条件、必要条件的定义即可得解.【详解】因为可得：当时，，充分性成立；当时，，必要性不成立；所以当，是的充分不必要条件.故选：A.6．D【分析】根据，递推出数列是以6为周期的周期数列求解.【详解】解：因为，所以，，则数列是以6为周期的周期数列，又，所以，故选：D7．C【分析】先化简已知式，构造函数（），并利用导数研究函数性质，画出图象，再利用图象得到范围，结合特殊值计算排除错误选项，研究极值点偏移得到答案即可.【详解】因为，所以，即，令函数，，则，时，单调递减，时，单调递增.函数在处取得极小值，如图所示：依题意，，不妨设，由图象可知，，故，A错误；假设成立，可取，则，易见不满足题意，即B不正确；如图取时，设，则由知，可有，故D错误；由函数（）中，时，，时，，可知，时极值点左偏，即，即一定成立，C正确.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题的解题关键在于构造函数关系（），并研究其单调性和极值点，结合图象判断极值点的偏移情况，即突破难点.8．A【分析】根据正四面体的体积可求出内切球的半径，取的中点为，，可得当的长度最小时，取得最小值，求出球心到点的距离，可得点到的距离为.【详解】因为四面体是棱长为1的正四面体，所以其体积为.设正四面体内切球的半径为，则，得.如图，取的中点为，则.显然，当的长度最小时，取得最小值.设正四面体内切球的球心为，可求得.因为球心到点的距离，所以球上的点到点的最小距离为，即当取得最小值时，点到的距离为.故选：A.【点睛】关键点睛：本题考查几何体的内切球问题，解题的关键是先根据正四面体的体积可求出内切球的半径，得出点到的距离为球心到点的距离减去半径.9．AD【分析】根据三角函数的性质逐个判断各选项，即可解出．【详解】由题意得：，所以，，即，又，所以时，，故．对A，当时，，由正弦函数图象知在上是单调递减；对B，当时，，由正弦函数图象知只有1个极值点，由，解得，即为函数的唯一极值点；对C，当时，，，直线不是对称轴；对D，由得：，解得或,从而得：或,所以函数在点处的切线斜率为，切线方程为：即．故选：AD．10．ABD【分析】数形结合，依次对所给选项进行判断即可.【详解】如图，连接、，因为，所以直线与所成的角即为直线与所成的角，因为四边形为正方形，则，故直线与所成的角为，A正确；连接，因为平面，平面，则，因为，，所以平面，又平面，所以，故B正确；连接，设，连接，因为平面，平面，则，因为，，所以平面，所以为直线与平面所成的角，设正方体棱长为，则，，，所以，直线与平面所成的角为，故C错误；因为平面，所以为直线与平面所成的角，易得，故D正确.故选：ABD11．ABD【分析】转化点与圆、点与直线的位置关系为的大小关系，结合点到直线的距离及直线与圆的位置关系即可得解.【详解】圆心到直线l的距离，若点在圆C上，则，所以，则直线l与圆C相切，故A正确；若点在圆C内，则，所以，则直线l与圆C相离，故B正确；若点在圆C外，则，所以，则直线l与圆C相交，故C错误；若点在直线l上，则即，所以，直线l与圆C相切，故D正确.故选：ABD.12．AC【分析】A、B写出，、，的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C、D根据向量的坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误.【详解】A：，，所以，，故，正确；B：，，所以，同理，故不一定相等，错误；C：由题意得：，，正确；D：由题意得：，，故一般来说故错误；故选：AC13．1【分析】利用偶函数的定义可求参数的值.【详解】因为，故，因为为偶函数，故，时，整理得到，故，故答案为：114．【分析】根据等比数列公式对化简得，联立求出，最后得.【详解】设的公比为，则，显然，则，即，则，因为，则，则，则，则，故答案为：.15．1【分析】由解析式知定义域为，讨论、、，并结合导数研究的单调性，即可求最小值.【详解】由题设知：定义域为，∴当时，，此时单调递减；当时，，有，此时单调递减；当时，，有，此时单调递增；又在各分段的界点处连续，∴综上有：时，单调递减，时，单调递增；∴故答案为：1.16．【分析】方法一：利用余弦定理求出，再根据等面积法求出；方法二：利用余弦定理求出，再根据正弦定理求出，即可根据三角形的特征求出．【详解】如图所示：记，方法一：由余弦定理可得，，因为，解得：，由可得，，解得：．故答案为：．方法二：由余弦定理可得，，因为，解得：，由正弦定理可得，，解得：，，因为，所以，，又，所以，即．故答案为：．【点睛】本题压轴相对比较简单，既可以利用三角形的面积公式解决角平分线问题，也可以用角平分定义结合正弦定理、余弦定理求解，知识技能考查常规．17．（1）；（2）存在，且.【分析】（1）由正弦定理可得出，结合已知条件求出的值，进一步可求得、的值，利用余弦定理以及同角三角函数的基本关系求出，再利用三角形的面积公式可求得结果；（2）分析可知，角为钝角，由结合三角形三边关系可求得整数的值.【详解】（1）因为，则，则，故，，，所以，为锐角，则，因此，；（2）显然，若为钝角三角形，则为钝角，由余弦定理可得，解得，则，由三角形三边关系可得，可得，，故.18．（1）；（2）.【分析】(1)方法一：由题意结合递推关系式确定数列的特征，然后求和其通项公式即可；(2)方法二：分组求和，结合等差数列前项和公式即可求得数列的前20项和.【详解】解：（1）[方法一]【最优解】：显然为偶数，则，所以，即，且，所以是以2为首项，3为公差的等差数列，于是．[方法二]：奇偶分类讨论由题意知，所以．由（为奇数）及（为偶数）可知，数列从第一项起，若为奇数，则其后一项减去该项的差为1，若为偶数，则其后一项减去该项的差为2．所以，则．[方法三]：累加法由题意知数列满足．所以，，则．所以，数列的通项公式．（2）[方法一]：奇偶分类讨论．[方法二]：分组求和由题意知数列满足，所以．所以数列的奇数项是以1为首项，3为公差的等差数列；同理，由知数列的偶数项是以2为首项，3为公差的等差数列．从而数列的前20项和为：．【整体点评】(1)方法一：由题意讨论的性质为最一般的思路和最优的解法；方法二：利用递推关系式分类讨论奇偶两种情况，然后利用递推关系式确定数列的性质；方法三：写出数列的通项公式，然后累加求数列的通项公式，是一种更加灵活的思路.(2)方法一：由通项公式分奇偶的情况求解前项和是一种常规的方法；方法二：分组求和是常见的数列求和的一种方法，结合等差数列前项和公式和分组的方法进行求和是一种不错的选择.19．（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）取的中点为，连接，可证平面，从而得到面面.（2）在平面内，过作，交于，则，建如图所示的空间坐标系，求出平面、平面的法向量后可求二面角的余弦值.【详解】（1）取的中点为，连接.因为，，则，而，故.在正方形中，因为，故，故，因为，故，故为直角三角形且，因为，故平面，因为平面，故平面平面.（2）在平面内，过作，交于，则，结合（1）中的平面，故可建如图所示的空间坐标系.则，故.设平面的法向量，则即，取，则，故.而平面的法向量为，故.二面角的平面角为锐角，故其余弦值为.20．（1）（2）【分析】（1）根据顶点、离心率建立方程求出椭圆的标准方程；（2）先由直线与椭圆方程联立方程组，由判别式得出不等关系，根与系数关系，再将条件转化为A在线段的垂直平分线上，建立等量关系，最后将它们相结合进行求解．【详解】解：（1）设椭圆的标准方程为，则解之得：．故椭圆的标准方程为．（2）设弦的中点，设，由得，因为直线与椭圆相交，所以，，①∴，所以．∴，又，∴，则，即，②把②代入①得，解得，由②得，解得．综上可知m的取值范围为．【点睛】本题考查了椭圆的标准方程以及直线与椭圆的位置关系的综合问题，有一定难度，属于中档题目．21．(1)(2)方案一(3)分布列见解析，【分析】（1）根据独立重复试验概率计算公式，计算出所求概率.（2）求得新方案采购价格的期望值，由此作出判断.（3）利用超几何分布的知识计算出分布列并求得.【详解】（1）设“从这100箱橙子中随机抽取1箱，抽到一级品”为事件A，则，现有放回地随机抽取4箱，设抽到一级品的箱数为，则，所以恰好有2箱是一级品的概率为.（2）设方案二中每千克橙子的价格为元，则，因为，所以从采购商的角度考虑应该采用方案一.（3）用分层随机抽样的方法从这100箱橙子中抽取10箱，其中珍品4箱，非珍品6箱，再从中随机抽取3箱，则珍品的箱数X服从超几何分布，其中，，，，，