数学（人教版选修22）练习活页作业（十四）

活页作业(十四)演绎推理1．已知△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°，求证：a＜b.证明：∵∠A＝30°，∠B＝60°，∴∠A＜∠B，∴a＜b，画线部分是演绎推理的()A．大前提 B．小前提C．结论 D．三段论解析：结合三段论的特征可知，该证明过程省略了大前提“在同一个三角形中大角对大边”，因此画线部分是演绎推理的小前提．答案：B2．“指数函数y＝ax(a＞0且a≠1)是R上的增函数，而y＝eq\f(1,2)x是指数函数，所以y＝eq\f(1,2)x是R上的增函数”，上述三段论推理过程中导致结论错误的是()A．大前提 B．小前提C．大、小前提 D．推理形式解析：指数函数y＝ax在a＞1时在R上是增函数，当0＜a＜1时，在R上是减函数，故上述三段论的证明中“大前提”出错．答案：A3．下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是()①y＝cosx(x∈R)是三角函数；②三角函数是周期函数；③y＝cosx(x∈R)是周期函数．A．①②③ B．③②①C．②③① D．②①③解析：显然②是大前提，①是小前提，③是结论．答案：D4．函数y＝2x＋5的图象是一条直线，用三段论表示为：大前提__________________________________________________________________；小前提__________________________________________________________________；结论____________________________________________________________________．答案：一次函数的图象是一条直线函数y＝2x＋5是一次函数函数y＝2x＋5的图象是一条直线5．已知x＞0，由不等式x＋eq\f(1,x)≥2，x＋eq\f(4,x2)＝eq\f(x,2)＋eq\f(x,2)＋eq\f(4,x2)≥3，…，启发我们可以得到一般性的推广结论：x＋eq\f(m,xn)≥n＋1(n∈N＋)，那么m＝________.解析：x＋eq\f(m,xn)＝eq\f(x,n)＋eq\f(x,n)＋…＋eq\f(x,n)＋eq\f(m,xn)≥(n＋1)eq\r(n＋1,\f(xn,nn)·\f(m,xn)).答案：nn6.如图，D，E，F分别是BC，CA，AB上的点，∠BFD＝∠A，DE∥BA，求证：ED＝AF，写出三段论形式的演绎推理．证明：因为同位角相等，两条直线平行，大前提∠BFD与∠A是同位角，且∠BFD＝∠A，小前提所以FD∥AE.结论因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形，大前提DE∥BA，且FD∥AE，小前提所以四边形AFDE为平行四边形．结论因为平行四边形的对边相等，大前提ED和AF为平行四边形AFDE的对边，小前提所以ED＝AF.结论7．下面几种推理过程是演绎推理的是()A．两条直线平行，同旁内角互补，因为∠A和∠B是两条平行直线被第三条直线所截所得的同旁内角，所以∠A＋∠B＝180°B．我国地质学家李四光发现中国松辽平原和中亚细亚的地质结构类似，而中亚细亚有丰富的石油，由此，他推断松辽平原也蕴藏着丰富的石油C．由6＝3＋3,8＝3＋5,10＝3＋7,12＝5＋7,14＝7＋7，…，得出结论：一个偶数(大于4)可以写成两个素数的和D．在数列{an}中，a1＝1，an＝eq\f(1,2)(an－1＋eq\f(1,an－1))(n≥2)，由此归纳出{an}的通项公式解析：B、C、D选项是合情推理，A选项是演绎推理．答案：A8．下面四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是()A．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无理数；结论：π是无限不循环小数B．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无限不循环小数；结论：π是无理数C．大前提：π是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理数；结论：π是无理数D．大前提：π是无限不循环小数；小前提：π是无理数；结论：无限不循环小数是无理数解析：A.小前提不正确；C、D都不是由一般性结论到特殊性结论的推理，所以A、C、D都不正确，只有B正确，故选B.答案：B9．用三段论证明函数f(x)＝x＋eq\f(1,x)在(1，＋∞)上为增函数的过程如下，试将证明过程补充完整：大前提：如果函数f(x)满足：在给定区间内任取自变量的两个值x1，x2，若x1<x2，则f(x1)<f(x2)，那么函数f(x)在给定区间内是增函数．小前提：____________________________________________________________________结论：所以函数f(x)＝x＋eq\f(1,x)在(1，＋∞)上为增函数．解析：小前提要说明函数f(x)＝x＋eq\f(1,x)对(1，＋∞)内任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，f(x1)<f(x2).答案：任取x1，x2∈(1，＋∞)，x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝eq\f(x1－x2x1x2－1,x1x2)，由于1<x1<x2，故x1－x2<0，x1x2>1，故x1x2－1>0，所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)．10．“如图，在△ABC中，AC>BC，CD是AB边上的高，求证：∠ACD>∠BCD”．证明：在△ABC中，因为CD⊥AB，AC>BC，①所以AD>BD，②于是∠ACD>∠BCD.③则在上面证明的过程中错误的是________．(只填序号)解析：由AD>BD，得到∠ACD>∠BCD的推理的大前提应是“在同一三角形中，大边对大角”，小前提是“AD>BD”，而AD与BD不在同一三角形中，故③错误．答案：③11．已知a，b，m均为正实数，且b<a，求证：eq\f(b,a)<eq\f(b＋m,a＋m).写出三段论形式的演绎推理．证明：因为不等式两边同乘以一个正数，不等号方向不变，大前提b<a，m>0，小前提所以mb<ma.结论因为不等式两边同加上一个数，不等号方向不变，大前提mb<ma，小前提所以mb＋ab<ma＋ab，即b(a＋m)<a(b＋m)．结论因为不等式两边同除以一个正数，不等号方向不变，大前提b(a＋m)<a(b＋m)，a(a＋m)>0，小前提所以eq\f(ba＋m,aa＋m)＜eq\f(ab＋m,aa＋m)，即eq\f(b,a)＜eq\f(b＋m,a＋m).结论12．设F1、F2分别为椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右两个焦点，已知椭圆具有性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM，PN的斜率都存在，并记为kPM，kPN时，那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值．试对双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1写出具有类似特征的性质，并加以证明．解：类似的性质为：若M、N是双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)关于原点对称的两个点，点P是双曲线上任意一点，当直线PM，PN的斜率都存在，并记为kPM，kPN时，那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值．证明如下：可设点M(m，n)，则点N的坐标为(－m，－n)，有eq\f(m2,a2)－eq\f(n2,b2)＝1.又设点P(x，y)，则由kPM＝eq\f(y－n,