空间分布的测度和时间序列分析

第三章空间分布的测度

和时间序列空间分布的测度1§1空间分布的测度一、空间分布的类型点状分布类型：线状分布类型：面状分布类型：离散区域分布类型连续区域分布类型2§1空间分布的测度二、点状分布的测度最邻近平均距离的测度对中心位置的测度离散程度的测度§1地理数据类型及其变换3找出满足dih≤dib的距离；若有p个，按顺序排列：di1≤di2≤…≤dipp=0,1,2,…,n-1二、点状分布的测度1最邻近平均距离顺序法§1空间分布的测度idib测定dih，dib;基准点：i;4二、点状分布的测度n个点依次作为基准点，可得顺序化矩阵：§1空间分布的测度12…n点号12…p顺序号5二、点状分布的测度最邻近平均距离：§1空间分布的测度第j级邻近平均距离：I为满足边界条件的最邻近点数的集合，n1为点数。例：P306二、点状分布的测度区域法：（略）邻近指数：§1空间分布的测度为理论的随机分布型的最邻近平均距离。

为点的密度，其中A为区域面积，n为区域内点的个数。7二、点状分布的测度R对于点状分布类型的判断：R=1，随机型分布；R<1，趋向于凝集型分布；R>1，趋向于离散型的均匀分布。§1空间分布的测度8二、点状分布的测度采用指标R的优点在于：可以把要讨论的点的空间分布图式放在一个从凝集的、通过随机的一直到均匀分布的连续广阔的定量范围之内，此尺度范围为：0-2.149。对于一个固定地域来说，点的空间分布随时间而变化，亦可通过R尺度分析去判断其空间分布比原先的是更凝集还是更趋于分散，并且定量的表达出其凝集或分散的程度。R的数值一般在0.33-1.67之间。§1空间分布的测度9邻近指数练习

我国1953年5万人口以上的城镇数为151个，至1978年发展到302个，见下表。根据计算，各年5万人口以上城镇的最邻近平均距离如表所示。试计算点状分布的R指标，并作简要的地理解释。83.792711973302210151城镇数95.961963160.31195381.021978Rd1(km)年代§1空间分布的测度10邻近指数练习解：1.计算各年的理论随机分布的平均距离。

1953：2.计算各年的邻近指数R。

1953：年代城镇数R19531511.2919632100.8819732710.8919783020.90§1空间分布的测度11邻近指数练习§1空间分布的测度地理解释：我国5万人口以上的城镇1953年的R指标为1.29，比随机分布更趋分散。在1953-1963年间，城镇发展迅速，由151个发展到210个，增长了大约39%，R63=0.88说明城镇分布已略呈凝集型。以后虽然城镇总数虽然继续扩大，但因在此期间边远城镇相对发展比较迅速，因此R指标反而略有增大。12二、点状分布的测度2中心位置及其测度中项中心画东西线AB；画南北线CD；交点即中心。§1空间分布的测度ABCD13二、点状分布的测度2中心位置及其测度平均中心（分布重心）作x,y轴；确定每一点的坐标；计算坐标均值。§1空间分布的测度yOx即为平均中心。14二、点状分布的测度2中心位置及其测度区域重心的测度（补充）假设某一个区域由n个小区单元构成，其中,第i个小区单元的中心坐标为(Xi,Yi)，Mi为该小区单元某种属性意义下的“重量”，则该属性意义下的区域重心坐标为:§1空间分布的测度15二、点状分布的测度2中心位置及其测度区域重心的测度（补充）若属性值Mi为各小区单元的面积,则空间均值P就是区域的几何中心。当某一空间现象的空间均值显著区别于区域几何中心,就指示了这一空间现象的不均衡分布,或称“重心偏离”。偏离方向指示了空间现象的“高密度”部位,偏离的距离则指示了均衡程度。§1空间分布的测度16二、点状分布的测度2中心位置及其测度区域重心的测度（补充）在实际问题的分析中,对于一个较大的行政区域:可以将(Xi,Yi)取为各次级行政区域单元,譬如省(市、区)的首府坐标;Mi可以为不同的属性值(譬如,人口、产值等)。§1空间分布的测度17区域重心应用举例§1空间分布的测度中国人口重心的迁移取Mi为总人口，采用1978-1997年期间各省（市、区）的人口数据，计算出每年的人口重心坐标；将其表示在经纬网平面坐标系中，并依次将各个坐标点连接起来便可得到20年来中国人口重心的动态演化图。1819区域重心应用举例§1空间分布的测度说明问题：近20年来,中国人口重心一直位于113°29´Ｅ以东,32°45´Ｎ以南。大大偏离了中国的几何中心(103°50´Ｅ,36°Ｎ)。在近20年内,中国人口重心呈现出缓慢稳定地向西南方向移动。20§1空间分布的测度三、线状分布的测度—网络（一）网络的基本概念网络图与几何学中图形的区别v1v2v3v4v5v6e1e2e3e4e5v1v2v3v4v5v6e1e2e3e4e5e6（a）图（b）图无向图G=（V,E）有向图G=（V,A）21三、线状分布的测度-网络（二）最短路径问题1.引例：§1空间分布的测度沿{v1,v4,v7,v8,v9}:4+6+4+2=16单位沿{v1,v2,v3,v6,v9}:2+4+4+4=14单位v1v2v3v4v5v64v7v8v96464444222422三、线状分布的测度-网络一般情况下最短路径问题的叙述：在有向图G=(V,A)中，给定一个始点v1和终点v9，对每条弧(vi,vj)∈A相应的有一个权wij（称G为赋权有向图）。最短路径问题，就是要求从始点v1到终点v9的一条路，使其在所有的从v1到v9的路径中，它是总权最小的一条。V为点的集合，A则为弧的集合。§1空间分布的测度23三、线状分布的测度-网络2.标号法求最短路径（E.W.Dijkstra）从始点v1开始，给每一个顶点记一个数（称为标号）。标号分T和P两种：T标号表示从始点v1到这一点的最短路权的上界，称为临时标号；P标号表示从v1到该点的最短路权，称为固定标号。已得到P标号的点不再改变，凡是没有标上P标号的点，均标上T标号。算法的每一步均把某一点的T标号改变为P标号。最多经过n-1步，就可以得到从始点到每一点的最短路径。§1空间分布的测度24三、线状分布的测度-网络2.标号法求最短路径—计算步骤开始，给v1标上P标号P(v1)=0。其余各点标上T标号，T(vj)=+∞。①设vi是刚刚得到P标号的点，考虑所有这样的点vj：使(vi,vj)∈A，以及vj的标号是T标号，则修改vj的T标号为min{T(vj),P(vi)+Wij}。②若G中没有T标号点，则停止，否则T(vj0)=minT(vj)，vj是T标号点，则把点vj0的T标号修改为P标号。转入①继续。§1空间分布的测度25三、线状分布的测度-网络例：求图中最短有向路径及其长度开始，P(v1)=0，T(vj)=+∞，（j=2,3,…,7）。第一步：S=1,I=1,T={2,3,4,5,6,7}①(v1,v2),(v1,v3),(v1,v4)∈A且v2、v3、v4是T标号点，则修改其T标号为：§1空间分布的测度v4v6v1v3v7v2v5947511395322626②在所有的T标号中，T(v4)最小，于是令P(v4)=2。第二步：S=2,I=4,T={2,3,5,6,7}①v4刚得到P标号，故考察v4。(v4,v3),(v4,v6)∈A且v3、v6是T标号点，则修改其T标号为：§1空间分布的测度②在所有的T标号中，T(v6)最小，于是令P(v6)=5。27第三步：S=3,I=6,T={2,3,5,7}①v6刚得到P标号，故考察v6。(v6,v2),(v6,v5),(v6,v7)∈A且v2、v5、v7是T标号点，则修改为：§1空间分布的测度②在所有的T标号中，T(v3)最小，于是令P(v3)=6。28第四步：S=4,I=3,T={2,5,7}①v3刚得到P标号，故考察v3。(v3,v2)∈A且v2是T标号点，则修改为：§1空间分布的测度②在所有的T标号中，T(v2)最小，于是令P(v2)=8。第五步：S=5,I=2,T={5,7}①v2刚得到P标号，故考察v2。(v2,v5)∈A且v5是T标号点，则修改为：②在所有的T标号中，T(v5)最小，于是令P(v5)=13。29第六步：S=6,I=5,T={7}①v5刚得到P标号，故考察v5。(v5,v7)∈A且v7是T标号点，则修改为：§1空间分布的测度②令P(v7)=14，计算结束。v1-v7最短路径长度为14。最短路线的推求—倒推法：故最短有向路线为：v1→v4→v6→v7。30三、线状分布的测度-网络（三）服务点的最优区位问题1.服务点的中心（P46）求出G的距离表：§1空间分布的测度v1v2v3v6v4v5v1v2v3v6v4v5v1v2v3v6v4v5v1v2v3v6v4v531三、线状分布的测度-网络（三）服务点的最优区位问题2.服务区的中央点（P47）正负荷：a(vi)总运输量的计算：§1空间分布的测度32三、线状分布的测度-网络（四）运输网络结点的直通性（P48）道路系统的里程（P48）道路系统的运输量（吨千米）（P49）考虑中转—运输费用的综合影响（P49）§1空间分布的测度33（四）、运输网络表示法运输网络是地理研究的重要研究对象。运输网络可以用两种方法表示：形象的图表示法和邻接矩阵表示法。⑴图表示法我们以结点表示经济中心，以结点之间的连线表示反映经济网络的铁路、高速公路等交通运输线路，就构成一张运输网络图。⑵邻接矩阵表示法用邻接矩阵可以表示各结点与道路的关系。它的优点在于便于在计算机上处理。两个结点有边直接相联则取值为1,否则取值0。即邻接矩阵A=(aij)n*n的元素34⑶结点的直通性结点直通性是指从一个结点可以不经中转,直接到达另一个结点的网络便捷性测度。中转与直通是运输网络的重要特征。尽量减少中转，增加运输直达程度是现代运输经济的客观要求，这在区域运输网络和城市公共交通网络中都十分重要。如果一个结点就可以直达其它结点的程度比较高，它在运输网中就处于比较重要的地位，也是较理想的供应中心。假定每一个结点都需要中转，以直通矩阵表示各结点之间的直通程度，则所得到的结果就是上述的邻接矩阵。35⑷最短里程结点和最省运输工作量结点最短里程结点是指一个运输网络中，从一个结点出发到达所有的其它结点，里程之和最小的结点。在各结点具有不同的实际意义时，最短距离不是唯一的经济因素，还需要考虑由于不同结点运出的旅客数或货物量。用“加权”的方法，可以把各种网络矩阵综合起来进行分析，把直通性视为一种节约运输工作量的系数或缩短里程的系数。36想一想，练一练某地理区有5个城镇A、B、C、D、E，各城镇的地理位置及正负荷如图所示。现计划在该地区建一工厂，若使产品运往到各城镇的总运输量为最少，问这个工厂建在那个城镇更好？§1空间分布的测度a(A)=1BCEAD4815154212a(B)=2a(C)=3a(D)=4a(E)=537运输网络练习解：1.道路系统的里程ABCDEABCDE015274863631501254696948544201515271204257570§1空间分布的测度38运输网络练习2.道路系统的运输量ABCDE总计秩ABCDE0×1=0

15×1=1527×1=2748×1=4863×1=6363×5=31515×2=30

0×2=012×2=2454×2=10869×2=13869×5=34548×4=19254×4=21642×4=1680×4=015×4=6015×5=7527×3=8112×3=360×3=042×3=12657×3=17157×5=2850×5=0618612357504432§1空间分布的测度5413239标号法求最短路经练习求从结点V1到各个结点的最短路径。§1空间分布的测度1v3v10v1v4v11v2v8928279911365v53v6963112v7v911040补充：最大流与最小费用流

最大流问题——设有向网络N（V，A），在发点Vs

有一批货，要通过网络上的弧运输到收点Vt去，受运输条件限制，每条弧aij在单位时间内通过的车辆数不能超过cij

辆，分析：如何组织运输才能使从Vs到Vt

在单位时间内通过的车辆达到最多？最大流问题广泛地应用在交通运输、供水、油管供油、邮电通讯，也可以用在生产安排，管理优化等实际问题上。1.最大流问题及其求解方法

41最大流与最小费用流

最大流问题——设有向网络N（V，A），在发点Vs

有一批货，要通过网络上的弧运输到收点Vt去，受运输条件限制，每条弧aij在单位时间内通过的车辆数不能超过cij

辆，分析：如何组织运输才能使从Vs到Vt

在单位时间内通过的车辆达到最多？最大流问题广泛地应用在交通运输、供水、油管供油、邮电通讯，也可以用在生产安排，管理优化等实际问题上。1.最大流问题及其求解方法

42例：如图9.3.1(a)中，有一批物资需要用汽车尽快从发点①运到收点⑦，弧（i，j）上所标的数字表示该条道路在单位时间内最多能通过的车辆数（单位：百辆），问如何调运，才能使单位时间里有最多的车辆从①调到⑦。23425167563855771132

图9.3.1(a)343┍┑线

性

规

划

方

法┕┙

点①出发的车辆数应该与点⑦到达的车辆数相同，除①和⑦以外的各中间点，进的车辆数应该与离去的车辆数应该相同。xij

是通过弧(i，j)的车辆数。44

对所有弧（i，j），应满足约束

满足以上条件的解称为从①到⑦的一个可行流，目的：在所有可行流中求出一个方案，使得这个可行流得到的f最大。

若从收点到发点连接一条假想弧(7，1)，设它的容量c71=∞，那么

对点①：

对点⑦：

最大流问题的目标45

对发点为Vs，收点为Vt的网络N（V，U），当增加一条约束为cts=∞的假想弧（t，s）后，最大流问题就成为：容量约束：平衡条件：目标函数：46┍┑网

络

图

论

方

法

│

标

号

法

┕┙

24163573st56502300810237007100005①弧的容量的表示每条弧Vij上标上两个数字，靠近i点的是cij，靠近j点的是cji。如①——②表明沿Vij从①到②的最大通过量是5（百辆），从②到①的最大通过量是0。将图9.3.1(a)画成9.3.1(b)

的形式。47②求最大流的基本算法

对图9.3.1(b)做以下步骤的修改：

步骤1.

从发点s到收点t选定一条路，使这条路通过的所有弧Vij的前面约束量cij都大于0，如果找不到这样的路，说明已经求得最大流，转步骤4。

步骤2.

在选定的路上，找到最小的容许量cij定为P。

步骤3.

对选定的路上每条弧的容量作以下修改，对于与路同向的弧，将cij修改为cij-P，对于与路反向的弧，将cij修改为cij+P。48第一次修改：选定①—③—⑥—⑦，P=c13

=6。修改后：c13=6-6，c31=0+6，c36=7-6，

c63=0+6，c67=7-6，c76=0+6。

图9.3.224163573st5050230081623106116000549

返回步骤1，做第二次修改。

第二次修改：

选定①—②—⑤—⑦，P=c25=3。修改后将c12改为2，c25改为0，c57改为5，c21、c52、c75改为3。图9.3.324163573st2053203051623136116000550

回到步骤1，继续做下去：

第三次修改：

选定①—②—③—⑤—⑦，P=c12=2。图9.3.424163573st0055003231641156116000551

第四次修改：选定①—④—⑥—⑦，P=c67

=1。

图9.3.524163573st0045003231641157016110452

第五次修改：选定①—④—⑥—⑤—⑦,P=c65

=1。

图9.3.624163573st0035003222641167006220353

在图9.3.6中，仍能找到①—④—⑥—③—⑤—⑦，使每条弧起点的容量都大于零，P=C35=1。注意，这条路经过弧(6，3)，本来在图9.3.1(b)中，从⑥到③是无容量可通过的，但经过几次修改，由③⑥变成③⑥，说明这时从③到⑥还可通过1（百辆），而从⑥到③，可以通过6（百辆）的容量，实际上只是把计划中从③到⑥的通过车辆数进行减少。54

第六次修改：选定①—④—⑥—③—⑤—⑦，P=c35

=1。

在图9.3.7中，从发点①到收点⑦再也不存在连通的起点容量都大于零的弧了。这样，我们就称图9.3.7为最大流图。图9.3.724163573st0025003310640277005330255

做出最大流图后，转向步骤4。

步骤4.

将原图各条弧上起点与终点数值减去修改后的图上各点的数值，将得到相反的两个数，将这个数标在弧上，并将从正到负的方向用箭头表示。

例如原来弧(3，6)是③⑥，现在是③⑥，相减为±5，③那边为正，我们就记作③⑥。这样，就得到图9.3.8。

56

最大流量如图9.3.8所示。依这样的调动方式，可以从发点s调运14（百辆）汽车到收点t。图9.3.8241635756332353017757最大流算法的讨论一个图成为最大流图的条件是存在饱和路。

◣饱和路——从发点到收点的每一条路上总存在某个起点容量为零的弧。

◣非饱和路——从发点到收点有一条路，它上面每条路的起点容量都大于零。►定理1.

一个图是最大流图的充要条件是不存在从s到t的非饱和路。58将网络中的点分成两组，一组包括发点s，称为发集V1，一组包括收点t，称为收集V2，连接V1到V2的所有弧称为截集，截集上各弧在V1旁的容量合称为截集的容量。在将网络分成发集与收集的所有分法中，使截集容量最小的截集成为最小截集。可以证明：►定理2.

在网络N中，设f是从发点到收点的一个可行流，f是最大流的充要条件是这时网络的最小截集的容量为零。59►定理3.

设f是网络N的一个可行流，则这时N的最小截集容量μ等于网络最大流fmax与f的差，即

μ称为可行流f的余量。

显然，当μ=0时，就得到了最大流。

►定理4.

在任一网络中，从vs到vt的最大流的流量等于分离vs，vt的最小截集的容量。在从vs到vt的运输中，最小截集的弧是网络中的“卡脖子”线路，要获得最大流运输量，必须在最小截集的各弧上达到满载。60最大流fmax的大小是确定的，但最大流的路线可以不唯一。在前例中，若从不同的路来修改图，也可能得到另外一个最大流图（图9.3.9）。

图9.3.9241635756332335217761最大流图9.3.8、9.3.9

必有以下性质

对于网络的最小截集上的弧，它们的流量是相同的。对于由最小截集分开的V1和V2内，它们的流量可能不同，但都是相差一个或几个不饱和回路上的量。如图9.3.8与图9.3.9，相差:③—④—⑥—③回路上一个值为2的流量。

622.最小费用流及其求解方法

最小费用流问题——在考虑网络上流量的同时，使得所安排流量的费用或者代价达到最小。63在前例中，如果单位车辆数通过某条弧要付出一定的代价，其代价图如图9.3.10。

图9.3.1042513674433133222322264约束条件(如最大流问题）满足约束条件下，找到一个可行流f的流量一定时，f的代价最小，即指单位车辆数通过弧(ｉ，ｊ)的代价。┍┑线

性

规

划

描

述┕┙

65求解最小费用流的步骤

选定一条总的单位费用最小的路，即要给定最小费用的初始可行流，而不是包含边数最小的路。不断重复求最大流的步骤来进行，当流量达到f0时就可以停止，这时求出的是最小费用流，当然，如果f0=fmax，就可将步骤进行到最后，即没有饱和路存在为止。

┍┑网

络

图

论

方

法

│

标

号

法

┕┙

求解最小费用流的步骤和求最大流的步骤几乎完全一致，只是在步骤1的选一条非饱和路时，应选代价和最小的路，即最短路。

66例：在前例中，如果单位车辆数通过某条弧要付出一定的代价，其代价图如图9.3.10。图9.3.1042513674433133222322267表9.3.1最小费用流的求解过程

这时的总代价为：

68§1空间分布的测度四、面状分布的测度（一）空间罗伦兹曲线（Lorenz）地区123456789101112总计钢铁6.68.363.25.111.00.13.31.1—0.70.10.5100.0食品23.024.46.04.13.46.07.214.03.02.83.62.5100.0总产值22.917.611.711.54.35.510.06.02.92.12.53.0100.0辽宁省工业部门产值的地区分布（%）691.罗伦兹曲线的作法作正方形§1空间分布的测度20406080100O20406080100工业总产值累积百分比（%）选定工业部门产值累积百分比（%）X计算R值；70将所得各地区R值按由大到小顺序排列。地区R值35241071812116963.2/11.7=5.411.0/4.3=2.68.3/17.6=0.475.1/11.5=0.440.7/2.1=0.333.3/10=0.336.6/22.9=0.291.1/6.0=0.180.5/3.0=0.160.1/2.5=0.040.1/5.5=0.020/2.9=071地区R值累积（%）钢铁工业总产值35241071812116963.2/11.7=5.411.0/4.3=2.68.3/17.6=0.475.1/11.5=0.440.7/2.1=0.3399.83.3/10=0.336.6/22.9=0.291.1/6.0=0.180.5/3.0=0.160.1/2.5=0.0499.987.688.391.698.299.3100.00.1/5.5=0.020/2.9=063.274.282.5100.011.716.033.647.245.157.280.186.191.689.197.1100.0钢铁工业按R值大小排列表计算累积值72空间罗伦兹曲线分布图20406080100O20406080100工业总产值累积百分比（%）选定工业部门产值累积百分比（%）ABA：钢铁工业B：食品工业X以累积值作图（11.7,63.2）（16.0,74.2）73面状分布的测度2.罗伦兹曲线结构分析OX表示两种分布完全对应，即某工业部门产值与总产值有相同的累积百分率，称为均匀分布。曲线离开对角线的远近就是两种分布的差异的测度。曲线A远离对角线，说明本省的钢铁工业比较集中，3、5、2地区的钢铁产量占全省的82.5%；曲线B较接近对角线，说明其分布较均匀。§1空间分布的测度74面状分布的测度（二）集中化指数C为各工业部门产值累积百分率总和；R为工业总产值累积百分率总和；M为最大累积百分率总和。I的范围：0-1；当I=1时，工业部门产值完全集中于一个地区；当I=0时，曲线与对角线完全一致。§1空间分布的测度75作图法求集中化指数L2L4L6L8L10O20406080100工业总产值累积百分比（%）选定工业部门产值累积百分比（%）XL1L3L5L7L9M2M4M6M8M10M1M3M5M7M9C2C4C6C8C10C1C3C5C7C976面状分布的测度（二）集中化指数§1空间分布的测度77面状分布的测度（二）集中化指数78面状分布的测度-基尼系数基尼系数是判断分配平等程度的指标。§1空间分布的测度OXAB罗伦兹曲线表示实际收入分配曲线；对角线表示收入分配绝对平等曲线；两曲线之间的面积为A，一半正方形的面积为B；基尼系数（罗伦兹系数）为A/B。79面状分布的测度-基尼系