2022-2023学年辽宁省沈阳市级重点高中联合体高二下学期期中数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE3辽宁省沈阳市级重点高中联合体2022-2023学年高二下学期期中数学试题注意事项：1．答题时，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡规定的位置上．2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的〖答案〗标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他〖答案〗标号．3．答非选择题时，必须使用黑色墨水笔或黑色签字笔，将〖答案〗书写在答题卡规定的位置上，写在试题卷､草稿纸上无效．4．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）1.已知，，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为，所以，所以．故选：D2.在等比数列中，若，则（）A.8 B.6 C.4 D.3〖答案〗B〖解析〗在等比数列中，由，根据等比中项可得，所以，故选：B．3.课桌上有12本书，其中理科书籍有4本，现从中任意拿走6本书，用随机变量表示这6本书中理科书籍的本数，则概率为的是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由题意，随机变量表示这6本书中理科书籍的本数，且服从超几何分布，所以．故选：A4.数列是首项为的等差数列，若，则的通项公式是（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗设公差为，则，解得，所以数列通项公式是．故选：A．5.若，，，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由，得．因为，所以．故选：C．6.已知等比数列为递增数列，若，且与的等差中项为20，则数列的前项和为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗设，由题意得，即解得或，由于等比数列为递增数列，则不合题意；所以该数列的前项和为．故选：A．7.某离散型随机变量的分布列如下，若，，则（）012A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗分布列的概率之和为1，，即①．，②．，，依次代入②、①，解得，则．故选：D．8.中国的古建筑不仅是挡风遮雨的住处，更是美学和哲学的体现图1是古建筑中的举架结构，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举．图2是某古建筑屋顶截面的示意图，其中是举，是相等的步，相邻桁的举､步之比分别为，且构成首项为0.114的等差数列．若直线的斜率为0.414，则该数列的公差为（）A.0.4 B.0.3 C.0.2 D.0.1〖答案〗C〖解析〗不妨设，则．由题意，知，即．设该数列公差为．因为，所以，解得．故选：C．二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题所给的四个选项中，有多项符合题​目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.已知等差数列的公差为d，前项和为，且，，则（）A. B.C. D.当或2时，取得最小值〖答案〗ABD〖解析〗由题意可得，解得，故A正确；所以，故B正确；所以，故C错误；所以．因为，所以当或时，取得最小值，故D正确．故选：ABD．10.下列命题为真命题的有（）A.若随机变量的方差为，则B.已知关于的回归直线方程为，则样本点的残差为C.对于随机事件与，若，，则事件与独立D.根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，根据的独立性检验，有的把握认为与有关〖答案〗BC〖解析〗因为，所以，故A错误；由，得样本点的残差为，故B正确；由，得，所以，即事件与独立，故C正确；根据，故没有把握认为与有关，故D错误．故选：BC．11.已知数列，，，，则下列说法正确的是（）A. B.数列等比数列C. D.〖答案〗ABD〖解析〗A选项，由，得，则，所以，所以，故A正确；B选项，由，得，所以，即，所以数列的奇数项和偶数项，均是以2为公比的等比数列，，故，故B正确；CD选项，，故C错误，正确．故选：ABD．12.如图是一块高尔顿板示意图，在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为0，1，2，…10，用X表示小球落入格子的号码，则（）A. B. C. D.〖答案〗AD〖解析〗设“向右下落”，“向左下落”，则，因为小球最后落入格子的号码等于事件发生的次数，而小球下落的过程中共碰撞小木钉10次，所以，于是，同理可得：，A正确，B错误；由二项分布求方差公式得：，C错误，D正确.故选：AD三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.在散点图中，若所有的样本点都落在一条斜率为非0实数的直线上，则相关系数__________．〖答案〗1〖解析〗当散点图的所有点都在一条斜率为非0实数的直线上时，它的残差为0，残差的平方和为0，所以它的相关系数为，即．故〖答案〗为：1．14.在等比数列中，已知，，，则的值为__________．〖答案〗4〖解析〗由题意可得，解得．故〖答案〗为：415.已知数列中，，且数列为等差数列，则___________.〖答案〗〖解析〗由题意得:16.假设某市场供应的一种零件中，甲厂产品与乙厂产品的比是，若甲厂产品的合格率是，乙厂产品的合格率是，则在该市场中随机购买一个零件，是次品的概率为__________；如果买到的零件是次品，那么它是乙厂产品的概率为__________（结果精确到）．〖答案〗①②〖解析〗设事件为购买的零件是甲厂产品，事件为购买的零件是乙厂产品，事件为购买的零件是次品，则，，，，所以．因为，所以．故〖答案〗为：；．四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤）17.已知数列满足，且．设．（1）求证：数列为等差数列；（2）设数列，求数列的前项和．解：（1）因为，所以，所以，即．又因为，所以数列是首项为2､公差为1的等差数列．（2）由（1）知，所以，所以．18.为普及消防安全知识，某学校组织相关知识竞赛．比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛．已知在第一轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为，；在第二轮比赛中，甲､乙胜出的概率分别为，，甲､乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响．（1）从甲、乙两人中选1人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概率更大？（2）若甲、乙两人均参加比赛，求两人中至少有一人赢得比赛的概率．解：（1）记事件为“甲在第一轮比赛中胜出”，为“甲在第二轮比赛中胜出”，为“乙在第一轮比赛中胜出”，为“乙在第二轮比赛中胜出”，则相互独立，且．因为在两轮比赛中均胜出视为赢得比赛，则为“甲赢得比赛”，为“乙赢得比赛”，所以，．因为，所以派甲参赛赢得比赛的概率更大．（2）记事件为“甲赢得比赛”，为“乙赢得比赛”，则“两人中至少有一人赢得比赛”．由（1）知，，，所以，，所以，故两人中至少有一人赢得比赛的概率为．19.已知等比数列的前项和为，，．（1）求等比数列的通项公式；（2）求的值．解：（1）由题意，可知．因为，所以，即，解得，所以．（2）由（1）知，则，所以，且，所以数列是以1为首项､公比为的等比数列，所以．20.如图是某新能源汽车公司从2018年到2022年汽车的年销售量（单位：万辆）的散点图，记年份为，2，3，4，，已求得部分统计量的值．34559796572805（1）根据散点图，可判断该公司汽车的年销售量与年份之间的相关关系是___________相关；（填“正”或“负”（2）请用作为年销售量与年份回归方程类型，求关于的回归方程；（3）预测2023年该公司新能源汽车的年销售量．附：，．解：（1）正（2）令，则，，．所以，，所以关于的回归方程为，故关于的回归方程为．（3）由（2）可得．令，则．故预测2023年该公司新能源汽车的年销售量为96.5万辆．．21.已知盒子里有6个形状、大小完全相同的小球，其中红、白、黑三种颜色，每种颜色各两个小球，现制定如下游戏规则：每次从盒子里不放回的摸出一个球，若取到红球记1分；取到白球记2分；取到黑球记3分．（1）若从中连续取3个球，求恰好取到3种颜色球的概率；（2）若从中连续取3个球，记最后总得分为随机变量，求随机变量的分布列与数学期望解：（1）连续取3个球有种方法，从中连续取3个球，红，白，黑各取一个有种方法，故恰好取到3种颜色球的概率（2）由题意可得，随机变量所有可能取值为4，5，6，7，8，当时，两个红球和一个白球，则，当时，两个红球和一个黑球或两个白球和一个红球，则，当时，一个红球和一个白球和一个黑球，则，当时，一个红球和两个黑球或两个白球和一个黑球，则，当时，两个黑球和一个白球，则，故随机变量的分布列为：45678数学期望.22.记为数列的前n项和，为数列的前n项和，已知．（1）求证：数列是等比数列；（2）求数列的前n项和．解：（1）因为为数列的前n项和，当时，，则当时，①，②，①－②得，得所以数列是首项为1公比为的等比数列．（2）由（1）可得，数列是以为首项，以为公比的等比数列，所以．当时，，当时，，显然对于不成立，所以当时，当时，上下相减可得则又时，综上，.辽宁省沈阳市级重点高中联合体2022-2023学年高二下学期期中数学试题注意事项：1．答题时，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡规定的位置上．2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的〖答案〗标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他〖答案〗标号．3．答非选择题时，必须使用黑色墨水笔或黑色签字笔，将〖答案〗书写在答题卡规定的位置上，写在试题卷､草稿纸上无效．4．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）1.已知，，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为，所以，所以．故选：D2.在等比数列中，若，则（）A.8 B.6 C.4 D.3〖答案〗B〖解析〗在等比数列中，由，根据等比中项可得，所以，故选：B．3.课桌上有12本书，其中理科书籍有4本，现从中任意拿走6本书，用随机变量表示这6本书中理科书籍的本数，则概率为的是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由题意，随机变量表示这6本书中理科书籍的本数，且服从超几何分布，所以．故选：A4.数列是首项为的等差数列，若，则的通项公式是（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗设公差为，则，解得，所以数列通项公式是．故选：A．5.若，，，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由，得．因为，所以．故选：C．6.已知等比数列为递增数列，若，且与的等差中项为20，则数列的前项和为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗设，由题意得，即解得或，由于等比数列为递增数列，则不合题意；所以该数列的前项和为．故选：A．7.某离散型随机变量的分布列如下，若，，则（）012A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗分布列的概率之和为1，，即①．，②．，，依次代入②、①，解得，则．故选：D．8.中国的古建筑不仅是挡风遮雨的住处，更是美学和哲学的体现图1是古建筑中的举架结构，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举．图2是某古建筑屋顶截面的示意图，其中是举，是相等的步，相邻桁的举､步之比分别为，且构成首项为0.114的等差数列．若直线的斜率为0.414，则该数列的公差为（）A.0.4 B.0.3 C.0.2 D.0.1〖答案〗C〖解析〗不妨设，则．由题意，知，即．设该数列公差为．因为，所以，解得．故选：C．二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题所给的四个选项中，有多项符合题​目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.已知等差数列的公差为d，前项和为，且，，则（）A. B.C. D.当或2时，取得最小值〖答案〗ABD〖解析〗由题意可得，解得，故A正确；所以，故B正确；所以，故C错误；所以．因为，所以当或时，取得最小值，故D正确．故选：ABD．10.下列命题为真命题的有（）A.若随机变量的方差为，则B.已知关于的回归直线方程为，则样本点的残差为C.对于随机事件与，若，，则事件与独立D.根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，根据的独立性检验，有的把握认为与有关〖答案〗BC〖解析〗因为，所以，故A错误；由，得样本点的残差为，故B正确；由，得，所以，即事件与独立，故C正确；根据，故没有把握认为与有关，故D错误．故选：BC．11.已知数列，，，，则下列说法正确的是（）A. B.数列等比数列C. D.〖答案〗ABD〖解析〗A选项，由，得，则，所以，所以，故A正确；B选项，由，得，所以，即，所以数列的奇数项和偶数项，均是以2为公比的等比数列，，故，故B正确；CD选项，，故C错误，正确．故选：ABD．12.如图是一块高尔顿板示意图，在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为0，1，2，…10，用X表示小球落入格子的号码，则（）A. B. C. D.〖答案〗AD〖解析〗设“向右下落”，“向左下落”，则，因为小球最后落入格子的号码等于事件发生的次数，而小球下落的过程中共碰撞小木钉10次，所以，于是，同理可得：，A正确，B错误；由二项分布求方差公式得：，C错误，D正确.故选：AD三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.在散点图中，若所有的样本点都落在一条斜率为非0实数的直线上，则相关系数__________．〖答案〗1〖解析〗当散点图的所有点都在一条斜率为非0实数的直线上时，它的残差为0，残差的平方和为0，所以它的相关系数为，即．故〖答案〗为：1．14.在等比数列中，已知，，，则的值为__________．〖答案〗4〖解析〗由题意可得，解得．故〖答案〗为：415.已知数列中，，且数列为等差数列，则___________.〖答案〗〖解析〗由题意得:16.假设某市场供应的一种零件中，甲厂产品与乙厂产品的比是，若甲厂产品的合格率是，乙厂产品的合格率是，则在该市场中随机购买一个零件，是次品的概率为__________；如果买到的零件是次品，那么它是乙厂产品的概率为__________（结果精确到）．〖答案〗①②〖解析〗设事件为购买的零件是甲厂产品，事件为购买的零件是乙厂产品，事件为购买的零件是次品，则，，，，所以．因为，所以．故〖答案〗为：；．四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤）17.已知数列满足，且．设．（1）求证：数列为等差数列；（2）设数列，求数列的前项和．解：（1）因为，所以，所以，即．又因为，所以数列是首项为2､公差为1的等差数列．（2）由（1）知，所以，所以．18.为普及消防安全知识，某学校组织相关知识竞赛．比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛．已知在第一轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为，；在第二轮比赛中，甲､乙胜出的概率分别为，，甲､乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响．（1）从甲、乙两人中选1人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概率更大？（2）若甲、乙两人均参加比赛，求两人中至少有一人赢得比赛的概率．解：（1）记事件为“甲在第一轮比赛中胜出”，为“甲在第二轮比赛中胜出”，为“乙在第一轮比赛中胜出”，为“乙在第二轮比赛中胜出”，则相互独立，且．因为在两轮比赛中均胜出视为赢得比赛，则为“甲赢得比赛”，为“乙赢得比赛”，所以，．因为，所以派甲参赛赢得比赛的概率更大．（2）记事件为“甲赢得比赛”，为“乙赢得比赛”，则“两人中至少有一人赢得比赛”．由（1）知，，，所以，，所以，故两人中至少有一人赢得比赛的概率为．19.已知等比数列的前项和为，，．（1）求等比数列的通项公式；（2）求的值．解：（1）由题意，可知．因为，所以，即，解得，所以．（2）由（1）知，则，所以，且，所以数列是以1为首项､公比为的等比数列，所以．20.如图是某新能源汽车公司从2018年到2022年汽车的年销售量（单位：万辆