2022-2023学年江苏省泰州市兴化市高一下学期期中理科数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE2江苏省泰州市兴化市2022-2023学年高一下学期期中理科数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗.故选：A.2.已知复数为纯虚数（其中i是虚数单位），则实数b的值为（）A.-3 B.-1 C.1 D.3〖答案〗C〖解析〗复数，又复数z为纯虚数，则有，解得.故选：C.3.若平面上的三个力，，作用于一点，且处于平衡状态．已知，，与的夹角为120°，则的大小为（）A. B. C.2N D.3N〖答案〗B〖解析〗由题意知，，所以，所以故选：B．4.《周髀算经》中“侧影探日行”一文有记载：“即取竹空，径一寸，长八尺，捕影而视之，空正掩目，而日应空之孔.”意谓：“取竹空这一望筒，当望筒直径d是一寸，筒长l是八尺时（注：一尺等于十寸），从筒中搜捕太阳的边缘观察，则筒的内孔正好覆盖太阳，而太阳的外缘恰好填满竹管的内孔.”如图所示，O为竹空底面圆心，则太阳角∠AOB的正切值为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由题意可知：，，所以.故选：A.5.若，，的面积为，则（）A. B.1 C. D.2〖答案〗C〖解析〗由三角形面积公式可得的面积，又，，所以，由余弦定理可得，又，，，所以，所以.故选：C.6.在平行四边形ABCD中，，，，则（）A. B.3 C.4 D.6〖答案〗D〖解析〗因为，所以为中点，由题意得，，所以，设，则，代入上式中得，，解得.故选：D.7.已知，则=（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由题意，所以，所以．故选：B．8.0.618被公认为是最具有审美意义的比例数字，是最能引起美感的比例，因此被称为黄金分割.被誉为“中国现代数学之父”的著名数学家华罗庚先生倡导的“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用.他认为底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形是“最美三角形”，即顶角为36°的等腰三角形，例如，中国国旗上的五角星就是由五个“最美三角形”与一个正五边形组成的，如图，在其中一个黄金中，黄金分割比为.根据以上信息，计算（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗在中，由正弦定理可得，∴，.故选：B.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知i为虚数单位，则下列结论正确的是（）A.复数的虚部为B.复数在复平面内对应的点位于第四象限C.若，则D.若复数z满足，则〖答案〗ABD〖解析〗对于A，因为，故复数的虚部为，A正确；对于B，复数在复平面内对应的点为，该点位于第四象限，B正确；对于C，取，则，又，故，C错误；对于D，设，则，因为，所以，故，D正确.故选：ABD.10.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．则下列结论正确的是（）A.若，则B.，则为等腰三角形C.若，则为钝角三角形D.〖答案〗ACD〖解析〗对于A，在中，由及正弦定理，得，所以，A正确；对于B，由及正弦定理，得，于是，由，得或，即或，所以为等腰三角形或直角三角形，B错误；对于C，在中，由，得，因此中有且只有一个为负数，所以中有一个为钝角，即为钝角三角形，C正确；对于D，在中，由余弦定理得，由正弦定理得，有，于是，整理得，D正确.故选：ACD.11.下列四个等式中正确的是（）A.B.C.D.〖答案〗BCD〖解析〗对于A，，所以A错误，对于B，，所以B正确，对于C，因为，所以，所以C正确；对于D，因为，所以，所以，所以D正确.故选：BCD.12.已知为所在平面内一点，则下列正确的是（）A.若，则点在的中位线上B.若，则为的重心C.若，则为锐角三角形D.若，则与的面积比为〖答案〗ABD〖解析〗对于A，设中点为，中点为，，，，即，三点共线，又为的中位线，点在的中位线上，A正确；对于B，设中点为，由得：，又，，在中线上，且，为的重心，B正确；对于C，，与夹角为锐角，即为锐角，但此时有可能是直角或钝角，故无法说明为锐角三角形，C错误；对于D，，为线段上靠近的三等分点，即，，D正确.故选：ABD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.在复平面内，对应的复数是，对应的复数是，则对应的复数是______．〖答案〗〖解析〗由题意可知，，则对应的复数是.故〖答案〗为：.14.如图，在4×4的方格纸中，若起点和终点均在格点的向量，，满足，则______．〖答案〗7〖解析〗建立如图所示直角坐标系，设小方格的边长为单位长度1，可得，同理可得，，将方程组中两式相加，可得.故〖答案〗为：7.15.如图，在四边形ABCD中，AD=3，BC=4，E，F分别是AB，CD的中点，P，Q分别是AC，BD的中点，则______．〖答案〗〖解析〗如图，连接，∵为的中点，为对角线的中点，，，

∴四边形为平行四边形，，，，，故〖答案〗为：.16.在中，已知，．锐角，满足．①当，______；②当取最小值时，______．〖答案〗〖解析〗由题意可知，，则，，，，，，则，，时，，则，，两边同时除以，并且，得，化简为，得或（舍），所以；，两边同时除以，得，，，，，化简为，则，，设，则，则，当时，即时等号成立，此时，，所以.故〖答案〗为：.四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.已知，为锐角，，．（1）求的值；（2）求的值．解：（1）因为，为锐角，则，，，则，，而．（2）由，得：，，则．18.已知为虚数单位.（1）计算：；（2）若，求复数.解：（1）.（2）设，则由，得，则解得或则或.19.已知是同一平面内的三个向量，其中．（1）若，且，求的坐标；（2）若，且与垂直，求与的夹角.解：（1）设，因为，所以，①又，所以，②，由①②联立，解得或，所以或．（2）由，得，又，解得，所以，所以与的夹角.20.如图，在中，，，分别在边上，且满足，为中点．（1）若，求实数的值；（2）若，求边的长．解：（1）因为，所以，所以，所以，（2）因为，，所以，设，因为，所以，又因为，所以，化简得，解得(负值舍去)，所以的长为6．21.已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，．（1）若，求角C；（2）在（1）的条件下，设点D满足，求．解：（1）由，即，故，所以，整理得，由余弦边角关系得，则，所以，即，则，由，，故.（2）由（1）易知：是顶角为等腰三角形，且，且，则，所以，而，故22.在平面凸四边形中，，，．（1）当四边形内接于圆O时，求四边形的面积；（2）当四边形的面积最大时，求对角线的长．解：（1）连接，如图，由余弦定理得：，及，于是，又四边形内接于圆，即，因此，化简可得，又，解得，于是，所以四边形的面积.（2）设四边形的面积为，则，又，于是，即，平方相加得，即，又，则当时，有最大值，即有最大值，此时，解得，又，于是，在中，，即，所以对角线长为.江苏省泰州市兴化市2022-2023学年高一下学期期中理科数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗.故选：A.2.已知复数为纯虚数（其中i是虚数单位），则实数b的值为（）A.-3 B.-1 C.1 D.3〖答案〗C〖解析〗复数，又复数z为纯虚数，则有，解得.故选：C.3.若平面上的三个力，，作用于一点，且处于平衡状态．已知，，与的夹角为120°，则的大小为（）A. B. C.2N D.3N〖答案〗B〖解析〗由题意知，，所以，所以故选：B．4.《周髀算经》中“侧影探日行”一文有记载：“即取竹空，径一寸，长八尺，捕影而视之，空正掩目，而日应空之孔.”意谓：“取竹空这一望筒，当望筒直径d是一寸，筒长l是八尺时（注：一尺等于十寸），从筒中搜捕太阳的边缘观察，则筒的内孔正好覆盖太阳，而太阳的外缘恰好填满竹管的内孔.”如图所示，O为竹空底面圆心，则太阳角∠AOB的正切值为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由题意可知：，，所以.故选：A.5.若，，的面积为，则（）A. B.1 C. D.2〖答案〗C〖解析〗由三角形面积公式可得的面积，又，，所以，由余弦定理可得，又，，，所以，所以.故选：C.6.在平行四边形ABCD中，，，，则（）A. B.3 C.4 D.6〖答案〗D〖解析〗因为，所以为中点，由题意得，，所以，设，则，代入上式中得，，解得.故选：D.7.已知，则=（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由题意，所以，所以．故选：B．8.0.618被公认为是最具有审美意义的比例数字，是最能引起美感的比例，因此被称为黄金分割.被誉为“中国现代数学之父”的著名数学家华罗庚先生倡导的“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用.他认为底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形是“最美三角形”，即顶角为36°的等腰三角形，例如，中国国旗上的五角星就是由五个“最美三角形”与一个正五边形组成的，如图，在其中一个黄金中，黄金分割比为.根据以上信息，计算（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗在中，由正弦定理可得，∴，.故选：B.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知i为虚数单位，则下列结论正确的是（）A.复数的虚部为B.复数在复平面内对应的点位于第四象限C.若，则D.若复数z满足，则〖答案〗ABD〖解析〗对于A，因为，故复数的虚部为，A正确；对于B，复数在复平面内对应的点为，该点位于第四象限，B正确；对于C，取，则，又，故，C错误；对于D，设，则，因为，所以，故，D正确.故选：ABD.10.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．则下列结论正确的是（）A.若，则B.，则为等腰三角形C.若，则为钝角三角形D.〖答案〗ACD〖解析〗对于A，在中，由及正弦定理，得，所以，A正确；对于B，由及正弦定理，得，于是，由，得或，即或，所以为等腰三角形或直角三角形，B错误；对于C，在中，由，得，因此中有且只有一个为负数，所以中有一个为钝角，即为钝角三角形，C正确；对于D，在中，由余弦定理得，由正弦定理得，有，于是，整理得，D正确.故选：ACD.11.下列四个等式中正确的是（）A.B.C.D.〖答案〗BCD〖解析〗对于A，，所以A错误，对于B，，所以B正确，对于C，因为，所以，所以C正确；对于D，因为，所以，所以，所以D正确.故选：BCD.12.已知为所在平面内一点，则下列正确的是（）A.若，则点在的中位线上B.若，则为的重心C.若，则为锐角三角形D.若，则与的面积比为〖答案〗ABD〖解析〗对于A，设中点为，中点为，，，，即，三点共线，又为的中位线，点在的中位线上，A正确；对于B，设中点为，由得：，又，，在中线上，且，为的重心，B正确；对于C，，与夹角为锐角，即为锐角，但此时有可能是直角或钝角，故无法说明为锐角三角形，C错误；对于D，，为线段上靠近的三等分点，即，，D正确.故选：ABD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.在复平面内，对应的复数是，对应的复数是，则对应的复数是______．〖答案〗〖解析〗由题意可知，，则对应的复数是.故〖答案〗为：.14.如图，在4×4的方格纸中，若起点和终点均在格点的向量，，满足，则______．〖答案〗7〖解析〗建立如图所示直角坐标系，设小方格的边长为单位长度1，可得，同理可得，，将方程组中两式相加，可得.故〖答案〗为：7.15.如图，在四边形ABCD中，AD=3，BC=4，E，F分别是AB，CD的中点，P，Q分别是AC，BD的中点，则______．〖答案〗〖解析〗如图，连接，∵为的中点，为对角线的中点，，，

∴四边形为平行四边形，，，，，故〖答案〗为：.16.在中，已知，．锐角，满足．①当，______；②当取最小值时，______．〖答案〗〖解析〗由题意可知，，则，，，，，，则，，时，，则，，两边同时除以，并且，得，化简为，得或（舍），所以；，两边同时除以，得，，，，，化简为，则，，设，则，则，当时，即时等号成立，此时，，所以.故〖答案〗为：.四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.已知，为锐角，，．（1）求的值；（2）求的值．解：（1）因为，