2022-2023学年度八年级下学期期中数学试题

湖北省武汉市粮道街中学2022-2023学年八年级下学期期中

数学试题

一、单选题

1.二次根式向I在实数范围内有意义，则X的取值范围是（）

A.x>—2B.%#-2C.x>-2D.x>2

2.下列二次根式中，是最简二次根式的是（）

A.-y/SB.Vx2+4C.D.

3.下列计算正确的是（）

A.J(-4)(-9)=x=6B.782+92=8+9=17

c.1412—4()2=痘，3=9D.

4.在以下列线段。、6、。的长为三边的三角形中，不能构成直角三角形的是（）

A.a=9,6=41,c=40B.a=5,b=5,c=5A/2

C.a：b：c=3：4：5D.Q=11,b=\2,c=15

5.下列说法错误的是（）

A.平行四边形的对角线互相平分B.矩形的对角线相等

C.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半D.对角线互相垂直的四边形是菱形

6.“折竹抵地”问题源自《九章算术》中；一根竹子，原高一丈（一丈=10尺）.一阵风

将竹子折断，某竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，则折断处距离地面的高度是

()

A.5.3尺B.6.8尺C.4.7尺D.3.2尺

7.如图，把矩形沿防翻折，点5恰好落在边的H处，若N£=2,DE=6,

ZEFB=60°,则矩形4BCD的面积是（）

A.12B.24C.12百D.1673

8.如图，在菱形48co中，ZBAD=S0°,43的垂直平分线交对角线/C于点尸，£■为垂

足，连结。尸，则NCD尸等于（）

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D

C.65°D.60°

9.课间，小聪拿着老师的等腰直角三角板玩，不小心掉到两墙之间（如图），ZACB=90°,

AC=BC,从三角板的刻度可知/B=20cm,小聪想知道砌墙砖块的厚度（每块砖的厚度

相等），下面为砌墙砖块厚度的平方的是（）.

C,二r50,

D.——cnr

1313

10.如图，正方形/BCD中，AB=6,点E在边CD上，且CD=3Z）E.将△4DE沿/£

对折至△4FE,延长£尸交边8C于点G,连接/G、CF.下列结论：①AABGmAAFG；

②BG=GC；③AGHCF；@S^FGC=3.其中正确结论的个数是（）

C.3D.4

二、填空题

11.若廊是整数，则满足条件的最小正整数〃的值为.

12.已知。6w0且。＜6,化简二次根式JZ商的结果是.

13.如图，在数轴上C点表示1,。点表示-1,CA=CB,ZBDC=90°,BD=1.则

点/所表示的数是.

14.如图，“8C中，AB=AC=C，AD=\,则=.

15.菱形/BCD的周长为24,ZABC=60°,以N8为腰在菱形外作等腰,连

接NC,CE,则△/(7£的面积为.

16.已知a,6均为正数，且a+b=8,求正+9+加+9的最小值.

三、解答题

17.计算：

⑴-)

h

(2)2712x--750.

4

18.已知a=2+G,6=2—6，求下列各式的值:

(1)a1+b2■,(2)y--.

ba

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19.如图，Y/BCD中，/B=60°,AELBC于E,/尸_LCD于户，BE=2,DF=3,

求Y/BCD的周长C和面积S.

20.如图，在离水面高度为5米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为

13米，此人以0.5米/秒的速度收绳问6秒后船向岸边移动了多少米？（假设绳子是直

的，结果保留根号）

21.如图是边长为1的小正方形网格，每个小正方形的顶点叫做格点.

⑴直接写出图中格点AABC的面积为；

(2)若格点。满足/。=后，BD=后,请在图中画出符合条件的△N8。；

(3)在直线上找点P,使尸/+尸3最小，则尸/+尸8的最小值是(保留作图痕

迹).

22.如图，已知M是aABC的边AB的中点，D是MC的延长线上一点，满足

ZACM=ZBDM.

(1)求证：AC=BD；

AB

(2)若/BMC=60。，求丁的值.

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23.【知识感知】（1）如图1,四边形/3CO的两条对角线交于点O,我们把这种对角

线互相垂直的四边形叫做垂美四边形.

在我们学过的：①平行四边形②矩形③菱形④正方形中，属于垂美四边形的是;

（只填序号）

【性质探究】（2）如图1,试探究垂美四边形48co的四条边48,CD,BC,AD之

间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给出证明；

【性质应用】（3）如图2,分别以RS/C8的直角边NC和斜边N8为边向外作正方形

NCFG和正方形/瓦加，连接CE,BG,GE,已知/C=8,/3=10,求GE的长.

24.平面直角坐标系中，正方形OEBG的顶点在坐标原点.

(2)如图2,将正方形OE尸G绕。点旋转，过G作GNLy轴于N,〃■为尸。的中点，问:

/AGV。的大小是否发生变化？说明理由；

⑶如图3,4(-6,6),直线EG交/。于N,交x轴于下列关系式：

@MN2=ME2+NG2；②J5MV=EN+NG哪个是正确的？证明你的结论.

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参考答案：

1.D

【分析】根据二次根式的定义可知被开方数必须为非负数，列不等式求解.

【详解】解：根据题意得：x+2>0,

解得x"2.

故选：D.

【点睛】此题主要考查了二次根式的意义和性质.关键是熟悉概念：式子板(a>0)叫二

次根式.性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义.

2.B

【分析】根据最简二次根式的定义：被开方数的因数是整数，因式是整式，且被开方数中不

含能开得尽方的因数或因式，逐一判定即可.

【详解】解：A、&=2®不是最简二次根式，故本选项不符合题意；

B、4rM是最简二次根式，故本选项符合题意；

C、犷=似不是最简二次根式，故本选项不符合题意；

D、、口=也不是最简二次根式，故本选项不符合题意；

V22

故选：B

【点睛】本题主要考查对最简二次根式的理解，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键.

3.C

【分析】根据二次根式的乘法法则及二次根式有意义的条件进行判断即可.

【详解】解：A、&4)(-9)wV?x",因为等式右边无意义，故选项错误；

B、782+92=7145^17>故选项错误；

C、“I?一4()2=病><&=9,故选项正确；

D、3^|=V6#V2,故选项错误；

故选：C.

【点睛】本题考查了二次根式的乘法运算及二次根式有意义的条件，属于基础题，熟练掌握

基本知识是关键.

4.D

【分析】根据直角三角形的判定，符合/+/>2=,2即可；反之不符合的不能构成直角三角形.

【详解】解：A、因为92+402=412,故能构成直角三角形；

B、因为52+52=(50)2,故能构成直角三角形；

C、因为a：b：c=3：4：5,设a=3x,贝S=4x,c=5x,所以(3x7+(44=(5尤『，故能构

成直角三角形；

D、因为1F+122/is?,故不能构成直角三角形.

故选：D

【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解本题的关键.

5.D

【分析】根据菱形的判定、矩形和平行四边形和直角三角形斜边上的中线性质进行判定即可.

【详解】/、平行四边形的对角线互相平分，说法正确，不符合题意；

2、矩形的对角线相等，说法正确，不符合题意；

C、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，说法正确，不符合题意；

。、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，故错误，

故选：D.

【点睛】本题考查了平行四边形，矩形和菱形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握判定和

性质定理是解题的关键.

6.D

【分析】根据题意得：竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜

边为(10-x)尺，利用勾股定理解题即可.

【详解】解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为(10-x)尺，

根据勾股定理得：X2+62=(10-X)2.

解得：x=3.2,

折断处离地面的高度为3.2尺，

故选：D.

【点睛】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运

用勾股定理解题.

7.D

【详解】解：如图，连接BE,

,在矩形/BCD中，AD//BC,/EFB=60°,

A'

jDFV

：.Z^£,F=180°-Z£FS=180o-60o=120°,ZDEF=ZEFB=6Q°.

,/把矩形ABCD沿EF翻折点B恰好落在AD边的9处，

ZBEF=ZDEF=60°.

：.ZAEB=ZAEF-ZBEF=120°-60°=60°.

在Rt/\ABE中,AB=AE*tanXAEB=2tan60°=273.

,:AE=2,DE=6,：.AD=AE+DE=2+6=S.

...矩形ABCD的面积=48・40=26><8=166.

故选D

8.D

【分析】连接3R根据菱形的对角线平分一组对角求出/A4C,ZBCF=ZDCF,四条边都

相等可得3C=DC,再根据菱形的邻角互补求出//8C,然后根据线段垂直平分线上的点到

线段两端点的距离相等可得/尸=2尸，根据等边对等角求出尸=NA4C,从而求出/C2F,

再利用“边角边”证明4BCF和ADCF全等，根据全等三角形对应角相等可得ZCDF=ZCBF.

【详解】解：如图，连接8R

在菱形/BCD中，ZBAC=^-ZBAD=^-x80°=40°,NBCF=NDCF,BC=DC,

ZABC=l80°-Z^£»=l80°-80°=100°,

•••斯是线段N3的垂直平分线，

：.AF=BF,ZABF=ZBAC=40°,

ZCBF=AABC-ZABF=100°-40°=60°,

:在△BCF和△£>C尸中，

'BC=DC

<NBCF=NDCF,

CF=CF

:.4BCF”ADCF(SAS),

ZCDF=ZCBF=60°,

故选：D.

【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线上的点到线段

两端点的距离相等的性质，综合性强，但难度不大，熟记各性质是解题的关键.

9.A

【分析】设每块砖的厚度为xcm,贝!|/Z>3xcm,BE=2xcm,然后证明△ZUC0ZkECB得到

CD=BE=2xcm,再利用勾股定理求解即可.

【详解】解：设每块砖的厚度为xcm,则4D=3xcm,BE=2xcm,

由题意得：ZACB=ZADC=ZBEC=90°,

：.ZACD+ADAC=ZACD+ZBCE=90°,

：.ZDAC=ZECB,

又,：AC=CB,

:.△DAC咨AECB(AAS),

CD=BE=2xcm,

AC2+BC2=AB2,AD2+DC2=AC2，

2(3x『+2(2x)2=20"

2=迎

…13'

故选A.

【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，解题的关键在于能够熟练掌

握全等三角形的性质与判定条件.

10.C

【分析】根据正方形基本性质和相似三角形性质进行分析即可.

【详解】①正确.^^JAB=AD=AF,AG=AG,ZB=ZAFG=90°,

ZX/BG以△/FG；

②正确.因为：EF=DE=；CD=2,

设BG=FG=x,贝!]CG=6-x.

在直角AECG中，根据勾股定理，得(6-x)2+42=(x+2)2,

解得x=3.

所以8G=3=6-3=GC；

③正确.

因为CG=BG=GF,

所以△尸GC是等腰三角形，ZGFC=ZGCF.

又/AGB=ZAGF,NNGB+ZAGF=180°-ZFGC=ZGFC+ZGCF,

：.ZAGB=ZAGF=ZGFC=ZGCF,

：.AGHCF-,④错误.

过尸作FH±DC,

"：BC±DH,

：.FH//GC,

：.AEFUs△EGC,

.FHEF

"~GC~~EG'

EF=DE=2,GF=3,

：.EG=5,

.FHEF2

GC"£G"5'

11(2\18

SAFGC=SAGCE-SAFEC=-x3x4--x4xjx3=y,故④错误,

故选：C.

11.6

【分析】把24分解因数，分解出平方数，再根据二次根式的定义判断出〃的最小值即可.

【详解】解：J24n=2y[6n，

•・•J旃是整数，

・,・满足条件的最小正整数〃=6.

故答案为：6.

【点睛】本题考查了二次根式的定义，熟练把24分解成平方数与另一个数相乘的形式是解

题的关键.

12.一ayj—ab/—ciy]—bci

【分析】直接利用二次根式的性质得出。，6的符号，进而化简即可.

【详解】解：•・•有意义，ab^O

-a3b>0，

a3b<0，

,：a<b,

.*•a<0<b,

••yj-a3b=-aJ—ab，

故答案为：-a^l-ab-

【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，正确得出a,b的符号是解题的关键.

13.1-V5/-V5+1

【分析】根据勾股定理计算出CB=dBD,CD?=不，从而得到◎=石，再根据点/在数

轴上的位置得到答案.

【详解】解：,••/3DC=90。，

/.CB2=DB2+CD2,

点表示1,。点表示T,

CD=2,BD=1,

•*-CB=y/BD2+CD2=y/5，

CA=5

.•.点/所表示的数是-(6-1)=1-次,

故答案为：1-石.

【点睛】本题考查数轴和勾股定理，解题的关键是根据勾股定理计算出◎的值.

14.BD・DC=2

【分析】设30=x,。。=九根据等腰三角形的性质得到BE=；(x+y),DE=；(y-x),

再根据勾股定理得至4/82-8£2=/。2一。£2,将.、DE代入进行化简，可以得到孙=2,

从而得到

【详解】解：如下图所示，过点/作HE1BC与点E,

Z__L_h___A

BDEC

设6Z)=x,DC=y,

・・•AB=AC,

BE——(x+y),

/.DE=BE—BD=；(y_x),

根据勾股定理得：AE2=AB2-BE2,AE2=AD2-DE2>

AB2-BE2AD--DE2^

3_*+对~=i_；(y_xj,

8=(y+x)2-(y-x)2,

••8—y2+2,xy+-(y2-2xy+,

8=4xy,

：.xy=2,

：.BD・DC=2.

【点睛】本题考查等腰三角形的性质和勾股定理，解题的关键是根据勾股定理建立等式进行

化简.

15.9或9(6+1)

【分析】分两种情况画图，利用等腰直角三角形的性质和勾股定理矩形计算即可.

【详解】解：①如图1,延长E4交。。于点F,

•・•菱形/BCD的周长为24,

・•・AB=BC,

9：ZABC=60°,

・・・三角形ABC是等边三角形，

ZBAC=6Q°,

当时，是等腰直角三角形，

・•・AE=AB=AC=6,Z^C=90°+60°=150°,

：.ZFAC=30°,

•：ZACD=600°f

：.ZAFC=90°f

：.CF=-AC=3,

2

则△4CE的面积为：9ExC尸=；x6x3=9；

②如图2,过点4作4方，EC于点R

由①可知：/EBC=ZEBA+ZABC=90°+60°=150°,

AB=BE=BC=6

：./BEC=/BCE=\5。,

N4E尸=45。-15。=30。,=60°-15°=45°,

]B

：.AF=-AEAF=CF=—AC=3y/2

2f2f

AB=BE=6,

・•・AE=6C，

•*-EF=ylAE2-AF2=376，

/.EC=EF+FC=3瓜3日

则△如£的面积为：gECx4F=gx@&+3@x3啦=9(g+l).

故答案为：9或9(6+1).

【点睛】本题考查了菱形的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质和勾股定理,

解决本题的关键是掌握菱形的性质.

16.10

【分析】将。+6=8变形a=8-6,代入必？+7^7?，从而转化为点尸修，0)到川8,3)

与N(0,3)的距离，再利用几何法求最值即可.

将a+6=8转化为a=8-6,代入［/+9+［护+9得

J(Z)-8)2+(0-3)2+Jg-4+(o-3)2

可理解为点尸伍,0)到8(8,3)与/(0,3)的距离.如图：找到A关于x轴的对称点C,

可见，BC的长即为求代数式7779+7^7?的最小值.

•1-SC=A/62+82=10,

二J/+9+"2+9的最小值为10.

故答案为：10.

【点睛】本题主要考查了二次根式，几何最值等知识点，把代数问题转化成几何问题是解题

关键.

17.(1)-5

【分析】（1）先化简各数，再合并计算；

（2）先化简，再算乘法，最后计算除法，将结果分母有理化.

【详解】（1）解：V2（V8-V3）+V3（V2-A/27）

=A/16—\/6+^6—5/81

=4一9

=-5.

万

（2）解：2712X--750

4V50

=也

一5

【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键.

18.（1）14；（2）8G

【分析】（1）根据题意先求出a+b、a-b以及ab的值，然后利用完全平方公式对原式进行变

形，代入求值；

（2）将原式进行分式减法的化简计算，然后代入求值.

【详解】解：：。=2+后6=2-百

/.a+b—4,a—b=2y/3,ab=\

（1）a2+b2=^a+b^-lab=42-2x1=14；

（2）q_2=a=S+6）（"6）=4x2g=8G

baabab

【点睛】本题考查二次根式的混合运算，掌握运算法则及乘法公式的公式结构正确化简计算

是解题关键.

19.Y4BCD的周长C=20；Y48c。的面积S=126.

【分析】根据平行四边形性质和直角三角形的性质即可求解.

【详解】解：,/ZS=60°,AE1BC,BE=2,

：./BAE=3。。,

：.AB=2BE=4,

・•・AE=ylAB2-BE2=A/42-22=26，

・・•四边形Y/BCD是平行四边形，

：.CD=AB=2,AD=AB=60°,

：.ZDAF=30°,

■:DF=3,

：.AD=2DF=6,

：.BC=AD=6,

：.YABCD的周长C=AB+CD+AD+BC=4+4+6+6=20,

YABCDS=BCxAE=6X2A/3=1243.

【点睛】本题考查了平行四边形的性质和直角三角形的性质，灵活运用所学知识是解题关键.

20.船向岸边移动了（12-5力）米.

【分析】在中，利用勾股定理计算出N8长，再根据题意可得CD长，然后再次利

用勾股定理计算出AD长，再利用BD=AB-AD可得BD长.

【详解】解:在放△/8C中：

'：ZCAB=90°,3C=13米，/C=5米，

•*-T45=V132-52=12（米），

•.•此人以0.5米每秒的速度收绳，6秒后船移动到点D的位置，

A0）=13-0.5x6=10（米），

•*-AD=ylcb2-AC2=V100-25=56（米），

：.BD=AB-AD=12-5yl3（米），

答：船向岸边移动了（12-56）米.

c

【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握从题中抽象出勾股定理这一数学模型,

画出准确的示意图.领会数形结合的思想的应用.

21.(1)5

(2)见详解

⑶回

【分析】(1)通过长方形的面积减去三角形的面积即可得到答案；

(2)根据40=^^=疔+&，BD=V17=742+1＞即可找出。点；

(3)过点/作直线的对称点4，连接48交直线与点P,点尸即所求点.

【详解】⑴解：由图可得长方形”8C的面积为：24《仓必2-1仓！)21-1创43=5,

故答案为：5；

(2)解：由题意可得BD=Rj=[42+1，

・•・符合条件的AABD如下图所示：

(3)解：如下图所示，过点4作直线。。的对称点4,连接交直线与点尸，点尸即

所求点,

?.PA+PB的最小值等于4B,

45=A/52+42=A/41,

故答案为：屈.

【点睛】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理的知识.

22.（1）证明见解析（2）2

【分析】（1）证明：延长CM至F,使MF=CM,连接AF、BF,根据对角线互相平分的四边

形是平行四边形得到四边形AFBC是平行四边形，根据平行四边形的性质得到

/BFM=NACM,等量代换得到NBFM=NBDM,即可证明BD=BF=AC；

⑵延长CM至点E,使EM=CD,连结AE,证明AACE之△BDM,根据全等三角形的性质

得至UAE=BM=AM,又NBMC=60。,证明AAEM是等边三角形，得至llAB=2AM=2ME=2CD,

即可求解.

【详解】（1）证明：延长CM至F,使MF=CM,连接AF、BF

四边形AFBC中对角线CF、AB互相平分,

四边形AFBC是平行四边形，

；.AC〃BF,AC=BF,

ZBFM=ZACM,

ZACM=ZBDM.

・•・ZBFM=ZBDM,

・・・BD=BF=AC

(2)解：延长CM至点E,使EM=CD,连结AE

・••在4ACE和△BDM中

AC=BD

<ZACM=ZBDM

CE=DM

.,.△ACE^ABDM

・・・AE=BM=AM

又NBMC=60。

ZAME=60°

AAEM是等边三角形

・•・AB=2AM=2ME=2CD

0=2,

CD

【点睛】考查平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性

质等，作出辅助线是解题的关键.

23.③④；AB2+DC2BC2+AD2,理由见详解；2月

【分析】（1）根据菱形和正方形的性质即可得到答案；

（2）先根据勾股定理得到48?+8。2,BC2=BO2+CO2，DC2=DO2+CO2,

AD2=AO2+DO2,即可推算出A82+OC2=8。2+/。2；

（3）先根据正方形的性质证明A/8G也ANCE（SAS）,再证明CCBG,得到四边形CGE8是

垂美四边形，再结合（2）的结论即可求出GE.

【详解】解：（1）•菱形和正方形的对角线相互垂直，

故答案为：③④；

(2)AB2+DC2=BC2+AD2,理由如下,

；AC1BD,

AAB2=AO2+BO2BC2=BO2+CO\DC2=DO2+CO2,AD2=AO2+DO2,

AB2+DC2=AO2+BO2+DO2+CO2,BC2+AD2=AO2+BO2+DO2+CO2,

・•・AB2+DC2=BC2+AD2；

(3)如下图所示，设C£,BG交于点、M,CA,BG交于点、N,连接CG,BE

•・・ZBAE=ZCAG=90°,

：./BAE+ZCAB=NC4G+ZCAB,

/CAE=/BAG,

AC=AG

v]/CAE=/BAG,

AB=AE

：.A^G^A^C^(SAS),

ZACE=ZAGB,

・.・5cll/G,

ZCNM=ZFGB,

・.,NFGB+/BGA=90°,

：.ZCNM+ZBGA=90°,

：.ZCNM+ZACE=90°,

：.CE1BG,

・••四边形CGEB是垂美四边形，

根据(2)^GE2+CB2=CG2+BE2,

・・・/C=8,4B=10,

：.BC=6,

「正方形ACFG和正方形ABDE,

CG=8A/2,BE=、m，

，GE2=CG2+BE2-CB1=128+200-36=292,

:.GE=2773.

【点睛】本题考查菱形、正方形、全等三角形和勾股定理，解题的关键是能够灵活运用勾股

定理.

24.⑴(-4,2)

(2)/MNO的大小不发生变化，理由见解析

(3)①正确，证明见解析

【分析】(1)连接。££G,OF交EG于点、K,过点G作GPLy轴于点P,过点E作

轴于点。，证明AEO。段AOGP,可得GP=OQ=1,EQ=OP=3,从而得到点E(-再

由中点坐标公式，即可求解；

(2)过点M作