高考数学五年真题(2019-2023)分项汇编06 立体几何（解答题）（老师用）

五年(2019-2023)年高考真题分项汇编

冷题05克体瓜何(解答鉴J

高存•送瓶分衍

立体几何在理科数解答题中一般出现在20题左右的位置。主要考查空间几何体对应的空间角问题，考查二

面角的频率比较大。

备存真卷精折

1.(2023・全国•新课标回卷)如图，在正四棱柱ABC。-A4G。中，48=2,441=4.点4,用了2,3分另1」在

棱A4j,BB、,CCj;DD、上,AA,=1,BB、=DD、=2,CC2=3.

⑴证明:B2c2〃4。21

(2)点P在棱B片上，当二面角尸-AC2为150。时，求与P.

【答案】⑴证明见解析；

(2)1

【分析】(1)建立空间直角坐标系，利用向量坐标相等证明；

(2)设尸(0,2,2)(04X44),利用向量法求二面角，建立方程求出力即可得解.

【详解】(1)以C为坐标原点，C2CB,cq所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图,

1

则C(0,0,0),C2(0,0,3),B2(0,2,2),D2(2,0,2),4(2,2,1),

/.B2c2=(0,-2,l),43=(0,-2,l),

:.BCI)，

又B2c2,不在同一条直线上，

•，-52c2〃4。2•

(2)设尸(0,2,4)(04444),

则4以=(-2,-2,2),PC2=(0,-2,3-2),D2C2=(-2,0,1),

设平面P&G的法向量〃=O,y,z),

n•4c2=一2%-2y+2z=0

n,PC?——2y+(3—X)z=0

令z=2,得y=3-=1,

YI—(%—1,3—%,2),

设平面4G。2的法向量机=(a,b,c),

m-AC=-2a-2b+2c=0

则29,

m•D2c2=-2a+c=0

令a=\,得b=1,c=2,

m=2),

/6==Icosl50°|=—,

76j4+(2-l)2+(3-2)22

化简可得，万―44+3=0,

解得％=1或X=3,

・..尸(0,2,1)或尸(。,2,3),

2P=1.

2

2.(20203全国•统考新课标回卷)如图,三棱锥A-BCD中，DA=DB=DC,BDVCD,ZADB=ZADC=60,

E为BC的中点、.

⑴证明：BCYDA；

(2)点/满足所=£>A，求二面角AB-尸的正弦值.

【答案】⑴证明见解析；

【分析】(1)根据题意易证3C，平面ADE,从而证得3C_L/M；

(2)由题可证/石，平面BCD,所以以点E为原点，所在直线分别为无,y,z轴，建立空间直角

坐标系，再求出平面歹的一个法向量，根据二面角的向量公式以及同角三角函数关系即可解出.

【详解】(1)连接因为E为中点，DB=DC,所以OEL3C①，

因为ZM=D3=DC,ZADB=ZADC=60,所以ACD与均为等边三角形，

：.AC^AB,从而A£_L2C②，由①②，AEDE=E,AE,OEu平面ADE,

所以，3c1平面而4Du平面ADE,所以3C_LZM.

(2)不妨设ZM=r>3=£>C=2,BD±CD,:.BC=2yfi,DE=AE=近.

+=4=92,...我工小，又，BC=E,OE,8Cu平面BCDAEJ_平面BCD.

以点E为原点，匹,E8,EA所在直线分别为羽y,z轴，建立空间直角坐标系，如图所示：

设。(在0,0),A(0,0,A/2),8(0,A/2,0),£(0,0,0),

设平面与平面AB尸的一个法向量分别为勺=(x1,y1,z1),n2=(x2,y2,z2),

二面角O-AB-/平面角为区而A3=(0,应,-戊)，

3

因为斯=。4=卜0,0,a),所以尸卜虚,0,垃)，即有A尸=卜0,0,0卜

—s/2xj+A/^Z]=0

取为=1,所以4=(1,1,1)；

y/2y1-0Z]=0

y/2y2->/2Z2=0

，取%=1,所以%=(0,1,1),

—\[2X2=0

2_V6从而sin。=Jl-g

所以,

岛a一3

所以二面角。-钻-尸的正弦值为9.

3.(2023•全国•统考高考乙卷)如图，在三棱锥P-ABC中，ABJ.BC,AB=2,BC=2也,PB=PC=®

BP,AP,8c的中点分别为D,E,O,AD=y[5DO,点/在AC上，BF±AO.

(1)证明：防〃平面AD。；

⑵证明：平面ADO_L平面BEG

⑶求二面角Q-AO-C的正弦值.

【答案】⑴证明见解析；

(2)证明见解析；

⑶立.

2

【分析】(1)根据给定条件，证明四边形ODEF为平行四边形，再利用线面平行的判定推理作答.

(2)法一：由(1)的信息，结合勾股定理的逆定理及线面垂直、面面垂直的判定推理作答.法二：过点A作

PA=y/14

z轴1平面BAC,建立如图所示的空间直角坐标系，设尸(x,y,z),所以由＜尸2=而求出尸点坐标，再求

PC=46

出平面ADO与平面所卯的法向量々,乙，由勺,%=0即可证明；

(3)法一：由(2)的信息作出并证明二面角的平面角，再结合三角形重心及余弦定理求解作答.法二：求

4

出平面AD。与平面ACO的法向量，由二面角的向量公式求解即可.

【详解】(1)连接OE,。/，T^AF=tAC,则8尸=BA+A尸=(1一。a4+/8C,AO=-BA+^BC,BFLAO,

-1215

贝ljBF-AO=[(1-Z)BA+tBC](-BA+-BC)=(r-l)BA+-tBC2=4Q—1)+4f=0,

解得f=《，则尸为AC的中点，由RE。/分别为PB,尸A3cAe的中点，

2

于是DE//AB,DE=LABQF//AB,OF=LAB,即£>E7/O尸,DE=OF,则四边形ODEF为平行四边形,

22

EF//DO,EF=DO,又砂0平面ADO,。。u平面AD。，

所以EF//平面450.

(2)法一：由(1)可知EF〃。/),则40=几,。0="，^AD=y/5D0=—,

22

因止匕。£>2+4。2=4。2=",则OD_LAO,有EPJ_AO,

2

又AO±BF,BFEF=F,BF,EFu平面BEF,

则有AO_L平面班F,又AOu平面AQO,所以平面ADO_L平面3£F.

法二：因为AB13C,过点A作z轴上平面BAC,建立如图所示的空间直角坐标系,

A(2,0,0,),B(0,0,0),C(0,2A/2,0),

3.15

2+4

/nD4DB^AB^DA2-T1

在△BD4中,

2DBABcc指V6

2x2x----

2

2

在△PBA中,PA=PB2+AB2—2PB-ABcosZPBA=6+4—2后x2x=14,

PA=V14(x-2)2+y2+z2=14

设尸(x,y,z),所以由尸2=而可得：，x2+y2+z2=6

PC=7622

x2+(y-2V2)+z=6

可得：x=—1,y=^2,z=A/3,所以尸卜

5

则”」，¥，■，所以山，去¥]，*1，"明

AO=(-2,y/2,0),AD=r5显3]

「5亍名

设平面AD。的法向量为4=(占,M，zJ,

-2再+ypZy1-0

n,•AO=0

则，得一B+心y+鸟-0

々AD=0I212%21

令国=1,则%=及,Z]=右，所以%=,

、

BE=,BF=(1,72,0)

、万万

57

设平面BEF的法向量为n2=(x2,y2,z2),

1工垃工6_n

电•BE=0~X2+丁为+万22=0

则一,得；

n2•BF=0

x2+0y2=0

令玉=2,则％=-血0=0,所以％=(2,-四,0),

%.小=2x1+x(-+0=0,

所以平面AZ)O_L平面BEF；

(3)法一：过点。作0〃//3/交AC于点H,设ADBE=G,

由AO_L3产，得加_LAO,S.FH=-AH,

3

又由(2)知，ODLAO,则为二面角D-AO-C的平面角,

因为D,E分别为用,尸4的中点，因此G为,B4B的重心，

1113

即有。G=§AO,GE=35石，XFH=-AH,即有OH=]G/，

6

315

44+--------

4+6-P*解得PA=&?，同理得5£=如,

cosZABD=——上

。。瓜2x2x^6

2x2x—2

2

久丫(后、2

于是5石2+石尸=3尸2=3,即有BE_L£F,则GU=-x^-+—=-,

3223

\J\J

从而G歹二叵3岳岳

,DH=—x----=----

3232

在MOH中，。H《BF泻,OD丹,DH二华,

63_15__________

于是cos/r>O〃=aJ4,sin/OO“=变］=显，

2X£32O2J2

22

所以二面角。-AO-C的正弦值为YZ.

2

法二：平面ADO的法向量为％=（1,应,g）

平面ACO的法向量为%=（0,0,1）,

A/3V2

所以cos(%,%)=占?■

J1+2+3—2，

因为（%,%）目0,可，所以sin,,生'l—cos2(%,%)=,

故二面角。-AO-C的正弦值为变.

2

4.（2023•全国•统考高考甲卷）如图，在三棱柱ABC-A耳G中,，底面ABC,ZACB=90°,A4,=2,A

到平面8CG4的距离为1.

7

c,

Bi

A

（1）证明：AtC=AC-

⑵已知AA,与BB｛的距离为2,求4片与平面BCC’Bi所成角的正弦值.

【答案】⑴证明见解析

⑵*

【分析】（1）根据线面垂直，面面垂直的判定与性质定理可得平面BCG瓦，再由勾股定理求出。为

中点，即可得证；

（2）利用直角三角形求出A片的长及点A到面的距离，根据线面角定义直接可得正弦值.

【详解】（1）如图，

4C_L底面ABC,BCu面ABC,

AC1BC,又3C_LAC,ACACu平面ACGA,AtCr>AC=C,

:.BCL^^ACCiAi,又BCu平面2CC内，

平面ACC,A，平面BCQBi,

过4作AOLCG交C0于O,又平面ACCaC平面BCGByCG,AOu平面ACGA，

.•.A0，平面BCq耳

A到平面BCG4的距离为i,，4。=1,

在RtzXACG中，AC，4G，CC]=A4,=2,

设CO=x,则Cfi=2-x,

△AOC,^AO£,Z\ACG为直角三角形，且CC]=2,

8

co2+AO2=AC2»A02+oci=GA2>Ac2+AG2=Gc2>

.•/+/+1+（2-尤）2=4,解得x=l,

AC=4。=AC=''/2,

/.A。=AC

（2）.AC=/liC1,BC±AiC,BC±AC,

/.RtAACB^RtA^CB

BA=5A,

过B作BDJ.AA，交AA于。，则。为AA中点，

由直线Ad与8片距离为2,所以瓦>=2

4。=1,BD=2,:.AlB=AB=45,

在RtZXABC，BC=>JAB2-AC2=A/3>

延长AC,使AC=CW,连接CM,

由CMZ/^CM=AG知四边形\CMCX为平行四边形，

/.CtM//C{MA.^Pif]ABC,又AMu平面ABC,

GM1AM

则在RtZkAGV中，AM=2AC,CXM=\C,AC】="（2AC）2+«,

22

在Rt^AB©中，AC,=7（2AC）+AC,BlC1=BC=y/3,

：.AB,=J（2,）?+（夜）?+（若>=V13,

又A到平面BCG4距离也为1,

所以与平面BCG与所成角的正弦值为」=巫.

屈13

5.（2022•全国•统考高考乙卷）如图，四面体A8CD中，AD，CD,AD=CD,ZADB=NBDC,E为AC的中

点.

(1)证明：平面6£r)_L平面ACD；

(2)设钻=&)=2,41。8=60。，点尸在5。上，当△AFC的面积最小时，求C尸与平面迎所成的角的正弦

9

值.

【答案】⑴证明过程见解析

⑵b与平面的所成的角的正弦值为半

【分析】（1）根据已知关系证明△的二△CBD,得至=结合等腰三角形三线合一得到垂直关系，

结合面面垂直的判定定理即可证明；

（2）根据勾股定理逆用得到招工小，从而建立空间直角坐标系，结合线面角的运算法则进行计算即可.

【详解】（1）因为4）=8,E为AC的中点，所以ACLDE；

在AABD和ACBD中，因为AD=CD,ZADB=ZCDB,DB=DB,

所以△ABL总△CBD,所以AB=CB,又因为E为AC的中点，所以ACLBE；

又因为OKIEu平面3皮>,DEcBE=E,所以AC_L平面BED,

因为ACu平面ACD,所以平面BED_L平面ACD.

（2）连接£■尸，由（1）知，ACmBED,因为£Fu平面BED,

所以ACLEF,所以SOFC=：AC•跖，

当所，应）时，EF最小，即尸C的面积最小.

因为△ABD=△CBD,所以CB=AB=2,

又因为NACB=60。，所以ABC是等边三角形，

因为E为AC的中点，所以AE=EC=1,BE=6

因为ADLCD,所以。E=g&C=l,

在中，DE2+BE2=BD2,所以BEDE.

以E为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系E-孙z,

设平面ABD的一个法向量为”=（x,y,z）,

n•AD=-x+z=0

则取>=石，则〃=（3,g,3）,

n•AB=-x+y/3y=0

又因为C（T0,0）,月0，¥q,所以CP=1,^,-

I”kJ

设CF与平面4如所成的角的正弦值为0[o<0<^

10

所以sin。=|cos^n,CF'=4f,

所以CP与平面ABD所成的角的正弦值为拽.

6.（2022•全国•统考高考甲卷）在四棱锥尸-ABCD中，尸底面

ABCD,CD//AB,AD=DC=CB=1,AB=2,DP=y/3.

⑴证明：BD±PA；

⑵求尸。与平面R4B所成的角的正弦值.

【答案】⑴证明见解析；

（2）冬

【分析】（1）作245于E,CFJ.AB于F,利用勾股定理证明23D,根据线面垂直的性质可得

PDVBD,从而可得3D工平面PAD,再根据线面垂直的性质即可得证；

（2）以点。为原点建立空间直角坐标系，利用向量法即可得出答案.

【详解】（1）证明：在四边形ABCD中，作OESAB于E,CFLAB于F,

因为CD〃AB,AD=CD=CB=1,AB=2,

所以四边形ABC。为等腰梯形，

所以4£=8尸=’，

2

11

故£>£=#，BD7DE，+BE。=6,

所以=452,

所以AD2BD,

因为PD_L平面ABCD,BDu平面ABCD,

所以PDLBD,

又PDcAD^D,

所以BD2平面PAD,

又因为R4u平面PAD,

所以31)1.24；

（2）解：如图，以点。为原点建立空间直角坐标系,

BD=6,

则A（1,0,0）,3（0,百，可，尸（0,0,/）,

则4尸=卜1,0,退），82=（0,—也,力），。尸=（0,0,/）,

设平面上45的法向量〃=（x,y,z）,

n-AP=—x+\/3z=0/厂\

则有｛厂广，可取，7=后1,1,

n-BP=-V3y+V3z=0'

/n-DP#>

则…P"眄丁

所以P£>与平面R4B所成角的正弦值为亭.

12

7.(2022•全国•新课标团卷)如图，直三棱柱ABC-的体积为4,4BC的面积为2忘.

⑴求A到平面ABC的距离；

(2)设。为AC的中点，AAX=AB,平面A3CL平面4880,求二面角A—3D—C的正弦值.

【答案】⑴及

⑵正

2

【分析】(1)由等体积法运算即可得解；

(2)由面面垂直的性质及判定可得8。1平面ABBIA，建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可得解.

【详解】(1)在直三棱柱ABC-44C中，设点A到平面A3C的距离为九

1114

则匕-ABC=—SABC,人=---0=匕—ABC=~^ABC,=ABC-ARC二一，

A?1|DC3/i|DC3/1|AoC3/IDC13AoC/1|D]C।3

解得h-V2，

所以点A到平面\BC的距离为6；

(2)取43的中点B连接如图，因为M=A5,所以

13

又平面AtBC±平面ABB^,平面A,BCc平面ABB^=\B,

且Mu平面ABBW，所以平面ABC,

在直三棱柱ABC-AB|G中，BBX1平面ABC,

由BCu平面ABC,BCu平面ABC可得AEJ_BC,BBt1BC,

又u平面且相交，所以3C/平面ABB4,

所以两两垂直，以8为原点，建立空间直角坐标系，如图,

由(1)得AE=&，所以A^B—2^2,所以3c=2,

则A(0,2,0),A(0,2,2),3(0,0,0),C(2,0,0),所以AC的中点。(1,1,1),

则30=0,1,1),胡=(0,2,0),3。=(2,0,0),

m-BD=%+y+z=0

设平面ABD的一个法向量加=(x,y,z),则

m-BA=2y=0

可取，〃=(1,0,-1),

n-BD=a+b+c=0

设平面8DC的一个法向量〃=(a,6,c),则

n-BC=2a=0

可取〃=(0,1,_1),

m,n11

则cos(m,n

ml-l^lV2x^22

所以二面角A-BD-C的正弦值为Jl-gj=?.

8.(2022全国•统考新课标团卷)如图，P。是三棱锥尸-A5C的高，PA=PB,ABJ.AC,E是PB的中点.

14

p

（1）证明：OE//平面PAC；

（2）若/ABO=NCBO=30。，PO=3,PA=5,求二面角C—AE-8的正弦值.

【答案】⑴证明见解析

【分析】（1）连接80并延长交AC于点。，连接Q4、PD,根据三角形全等得到04=03,再根据直角三

角形的性质得到AO=DO,即可得到。为BZ）的中点从而得到。即可得证；

（2）建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量法求出二面角的余弦的绝对值，再根据同角三角函数的基

本关系计算可得.

【详解】（1）证明：连接80并延长交AC于点。，连接。4、PD,

因为P0是三棱锥尸—ABC的高，所以P01平面ABC,A。,3。u平面ABC,

所以PO_LAO、PO^BO,

又PA=PB,所以APOA=APOB,即。4=03,所以NQ4S=NO3A,

又AB/AC,即/3AC=90。，所以NQ4B+NQ4£）=90。，ZOBA+ZODA=90°,

所以NOD4=NQW

所以A0=00,即AO=DO=O3,所以。为8。的中点，又E为PB的中点，所以OE//PD,

又平面PAC,PDu平面PAC,

所以0E〃平面PAC

（2）解：过点A作上〃。尸，如图建立空间直角坐标系，

因为PO=3,AP=5,所以。4=,炉—尸。？=4,

又NOS4=/OBC=30。，所以3£>=2OA=8,则AD=4,AB=473,

所以AC=12,所以。（2百,2,0）,2（4石,0,0）,网26,2,3）,C（0,12,0）,

15

所以

则AE=（36,1［）,AB=（4A/3,0,0）,AC=（0,12,0）,

-3

/、n-AE=3A/3X+y+—z=0

设平面的法向量为〃=（%,y,z）,贝"2,令z=2,则产一3,x=0,所以

n-AB=4y/3x=0

n=（O,-3,2）；

、n>r,.em-AE=3y/3a+b+—c=O

设平面AEC的法向重为根=（〃,b,c）,贝!b2,

m-AC=12b=0

令a=6,贝!Jc=-6,b=0,所以用=（百,0,-6）；

n-m__124百

所以cos（凡加

InllmlV13x^/§9IT

4百

设二面角C-AE-B的大小为e，则|cosq=k（）s（n,m

~L3~

9.（2021•全国•统考高考乙卷）如图，四棱锥尸-ABCD的底面是矩形，底面ABCD,PD==1,M

为3c的中点，且尸

16

R

（2）求二面角A-RVf-5的正弦值.

【答案】（1）0;（2）画

14

【分析】（1）以点D为坐标原点,DA、DC、DP所在直线分别为x、＞、z轴建立空间直角坐标系，设BC=2a,

由已知条件得出尸940=0,求出。的值，即可得出8C的长；

（2）求出平面24"、尸期的法向量，利用空间向量法结合同角三角函数的基本关系可求得结果.

【详解】（1）［方法一］:空间坐标系+空间向量法

a），平面A3CD,四边形A5CD为矩形，不妨以点。为坐标原点，DA,DC、DP所在直线分别为尤、

y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系。-孙Z,

设BC=2a,则。（0,0,0）、*0,0,1）、3（2°,1,0）、M（a,l,0）、A（2a,0,0）,

则P3=（2a,l,-1）,AM=（-a,1,0）,

PB1AM,则PHAM=—2/+l=o，解得a=变，故BC=2a=6；

2

17

［方法二］【最优解】：几何法+相似三角形法

如图，连结8D.因为尸。，底面ABCD,且AMu底面ABCD,所以尸D2AM.

又因为PBPD=P,所以71M上平面尸

又BDu平面尸5D,所以40_1_皮）.

从而ZADB+ZDAM=90°.

因为NMAB+NZM〃=90。，所以NM4B=NADB.

十曰ADBA

所以..AD3S_B4〃,于是——二——

ABBM

所以;8c2=1.所以2c=0.

［方法三］:几何法+三角形面积法

如图，联结3D交AM于点N.

由［方法二］知

18

ANDA7

在矩形ABCD中，有4DANS&BMN,所以一=—=2,^AN=-AM.

MNBM3

令BC=2t(t>0),因为M为8C的中点，则=£)3=54产+1，AM=4干+1.

由5即=：。4・48=；。3-河，得/=口4产+1彳〃+1,解得*=；,所以BC=2/=0.

(2)［方法一］【最优解】：空间坐标系+空间向量法

设平面上4M的法向量为m=(%,%,zj,贝乎AP=(-72,0,1),

fV2

J7i,AA/=------x,+y.=0/—//-\

由《21''取匕=&，可得根=(、叵,1,2),

m-AP=-0尤］+Z］=0

V2)

设平面的法向量为〃=(%,%，22)，BM=-小。

2)

n•BM=------x,=0

由<2取%=1,可得〃=(0,1,1),

n•BP--垃4-%+z2=0

/\m-n33^14

cos(m,n)=-j-r-r=—1=—T==--------,

所以,sin(加,〃)=Jl-cos』(利,〃)=---

因此，二面角A-尸河-3的正弦值为画.

14

［方法二］:构造长方体法+等体积法

如图，构造长方体ABCD-4BGA，联结4耳,A/交点记为“，由于A用"LAB,AB,1BC,所以AH,

平面A8CQ.过，作2M的垂线，垂足记为G.

19

联结AG,由三垂线定理可知,

故NAG/Z为二面角的平面角.

易证四边形ABC2是边长为近的正方形，联结A"，HM.

=—

S.D1HM~DiM-HG,S、nHM=SJE方形ABCD,-24AH一SHBMSMCD,）

由等积法解得印5=巫.

10

在RjAHG中，AH=—,HG=^^~,由勾股定理求得AG=且.

2105

所以，sinZAGH=—=^,即二面角A—PM—B的正弦值为画.

AG1414

【整体点评】（1）方法一利用空坐标系和空间向量的坐标运算求解；方法二利用线面垂直的判定定理，结

合三角形相似进行计算求解，运算简洁，为最优解；方法三主要是在几何证明的基础上，利用三角形等面

积方法求得.

（2）方法一，利用空间坐标系和空间向量方法计算求解二面角问题是常用的方法，思路清晰，运算简洁，

为最优解；方法二采用构造长方体方法+等体积转化法，技巧性较强，需注意进行严格的论证.

10.（2021•全国•统考高考甲卷）已知直三棱柱ABC-A4G中，侧面田为正方形，AB=BC=2,E,F

分别为AC和CG的中点，。为棱44上的点.BF1A,Bt

20

（2）当耳。为何值时，面与面OEE所成的二面角的正弦值最小？

【答案】（1）证明见解析；（2）^0=1

【分析】（1）方法二：通过已知条件，确定三条互相垂直的直线，建立合适的空间直角坐标系，借助空间

向量证明线线垂直；

（2）方法一：建立空间直角坐标系，利用空间向量求出二面角的平面角的余弦值最大，进而可以确定出答

案；

【详解】（1）［方法一］：几何法

因为所以

又因为A3，8与，2厂cB耳=3,所以AS/平面8CG片.又因为AB=BC=2,构造正方体ABCG-A瓦GG,

如图所示，

过E作的平行线分别与AG,3c交于其中点M,N,连接/N,

因为E,尸分别为AC和CG的中点，所以N是8c的中点，

易证RtBCF=RtB、BN,则NCBF=NBB1N.

又因为NBBN+NBiNB=90。,所以NCBF+/B］NB=90°,BFLB^.

又因为所以平面AMN%

又因为EDu平面4必由1,所以BFLDE.

［方法二］【最优解】：向量法

21

因为三棱柱ABC-44G是直三棱柱，二BBI±底面ABC,昭1AB

ABJ/AB,BFLA.B},.-.BF1AB,又cBP=B,二AB上平面BCC4.所以与两两垂直.

以B为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图.

.-.B（0,0,0）,A（2,0,0）,C（0,2,0）,（0,0,2）,4（2,0,2）,Q（0,2,2）,E（l,l,0）,F（0,2,l）.

由题设D（a,0,2）（0<a<2）.

因为班'=（0,2,1）,DE=（l-a,l,-2）,

所以BF.DE=0x（l-a）+2xl+lx（-2）=0,所以Bb'DE.

［方法三］:因为BFLA4，44//AB,所以附，AB,故旦=0,BFAB=0,所以

BFED=BF（EB+BB1+B1D）=BF-BQ+BF.（EB+BB）=BFEB+BFBB}

=BF^-^BA-^BC^+BF-BB,=-^BFBA-^BFBC+BFBB}=~BF-BC+BF-BBt

1］21

=-||BF|-|BC|COSZFBC+|BF|■|BB11cosZFBBt=-/X有x2x店+胃x2x存=0,所以3尸_L£D.

（2）［方法一］【最优解】：向量法

设平面£＞户片的法向量为〃z=(x,y,z),

因为跖=（-M,l）,DE=（l—a,L-2）,

fm-EF-0x+y+z=0

所叱MH即［（1一加—ZS

令z=2—a,则根=（3,l+a,2-4）

因为平面BCG4的法向量为胡二（2,0,0）,

设平面Be3】与平面DEF的二面角的平面角为9,

|m-BA|63

贝I］cos0\=-J一।一L=-----/,==/―；—=

|m|-BA2xy/2a2-2a+14y/2a2-2a+14

127

当〃=5时，2a2一2q+4取最小值为不，

22

3瓜

此时cos0取最大值为(27-3.

=与，此时=

所以（sin。）.=

\/min

［方法二］:几何法

如图所示，延长E厂交4C的延长线于点S,联结DS交4G于点T,则平面DEE：平面幽C］C=b.

作1FT,垂足为“，因为。4,平面84CC，联结则ZDH3］为平面与平面所成二

面角的平面角.

设4。=/,te[0,2],B（T=s,过C]作C[GI/AR交DS于点G.

C[S1C,G,i

由京丁而得GG=g（2T）.

BQBJ—l—3t

又而一石，W|（2-0一2-s,所以s=------

z+1

B】HB、TB】H_ss

又彳=7F'即丁=,+（2—）2所以4"=

所以DH=JB"/尸=']+；»+79产।产

2t2-2t+5+t

1

_t=9—

则sin〃码=器一J9产+产（『9+1，

h+5MJ+2

所以，当/时，(sinZDHB.).=—.

2、1/min3

［方法三］:投影法

如图，联结尸4,尸N,

23

s

JDEF在平面BBGC的投影为JNF,记面BB©C与面DEE所成的二面角的平面角为凡则cos6=.

JnFF

设4D=《0W”2),在RtogF中，DF=[BQ。+男尸2=JR+5.

在RtECF中，EF=7EC2+FC1过。作用N的平行线交EN于点。.

在Rt/XOEQ中，DE=JQD?+EQ2=J'5+(17了.

DF2+EF2-DE2J3f2+15(/+1)2/一2/+14

在，DEF中，由余弦定理得cosNDFE=

2DF-EF3r+5

11Q

SDFE=-DFEFsinZDFE=--2/+14,S=-,

,2产-2f+142(r-r+7))

当/=（，即用£>=：,而与面所成的二面角的正弦值最小，最小值为#.

【整体点评】第一问，方法一为常规方法，不过这道题常规方法较为复杂，方法二建立合适的空间直角坐

标系，借助空间向量求解是最简单，也是最优解；方法三利用空间向量加减法则及数量积的定义运算进行

证明不常用，不过这道题用这种方法过程也很简单，可以开拓学生的思维.

第二问：方法一建立空间直角坐标系，利用空间向量求出二面角的平面角是最常规的方法，也是最优方法；

方法二：利用空间线面关系找到，面B4GC与面DEE所成的二面角，并求出其正弦值的最小值，不是很容

易找到；方法三：利用面5E在面22。。上的投影三角形的面积与面积之比即为面B4GC与面

DEE所成的二面角的余弦值，求出余弦值的最小值，进而求出二面角的正弦值最小，非常好的方法，开阔

学生的思维.

11.（2021・全国•新课标团卷）如图，在三棱锥A-5CD中，平面平面BCD,AB=AD,。为的中

点.

24

（1）证明：OAVCD-,

（2）若，OCD是边长为1的等边三角形，点E在棱上，/汨=2E4,且二面角E-3C-D的大小为45。，

求三棱锥A-BCD的体积.

【答案】⑴证明见解析；（2）鱼.

6

【分析】（D由题意首先证得线面垂直，然后利用线面垂直的定义证明线线垂直即可；

⑵方法二：利用几何关系找到二面角的平面角，然后结合相关的几何特征计算三棱锥的体积即可.

【详解】（1）因为=。是BD中点，所以Q4_LBD,

因为OAu平面ABD,平面ASD_L平面BCD,

且平面ABDc平面3co=班＞,所以OAL平面BCD.

因为CDu平面BCD,所以Q4_LCD.

（2）［方法一］:通性通法一坐标法

如图所示，以0为坐标原点，为z轴，QD为y轴，垂直。。且过。的直线为x轴，建立空间直角坐标

系。一到z,

设A=（x,y,z）为平面E3C的法向量,

25

则由严"二°可求得平面EBC的一个法向量为n=(-.

EC-n=Qm

又平面BCD的一个法向量为04=(0,0,加)，

所以cos0A)=-----］2=,解得m=l.

又点C到平面板＞的距离为逝，所以%=VCAB=-X-X2X1X—=—'

2/i—tBSCC.LDJL—ABLDJCCC/

J22o

所以三棱锥A-BCD的体积为鱼.

6

［方法二］【最优解】：作出二面角的平面角

如图所示，作EG，3D,垂足为点G.

作GFL3C,垂足为点尸，连结E尸，则。4〃EG.

因为Q4_L平面BCD,所以EG_L平面BCD,

,EbG为二面角E-BC-D的平面角.

因为NEFG=45。，所以EG=FG.

由已知得03=00=1,故。B=OC=1.

又NOBC=/OC3=30。，所以BC=行.

24222

因为GD=—,GB=—,FG=—CD=—,EG=—,OA=