重庆市乌江新高考协作体2024届高三年级上册高考第一次联合调研抽测数学试题（解析版）

重庆市乌江新高考协作体2024届高三上学期高考第一次联

合调研抽测数学试题

一、选择题

11c

a>——<2

1.“2，，是“a，，的（）

A.充分不必要条件B,必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】因为。>—=>2a>1=>—<2,而一<2推不出一，例如a=—1满足一<2,

2aa2a

但不成立，

2

所以“a〉!”是“工<2”的充分不必要条件，

2a

故选：A

2.已知复数z满足：忖=1,则|z—l+i|的最大值为（）

A.2B.V2+1

C.72-1D.3

【答案】B

【解析】设2=。+历，其中a,beR,则z-l+i=（a-l）+0+l）i,

忖=1,

/.a2+b2=1，即点（。力）的轨迹是以（0,0）为圆心，1为半径的圆，

|2—l+i|=J（a—1）2+（4+1）2即为圆上动点到定点（1,—1）的距离，

•••|z-l+i|的最大值为J（O—1）2+（0+1）2+1=0+1.

故选：B.

3.大多数居民在住宅区都会注意噪音问题.记。为实际声压，通常我们用声压级L（夕）（单

位：分贝）来定义声音的强弱，声压级L（夕）与声压。存在近似函数关系:

L（。）=alg3，其中。为常数，且常数死（死>0）为听觉下限阈值.若在某栋居民楼内，

Po

测得甲穿硬底鞋走路的声压P1为穿软底鞋走路的声压P2的100倍，且穿硬底鞋走路的声

压级为L（P］）=60分贝，恰为穿软底鞋走路的声压级L（P2）的3倍.若住宅区夜间声压级

超过50分贝即扰民，该住宅区夜间不扰民情况下的声压为p',则（）

A.a=20,p'<10\/10p^B.a=20,

C.a=10,p'<lQ410p2D.a=10,"〈Mi

【答案】A

【解析】由题意L（B）-L（，）=alg且=algl00=2a=60-20=40,得。=20,

。2

则〃同=201g3，因此L（"）=201ge«50,

PoPo

M〃）-L（P2）=201g-V50-20=30,则2父0a弧,

Pl

L（pJ—L（p'）=201g与260—50=10,则°，〈噜人

故选：A.

4.函数/（x）=sin[2x——Zjlsii?%的最小正周期为（）

兀兀

A.—B.兀C.—D.2兀

24

【答案】B

【解析】因为/（x）=sin[2x—31—2j5sin2x

=—^―sin2x—cos2x--\[2（1—cos2x）——-sin2x+cos2x—^/2

=sin2x+--^2.

4

所以，函数的最小正周期为：r=—=71.

2

故选：B

5.过直线2x—y+l=O上一点P作圆(％—2)?+y2=4的两条切线若R4±PB，

则点尸的横坐标为()

A.+史B.+姮C.+恒D.+巫

3355

【答案】D

【解析】由题设，己知圆的圆心C(2,0),四边形E4cB为正方形且边长为r=2，

所以|PC|=2&,而C到直线2x—y+l=O的距离d=有，如下图，

令直线尸。与直线2x—y+l=O夹角为。，贝hos6=7^5V6

272-4

又直线2x—y+1=0过。(0,1),令P(x,2%+1),则

PD—(―x,—2x),PC—(2—x,—2x—1),

c.PCPD,,5x2一％2&

所以cos0=\---：-----1=—=---]==|----1=--

\PC\\PD\氐xj(x—2)2+(2X+1)2XXVTTT4

则4=3=5必=3=》=土姮.

x2+l85

故选：D

6.已知函数f(x)满足：Vx,yeZ,/(%+丁)=/(%)+/(丁)+2个+1成立，且

/(—2)=1,则"2切(〃eN*)=()

A.4〃+6B.8〃一1

c.4H2+2H-1D.8n2+2n-5

【答案】C

【解析】令x=y=O,则/(O)=/(O)+/(O)+l,所以/(O)=—1,

令x=y=-1,则/(_2)=〃_l)+/(T)+2+l=2〃T)+3=l,

所以〃T)=T，

令x=l,y=-l,则/(O)=/(l)+/(-l)—2+l=/(l)_2=—l,所以

令x=",y=l,"cN”,则/(H+1)=/(H)+/(1)+2W+1=/(W)+2H+2,

所以/■(〃+l)_/(")=2〃+2,

则当时，/(H)-/(H-1)=2H,

则/5)=/(")—/(，—1)+”“—1)—〃"—2)++/(2)-/(l)+/(l)

=2n+(2n-2)++4+1=++1=H2+n-L

当〃=1时，上式也成立，

所以/(〃)=/?+〃一,

所以42〃)=4〃2+2〃-1(〃£N*).

故选：C.

22

7.已知双曲线二-当=1（。>03>0）的左、右焦点分别为片为双曲线上的一点,

ab

/为心的内心，且明+2吗=2尸/,则C的离心率为（）

A.3B.-5C.JL3D.2

2

【答案】D

【解析】如下图示，延长3到A且|/P=|PA|,延长〃到B且|心|=|月例，

所以/4+2吗=2/7,即阴+/B+"=0,

故/是△AB耳的重心，即SAIFX~SBIF]=Sam，

=

又SAIFX2sp[F]，SBIF1=2sFIF^,SAIB=4sPIF?，

所以s9=s耳与=2S尸的，而/是耳耳的内心，贝力PFJ|=|£BI=2|PBI,

由|「片|—|「鸟|=2a，Wg|=2c,则|P居|=2a,故2c=4a,即e，=2.

8.已知点A(后,yo)是双曲线C：二-"=i(q>o/>°)上位于第一象限内的一点，耳，凡

ab

分别为C的左、右焦点,。的离心率和实轴长都为2,过点A的直线/交X轴于点

(1)

M—,0,交y轴于点N,过耳作直线A"的垂线，垂足为“，则下列说法错误的是

)

()

2

A.C的方程为必―21=1

3

<1、

B.点N的坐标为0,---

、y。,

c.08的长度为1,其中。为坐标原点

D.四边形A耳”面积的最小值为4百

【答案】B

22

=\la+b2

【解析】对于A,因为一"一一/，解得。=1力=百，所以其方程为好一2_=1,

2ca=2c3

故A正确;

k_%_3xO/\

对于B,r_J_X；—1为，所以AM的方程为y=3X-一

°"ZVol%oj

3

所以令％=o得直线/交y轴于点o,-一,故B错误;

对于C,直线耳〃的方程为y=F（x+2）,与直线4以的方程联立解得

H2一%一%

、2%—12x0-1?

k__y~（y

所以。引=』上9』+二2^=i，故c正确；

11

\l2xo-lj[2x.-l）

1（3、「

对于D,四边形4耳他的面积为7耳6|%+—=2%+一24指，当且仅当

2I为JIy.）

为=百时等号成立，故D正确.

故选：B.

二、多项选择题

9.有款小游戏，规则如下：一小球从数轴上的原点0出发，通过扔骰子决定向左或者向右

移动，扔出骰子，若是奇数点向上，则向左移动一个单位，若是偶数点向上，则向右移动

一个单位，则扔出九次骰子后，下列结论正确的是（）

A.第二次扔骰子后，小球位于原点0的概率为g

3

B.第三次扔骰子后，小球所在位置是个随机变量，则这个随机变量的期望是一

2

C.第一次扔完骰子小球位于T且第五次位于1的概率!

4

D.第五次扔完骰子，小球位于1的概率大于小球位于3概率

【答案】AD

【解析】扔出骰子，奇数点向上的概率为偶数点向上的概率亦为

对A：若两次运动后，小球位于原点，小球在两次运动之中一定一次向左一次向右，

故其概率为=g，故A正确；

对B,设这个随机变量为X,则X的可能取值为-3、-1、1、3,

其中P（X=—3）=尸（X=3）,P（X=-1）=P（X=1）,

故其期望£（X）=—3xP（X=—3）+3xP（X=3）+（—l）xP（X=-Q+lxP（X=1）

=3［P（X=3）-P（X=-3）］+［P（X=1）-P（X=-l）］=0,

故B错误；

对C：第一次扔完骰子小球位于T,即第一次向左移动，且第五次位于1,

则后续中小球向右3次，向左1次，故其概率为Lc/工］=-,

2\1）8

故C错误；

对D：第五次扔完骰子，小球位于1,即两次向左，三次向右，故其概率

小球位于3,则四次向右，一次向左，故其概率p2=C；，］=康，有巧〉。2,故D正

确.

故选：AD.

2+%

10.已知函数〃x）=logi—,则下列说法正确的是（）

£2一九

A.函数/（%）值域为R

B.函数/（%）是增函数

C.不等式/（3x—l）+〃3x）＜0的解集为

D《盛]+(击]+…+/㈢+/-⑴+Q+

【答案】ACD

【解析】对于A,令/=2,2）,又因为""=-1在（—2,2）上递增,

所以fe（O,+s）,由对数函数的性质可得，＞=1°83'的值域为口，故A正确；

对于B,因为"士=-1--j在（—2,2）上递增，，=1°8〃在（0,+8）上递减，由复

2xx23

2+%

合函数的单调性可知，/（X）=lo--为减函数，故B错误；

glZ—X

2।JQ2JQ

对于C,因为〃xNlogi；;—的定义域为(—2,2),且/(-x)=log]彳工,

一XZ+X

),|_-JQ

f[x}+f(-^)=logi--+logj--=logj=0,所以〃龙)为奇函数，且/(九)在

334(3

（-2,2）上为减函数,

不等式/(3x—1)+/(3x)<0等价于/(3x—1)<—/(3%)即/(3x_1)<〃_3x),

3x—1>~3x

一12

等价于《—2<3x—1<2,解得一<%<一,故C正确;

63

-2<3x<2

对于D,因为〃T)+〃X)=0且"0)=0,

所以一/]+/[一壶]+…+/[g]+〃T)+/(0)+/⑴+…

+/［示篙］=0，故D正确.

故选：ACD.

11.将函数y=sin2x的图象上的每一点的横坐标缩短为原来的;，纵坐标不变，再将所得

图象向右平移微个单位长度，得到y=/（x）的图象，则（）

18

B./（%）的图象关于点1个,01

A.的图象关于直线》=四对称对称

c.的图象关于直线x=-刀对称D.”力的图象关于点-小0卜寸称

36

【答案】BC

【解析】依题意可得/(x)=sin2[3(x-^)]=sin(6x-y),

A,当x=四时，sin6义与一三=sin：w±l,则％=巴不为对称轴，A错误;

6I63J36

B,当兀='■时，sin6x————=sin0=0,则J寿,0为对称中心，B正确;

18I183/\1188)

.7ct.,7T

C,当*=----时，sin6x—1,则1二—为对称轴，c正

3636

确;

兀

D,当x=----时,

6

错误；

故选：BC

12.如图，在棱长为2的正方体ABC。—44Goi中，E为棱8C的中点，尸为底面

ABCD内的一动点（含边界），则下列说法正确的是（）

A.过点A，E,C的平面截正方体所得的截面周长为30+2指

B.存在点尸，使得。尸上平面4EC]

c.若，R//平面AEG，则动点口的轨迹长度为J5

D.当三棱锥R-AEG的体积最大时，三棱锥R-AEG外接球的表面积为1E

【答案】ACD

【解析】A选项，如图，取A3的中点G,连接GE，AG,

因为E为的中点，所以A£〃GE,AC]=2GE,

所以过点A，E,G的平面截正方体所得的截面为梯形AGEG,

其周长为20+逐+班+行=3百+2君，故A选项正确；

BiG

AD

B选项，假设存在点歹，使得D尸，平面AEG，

则。得口只能在线段5。上，

再由得尸只能在线段8上，即尸与O重合，不符合题意，故B选项错

误；

C选项，如图，取A。的中点M,CD的中点N,

连接加2，MN,ND「可得MZ)i〃GE,MN〃g,

又及的仁平面AE£,MN/平面AEC],GEu平面A]ECr/Gu平面AEG，

所以MD"/平面AEC],MNH平面AEG，

又MRIMN=M,所以平面D]MN〃平面AEG，

所以动点尸的轨迹为线段"N,其长度为后，故C选项正确；

D选项，由A,C选项可得，平面4GE£〃平面,

所以当尸在点。时，R到平面HEC的距离最大，此时BAG为等边三角形，

因为BDX，平面E4]G，所以三棱锥F-AEG的外接球球心°】一定在直线3,上，

以8为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则E(O,1,O),D(2,2,0),设Q(x,x,x),

7

由O|E=a。得，x2+(x-l)2+x2=(X-2)2+(X-2)2+X2,解得尤=—,

71

所以三棱锥E-AEG外接球的表面积为4成2=4兀x^=I1，故D选项正确.

13.设非空集合A1{1,2,…,9}满足V。eA,10—aeA,则这样的A的个数为

【答案】31

［解析】由题设可得{1,9},{2,8},{3,7},{4,6},{5},

这5组中的每一组中的元素必定同时出现在集合A中,

故这样的非空集合A的个数为25-1=31，

故答案为：31

14.已知函数y（x）=cos（5+OX）（。>0）在区间上单调递增，那么实数。的取值

范围是•

【答案】（0,4一；6,3

I2jL2J

37c

【解析】因为=cos（5+闪）=sin公v,

由G>0且一VxV—，知—VcoxW---，

4343

因为函数/（X）在区间上单调递增，

i「①兀（DTt~\「八］兀兀［4,,

则12^7t——,2kn+—，其中《wZ,

_43JL22_

理22E—色，

42

所以其中左£Z,

型V2E+4,

I32

3

解得8左一2«GV6左+—,其中kEZ,

2

33

由8左一2V6左+—,6左+—>0,

22

,17

得—<k4—，又左$Z,

44

所以左=0或％=1,

3

因为G>0,所以当左=0时,0<0<一;

2

-15

当t上=1时,6«刃（—,

2

A3iris-

所以实数外的取值范围是o,5U6,y.

15.若关于了的不等式04/+次+G42（。>0）的解集为3-1«》<3},则

3。+Z?+2c的取值范围是

【答案】

【解析】因为不等式04加+次+G42（。＞0）的解集为何—l«x＜3},

所以二次函数/（犬）=依2+灰+。的对称轴为直线1=1,

“T）=2a-b+c=2.

b——2〃

且需满足/（3）=2,即＜9。+3Z1?+c=2,解得<

c——3a+2

/⑴tz+Z?+c>0

0X以。+力+。=〃-2a—3d+220-a<—，所以〃

2

所以3。+力+2。=3。-2Q-6a+4=4-5。£

故答案为：1,4

16.己知椭圆C：三+£=1（。〉万〉0）的离心率为左顶点是A,左、右焦点分别是

4,F2,M是C在第一象限上的一点，直线儿嵋与。的另一个交点为N.若

MFJ/AN,且AAN片的周长为一。，则直线"N的斜率为.

-8

【答案】好

2

X?JC11

【解析】因为椭圆C：W+£=l（a〉6〉0）的离心率为e='=5,则c=5。，

又因为AN〃M4，即AFNS4F2F1M,

则|N/I*a—c:I、］,可得|/UV|=3叫|,仍=-\MF}\,

22

\MF2\\MF］怛闾2ca2

所以|AN|+|NG|=g（|M周+|M闾）=a,①

9715

又因为|AN|+|M；|+a+c=—a,可得|A7V|+|N周=一。，②

又因为|g|+|A^|=2a,③

由①②③知|A7V|=乂，加耳|=四,

1616

18149

—a2H--------c2i---------a2

256=|＞。,

在△NA£N中，由余弦定理可得COS/A£N=4——华~9

2X—。X--CL

216

可得/AF；N为锐角，贝Usin/AGN=-cos2^AEN=—，

3

sin/Af；N=—,即肱V的斜率为好.

所以tan/AFJN=

cos/AFJN22

17.某区域市场中5G智能终端产品的制造全部由甲、乙两公司提供技术支持.据市场调研

及预测，5G商用初期，该区域市场中采用的甲公司与乙公司技术的智能终端产品各占一

半，假设两家公司的技术更新周期一致，且随着技术优势的体现，每次技术更新后，上一

周期采用乙公司技术的产品中有15%转而采用甲公司技术，采用甲公司技术的产品中有

10%转而采用乙公司技术.设第〃次技术更新后，该区域市场中采用甲公司与乙公司技术

的智能终端产品占比分别为4和4，不考虑其他因素的影响.

（1）用功,表示4+1，并求使数列｛%-乃是等比数列的实数4.

（2）经过若干次技术更新后，该区域市场采用甲公司技术的智能终端产品的占比能否达到

60%以上？若能，则至少需要经过几次技术更新；若不能，请说明理由.

解：（1）由题意知，经过〃次技术更新后，可+2=1,

则a.=(1—10%)%+15%^=(l-10%)tz„+15%(l-a„)=75%«„+15%,

33

即an“+li~~4a"n^--2-0-•

331

设a“+i_2=Z(a._2)，则4+i

133

令一2=一,解得;1=一.

4205

112133

又q=—(z1-10%)+15%X—=——，〃——二----

"2172401540

3[3133

所以当X=g时，是以-而为首项，]为公比的等比数列.

3

（2）由（1）可知%—1

neN+.

所以经过〃次技术更新后，该区域市场采用甲公司技术的智能终端产品的占比为

对于任意＞0,所以。—工＜3=60%，

+105105

即经过若干次技术更新后，该区域市场采用甲公司技术的智能终端产品的占比不会达到

60%以上.

18.在锐角中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知石（"+"一°?）

=2bcsmA.

（1）求角C；

（2）求sin?A+cos?3的取值范围.

解：（1）因为百=2Z?csinA,

由余弦定理，石（〃2+/一/一/+2〃bcosC）=2Z?csinA,

整理得：y/3acosC=csinA，

又由正弦定理，5/3sinAcosC=sinCsinA»而A为三角形内角，故sinA>0,

故tanC=百，而C锐角三角形内角，故C=]

JT

(2)由(1)知。=—,

3

4n1-COS2A1+COS2B11/cn。八

si.n2A+cos2B=---------1---------=1+—(cos2B-cos2A)

222V7

=1+-cos2B-cos2

2

=14cos2B-cos

=1+——COS2BH——-sin2B=1+—cos2B+—sin2B

2(2244

=l+^^cos12_B—已],

0<B<-

2

因为三角形为锐角三角形，故《,解得：

7162

0<--B<—

32

则工＜23—巴＜2,故一走（COSRB-71］〈正，所以!（sin?A+cos?

66626J244

故sin?A+cos2B的取值范围是J

19.品酒师需要定期接受品酒鉴别能力测试，测试方法如下：拿出九瓶外观相同但品质不

同的酒让其品尝，要求按品质优劣为它们排序，经过一段时间，等他等记忆淡忘之后，再

让他品尝这几瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试.设在第一次排序时被

排为1,2,3,…，〃的九种酒，在第二次排序时的序号为…，可，并令

X=tl'—《1，称X是两次排序的偏离度.评委根据一轮测试中的两次排序的偏离度的高

1=1

低为其评分.

（1）当〃=3时，若等可能地为1，2,3的各种排列，求X的分布列;

（2）当〃=4时,

①若①，4，%，。4等可能地为1，2,3,4的各种排列，计算X<2的概率；

②假设某品酒师在连续三轮测试中，都有X<2（各轮测试相互独立），你认为该品酒师

的鉴别能力如何，请说明理由.

解：（1）%,%，%的排序共有A；=6种，且每种排序等可能，

此时X可取0,24

又X=0时，q,%，%的排序为L2,3,P（X=0）=-|,

X=2时，。1。，。3的排序为1，3,2或2,1,3,P（X=2）=1,

X=4时，。1，。2，%的排序为3,2,1或2,3,1或3』,2,P（X=4）=1,

所以X的分布列为：

X024

£1

P

632

（2）①4,/，%，%排序共有A：=24种，且每种排序等可能,

而'。—《六。,故，一4（，=1,2,3,4）中有偶数个奇数,故必为偶数,

1=11=1

当X=。时，％,。2，。3,。4的排序与第一次排序无变化时,

此时仅有1种排序：1,2,3,4,则p（x=o）=（

当X=2时，%,%，%，%的排序与第一次排序相比仅有相邻两个位置变化时,

3I

此时有3种排序：2,1,3,4、1,3,2,4、1,2,4,3,P（X=2）=点

8

所以P（XV2）=尸（X=0）+P（X=2）=q+g=:；

②因为各轮测试相互独立,

所以“连续三轮测试中，都有XV2”的概率为［工］=,<△—,

（6）2161000

所以,是一个小概率，这表明仅凭随机猜测得到三轮测试都有X42的结果的可能性很

216

小，

所以我们认为该品酒师有良好的鉴别能力，不是靠随机猜测.

20.设加为实数，直线y=s+l和圆CiY—x+y?=。相交于p,。两点.

Ji

（1）若PQ=M求加的值；

（2）若点。在以P。为直径的圆外（其中。为坐标原点），求实数加的取值范围.

解：（1）将圆C:V—x+/=o的方程化为标准方程[x—+/=；，

圆心C1,,。），半径厂=g,

由「0=等

可知圆心C,0]到直线/得距离为lr2-[7]=字,

所以"十_曰

yjm2+14

解得机=-1或相=-7；

⑵设。（工2，%），

联立<“%°,得（"+1）尤2+（2加一1）%+1=。，

y=mx+l'）

2

由A二（2加—1）2—4m+l^>0,得"？<一:，

2m-11

且药+々=一

m2+1

因为点。在以尸。为直径的圆外，所以OPOQ〉。，

2+%%=%12+(^^1212)+

即无］无尤+l)(»tr2+1)=(1+加2)/为+加(尤+无1>0，

(.八1(2m-1«八

即(1+m")—z-----1-iii\----------+1>0,

'，〃/+1(?n2+lJ

21.正多面体又称为柏拉图立体，是指一个多面体的所有面都是全等的正三角形或正多边

形，每个顶点聚集的棱的条数都相等，这样的多面体就叫做正多面体.可以验证一共只有五

种多面体.令a<Z?<c<d<e（”,"。,％0均为正整数），我们发现有时候某正多面体的所

有顶点都可以和另一个正多面体的一些顶点重合，例如正。面体的所有顶点可以与正力面

体的某些顶点重合，正6面体的所有顶点可以与正d面体的所有顶点重合，等等.

（1）当正。面体的所有顶点可以与正6面体的某些顶点重合时，求正。面体的棱与正6面

体的面所成线面角的最大值；

（2）当正c面体在棱长为1的正人面体内，且正c面体的所有顶点均为正6面体各面的中

心时，求正c面体某一面所在平面截正6面体所得截面面积；

（3）已知正d面体的每个面均为正五边形，正e面体的每个面均为正三角形.考生可在以

下2问中选做1问.

（第一问答对得2分，第二问满分8分，两题均作答，以第一问结果给分）

第一问：求棱长为1的正e面体的表面积；

第二问：求棱长为1的正d面体的体积.

解：（1）设正面体每个端点出去的棱数相等为。，

每个面的边的数量相等为q,端点数量为尸，

面的数量为v,棱的数量为七，

由于每个棱用两个端点，所以有：pF=2E,

由于每两个相邻的面共用一条棱，所以有：qV=2E,

由V—E+b=2,解得=—$~$——

M—1-----1)

pq

因为4代表多边形的边数，所以423,

因为要得到立体图形，必须有。23,

................22.

由题意易得-->1,所以P<6,q<6,

pq

所以满足条件的只有5组解，

V=4

①p=3,夕=3,<F=4,即正四面体；

E=6

V=6

②p=3,q=4,<F=8,即正六面体；

E=12

V=12

③p=3,q=5,<斤=20,即正十二面体;

E=3Q

V=8

④2=4,q=3,F=6,即正八面体；

E=12

V=20

⑤p=5,q=3,<F=12,即正二十面体。

E=30

即a=4,6=6,c=8,d=12,e=20,

为了满足题意，只需找到正六面体的四个端点，端点距离全部相等,

满足题意的仅有一种，如图所示：

7T

易得线面角只有0。或45。，所以夹角最大值为一；

4

(2)A、B、C代表正六面体的中心，D、E、歹代表截面三角形,

显然截面为边长为虎的正三角形，面积S=y

(3)第一问：

正二十面体各面为正三角形，表面积s=20x避正=56；

第二问：正十二面体各面为正五边形，图形如下：

按照图示带箭头的虚线分割，得到一个棱长相等的平行六面体和六个相同的立体图形,

如图AC、长度为1,且NAC3=108°,

由cos36。=好把易知A3=叵2,即正六面体边长为Y1上1,

422

正六面体边长为书把，则匕=(3当2=2+若，

沿着顶棱的两个端点，分别作关于顶棱垂直的切面，立体图形可以拆成两个四面体，一个

三棱柱，

先算出绿色边的长度，再用勾股定理易得立体图形高为

口+2/xA/5+1A/5-111A/5+I

------x----------x一=--1--------

222324268

所以总体积为V=匕+6%=15+7、.

22.一类项目若投资1元，投资成功的概率为2(0<。<1).如果投资成功，会获得〃元的

回报9>0)；如果投资失败，则会亏掉1元本金.为了规避风险，分多次投资该类项目,

设每次投资金额为剩余本金的道0<%<1)，1956年约翰・拉里・凯利计算得出，多次投资的

平均回报率函数为/(x)=(l+bx)~(l-x)「J并提出了凯利公式.

(1)证明：当pg+l)>l时，使得平均回报率AM最高的投资比例x满足凯利公式

pb-(l—p)

x=

b