2023-2024学年河北省石家庄部分校中考数学最后一模试卷含解析

2023-2024学年河北省石家庄部分校中考数学最后一模试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再

选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题(每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分)

1.下列计算正确的是()

A.-5x-2x=-3xB.(a+3)2=a2+9C.(-a3)2=a5D.a2p-j-a-p=a3p

2.在某校“我的中国梦”演讲比赛中，有9名学生参加决赛，他们决赛的最终成绩各不相同.其中的一名学生想要知道

自己能否进入前5名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这9名学生成绩的()

A.众数B.方差C.平均数D.中位数

3.若一次函数y=(加+1)%+根的图像过第一、三、四象限，则函数y=—如()

A.有最大值;B.有最大值一丁C.有最小值;D.有最小值-7

4444

4.一次函数y=ax+b与反比例函数y=£在同一平面直角坐标系中的图象如左图所示，则二次函数y=ax?+bx+c的图象

X

可能是()

5.共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放1000辆单车，计划第三个月投放单车数量比第一个月

多440辆.设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x,则所列方程正确的为()

A.1000(1+x)2=1000+440B.1000(1+x)2=440

C.440(1+x)2=1000D.1000(l+2x)=1000+440

6.若抛物线7=入2-2x-1与x轴有两个不同的交点，则化的取值范围为()

A.k>-1B.k>-lC.A>-1且时0D.兀2-1且厚0

7.某种圆形合金板材的成本y（元）与它的面积（c机2）成正比，设半径为xcm,当x=3时，y=18,那么当半径为

6c机时，成本为（）

A.18元B.36元C.54元D.72元

8.如图，在平面直角坐标系中RtAABC的斜边BC在x轴上，点B坐标为（1,0）,AC=2,ZABC=30°,把RtAABC

先绕B点顺时针旋转180。，然后再向下平移2个单位，则A点的对应点A，的坐标为（）

B.(-4,-2+V3)C.(-2,-2+73)D.(-2,-2-73)

9.将一把直尺与一块直角三角板如图放置，如果Nl=58°,那么N2的度数为（）.

C.138°D.148°

10.如图所示，如果将一副三角板按如图方式叠放，那么Z1等于（）

tec__

A.120°B.105°C.60°D.45°

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11.若x=6-1,则x2+2x+l=.

x>a

12.若关于x的不等式组.恰有3个整数解，则字母。的取值范围是_____

x<2

13.函数y=1亘中自变量x的取值范围是.

X-1

14.函数y=2的定义域是.

15.若a?+3=2b,则a3-2ab+3a=.

16.如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4,面积是12,腰AB的垂直平分线EF分别交AB,AC于点E、F,若

点D为底边BC的中点，点M为线段EF上一动点，则ABDM的周长的最小值为.

BD

4

17.如图，在△ABC中，AD、BE分别是边BC、AC上的中线，AB=AC=5,cosZC=j,那么GE=

三、解答题（共7小题，满分69分）

18.（10分）解方程

（1）X2-4X-3=0;（2）（X-1）2-2（X2-1）=0

19.（5分）如图：△PCD是等腰直角三角形，ZDPC=90°sNAPB=135。

求证：（1）APACs/iBPD；

（2）若AC=3,BD=1,求CD的长.

DB

20.（8分）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB分别与x轴、y轴交于点B,A,与反比例函数的图象

（1）求该反比例函数的解析式;

（1）求三角形CDE的面积.

21.（10分）如图，。。直径AB和弦CD相交于点E,AE=2,EB=6,NDEB=30。，求弦CD长.

22.（10分）如图，抛物线y=；x?+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C,其对称轴交抛物线于点D,交x

轴于点E,已知OB=OC=L

（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；

（2）连接BD,F为抛物线上一动点，当NFAB=NEDB时，求点F的坐标；

（3）平行于x轴的直线交抛物线于M、N两点，以线段MN为对角线作菱形MPNQ,当点P在x轴上，且PQ=；MN

时，求菱形对角线MN的长.

23.（12分）如图，AB是。O的直径，C是弧AB的中点，弦CD与AB相交于E.

:。，求证：CE=V2ED；(2)若AE=EO,求tan/AOD的值.

G。21

24.（14分）先化简，再求代数式（-------手士）v——的值，其中a=2sin45o+tan45。.

。+1a-1。+1

参考答案

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1、D

【解析】

直接利用合并同类项法则以及完全平方公式和整式的乘除运算法则分别计算即可得出答案.

【详解】

解：A.-5x-2x=-lx,故此选项错误；

B.(a+3)2=a2+6a+9,故此选项错误；

C.(-a3)2=的，故此选项错误；

D.a2P-ra~P=a3P,正确.

故选D.

【点睛】

本题主要考查了合并同类项以及完全平方公式和整式的乘除运算，正确掌握运算法则是解题的关键.

2、D

【解析】

根据中位数是一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(最中间两个数的平均数)的意义，9

人成绩的中位数是第5名的成绩.参赛选手要想知道自己是否能进入前5名，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的

中位数，比较即可.

【详解】

由于总共有9个人，且他们的分数互不相同，第5的成绩是中位数，要判断是否进入前5名，故应知道中位数的多少.

故本题选：D.

【点睛】

本题考查了统计量的选择，熟练掌握众数，方差，平均数，中位数的概念是解题的关键.

3、B

【解析】

解：•.•一次函数y=(m+1)x+m的图象过第一、三、四象限,

•*.m+l>0,m<0,即-IVmVO,

2

二函数y=如2^mx=m^x-L)一?有最大值,

最大值为三

故选B.

4、B

【解析】

根据题中给出的函数图像结合一次函数性质得出aVO,b>0,再由反比例函数图像性质得出cVO,从而可判断二次函

b

数图像开口向下，对称轴：%=-->0,即在y轴的右边，与y轴负半轴相交，从而可得答案.

【详解】

解：•・•一次函数y=ax+b图像过一、二、四，

Aa<0,b>0,

又•.•反比例函数y=£图像经过二、四象限，

X

Ac<0,

b

・・・二次函数对称轴：x=——>0,

2a

.,.二次函数y=ax?+bx+c图像开口向下，对称轴在y轴的右边，与y轴负半轴相交，

故答案为B.

【点睛】

本题考查了二次函数的图形，一次函数的图象，反比例函数的图象，熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称

轴、与y轴的交点坐标等确定出a、b、c的情况是解题的关键.

5、A

【解析】

根据题意可以列出相应的一元二次方程，从而可以解答本题.

【详解】

解：由题意可得，

1000(1+x)2=1000+440,

故选：A.

【点睛】

此题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系进行列方程.

6、C

【解析】

根据抛物线-2x-1与x轴有两个不同的交点，得出"-4ac>0,进而求出左的取值范围.

【详解】

,二次函数了=左好-2x-l的图象与x轴有两个交点，

.,.b2-4ac=(-2)2-4xfcx(-1)=4+4A>0,

：.k>-1,

抛物线y=kx2-2x-l为二次函数，

:,胖0,

则k的取值范围为兀>-1且际0,

故选c.

【点睛】

本题考查了二次函数y=a，+"+c的图象与X轴交点的个数的判断，熟练掌握抛物线与X轴交点的个数与b2-4ac的关

系是解题的关键.注意二次项系数不等于0.

7、D

【解析】

设y与x之间的函数关系式为7=而好，由待定系数法就可以求出解析式，再求出x=6时y的值即可得.

【详解】

解：根据题意设》=标好，

•当x=3时，y=18,

/.18=A：7t*9,

e2

则上=一，

71

2

^.y=knx2=—•7fx2=2x2,

.71

当x=6时，y=2x36=72,

故选：D.

【点睛】

本题考查了二次函数的应用，解答时求出函数的解析式是关键.

8、D

【解析】

解：作AD_LbG并作出把R3A5C先绕5点顺时针旋转180。后所得△AiHG,如图所示.・.・4。=2,ZABC=10°,

：.BC=4,：.AB=2y/3,:.AD=AB.AC=2&2=日...如把二（2舟=、•点5坐标为（1,0）,二4点

BC4BC4

的坐标为（4,6）・•••50=1,."。尸：!，坐标为（-2,0）,二击坐标为（-2,-右）.；再向下平移2个单

位，二小的坐标为（-2,-73-2）.故选D.

点睛：本题主要考查了直角三角形的性质，勾股定理，旋转的性质和平移的性质，作出图形利用旋转的性质和平移的

性质是解答此题的关键.

9,D

【解析】

根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出N1,再根据两直线平行，同位角相等可得/2=NL

【详解】

如图，由三角形的外角性质得：Zl=90o+Zl=90°+58o=148°.

1•直尺的两边互相平行，••.N2=N1=148。.

故选D.

【点睛】

本题考查了平行线的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键.

10、B

【解析】

解:如图，Z2=90°-45°=45°,由三角形的外角性质得，Zl=Z2+60o=45°+60o=105°.故选B.

点睛：本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键.

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11、2

【解析】

先利用完全平方公式对所求式子进行变形，然后代入x的值进行计算即可.

【详解】

■:乂=母-1,

.,.x2+2x+l=(x+l)2=(V2-1+1)2=2,

故答案为：2.

【点睛】

本题考查了代数式求值，涉及了因式分解，二次根式的性质等，熟练掌握相关知识是解题的关键.

12、-2<a<-1.

【解析】

先确定不等式组的整数解，再求出a的范围即可.

【详解】

x>a

•.•关于x的不等式组.恰有3个整数解，

x<2

.••整数解为1,0,-1,

•••-2gaV-If

故答案为：-2<a<-1.

【点睛】

本题考查了一元一次不等式组的整数解的应用，能根据已知不等式组的解集和整数解确定a的取值范围是解此题的关

键.

1)

13、x>-----且xrl

2

【解析】

2x+l>0

试题解析：根据题意得：｛,八

x-l^Q

解得：x>-1且存1.

2

故答案为：xN-大且x^l.

2

14、x>2

【解析】

根据二次根式的性质，被开方数大于等于0,可知：x-lK),解得x的范围.

【详解】

根据题意得：x-l>0,

解得：x>l.

故答案为：x>2.

【点睛】

此题考查二次根式，解题关键在于掌握二次根式有意义的条件.

15、1

【解析】

利用提公因式法将多项式分解为a(a2+3)-2ab,将4+3=2方代入可求出其值.

【详解】

解：a2+3=2b,

a3-2ab+3a=a(a2+3)-2ab=2ab-2ab=l,

故答案为1.

【点睛】

本题考查了因式分解的应用，利用提公因式法将多项式分解是本题的关键.

16、2

【解析】

连接AD交EF与点M，，连结AM,由线段垂直平分线的性质可知AM=MB,则BM+DM=AM+DM,故此当A、M、

D在一条直线上时，MB+DM有最小值，然后依据要三角形三线合一的性质可证明AD为AABC底边上的高线，依据

三角形的面积为12可求得AD的长.

【详解】

解：连接AD交EF与点M，，连结AM.

•.,△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，

.\AD1BC,

11»

:.SABC=-BC«AD=-x4xAD=12,解得AD=1,

A22

VEF是线段AB的垂直平分线，

:.BM+MD=MD+AM.

当点M位于点处时，MB+MD有最小值，最小值1.

ABDM的周长的最小值为DB+AD=2+1=2.

【点睛】

本题考查三角形的周长最值问题，结合等腰三角形的性质、垂直平分线的性质以及中点的相关属性进行分析.

【解析】

3

过点E作EF_LBC交BC于点F,分别求得AD=3,BD=CD=4,EF=-,DF=2,BF=6,再结合△BGDs/\BEF即可.

-2

【详解】

过点E作EF1BC交BC于点F.

VAB=AC,AD为BC的中线，AD_LBC，EF为△ADC的中位线.

„43

又：cosNC=—,AB=AC=5,，AD=3,BD=CD=4,EF=-,DF=2

52

；.BF=6

.•.在RtABEF中BE=7BF2+EF2=

XVABGD^ABEF

『吗即BG=g.

BEBF

GE=BE-BG=^^

2

故答案为姮.

2

【点睛】

本题考查的知识点是三角形的相似，解题的关键是熟练的掌握三角形的相似.

三、解答题(共7小题，满分69分)

18、(1)玉=2+V7,赴=2—；(2)苞=1,x2——3.

【解析】

(1)利用公式法求解可得；

(2)利用因式分解法求解可得.

【详解】

(1)解：V<2=1,b=-4,c=—3>

・•・A=b2-4ac=(-4)2-4xlx(-3)=28>0,

・]—b±A//?2—4ac-(—4)±^284±2\/7?+不

2a2x12

，％=2+A/7,%=2—A/^7；

(2)解：原方程化为：(X-1)2-2(X+1)(X-1)=0,

因式分解得：。_1)[。_1)_2。+1)]=0,

整理得：(1)(-X-3)=0,

x—1=0或—%—3=0,

••X]=1,x,=—3.

【点睛】

本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式

法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键.

19、⑴见解析；⑵二.

【解析】

(1)由△PCD是等腰直角三角形，ZDPC=90°,ZAPB=135°,可得NPAB=NPBD,ZBPD=ZPAC,从而即可证明;

(2)根据相似三角形对应边成比例即可求出PC=PD=、F再由勾股定理即可求解.

【详解】

证明：(1)..•△「©口是等腰直角三角形，ZDPC=90°,ZAPB=135°,

.,.ZAPC+ZBPD=45°,

又NPAB+NPBA=45。，ZPBA+ZPBD=45°,

NPAB=NPBD,ZBPD=ZPAC,

VZPCA=ZPDB,

/.△PAC^ABPD；

(2)V,PC=PD,AC=3,BD=1

.,.PC=PD=

.*.CD=--.

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定与性质及等腰直角三角形，属于基础题，关键是掌握相似三角形的判定方法.

20、(1)y=--；(1)11.

x

【解析】

(1)根据正切的定义求出OA,证明△BAOsaBEC,根据相似三角形的性质计算；

(1)求出直线AB的解析式，解方程组求出点D的坐标，根据三角形CDE的面积=三角形CBE的面积+三角形BED

的面积计算即可.

【详解】

解：(1)VtanZABO=~,OB=4,

2

/.OA=1,

VOE=1,

BE=6,

VAO/7CE,

/.△BAO^ABEC,

.0ABO24

..—=—,即Hn—=——，

CEBECE6

解得，CE=3,即点C的坐标为(-1,3),

...反比例函数的解析式为：y=--；

X

(1)设直线AB的解析式为：y=kx+b,

则产+b=。，

Ib=2

解得，-~2,

b=2

则直线AB的解析式为：y=-^x+2，

'1

尸»x+2

4,

6

y=一

X

x।=—2x9—6

解得，■,•',

旷1=3y2=l

.•.当D,的坐标为(6,1),

.•・三角形CDE的面积=三角形CBE的面积+三角形BED的面积

11

=—x6x3+—x6xl

22

=11.

【点睛】

此题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，掌握待定系数法求函数解析式的一般步骤、求反比例函数与一次函

数的交点的方法是解题的关键.

21、入77

【解析】

试题分析：过O作OF垂直于CD,连接OD,利用垂径定理得到F为CD的中点，由AE+EB求出直径AB的长，进

而确定出半径OA与OD的长，由OA-AE求出OE的长，在直角三角形OEF中，利用30。所对的直角边等于斜边的

一半求出OF的长，在直角三角形ODF中，利用勾股定理求出DF的长，由CD=2DF即可求出CD的长.

试题解析：过O作OFLCD,交CD于点F,连接OD,

二F为CD的中点，即CF=DF,

VAE=2,EB=6,

；.AB=AE+EB=2+6=8,

；.OA=4,

/.OE=OA-AE=4-2=2,

在RtAOEF中，ZDEB=30°,

/.OF=TOE=1,

.

在RtAODF中，OF=1}OD=4,

根据勾股定理得：DF=、,一一：一一一一，

贝!ICD=2DF=2\73.

考点：垂径定理；勾股定理.

1,97,—

22、(1)丁=］工2—2工—6,点口的坐标为(2,-8)(2)点F的坐标为(7,§)或(5,万)(3)菱形对角线MN的长为病+1

或而-1.

【解析】

分析：(1)利用待定系数法，列方程求二次函数解析式.(2)利用解析法，NFAB=NEDB,tanZFAG^tanZBDE,求

出厂点坐标.(3)分类讨论，当MN在x轴上方时，在x轴下方时分别计算MN.

详解:

(iy:OB=oc=i,

0),C(0,-1).

1。

—x6+6b+c=0

2

c=-6

b=-2

解得

c=-6)

1

抛物线的解析式为y=-x92-2x-6.

11

V—x2-2x-6=—(x-2)9-8,

工点D的坐标为(2,・8).

10

（2）如图，当点厂在工轴上方时，设点尸的坐标为（为一犬2—2%—6）.过点b作轴于点G,易求得04=2,则

2

12c/

AG=x+2FG=—x~—2x—6.

t2

■:NFAB=NEDB,

tanNFAG=tanNBDE,

--—2x—61

n即rt2=j_，

x+22

解得±=7,/=-2（舍去）.

,9

当x-7时，y=—,

9

•••点厂的坐标为（7,-）.

2

7

当点F在x轴下方时，设同理求得点厂的坐标为（5,

2

97

综上所述，点尸的坐标为（7,彳）或（5,

22

⑶•.•点P在x轴上，

,根据菱形的对称性可知点尸的坐标为（2,0）.

如图，当在x轴上方时，设T为菱形对角线的交点.

1

,:PQ=、MN,

：.MT=2PT.

设TP=n,贝!]MT=2n.：.M（2+2n,n）.

•.•点M在抛物线上，

1

.•・〃=5（2+2〃）2-2（2+2〃）-6,即2/-8=0・

解得4=二普，%=匕普（舍去）.

:.MN=2MT=4n=765+1.

当MN在x轴下方时，设TP=",得M(2+2”,力).

•.•点M在抛物线上，

19

：.-n=-(2+2n)~-2(2+2n)-6,

即2〃2+“—8=0.

解得〃产zk普，%=T^(舍去).

:.MN=2MT=4n=夜-1.

综上所述，菱形对角线MN的长为辰+1或而-1.

点睛：

L求二次函数的解析式

(1)已知二次函数过三个点，利用一般式，>=4好+板+。(。/0).列方程组求二次函数解析式.

⑵已知二次函数与x轴的两个交点(%,0)(%，0)，利用双根式，y=a(x—%)(x—9)(aw0)求二次函数解析式,

而且此时对称轴方程过交点的中点,x=受其.

2

2.处理直角坐标系下，二次函数与几何图形问题：第一步要写出每个点的坐标(不能写出来的，可以用字母表示)，写

已知点坐标的过程中，经常要做坐标轴的垂线，第二步，利用特殊图形的性质和函数的性质，往往是解决问题的钥匙.

3

23、(1)见解析；(2)tanZAOD=-.

4

【解析】

(1)作DFLAB于F,连接OC,则△ODF是等腰直角三角形，得出OC=OD=&DF,由垂径定理得出NCOE=90。,

证明ADEFsaCEO得出£2=空=12£