2023年山东省泰安市中考数学模拟试题及答案

2023年山东省泰安市中考数学模拟试题（二）（原题卷）

注意事项：

1．本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．考试时间120分钟．

2．答题前请考生仔细阅读答题卡上的注意事项，并务必按照相关要求作答．

3．考试结束后，监考人员将本试题和答题卡一并收回．

第Ⅰ卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，每

小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个，均记零分）

1

1．计算4的结果等于（）

8

1

A．B．2

2

1

C．-2D．

2

2．下列计算正确的是（）

A．x2x3x5B．(3xy)39x3y3

24

C．(xy4)2x2y8D．(ab)5(ab)3a2b2

39

3．位于四川省的三星堆遗址被称为20世纪人类最伟大的考古发现之一，其中出土的文物是宝贵的人类文化遗产，

在中国的文物群体中，属最具历史、科学、文化、艺术价值和最富观赏性的文物群体之一．下列四个图案是三星堆

遗址出土文物图，其中是中心对称图形的是（）

A．B．C．D．

4．2020年6月23日，我国北斗卫星导航系统（BDS）星座部署完成，其中地球同步轨道卫星运行在地球赤道上空

约36000000米的圆形轨道上．将数字36000000用科学记数法表示为（）

试卷第1页，共8页

A．36106B．3.6106C．3.6107D．0.36108

5．如图，有一块含有30角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边可以自由滑动上．当115时，2的度数

是（）

A．45B．35C．25D．15

6．如图，AB是⊙O的直径，ACDCAB，AD2，AC4，则⊙O的半径为（）

A．23B．32C．25D．5

7．如图是小明某一天测得的7次体温情况的折线统计图，下列信息不正确的是（）

A．测得的最高体温为37.1℃

B．前3次测得的体温在下降

C．这组数据的众数是36.8

D．这组数据的中位数是36.6

8．如图，将含60角的直角三角板ABC绕顶点A顺时针旋转45后得到△ABC，点B经过的路径为弧BB，若

BAC60，AC1，则图中阴影部分的面积是

试卷第2页，共8页

A．B．C．D．

234

9．如图，在正方形ABCD中，AB3cm，动点M自A点出发沿AB方向以每秒1cm的速度运动，同时动点N自A

点出发沿折线ADDCCB以每秒3cm的速度运动，到达B点时运动同时停止．设AMN的面积为y（cm2）．运

动时间为x（秒），则下列图象中能大致反映y与x之间函数关系的是（）

A．B．

C．D．

10．我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱

准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株

椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意

的方程是（）

A．3x1x6210B．3x16210

C．3x1x6210D．3x6210

11．如图，点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上的一个动点，点M，N分别是AB，BC边上的中点，则MP+PN

的最小值是（）

试卷第3页，共8页

1

A．B．1C．D．2

22

12．如图，菱形ABCD的边长为8，E、F分别是AB、AD上的点，

连接CE、CF、EF，AC与EF相交于点G，若BEAF2，BAD120，则FG的长为（）

133

A．B．3C．2D．

22

第Ⅱ卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，满分18分。只要求填写最后结果，每小题填对得4分）

13．计化简：282=_______．

14．如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2m，另一边减少了3m，剩余一块面积为

20m2的矩形空地，则原正方形空地的边长为_____m．

15．如图，RtABC中，C90，利用尺规在BC，BA上分别截取BE，BD，使BEBD；分别以D，E为圆

1

心、以大于DE为长的半径作弧，两弧在CBA内交于点F；作射线BF交AC于点G，若CG1，P为AB上一

2

试卷第4页，共8页

动点，则GP的最小值为_______

16．如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=12，点E是BC的中点，连接AE，将△ABE沿AE折叠，点B落在点F

处，连接FC，则sin∠ECF=__________．

17．一辆快车和一辆慢车将一批物资从甲地运往乙地，其中快车送达后立即沿原路返回，

且往返速度的大小不变，两车离甲地的距离y（单位：km）与慢车行驶时间t（单位：h）的函数关系如图，则两车

先后两次相遇的间隔时间是_________h．

18．如图，在矩形纸片ABCD中，BC=4，E是BC的中点．将AB沿AE翻折，使点B落在AD边的B′处，AE为折

痕，再将B′D沿B′G翻折，使点D恰好落在线段AC上的点F处，B′G为折痕，则tan∠FB′E=______________．

三、解答题（本大题共7小题，满分78分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）

19．化简：

试卷第5页，共8页

2

202110

（1）142；

3

xx29

1

（2）2

x3x6x9

20．某校政治实践小组就近期人们比较关注的五个话题：“A．5G通讯；B．民法典；C．北斗导航；D．数字经济；

E．小康社会”，对学生进行了随机抽样调查，每人只能从中选择一个本人最关注的话题，根据调查结果绘制了如图

两幅不完整的统计图．

请结合统计图中的信息，解决下列问题：

（1）政治实践小组在这次活动中，调查的学生共有人；

（2）将图中的最关注话题条形统计图补充完整；

（3）政治实践小组进行专题讨论中，甲、乙两个小组从三个话题：“A．5G通讯；B．民法典；C．北斗导航”中抽

签（不放回）选一项进行发言，利用树状图或表格，求出两个小组选择A、B话题发言的概率．

21．如图，在一笔直的海岸线l上有A、B两个观测站，A在B的正东方向，AB=8km．有一艘小船在点P处，从A

处测得小船P在北偏西60的方向，从B处测得小船P在北偏东45°的方向．

(1)求点P到海岸线l的距离（结果保留根号）；

(2)小船从点P处沿射线AP的方向航行一段时间后，到点C处，此时，从B测得小船在北偏西15°的方向．求点C

与点B之间的距离．（结果精确到0.1km，21.41，31.73）

22.如图，BC为O的直径，点D在O上，连接BD，CD，过点D的切线AE与CB的延长线交于点A，

试卷第6页，共8页

BCDAEO，OE与CD交于点F．

(1)证明：ADBAEO；

2

(2)当O的半径为10，sinADB时，求EF的长．

5

23如图，直线AD：y3x3与坐标轴交于A、D两点，以AD为边在AD右侧作正方形ABCD，

k

过C作CG⊥y轴于G点，过点C的反比例函数y(k0)与直线AD交于E、F两点．

x

k

(1)求反比例函数y表达式；

x

k

(2)根据图像，求出不等式03x3的解集；

x

(3)在x上是否存在一点Q使△CBQ为等腰三角形，若存在，求出Q点坐标，若不存在，请说明理由．

24．如图①，已知抛物线L：y＝x2+bx+c的图象经过点A（0，3），B（1，0），

过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点．

试卷第7页，共8页

(1)求抛物线的关系式；

(2)若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当△OPE面积最大时，求出P点坐标；

(3)将抛物线L向上平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△OAE内（包括△OAE的边界），求h的取

值范围；

(4)如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P，使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直

角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

25．如图1，△ABC是等边三角形，点D在△ABC的内部，连接AD，

将线段AD绕点A按逆时针方向旋转60°，得到线段AE，连接BD，DE，CE．

(1)判断线段BD与CE的数量关系并给出证明；

(2)延长ED交直线BC于点F．

①如图2，当点F与点B重合时，直接用等式表示线段AE，BE和CE的数量关系为_______；

②如图3，当点F为线段BC中点，且ED＝EC时，猜想∠BAD的度数，并说明理由．

试卷第8页，共8页

2023年山东省泰安市中考数学模拟试题（二）（解答卷）

注意事项：

1．本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．考试时间120分钟．

2．答题前请考生仔细阅读答题卡上的注意事项，并务必按照相关要求作答．

3．考试结束后，监考人员将本试题和答题卡一并收回．

第Ⅰ卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，

请把正确的选项选出来，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个，均记零分）

1

1．计算4的结果等于（）

8

1

A．B．2

2

1

C．-2D．

2

111

解：4=4=.

882

故选A.

2．下列计算正确的是（）

A．x2x3x5B．(3xy)39x3y3

24

C．(xy4)2x2y8D．(ab)5(ab)3a2b2

39

解：x2,x3不是同类项，不能合并，故A不符合题意；

(3xy)327x3y3,故B不符合题意；

24

(xy4)2x2y8，运算正确，故C符合题意；

39

试卷第1页，共31页

(ab)5(ab)3ab2,故D不符合题意；

故选C

3．位于四川省的三星堆遗址被称为20世纪人类最伟大的考古发现之一，其中出土的文物是宝贵的人类文化遗产，

在中国的文物群体中，属最具历史、科学、文化、艺术价值和最富观赏性的文物群体之一．下列四个图案是三星堆

遗址出土文物图，其中是中心对称图形的是（）

A．B．C．D．

解：A．不是中心对称图形，不符合题意；

B．是中心对称图形，符合题意；

C．不是中心对称图形，不符合题意；

D．不是中心对称图形，不符合题意．

故选B．

4．2020年6月23日，我国北斗卫星导航系统（BDS）星座部署完成，其中地球同步轨道卫星运行在地球赤道上空

约36000000米的圆形轨道上．将数字36000000用科学记数法表示为（）

A．36106B．3.6106C．3.6107D．0.36108

解：36000000

=3.610000000

=3.6107

故选：C

5．如图，有一块含有30角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边可以自由滑动上．当115时，2的度数

是（）

试卷第2页，共31页

A．45B．35C．25D．15

解：如图，

∵BE∥CD，

∴∠EBC=∠1=15°，

∵∠ABC=60°，

∴∠2=45°．

故选：A．

6．如图，AB是⊙O的直径，ACDCAB，AD2，AC4，则⊙O的半径为（）

A．23B．32C．25D．5

解：如图，连接CO并延长CO交⊙于点E，连接AE，

∵OA=OC，

∴∠ACE=∠CAB，

∵ACDCAB，

∴∠ACD=∠ACE，

∴ADAE，

∴AE=AD=2，

∵CE是直径，

试卷第3页，共31页

∴∠CAE=90°，

∴CEAE2AC2224225，

∴⊙O的半径为5．

故选：D．

7．如图是小明某一天测得的7次体温情况的折线统计图，下列信息不正确的是（）

A．测得的最高体温为37.1℃

B．前3次测得的体温在下降

C．这组数据的众数是36.8

D．这组数据的中位数是36.6

解：A、由折线统计图可知，7次最高体温为37.1℃，A选项正确，不符合题意；

B、由折线统计图可知，前3次体温在下降，B选项正确，不符合题意；

C、由7组数据可知，众数为36.8，C选项正确，不符合题意；

D、根据中位数定义可知，中位数为36.8，D选项错误，符合题意；

故选：D．

8．如图，将含60角的直角三角板ABC绕顶点A顺时针旋转45后得到△ABC，点B经过的路径为弧BB，若

BAC60，AC1，则图中阴影部分的面积是

试卷第4页，共31页

A．B．C．D．

234

解：∵在RtABC中，ACB90，BAC60，

∴ABC30．

∵AC1，

∴AB2AC2．

∵ABC绕顶点A顺时针旋转45度后得到△ABC，

SS

∴△ABC△ABC．

4522

∴S．

阴影3602

故选A．

9．如图，在正方形ABCD中，AB3cm，动点M自A点出发沿AB方向以每秒1cm的速度运动，同时动点N自A

点出发沿折线ADDCCB以每秒3cm的速度运动，到达B点时运动同时停止．设AMN的面积为y（cm2）．运

动时间为x（秒），则下列图象中能大致反映y与x之间函数关系的是（）

A．B．

试卷第5页，共31页

C．D．

解：当0x1时，M、N分别在线段AB、AN，

此时AM3xcm，ANxcm

13

ySAMANx2，为二次函数，图象为开口向上的抛物线；

AMN22

当1x2时，M、N分别在线段BC、AN，

此时ANxcm，AMN底边AN上的高为AB3cm，

13

ySANABx，为一次函数，图象为直线；

AMN22

当2x3时，M、N分别在线段CD、AN，

此时ANxcm，AMN底边AN上的高为DM(93x)cm，

试卷第6页，共31页

1139

ySANDMx(93x)x2x，为二次函数，图象为开口向下的抛物线；

AMN2222

结合选项，只有B选项符合题意，

故选：B

10．我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱

准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株

椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意

的方程是（）

A．3x1x6210B．3x16210

C．3x1x6210D．3x6210

解：∵这批椽的数量为x株，每株椽的运费是3文，少拿一株椽后，

剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，

∴一株椽的价钱为3（x−1）文，依题意得：3（x−1）x＝6210，

故选：A．

11．如图，点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上的一个动点，点M，N分别是AB，BC边上的中点，则MP+PN

的最小值是（）

1

A．B．1C．D．2

22

解：如图

作点M关于AC的对称点M′，连接M′N交AC于P，此时MP+NP有最小值，最小值为M′N的长．

试卷第7页，共31页

∵菱形ABCD关于AC对称，M是AB边上的中点，

∴M′是AD的中点，

又∵N是BC边上的中点，

∴AM′∥BN，AM′=BN，

∴四边形ABNM′是平行四边形，

∴M′N=AB=1，

∴MP+NP=M′N=1，即MP+NP的最小值为1，

故选B．

12．如图，菱形ABCD的边长为8，E、F分别是AB、AD上的点，

连接CE、CF、EF，AC与EF相交于点G，若BEAF2，BAD120，则FG的长为（）

133

A．B．3C．2D．

22

解：过点E作EM//BC交AC于M，ENBC于N，如图所示：

菱形ABCD的边长为8，BAD120，BEAF2，

试卷第8页，共31页

1

ABBC8，BACFACBAD60，AD∥BC，

2

ABC是等边三角形，

BACB60，BCAC，

EM∥BC，

EM∥AD，AEMB60BAC，

△AEM是等边三角形，

AMAEABBE826，

EM∥AD，

AGF∽MGE，

FGAF21

，

EGEM63

1

FGEF，

4

BCAC

在BCE和△ACF中，BFAC，

BEAF

△BCE≌△ACFSAS，

CECF，BCEACF，

ACFACEBCEACEACB60，

CEF是等边三角形，

EFCE，

ENBC，B=60，

BEN30，

1

BNBE1，

2

EN3，CNBCBN817，

试卷第9页，共31页

2

EFCEEN2CN2372213，

113

FGEF，

42

故选：A．

第Ⅱ卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，满分18分。只要求填写最后结果，每小题填对得4分）

13．计化简：282=_______．

解：2822222222

14．如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2m，另一边减少了3m，剩余一块面积为

20m2的矩形空地，则原正方形空地的边长为_____m．

解:设原正方形的边长为xm，则剩余的空地长为（x﹣2）m，宽为（x﹣3）m．

根据长方形的面积公式方程可列出（x﹣3）（x﹣2）=20，

解得：x1=7，x2=﹣2（不合题意，舍去）

即：原正方形的边长7m．

故答案为7m.

15．如图，RtABC中，C90，利用尺规在BC，BA上分别截取BE，BD，使BEBD；分别以D，E为圆

1

心、以大于DE为长的半径作弧，两弧在CBA内交于点F；作射线BF交AC于点G，若CG1，P为AB上一

2

动点，则GP的最小值为_______

试卷第10页，共31页

解：由题意可知，当GP⊥AB时，GP的值最小，

根据尺规作图的方法可知，GB是∠ABC的角平分线，

∵∠C=90°，

∴当GP⊥AB时，GP=CG=1，

16．如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=12，点E是BC的中点，连接AE，将△ABE沿AE折叠，点B落在点F

处，连接FC，则sin∠ECF=__________．

解:过E作EH⊥CF于H，则有∠HEC+∠ECH=90°，

由折叠的性质得：BE=EF，∠BEA=∠FEA，

∵点E是BC的中点，∴CE=BE，∴EF=CE，∴∠FEH=∠CEH，∴∠AEB+∠CEH=90°，

∴∠ECH=∠AEB，即∠ECF=∠AEB，

在矩形ABCD中，∵∠B=90°，∴AE=AB2BE2=10，

AB4

∴sin∠ECF=sin∠AEB==，

AE5

4

故答案为．

5

试卷第11页，共31页

17．一辆快车和一辆慢车将一批物资从甲地运往乙地，其中快车送达后立即沿原路返回，

且往返速度的大小不变，两车离甲地的距离y（单位：km）与慢车行驶时间t（单位：h）的函数关系如图，则两车

先后两次相遇的间隔时间是_________h．

解：由图象可得，

2a1

快车的速度为：a（km/h），

622

a

慢车的速度为：km/h，

6

设快车行驶mh两车第一次相遇，行驶nh两车第二次相遇，

1a1a

am=（2+m），a[n-（6-2）÷2]+

（2+n）=a，

2626

解得m=1，n=2.5，

2.5-1=1.5，

即两车先后两次相遇的间隔时间是1.5h，

故答案为：1.5．

18．如图，在矩形纸片ABCD中，BC=4，E是BC的中点．将AB沿AE翻折，使点B落在AD边的B′处，AE为折

痕，再将B′D沿B′G翻折，使点D恰好落在线段AC上的点F处，B′G为折痕，则tan∠FB′E=______________．

解：延长B′F交EC于点H，连接GH，如图，

试卷第12页，共31页

∵矩形纸片ABCD中，BC=4，E是BC的中点，

1

∴BE=BC=2，∠A=∠B=∠BCD=∠D=90°．

2

∵将AB沿AE翻折，使点B落在AD边的B'处，AE为折痕，

∴△AB′E≌△ABE，

∴四边形ABEB′是正方形．

∴B′E=BE=2，∠AB′E=∠B′EC=90°，AB′=BE=2．

∴四边形B′ECD是正方形．

∴B′D=BE=2．

∵将B′D沿B′G翻折，使点D恰好落在线段AC上的点F处，B'G为折痕，

∴△B′DG≌△B′FG．

1

∴∠DB′G=∠FB′G=∠DB′F，B′F=B′D=2，DG=GF．

2

∴AB′=B′F，

∴∠B′AF=∠B′FA，

∵∠DB′F=∠B′AF+∠B′FA，

∴∠DB′G=∠B′AF．

∴B′G∥AC．

∵AB′=B′D，

1

∴DG=GC=CD=1．

2

∴GF=CG=1．

∵△B′DG≌△B′FG，

试卷第13页，共31页

∴∠B′FG=∠D=90°，

∴∠GFH=90°．

在Rt△GFH和Rt△GCH中，

GFGC

，

GHGH

∴Rt△GFH≌Rt△GCH（HL）．

∴FH=HC．

设FH=HC=x，则B′H=2+x，EH=2-x，

在Rt△B′EH中，

∵B′E2+EH2=B′H2，

∴22+（2-x）2=（x+2）2．

1

解得：x=．

2

13

∴EH=2-=．

22

3

∴tan∠FB′E=EH23．

BE24

3

故答案为：．

4

三、解答题（本大题共7小题，满分78分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）

19．化简：

2

202110

（1）142；

3

xx29

1

（2）2

x3x6x9

解：（1）原式149113．

试卷第14页，共31页

3x29

（2）原式

x3x26x9

3x26x9

x3x29

2

3x3

x3x3x3

3

x3

20．某校政治实践小组就近期人们比较关注的五个话题：“A．5G通讯；B．民法典；C．北斗导航；D．数字经济；

E．小康社会”，对学生进行了随机抽样调查，每人只能从中选择一个本人最关注的话题，根据调查结果绘制了如图

两幅不完整的统计图．

请结合统计图中的信息，解决下列问题：

（1）政治实践小组在这次活动中，调查的学生共有人；

（2）将图中的最关注话题条形统计图补充完整；

（3）政治实践小组进行专题讨论中，甲、乙两个小组从三个话题：“A．5G通讯；B．民法典；C．北斗导航”中抽

签（不放回）选一项进行发言，利用树状图或表格，求出两个小组选择A、B话题发言的概率．

解：（1）调查的学生共有：60÷30%＝200（人），

故答案为：200；

（2）选择C的学生有：200×15%＝30（人），

选择A的学生有：200﹣60﹣30﹣20﹣40＝50（人），

补全的条形统计图如图所示：

试卷第15页，共31页

（3）画树状图如下：

共有6个等可能的结果，甲、乙两个小组选择A、B话题发言的结果有2个，

21

∴两个小组选择A、B话题发言的概率为＝．

63

21．如图，在一笔直的海岸线l上有A、B两个观测站，A在B的正东方向，AB=8km．有一艘小船在点P处，从A

处测得小船P在北偏西60的方向，从B处测得小船P在北偏东45°的方向．

(1)求点P到海岸线l的距离（结果保留根号）；

(2)小船从点P处沿射线AP的方向航行一段时间后，到点C处，此时，从B测得小船在北偏西15°的方向．求点C

与点B之间的距离．（结果精确到0.1km，21.41，31.73）

解：如图，过点P作PD⊥AB于点D．

设PD=xkm．

在Rt△PBD中，∠BDP=90°，∠PBD=90°-45°=45°，

试卷第16页，共31页

∴BD=PD=xkm．

在Rt△PAD中，∠ADP=90°，∠PAD=90°-60°=30°，

∴AD=3PD=3x（km），

∵BD+AD=AB，

∴x+3x=8，

解得：x=43-4，

答：点P到海岸线l的距离为（43-4）km；

（2）解：如图，过点B作BF⊥AC于点F．

根据题意得：∠ABC=90°+15°=105°，

在Rt△ABF中，∠AFB=90°，∠BAF=30°，

1

∴BF=AB=4（km），

2

在△ABC中，

∴∠C=180°-∠BAC-∠ABC=45°．

在Rt△BCF中，∠BFC=90°，∠C=45°，

∴BC=2BF=42≈5.6（km），

答：点C与点B之间的距离约为5.6km．

22.如图，BC为O的直径，点D在O上，连接BD，CD，过点D的切线AE与CB的延长线交于点A，

BCDAEO，OE与CD交于点F．

试卷第17页，共31页

(1)证明：ADBAEO；

2

(2)当O的半径为10，sinADB时，求EF的长．

5

（1）证明：如图，连接OD，

∵AE为O的切线，

∴ADO90，

∴ADBBDO90，

∵BC为O的直径，

∴BDC=90，

∴BDOODC90，

∴ADBODC，

∵ODOC，

∴ODCOCD，

又∵BCDAEO，

∴ADBAEO．

试卷第18页，共31页

（2）解：由（1）知：ADBCAEO，

2

∵sinADB，O的半径为10，

5

∵在BDC中，BDC=90，

2BD

∴sinDCB，

5BC

22

∴BDBC208，

55

由（1）知：ADBAEO，

∴BDOE，

∴OFCBDC90，

∵ODOC，

∴点F是DC的中点，

∵点O是BC的中点，

1

∴OFBD4，

2

∵在DOE中，ODE90，

2OD

∴sinAEO，

5OE

210

∴，

5OE

∴OE25，

∴EFOEOF25421．

试卷第19页，共31页

23如图，直线AD：y3x3与坐标轴交于A、D两点，以AD为边在AD右侧作正方形ABCD，

k

过C作CG⊥y轴于G点，过点C的反比例函数y(k0)与直线AD交于E、F两点．

x

k

(1)求反比例函数y表达式；

x

k

(2)根据图像，求出不等式03x3的解集；

x

(3)在x上是否存在一点Q使△CBQ为等腰三角形，若存在，求出Q点坐标，若不存在，请说明理由．

（1）证明：四边形ABCD是正方形，

ADCD，ADC90，

ADOCDG90，

CGy轴，

CGD90，

CDGDCG90，

ADODCG，

在AOD和DGC中，

AODDGC90

ADODCG，

ADCD

AOD≌DGC(AAS)；

试卷第20页，共31页

对于直线AD:y3x3，

令x0，则y3，

D(0,3)，

OD3，

令y0，则3x30，

x1，

A(1,0)，

OA1

CGOD3，DGOA1，

k

C(3,2)，将点C代入反比例函数y中，得k236，

x

6

反比例函数的解析式为y①．

x

（2）解：直线AD的解析式为y3x3②，

y3x3

联立①②得，6，

y

x

x2x1

解得，或，

y3y6

E(1,6)，F(2,3)；

k

由图象可得不等式03x3的解集为0x1．

x

（3）证明：如图，过点B作BM垂直于x轴垂足为M，

试卷第21页，共31页

∵四边形ABCD是正方形，

∴ADAB，DAB90，

∵BM⊥x轴，x轴⊥y轴，

∴DOAAMB，

∵ADODAO=90，DAOBAM90，

∴ADOBAM，

∵在△DAO和△ABM中

ADOBAM

DOAAMB

ADAB

∴△DAO≌△ABM（AAS），

∴OABM1，ODAM3，

∴OMAM－OA2，

∴B（2，－1），

设Q（a，0）

2

CB＝10，CQ＝（3a）222，BQ＝（a2）201

①当△CBQ为等腰三角形，CB＝CQ时，

∴CB2CQ2，

试卷第22页，共31页

2

∴103a222，

解得：a36，

（，）（，），

此时Q1360Q2360

②当△CBQ为等腰三角形，BC＝BQ时，

∴BC2BQ2，

2

∴10a2212，

解得：a11，a25，

此时Q31,0，Q45,0，

③当△CBQ为等腰三角形，QC＝QB时，

∴QC2QB2，

22

∴3a22a21

解得：a4，

此时Q54,0，

Q3+6,0Q36,0Q1,0Q5,0，Q4,0．

∴Q点的坐标为：1，2，3，45

24．如图①，已知抛物线L：y＝x2+bx+c的图象经过点A（0，3），B（1，0），

过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点．

试卷第23页，共31页

(1)求抛物线的关系式；

(2)若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当△OPE面积最大时，求出P点坐标；

(3)将抛物线L向上平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△OAE内（包括△OAE的边界），求h的取

值范围；

(4)如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P，使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直

角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

（1）解：∵抛物线L：y＝x2+bx+c的图象经过点A（0，3），B（1，0），

1bc0

∴，

c3

b4

解得，

c3

∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣4x+3；

（2）如图1，过P作PG∥y轴，交OE于点G，

设P（m，m2﹣4m+3），

∵OE平分∠AOB，∠AOB＝90°，

∴∠AOE＝45°，

∴△AOE是等腰直角三角形，

∴AE＝OA＝3，

∴E（3，3），

设直线OE的解析式为y＝kx，把点（3，3）代入得，

试卷第24页，共31页

3＝3k，

解得k＝1，

∴直线OE的解析式为：y＝x，

∴G（m，m），

∴PG＝m﹣（m2﹣4m+3）＝﹣m2+5m﹣3，

∴S△OPE＝S△OPG+S△EPG

1

2PG•AE

1

3×（﹣m2+5m﹣3）

2

3

（m2﹣5m+3）

2

3539

（m）2，

228

3

∵＜0，

2

5

∴当m时，△OPE面积最大，

2

3

此时m2﹣4m+3＝，

4

53

∴P点坐标为（，）；

24

（3）由y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，得抛物线l的对称轴为直线x＝2，顶点为（2，﹣1），

抛物线L向上平移h个单位长度后顶点为F（2，﹣1+h）．

设直线x＝2交OE于点M，交AE于点N，则N（2，3），如图2，

试卷第25页，共31页

∵直线OE的解析式为：y＝x，

∴M（2，2），

∵点F在△OAE内（包括△OAE的边界），

∴2≤﹣1+h≤3，

解得3≤h≤4；

（4）设P（m，m2﹣4m+3），分四种情况：

①当P在对称轴的左边，且在x轴下方时，如图3，过P作MN⊥y轴，交y轴于M，交l于N，

∴∠OMP＝∠PNF＝90°，

∵△OPF是等腰直角三角形，

∴OP＝PF，∠OPF＝90°，

试卷第26页，共31页

∴∠OPM+∠NPF＝∠PFN+∠NPF＝90°，

∴∠OPM＝∠PFN，

∴△OMP≌△PNF（AAS），

∴OM＝PN，

∵P（m，m2﹣4m+3），

则﹣m2+4m﹣3＝2﹣m，

5555

解得：m或，

22

55

∵m＞2，不合题意，舍去，

2

55

∴m，

2

15

此时m2﹣4m+3＝，

2

5515

∴P的坐标为（，）；

22

②当P在对称轴的左边，且在