2022年高考数学一轮复习-平面向量、复数 章节检测教师讲解版（新高考专版）

第五章平面向量、复数章节检测（基础卷）

一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选

项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.（2021•云南省高一月考）复数三4二+33i的模是（）

2-1

A.1B.逐C.3D.5

【答案】B

【详解】

4+3i（4+3i）（2+i）5+10i

2-i-（2-i）（2+i）-5-'

所以臼=彳方=5

故选：B

2.（2021•北京市陈经纶中学高一期中）如图，。是一ABC的边48中点，则向量CD=（）

A.BC+-BAB.-CA--CB

222

C.BC--BAD.-CA+-CB

222

【答案】D

【详解】

CD=CB+BD=CB+-BA

2

=CB+-（CA-CB）=-CA+-CB.

2、>22

故选：D

3.（2021•全国高三开学考试）如图，在平行四边形ABC。中，对角线AC与8。交于点。,

S.AE=2EO,则ED=（）

A.-AD--ABB.-AD+-AB

3333

C.-AD--ABD.-AD+-AB

3333

【答案】C

【详解】

解：因为四边形ABC。为平行四边形，对角线AC与2。交于点。，且AE=2EO,

所以EA=-gAC,

11r\i

所以EZ）=£A+AZ）=-4AC+AD=_§（AD+AB）+AD=3AZ）-§AB.

故选:c.

4.（2021•遵义市第三中学高一期中）已知向量〃，b，满足Q%=0，忖=1,*2.则

囚一*（）

A.4B.2A/2C.6D.8

【答案】B

【详解】

因为a-b=O,忖=1,恸=2,

所以.—小心/—而电+广=V4-0+4=2A/2,

故选：B

5.（2021•江苏高一期中）若G是，ABC的重心，且=〃庭（尢〃为实数），

则4+〃=（）

【答案】B

【详解】

如图，设。是2C中点，

因为G是ABC的重心，

f2f21f1-21f]f2f1一

所以AG=—AD=—（—A2+—AC）=—（—AB+—AB+—BC）=—AB+—BC,

33333

2I

所以4=一,"=—,.*.?!+//=1.

33

故选：B

6.（2021•云南省高一月考）设〃，匕均为单位向量，则“〃与人的夹角为锐

角”是“Q2>0”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【详解】

因为4，〃均为单位向量，〃与Z?的夹角。为锐角，

所以Q・。=COS0=COSe>0,

当〃.人>0时，^•/?=|^|•|/?|cos0=cos0>Of

TT

因为6w[0,7],所以ee[0,,）,所以a与B的夹角。不一定为锐角，

所以“a与。的夹角为锐角”是“。为>0”的充分不必要条件，

故选：A

7.（2021•江苏宿迁市•高二期中）若复数z满足卜+1卜卜-1-刊，则使|z|取到最小值的

复数z为（）

1+i1-i八

A.——B.---C.1D.i

22

【答案】A

【详解】

因为卜+1卜卜-1-刮，则复数z对应复平面上的点到（1,2）两点距离相等，

轨迹即在（L2）两点连线的中垂线上，中垂线的方程为'如图所示：

为使Iz|取到最小值，即需找中垂线上到原点距离最小的点，

过原点作OZ垂直于中垂线，垂足为Z,于是Z对应的复数即为所求，可得z=手.

故选：A.

8.（2021•贵州贵阳市•高三开学考试（文））“群”是代数学中一个重要的概念，它的

定义是：设G为某种元素组成的一个非空集合，若在G内定义一个运算“*”，满足以下条

件：

①Va,beG,有

②如Va,b,csG,有(a*Z?)*c=a*S*c)

③在G中有一个元素e,对VaeG,者B有a*e=e*a=a,称e为G的单位元；

@VaeG,在G中存在唯一确定的》，使a*6=Z?*a=e,称6为”的逆元.此时称（G,*）

为一个群.

例如实数集R和实数集上的加法运算“+”就构成一个群（氏+）,其单位元是0,每一个数

的逆元是其相反数，那么下列说法中，错误的是（）

A.G=Q,则（G,+）为一个群

B.G=R,贝U（G,x）为一个群

C.G=｛-1,1J,则（G,x）为一个群

D.G=｛平面向量｝,则（G,+）为一个群

【答案】B

【详解】

A.G=Q,两个有理数的和是有理数，有理数加法运算满足结合律，。为G的单位元，逆

元为它的相反数，满足群的定义，贝4G+）为一个群，所以该选项正确；

B.G=R,1为G的单位元，但是axb=6xa=l,当。=0时，不存在唯一确定的b,所以

不满足④，贝U（G,x）不为一个群，所以该选项错误；

C.G=｛-1,1｝,满足①②，1为G的单位元满足③，-1是-1的逆元，1是1的逆元，满足④，

则（G,x）为一个群，所以该选项正确；

D.G=｛平面向量｝,满足①②，小为G的单位元，逆元为其相反向量，则（G+）为一个群,

所以该选项正确.

故选：B

二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有

多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）

9.（2021•扬州大学附属中学东部分校高一期中）下列命题中，错误的是（）

A.右Z],z?eC,且Z]—z?<0,则Z]<z2

B.若无+yi=l+i（x,ycC）,贝！|x=y=l

C.若2=。+为（a,bGR）,则当且仅当。=0且b=0时，z=0

D.若Z，z2eC,且z；+z；=0,则z=Z2=。

【答案】ABD

【详解】

A.设4=l+i,z2=2+i,满足z「z<0,但不能比较大小，故错误；

B.因为x,yeC,所以不能判断x=y=l,比如：x=i,>=-i,故错误；

C.当且仅当。=0且b=0时，z=0,故正确；

D.当4=1,z2=i,满足z：+z；=0,故错误.

故选：ABD

10.（2021广州市北大附中为明广州实验学校）已知向量a，b满足|d1=1,|切=2,|°+6|=若,

则下列结论中正确的是（）

A.d-b=-1B.a±（a+b）

C.\a-b\=^D.。与b的夹角为q

【答案】ABC

【详解】

解：因为1。曰，g|=2,\a+b\=y[3

所以|。+6|2=。2+2。心+>2=1+2。力+4=3,

a-b=~19••。•（Q+万）=0,

a±（Q+。），

LL-I-----------L7a，b1

^\^\a-b\=yla2-2a-b+b2=布，cos<a,b,

|a||6|2

因为vd,万>G[O,^],

，。与b的夹角为昔，故A、B、C正确，D错误.

故选：ABC.

11.（2021•合肥市第八中学高一期中）下列命题中正确的是：（）

A.两个非零向量a，b，若,-4=忖+忖，则a与6共线且反向

B.已知cwO,且=贝!]a=b

C.若OA=（3,T）,03=（6,—3）,OC=（5-m,-3-m）,NABC为锐角，则实数加的取值范

3

围是根>一:

4

D.若非零〃，Z?满足卜|=卜|二卜-0,则〃与Q+Z?的夹角是30。

【答案】AD

【详解】

对于A,因〃，人是非零向量，由卜-q=卜|+忖两边平方得。力=-|。|,|万|,则〃与人共线且

反向，A正确；

对于B,cwO，由a.c=Z?.c得（a—役）,。=0,贝lla—匕与c可能垂直，B不正确；

对于C,依题意得R4=(―3,—1),BC=(―1—加,—根)，NA6C为锐角，则i5A•5C=3+4m>0，

3

即机>一巳，

4

当B4//3。时，3m-(m+l)=0,即m二；,显然区4与3C不共线，则加w；,于是得NABC

31

为锐角时，相且根。二，C不正确;

42

222

对于D,〃，石是非零向量，由卜卜W=卜-得|。『=|Z?|=|a|—2a-b+\b\f则〃•"=耳|a『,

fl2r-,a-(a+b)a+a-b6=

a+b\=4a+b+2a-b=^\a\^cos〈a,a+6〉=⑷丁+犷⑷6⑷=3,而

冗

0<(a,a+b)<7r,于是得〈〃,〃+6〉=一，

6

即〃与a+b的夹角是30。，D正确.

故选：AD

12.(2021•江苏省江阴高级中学高一月考)如图所示，设Ox,0V是平面内相交成。上力标

角的两条数轴，6,02分别是与羽y轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系xOy为。仿射

坐标系，若=和+勇，则把有序数对(X,y)叫做向量0M的仿射坐标，记为OM={x,y),

2万11

在，=子的仿射坐标系中，”(1,2),6=(2,-1)则下列结论中，正确的是().

A.1,3)B.|621-百

D.4在b上的投影向量为1看51

C.a.Lb

【答案】ABD

【详解】

对于A,1=,+24，b=2e1—e2,:.a—b=—ex+3e2,即a—万=(一1,3),A正确;

对于B,

"与6不垂直，C错误;

_3

.•二在6上的投影数量为詈=7=-地，

\b\a14

i3A/7b3,33（33、

.•.4在6上的投影向量为一工“,恸=一值6=_]6+五62=「],值｝口正确.

故选：ABD.

三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分,

第二空3分。）

13.（2021•广东揭阳市•高二期中）已知z=l-产K则复数z的虚部为.

【答案】1

【详解】

,z=1-泮19=1_产业4+3=1_『=1+],Z的虚部为1.

故答案为：1.

14.（2021•江苏省江阴市第一中学高一月考）复数z对应的向量oz与）=（3,4）共线，对

应的点在第三象限，且忖=10,贝匹=.

【答案】-6+8i

【详解】

解：设复数z=x+M,X,yeR

因为复数z对应的向量OZ与&=（3,4）共线，

贝第4x_3y=0①，

又|Z|=1。，则尤2+y2=]00②，

由①②可得，X=6,y=8或x=-6,y=-8,

因为z对应的点在第三象限，

所以z=—6—8i,

贝丘=-6+8i.

故答案为：-6+8i.

15.（2021•云南省高一月考）已知同=2,忖=1,且向量。与万不共线.当

（a+伤）a）时，k=.

【答案】±2

【详解】

解：\a\^2,\b\=l,且4与b不共线.

向量a+匿与的互相垂直，

(a+kb)-(a-kb)=a2-k2b2=|a|2-k21/?|=4-k2=0,

解得k=±2.

故答案为：±2

16.(2021•江苏南通市•高一期中)已知P是边长为2的正六边形ABCDE尸所在平面内

的一点，若点尸与点。重合，则APBP=;当点尸满足时，APAD^12-

(注：第二空填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况)

【答案】12在直线CE上

【详解】

如图所示：

在正六边形ABCDEF中，ZC=120,BC=CD,

所以△BCD是等腰三角形，则ZDBC=30,ZABD=ZABC-ZDBC^90,

又NDAB=60,

所以BD=ABtan60=2退，

当点尸与〃重合时：

APBP=^AB+BDyBD=ABBD+BD2

=|AB|.|BD|-COS90+1叫2=12,

以2为原点，分别以功，龙所在直线为x,y轴，建立平面直角坐标系，

则£>(0,0),A(-2,273),AZ>=(2,-2^),

设尸(x,y),贝！|Q=(x+2,y-2』),

所以AD-AP=2x+4-2y/3y+l2=l2,gpx-y/3y+2=O,

令y=0,得x=-2则尸(-2,0)与点C重合，

令yf,得x=l,则尸(1,⑹与点£重合，

所以点户在直线位上时，AP-AD=12.

故答案为：12,在直线CE上

四、解答题(本题共6小题，共70分，其中第16题10分，其它每题12分，解

答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)

17.(2021•贵州省思南中学高二期中(文))已知aeR,复数z=(a2-2a-8)+(〃+a-2)i.

(1)若z为纯虚数，求〃的值;

(2)若复数z在复平面内对应的点在第二象限，求。的取值范围.

【答案】(1)。=4；(2)l<tz<4.

【详解】

Q2_2Q—8=0

(1)z为纯虚数则9na=4

a+。-2w0

(2)复数z在复平面内对应的点在第二象限

2〃-8<0

[Q+ci—2>0

18.(2021•陕西咸阳市•高二期中(文))已知复数z=(1-5/〃+6)+(疗

(1)实数加取何值时，复数z为零；

(2)实数加取何值时，复数z为虚数；

(3)实数加取何值时，复数z为纯虚数.

【答案】(1)机=3；(2)机。0且加#3；(3)m=2.

【详解】

ATZ2-5ATI+6=0

八，解得加=3；

{m2-3m=0

(2)由复数z是虚数，得病-0加w,解得机wO且23；

I^22—SrT7+6=0

(3)由复数Z是纯虚数，得2c八，解得根=2.

m-3mw0

IT

19.(2021•合肥市第八中学高一期中)在三角形ABC中，AB=4,BC=2,/AC8=—,D

2

是线段AC上一点，且AO=g/)C,E为线段AB的中点,

B

E

(1)已知3A=a,BC=b,^BD=xa+yb,求V；

（2）直线CE与6。相交于点/，求CFBF.

【答案】(1)x~y=~；(2)

【详解】

.(1)BD=BA+AD=BA+-AC

4

=BA+：(AB+BC)

3131

=-BA+-BC=-a+-b,

4444

所以x-y=g；

1114121

(2)CE=-CA+-CB=-x-CD+-CB=-CD+-CB

22232329

2一1

令CE=ACF，则CF==CO+；77c3,

217

由氏D、尸三点共线：—+—=1=>2=-,

32246

zrQQ222/1

:.CF=-CE=-CA+-CB^BF=BC+CF=BC+-CA+-CB=-CA--CB

777f7777

CF-BF=^|CA+|CBJ^|CA-|CB^=2X12-竺X4=K

494949

20.（2021•莆田第二十五中学高一期中）在①（必+6）//（。+力）；②，a+6）M。+仍）；③

W+q,卜+叫这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答问题.

已知向量〃=（一1,一1）1=（0,1）,

（1）若,求实数，的值；

（2）若向量c=（x,y）,