2024年中考数学一轮复习讲义-相似三角形的性质和判定 培优练习

相似三角形的性质和判定培优练习

一、课标导航

课标内容课标要求目标层次

了解两个三角形相似的概念

相似三角形的性

会利用相似三角形的性质和判定进行简单的推理和计算；会利用三角形

质和判定★

的相似解决一些实际问题

二、核心纲要

L比例的性质

⑴基本ttS：=^ad=be.

⑵反比牌”3

(3)更比性质:户。屋/

(4)合比性质:户？=等=等・

(5)分比性质:合？=-=寸・

(6)等比性质:户＞…=：(b+d+…+”。)=黑黑屋.

2.比例线段的相关概念

⑴两条线段的比：两条线段长度的比叫做这两条线段的比.

(2)成比例线段：在四条线段a,b,c,d中，如果线段a与b的比等于c与d的比，那么这四条线段a,b,c,d叫做成比例线段,

简称比例线段.记作：*="或a:b=c:d.

注：线段的单位要统一.

⑶比例中项在线段a,b,c中，若I=*则称b是a、c的比例中项.

⑷黄金分割点：在线段AB上，点C把线段AB分成两条线段AC和BCG4GBC),若落=繁，即AC2=AB-BC,,则称线段AB

被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比.其中AC=^ABx0.618AB.

注：线段的黄金分割点有两个.

3.相似图形：形状相同的图形叫相似图形.

4.相似三角形

(1)相似三角形定义：对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形.

(2)相似三角形的表示方法：用符号“s”表示，读作，，相似于”.

注：经常把表示对应角顶点的字母写在对应位置上.

(3)相似三角形的相似比：相似三角形的对应边的比叫做相似比.

(4)相似三角形的性质

①相似三角形的对应角相等.

②相似三角形的对应边成比例.

③相似三角形的对应高的比等于相似比.

④相似三角形的周长比等于相似比.

⑤相似三角形的面积比等于相似比的平方.

（5）平行线分线段成比例定理

①定理：三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例，如下图所示：3|切出.

②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）,所得的对应线段成比例.

（6）相似三角形的判定定理

①预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似.

②相似三角形的判定定理

判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.简述为：两个角对应相等，

两个三角形相似.

判定定理2:如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似.简述为：

两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似.

判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似.简述为：三边对应成比例,

两个三角形相似.

（7）直角三角形相似

①判定定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角

三角形相似.

②直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似，并且分成的两个直角三角形也相似.如下图所示，在

RtAABC中,NBCA=9（T,CD是斜边AB上的高.则有如下结论：

A4CD“ACBDn券=嘉即亦=AD.BD./k

2

AACD-AABC=>—=—,BPAC=AD-AB./

ABAC/_

AABCSxCBDo巴=-,BPBC2=BD-AB.A$«

ABBC

5.位似

⑴定义：如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行（或共线）,那么这样的两个图形叫做位似

图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比.

注：①两个图形是位似图形，必定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形.

②两个位似图形的位似中心只有一个.

③两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的一侧.

④位似比等于相似比.

⑵性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离比等于位似比（相似比）.

6.常见的基本相似图形（如下图所示）

（1）“A”字型、反“A”字型（斜“A”字型）;（2）“8”字型、反“8”字型（蝴蝶型）.

“A"字型反字型

"A"“8"字型反"8"字型

本节重点讲解：两个性质（相似三角形和位似的性质）,两个定义，两类图形，五个定理.

三、全能突破

基础演练

1.已知a:b=2:3,那么下列等式中成立的是（）.

A.3a=2bB.2a=3bC.—=-D.—=-

b2b3

2.如图27-1-1所示，在AABC中,DE\\BC,DF\\AC,,则下列比例式一定成立的是（）.

.AEDEcAECFAD_BFcDEDF

A.—=—D.——=—rD.—=——

ECBCACBC'AB~BCBCAC

3.⑴如图27-1-2所示,P是RtAABC的斜边AB上异于A、B的一点过P点作直线截AABC,使截得的三角形与AABC相似，满足这样

条件的直线共有（）条.

A.lB.2C.3D.4

⑵如图27-1-3所示在正方形网格上有6个三角形①△ABC,②^BCD,③aBDE,④△BFG,⑤△FGH,⑥△EFK,其中②〜⑥中与三角形

①相似的是().

A.②③④B.③④⑤

图27-1-3

4.如图27-1-4所示,将4ABC的三边分别扩大一倍得到AAiBK式顶点均在格点上），若它们是以P点为位似

中心的位似图形，则P点的坐标是（）.

A.（-4,-3）B.（-3,-3）

C.(-4,-4)D.(-3,-4)

5.⑴已知户与

⑵若急=9=白=死则卜的值为一.

b+ca+ca+b图27-1-4

6.如果线段AB=4cm,点P是线段AB的黄金分割点，那么较长的线段BP=—cm.

7.为了测量校园水平地面上一棵树的高度，数学兴趣小组利用一根标杆、皮尺，设计图27-1-5所示的测量方

案.已知测量同学眼睛A、标杆顶端F、树的顶端E在同一直线上.此同学眼睛距地面1.6m,标杆为3.1m,且B

C=1m,CD=5m,请你根据所给出的数据求树高ED.

图27-1-5

8.如图27-1-6所示,要在高AD=8.底边BC=12的三角形中截出一个矩形PQMN.PN=y,NM=x,

⑴写出y与x之间的函数关系式.

⑵当x为何值时,四边形PQMN的面积S最大

图27-1-6

能力提升

9.⑴已知菱形ABCD的边长是8,点E在直线AD上，若DE=3,连接BE与对角线AC相交于点M,则黑的值是

(2)在AABC中,AB=6,AC=9,点D在边AB所在的直线上，且AD=2,过点D作DE〃:BC交边AC所在直线于点E,则CE的长为____.

10.如图27-1-7所示，直角三角形纸片ABC中,NACB=9(T,AC=8,BC=6折叠该纸片使点B与点C重合折痕与AB、BC的交点分别为D、

E.⑴DE的长为⑵将折叠后的图形沿直线AE剪开，原纸片被剪成三块，其中最小一块的面积等于

11.如图27-1-8所示.在AABC中,D为AB的中点,E为AC上一点,且黑=2,BE、CD相交于点F,则的值为__.

ECEF

12.将三角形纸片ABC按图27-1-9所示的方式折叠，使点B落在边AC上,记为点9折痕为EF.已知AB=AC=3,BC=4,若以点B\F、C

为顶点的三角形与△ABC相似，那么BF的长度是—.

图27-1-8

图27-1-7

13.⑴如图27-1-10所不,点A"A?、A3、A4在射线OA上，点Bi、B?、B3、在射线OB上，且41B1IM2B2IM3B3,42B1IM3B2IM1B3.右

A&&B2、A43B2B3的面积分别为1和4,则图中阴影三角形面积之和为.

(2)如图27-1-11所示，n+1个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，设△&。1的的面积为SJABSDKZ的面积为S2,...,A

Bn+iDITC□的面积为S□，则S?=；SE=(用含n的式子表示).

14如图27-1-12所示在正方形ABCD中,AB=1,E、F分别是BC、CD边上点，

⑴若CE=^CB,CF=3CD,则图中阴影部分的面积是

⑵若CE=：CB,CF=：CO,则图中阴影部分的面积是一(用含n的式子表示,n是正整数).

图27-1-10图27-1-12

15.如图27-1-13所示,AD是RtAABC中NA的平分线,/C=90°,AD的垂直平分线交AD于点E,交AC于

点M,延长EM与BC的延长线交于一点N.

求证:⑴△AMEsaNDE.B’f%N

⑵ND?=NC-NB.

图27-1-13

AGHD

16.如图27-1-14所示,四边形ABEG、GEFH、HFCD都是边长为a的正方形，

求证:(1)△AEFsacEA.

(2)ZAFB+ZACB=45°.

BEFC

图27-1-14

17如图27-1-15所示,正方形ABCD的边长为a,BM、DN分别平分正方形的两个外角，且满足./MAN=45。,，连接MC、NC、MN.

⑴填空与△相似的三角形是_____,BMDN=_（用含a的代数式表示）.

⑵求NMCN的度数.

图27-1-15

18如图27-1-16所示,正方形ABCD和正方形AEFG有公共顶点A,i（0、必分别为两个正方形的对称中心，

连接DE、（010,它们交于点H,求的度数和陪的值.

图27-1-16

19.已知,在菱形ABCD中.BD为对角线,P、Q两点分别在AB、BD上,且满足“PCQ=NABD.

⑴如图27-l-17（a）所示,当NBAD=90。时,求证:V2DQ+PB=CD.

⑵如图27117（b）所示,当NBAD=120。时，求整”的值.

图27-1-17

中考链接

20.（浙江宁波）如图27-1-18所示.等腰）RtAABC顶点A、C在x轴上,NBCA=9（F,AC=BC=2VX反比例函数y=久久＞0）的图像分别与A

B,BC交于点D、E,连接DE,当ABDEs^BCA时，点E的坐标为.

21.（山东荷泽改编）如图27-1-19所示,在AABC中,BC=6,E、F分别是AB、AC的中点，点P在射线EF±.BP交CE于点D.点Q在CE上

且BQ平分NCBP,设BP=x,PE=y.当CQ=ICE时，y与x之间的函数式是—；当CQ=：CE（n为不小于2的常数）时，y与x之间

的函数关系式是—.

22.（湖北武汉）已知.在△ABC中,AB=2^5,AC=4后BC=6.

（1）如图27-l-20（a）所示点M为AB的中点，在线段AC上取点N,使AAMN与AABC相似,求线段MN的长.

⑵如图27-l-20（b）所示,是由100个边长为1的小正方形组成的10x10的正方形网格，设顶点在这些小正方形顶点的三角形为格

点三角形.

①请你在所给的网格中画出格点AAiBiCl与AABC全等（画出一个即可，不需证明）；

②试直接写出所给的网格中与△ABC相似且面积最大的格点三角形的个数，并画出其中一个（不需证明）.

图27-1-20

巅峰突破

23.如图27-1-21所示,已知在nABCD中,M、N为AB的三等分点,DM、DN分别交AC于P、Q两点，则AP:PQ:QC=

24.在AABC中,NACB=90。.经过点B的直线1（1不与直线AB重合）与直线BC的夹角等于NABC,分别过点C、点A作直线1的垂线.

垂足分别为点D、点E.

⑴若NABC=45o,CD=l（如图27-1-22所示）.则AE的长为.

⑵写出线段AE、CD之间的数量关系，并加以证明.

图27-1-21图27-1-22

基础演练

I.A2.B3.(1)C(2)B4.A5.(1)，2)：或-1.6.2V5-2

7.过点A作AG±DE于点G,交CF于点H.由题意可得1,四边形ABCH、ABDG、CDGH都是矩形.

AB〃CF〃DE.，AAHF^AAGE.AU=HE.

由题意可得:AH=BC=1.AG=BD=6.

FH=FC-HC=FC-AB=3.l-l.6=1.5.

11，

—GE=9.

6GE

：.ED=GE+DG=GE+AB=9+1.6=10.6.

答树高ED为10.6m.

8.(Dy=^.

(2)S=%y=^.第-|(x-4)2+24..,.当x=4时，S的最大值为24.

能力提升

9.(1)3或盘(2)6或1210.4.411.312.苫或2

13.(1)10.5⑵手，鲁

y14“.―2,--n--.

3n+1

15.(1)连接NA,如下图所示

TNE是AD的垂直平分线,/.ZNED=ZNEA=90°,

・•・N3+NADO90。.

,/ZACB=90°,.\N2+NADO90。,，N2=N3.

AAAME^ANDE.

(2)•・•AD是NBAC的平分线,・・・Z1=Z2.

NE是AD的垂直平分线,NA=ND,NE±AD,

・・・N3=N4.，2N3=2N2.

即NANONCAB.

ZCAN=ZB,ZANC=ZANC.

△NACsANBA.

22

MDMANA=NC•N/即'ND=NC-NB..

16.(1)・・♦四边形ABEG、GEFH、HFCD是正方形，

AB=BE=EF=FC=a,ZABE=90°

:.AE—y/2a,EC—2a,

AEV2tz/7TEC2anzAEEC

EFaAEy[2aEFAE

又ZCEA=ZAEF,.\ACEA^AAEF.

(2)VACEA^AAEF,.\ZEAF=ZBCA.

四边形ABEG是正方形,，ZAEB=45°.

.,.ZAFB+ZACB=ZAFB+ZEAF=ZAEB=45°.

.,.ZAFB+ZACB=45°.

17.(1)ANDA.a2

(2)由(l)AABMs/\NDA可得翳=喘.

••,四边形ABCD是正方形，

.•.AB=DC,DA=BC,ZABC=ZBCD=ZADC=ZBAD=90°.

BM_DC

,,BC-ND"

VBM.DN分别平分正方形ABCD的两个外角.

:.ZCBM=ZNDC=45°.

.,.△BCM^ADNC..,.ZBCM=ZDNC.

...ZMCN=360°—ZBCD—ZBCM-ZDCN=270°—QDNC+乙DCN)=270°-(180°-乙CDN)=135°.

18.连接OiAQQQzAQzE,如下图所示.

,:点Oi,分别是正方形的中心。

...△AOQ和AAOzE都是等腰直角三角形.

=—,Z-DAO^=Z.EAO=45°

ADAE21z2

:.乙。1』。2=45°+Z-EAOx.

,:Z-DAE=45°+Z-EAOlf:./-0^02=Z-DAE.

/.△AOIO2-AADE.

，.叱=吆=之EjAOg

DEAD21z

v4。遇。=45°,:.乙01HD=Z-O^D=45°.

zDHOi=45。，2=竺

1DE2

19.(1)如下图所示，连接AC,则NACD=NPCQ=45。.

:.ZACP=ZDCQ.VZQDC=ZPAC=45°.

.,.△APC^ADQC.

=V2.AV2DQ=AP.

DQCD乜

：AP+PB=AB=CD,/2DQ+PB=CD.

(2)连接AC.作CH±AD于点H交BA的延长线于点K.

/.ZK=ZCDQ=3O°,ZPCK=ZQCD=3O°+ZQCK.

.,.△PKC^AQDC.

.=竺•CK=V3BC=CD.：.PK=V3DQ

DQCD”

APB+V3DQ=PB+PK=BK=2BC=2CD.

MDQ+PB

=2.

CD

中考链接

2O.(|/2-V2)

21.y=-x+6;y=-x+6(n-1)

22.(1)如下图所示,①过点M作MN〃BC交AC于点NJI|AAMN^AABC.

VM为