安徽省江南十校2023-2024学年高一5月阶段联考数学试题

安徽省江南十校2023-2024学年高一5月阶段联考数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号框。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将答题卡交回。一、选择题：本大题共8个题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数满足（其中是虚数单位），则（）A．1 B． C． D．22．函数的部分图象如图所示，则的值为（）A．-4 B．4 C．-8 D．83．已知某圆台体积为，其上下底面圆半径分别为2和5，则其母线长为（）A． B．4 C．5 D．4．在中，，则中最小的边长为（）A． B． C． D．5．已知向量满足，则向量的夹角为（）A．0 B． C．0或 D．0或6．学校组织学生去工厂参加社会实践活动，任务是利用一块正方形的铁皮制作簸箕，方法如下：取正方形ABCD边AB的中点，沿MC、MD折叠，将MA、MB用胶水粘起来，使得点A、B重合于点，这样就做成了一个簸箕，如果这个簸箕的容量为，则原正方形铁皮的边长是多少（）A． B． C． D．7．如图，是边长为2的正三角形，直线AD、BE、CF围成一个正三角形DEF，且，则（）A． B． C． D．8．已知正方体的体对角线垂直于平面，直线与平面所成角为，在正方体绕体对角线旋转的过程中，记BC与直线所成的最小角为，则（）A． B． C． D．二、选择题：本大题共3个题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错得0分。9．在下列各组向量中，可以作为基底的是（）A． B．C． D．10．已知复数，下列叙述中错误的是（）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则11．正三棱柱中，为棱的中点，为线段（不包括端点）上一动点，M，N分别为棱AB，AC上靠近点的三等分点，过BC作三棱柱的截面，使得垂直于AP且交AP于点，下列结论正确的是（）A．截面 B．存在点使得平面截面C．当时，截面的面积为 D．三棱锥体积的最大值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．已知关于的实系数二次方程的一根为（其中是虚数单位），则______．13．已知在中，为AC中点，且，则______．14．在棱长为4的正四面体中，，过点作平行于平面ABC的平面与棱PB、PC分别交于点E、F，过点作平行于平面PBC的平面与棱AB、AC分别交于点G、H，记分别为三棱锥的外接球球心，则______．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）已知在平面直角坐标系中，其中为坐标原点．（1）求在方向上的投影向量；（2）证明A、B、C三点共线，并求的最小值．16．（15分）几何体ABCDEF中，平面ADE、平面BCF和平面ACFE均与平面ABCD垂直，且．（1）证明：；（2）求四棱锥与四棱锥公共部分的体积．17．（15分）锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．（1）证明：；（2）求的周长的取值范围．18．（17分）如图，圆柱的高为1，底面半径长为2，它的一个轴截面为，点为底面圆的圆周上一点，且．（1）已知点是底面圆的直径上靠近的一个四等分点，若经过点在底面圆上作一条直线与CE垂直且与圆交于M、N两点，求线段MN的长；（2）求平面与平面ACB的夹角.19.（17分）已知在任意一个三角形的三条边上分别向外做出三个等边三角形，则这三个等边三角形的中心也构成一个等边三角形，我们称由这三个等边三角形中心构成的三角形为其外拿破仑三角形，在锐角中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，以的边BC、CA、AB分别向外作的三个等边三角形的中心分别记为，且的面积为，记为的外接圆半径．（1）若，求；（2）若，求面积的取值范围．

2024年“江南十校”高一阶段联考数学参考答案一、选择题：本大题共8个题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。题号12345678答案BDCCABAB二、选择题：本大题共3个题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错得0分。题号91011答案BCABDACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．0 13． 14．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）【解析】（1）在方向上的投影向量为：………5分（2）因为，则，即，又AC与AB有公共点，所以A、B、C三点共线；………9分当时，的最小值为．………………………13分16．（15分）【解析】（1）在平面ABCD内取点，作交AD于点，作交AC于点，作交BC于点，因为平面平面ABCD，平面平面，所以平面ADE，所以，…………………4分同理平面平面BCF，所以又，所以平面ABCD，同理平面ABCD，故．…………………8分（2）连接EC，AF交于点，则四棱锥与的公共部分为四棱锥，作，则平面ABCD，因为，所以，即，又四边形ABCD的面积为，故．………………15分17．（15分）【解析】（1）因为，则；……6分（2）由，得：，故…………10分因为为锐角三角形，所以，即，所以，则，所以周长的取值范围为．…………15分18．（17分）【解析】（1）在圆上取点使，则圆，连接，因为，所以平面，则，……………………3分因为，所以，又，则，，…………5分取MN中点，则，所以，则．…………9分（2）取OA中点中点，连接，则，记平面与平面ACB的公共交线为，因为平面平面，所以平面，则，所以即平面与平面ACB的夹角，…………14分因为，所以，，即平面与平面ACB的夹角为．………………17分19．（17分）【解析】（1）由得，因为为锐角三角形，所以，由题知，故，…