充要条件教学设计 高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

课程基本信息学科数学年级高一学期秋季课题1.4.2充要条件教科书书名：数学必修一人教A版出版社：人民教育出版社出版日期：2019年月教学目标1.理解充要条件的意义；2.会判断充要条件、充分不必要条件、必要不充分条件、既不充分也不必要条件。3.理解数学定义与充要条件的关系.教材分析常用逻辑用语是数学语言的重要组成部分，是数学表达和交流工具，是逻辑思维的基本语言，充分条件、必要条件和充要条件是数学中常用的逻辑用语。在数学知识体系中，数学定义、判断定理和性质定理是重要的组成部分，它们都可以用逻辑用语表达。每一条数学定义都给出了相应数学结论成立的一个充要条件；每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件；每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件。运用常用逻辑用语进行数学表达、论证和交流，可以提高交流的严谨性和准确性。充要条件是中学数学中重要的数学概念之一，它主要讨论了命题之间的逻辑关系，目的是为数学推理的学习打下基础。学情分析充要条件是中学数学中最重要的数学概念之一，它主要讨论了命题的条件与结论之间的逻辑关系，是学生解决问题时进行等价转化的逻辑基础，是今后学习数学推理的基础。学生在上一节已经学习了充分条件、必要条件的意义，学会了根据命题真假的判断方法，尝试有条件去推结论，从命题的条件与结论的互推关系，分析充要条件的含义，让学生逐渐习惯用数学思维研究数学结论。教学方法启发引导，小组合作，讨论法，探究式教学，讲授法教学内容教学重点：1.对充分、必要、充要条件的判断与证明。教学难点：1.对充分、必要、充要条件的判断与证明，并根据不同条件求参数的值或范围。2.充要条件与教学定义之间的关系的理解.教学过程

温故知新命题真假“若p，则q”是真命题“若p，则q”是假命题推出关系pq条件关系p是q的充分条件，q是p的必要条件。p不是q的充分条件，q不是p的必要条件。定理关系判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件接下来我们在看书中的思考，其中提到了逆命题，那我们先来回想一下，什么是逆命题，老师引导学生发言，并总结（命题“若p，则q”的逆命题为“若q，则p”）。同学们要记住，将命题“若p，则q”中的条件p和结论q互换，就得到一个新的命题“若q，则p”，称这个命题为原命题的逆命题。师生互动：师生共同梳理上节课学习内容，引出逆命题的概念。设计意图：回顾旧知，为进一步学习充要条件做铺垫。探索新知1.形成概念思考：下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题与它们的逆命题都是真命题？(1)若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等；(2)若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等；(3)若一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，则ac<0；(4)若A∪B是空集，则A与B均是空集.解：(1)若两个三角形全等，则这两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等；(2)若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等；(3)若ac<0，则一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根；(4)若A与B均是空集，则A∪B是空集。不难发现，上述命题中的命题(1)(4)和它们的逆命题都是真命题；命题(2)是真命题，但它的逆命题是假命题；命题(3)是假命题，但它的逆命题是真命题。追问1：根据以上命题及其逆命题的真假，那么p是否为q的充分条件或必要条件？为什么？解：（1）原命题为真，所以p是q的充分条件；逆命题为真，所以p是q的必要条件；（2）原命题为真，所以p是q的充分条件；逆命题为假，所以p不是q的必要条件；（3）原命题为假，所以p不是q的充分条件；逆命题为真，所以p是q的必要条件；（4）原命题为真，所以p是q的充分条件；逆命题为真，所以p是q的必要条件。追问2：阅读教科书第20页最后一段到第21页第一段完，你能说说什么是充要条件吗？充要条件：如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，则记作．此时p既是q的充分条件，又是q的必要条件，我们说p是q充分必要条件，简称为充要条件。师生互动：学生独立思考，回答思考题。设计意图：从学生熟悉的具体命题出发，通过分析命题及其逆命题的真假，引入充要条件的概念。2.辨析概念问题：根据定义，上述四个命题中，哪些p是q的充要条件？类比“充分必要条件”的名称，其余的命题中，你认为p应该称为q的什么条件？你认为如何判断p是q的什么条件？解：上述命题（1）（4）中的p是q充要条件；对于命题（2），p是q的充分条件，p不是q的必要条件，称p是q的充分不必要条件；对于命题（3），p不是q的充分条件，p是q的必要条件，称p是q的必要不充分条件。如果“若p，则q”为真命题，且“若q，则p”为真命题，则p是q充要条件；如果“若p，则q”为真命题，且“若q，则p”为假命题，则p是q充分不必要条件；如果“若p，则q”为假命题，且“若q，则p”为真命题，则p是q必要不充分条件；如果“若p，则q”为假命题，且“若q，则p”为假命题，则p是q即不充分又不必要条件。条件关系判定的常用结论：条件p与结论q的关系结论(p是q的)p⇒q，且q⇏p充分不必要条件q⇒p，且p⇏q必要不充分条件p⇒q，且q⇒p充要条件p⇏q，且q⇏p既不充分也不必要条件集合角度看充分、必要条件把使命题P为真命题的变量x的取值集合记作A={x|p(x)}，同理有B={x|q(x)}，则记法A={x|p(x)}，B={x|q(x)}关系A⊊BB⊊AA=BA⊈B且B⊈A图示BAABA(B)ABAB结论p是q的充分不必要条件p是q的必要不成分条件P,q互为充要条件p是q的既不充分也不必要条件注意点：(1)充要条件的判断方法：①确定哪个是条件，哪个是结论；②尝试用条件推结论；③再尝试用结论推条件；④最后判断条件是结论的什么条件。(2)充要条件的等价说法：p是q的充要条件又常说成q成立当且仅当p成立，或p与q等价。师生互动：引导学生类比充要条件的概念，总结充分不必要条件、必要不充分条件和既不充分也不必要条件的概念，得出判断充要条件的方法。设计意图：借助学生熟悉的命题，说明p是q的充要、充分不必要等条件与p是q的充分条件、p是q的必要条件之间的关系．同时利用定义解决问题，形成方法。3.应用概念例3下列各题中，p是q的什么条件？（请用“充要条件”“充分不必要条件”“必要不充分条件”“既不充分又不必要条件”回答）并写出理由．（1）p：两个三角形全等，q：两个三角形三边成比例；（2）p：四边形是平行四边形，q：四边形的对角线互相平分；（3）p：，q：；（4）p：是一元二次方程的一个根，q：。追问1：判断p是q的什么条件的依据与方法是什么？练习1：指出下列各组命题中，p是q的什么条件(1)p：x＝1，q：x－1＝eq\r(x－1)；(2)p：－1≤x≤5，q：x≥－1且x≤5；(3)p：x＋2≠y，q：(x＋2)2≠y2；(4)p：a是自然数；q：a是正数．解：（1）p是q的充分不必要条件；p是q的充要条件；p是q的必要不充分条件；p是q的充分不必要条件。判断充分条件、必要条件及充要条件的四种方法(1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假。(2)集合法：即利用集合的包含关系判断。(3)等价法：即利用p⇔q与q⇔p的等价关系，一般地，对于条件和结论是否定形式的命题，一般运用等价法。(4)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1⇒p2⇒…⇒pn，可得p1⇒pn；充要条件也有传递性。师生活动：学生独立完成，要求写出判断过程和结果，然后展示交流，教师帮助学生规范过程．如果学生只写出命题的真假，而没有给出理由，老师要进行追问．例如：学生在（1）中写出“若q，则p为假命题”，老师追问“为什么”，直到学生给出反例为止。总结判断充分条件、必要条件及充要条件的四种方法设计意图：进一步熟悉利用判断命题真假来判定充要条件、充分不必要等条件的方法．追问2：例3（2）中给出了“四边形是平行四边形”的一个充要条件，即“四边形的对角线互相平分”，你还能写出不同的充要条件吗？答：四边形的两组对边分别相等，四边形的两组对边分别相等，四边形的一组对边平行且相等，都是充要条件。追问3：这些充要条件从不同角度刻画了“平行四边形”这个概念，据此我们可以给出平行四边形的不同定义．例如：“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”、“对角线互相平分的四边形是平行四边形”等等．再回忆你学过的其他数学定义，你发现充要条件和数学定义之间有什么关系？答：数学定义和充要条件的关系：数学定义给出了数学对象成立的充要条件，它是从充分性和必要性两个方面刻画数学对象的，它既是这个数学对象的判定定理又是性质定理。师生互动：学生独立思考，回答问题设计意图：借助具体的数学命题，理解数学定义和充要条件的关系，进一步深化对充要条件的理解。例4已知：⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，求证：d=r是直线l与⊙O相切的充要条件。追问：依据充要条件定义，证明“d=r是直线l与⊙O相切的充要条件”，应该证明哪些命题为真命题？并尝试给出证明思路。需要证明的命题以及证明思路：（1）若d=r，则直线l与⊙O相切；思路：要证“直线l与⊙O相切”“直线l与⊙O有且只有一个公共点”先根据条件“d=r”证明“有公共点”，然后再证明“只有一个公共点”。（2）若直线l与⊙O相切，则d=r．思路：由“直线l与⊙O相切”“直线l与⊙O有且只有一个公共点P”“”“d=r”。证明：（1）如图，作OPl于点P，则OP=d。若d=r，则点P在⊙O上，在直线l上任取一点Q（异于点P），连接OQ。在Rt△OPQ中，OQ＞OP=r。所以，除点P外直线l上的点都在⊙O的外部，即直线l与⊙O仅有一个公共点P。所以直线l与⊙O相切。（2）若直线l与⊙O相切，不防设切点为P，则OPl。因此d=OP=r。由（1）（2）得，d=r是直线l与⊙O相切的充要条件。证明命题（1）成立，即说明d=r是直线l与⊙O相切的充分条件，这一步称为“充分性”；证明命题（2）成立，即说明d=r是直线l与⊙O相切的必要条件，这一步称为“必要性”。师生互动：学生独立思考，分析题意，尝试写出要证的命题以及证明思路，展示交流，老师帮忙完善。在此基础上，学生完成证明，老师帮助订正并规范学生的表达，并指出哪一步是“充分性”，哪一步是“必要性”。或者也可以让学生阅读教科书，并说明哪一步是充分性，哪一步是必要性。设计意图：通过充要条件的证明，进一步加深学生对充要条件的理解．另外，这个题目推理过程有一定难度，所以在推理之前，分清条件和结论，理清证明思路很重要。练习2：求证：关于x的方程ax2证明必要性：由于方程ax2所以Δ＝b2－4ac>0，x1·x