空间向量及其线性运算(1) 学案 高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

1．1空间向量及其运算1.1.1空间向量及其线性运算(1)学习目标：1.运用类比方法，经历向量及其运算由平面向空间推广的过程．2.理解空间向量及相关概念，掌握空间向量的线性运算及其性质，借助图形理解空间向量线性运算及其运算的意义．3.理解空间向量共线的充要条件．活动方案：活动一回顾平面向量的相关内容1.基本概念：(1)向量的定义：(2)向量的模：(3)零向量、单位向量、平行向量：(4)相等向量、共线向量、相反向量：2.平面向量a(a≠0)与b共线的充要条件：3.平面向量的加法、减法、数乘运算的定义及运算法则：几何方法坐标方法运算性质向量的加法(1)平行四边形法则(2)三角形法则向量的减法三角形法则向量的数乘λa是一个向量，则(1)|λa|＝|λ||a|(2)若a≠0，则当λ>0时，λa与a同向；当λ<0时，λa与a反向；特别地，当λ＝0时，λa＝0；当a＝0时，λa＝0活动二类比平面向量探究空间向量的概念及运算1.空间向量的概念：(1)定义：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量．(2)长度或模：空间向量的大小．(3)表示方法：①几何表示法：空间向量用有向线段表示；②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可记作eq\o(AB,\s\up6(→))，其模记为|a|或|eq\o(AB,\s\up6(→))|.(4)几类特殊的空间向量：名称定义及表示零向量规定长度为0的向量叫做零向量，记为0单位向量模为1的向量叫做单位向量相反向量与向量a长度相等而方向相反的向量，叫做a的相反向量，记为－a共线向量(平行向量)如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a，都有0∥a.相等向量方向相同且模相等的向量叫做相等向量，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量

2.空间向量的加减法运算与数乘运算律：空间向量的线性运算类型表示方法图示加法a＋b＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))减法a－b＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))数乘当λ＞0时，λa＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(PQ,\s\up6(→))；当λ＜0时，λa＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(MN,\s\up6(→))；当λ＝0时，λa＝0运算律加法运算律交换律：a＋b＝b＋a结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)数乘运算律分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb(λ∈R)；(λ＋μ)a＝λa＋μa(λ，μ∈R)结合律：λ(μa)＝(λμ)a(λ，μ∈R)思考1►►►如图，在平行六面体ABCD-A′B′C′D′中，分别标出eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA′,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AA′,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))表示的向量．从中你能体会向量加法运算的交换律和结合律吗？一般地，三个不共面的向量的和与这三个向量有什么关系？3.空间向量共线的充要条件：思考2►►►类似平面向量共线的充要条件，你能给出空间向量共线的充要条件吗？思考3►►►如何用向量来表示直线的方向？思考4►►►除了由两点确定一条直线外，还可以由什么来确定一条直线？思考5►►►平面向量与空间向量有哪些相同点与不同点？活动三空间向量的运算例1如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，M是BB1的中点，化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量：(1)eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(BA1,\s\up6(→))；(2)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AA1,\s\up6(→))；(3)eq\o(AA1,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→)).小结：空间向量加法、减法运算的两个技巧：(1)巧用相反向量：向量减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接；(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加法、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果．利用数乘运算进行向量表示的技巧：(1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用向量的三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量；(2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质．

【跟踪练习】如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，下列各式运算结果为eq\o(BD1,\s\up6(→))的是()①eq\o(A1D1,\s\up6(→))－eq\o(A1A,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))；②eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BB1,\s\up6(→))－eq\o(D1C1,\s\up6(→))；③eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(DD1,\s\up6(→))；④eq\o(B1D1,\s\up6(→))－eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(DD1,\s\up6(→)).A.①②B.②③C.③④D.①④例2(2023江苏专题练习)已知O，A，B，C，D，E，F，G，H为空间的9个点(如图所示)，并且eq\o(OE,\s\up6(→))＝keq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OF,\s\up6(→))＝keq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OH,\s\up6(→))＝keq\o(OD,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋meq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(EG,\s\up6(→))＝eq\o(EH,\s\up6(→))＋meq\o(EF,\s\up6(→)).求证：AC∥EG.

【检测反馈】1.(2023日照阶段练习)下列命题中，为真命题的是()A.向量eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(BA,\s\up6(→))的长度相等B.将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆C.空间非零向量就是空间中的一条有向线段D.不相等的两个空间向量的模必不相等2.如图，在三棱锥O-ABC中，M，N分别是AB，OC的中点，设eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，用a，b，c表示eq\o(NM,\s\up6(→))，则eq\o(NM,\s\up6(→))等于()A.eq\f(1,2)(－a＋b＋c)B.eq\f(1,2)(a＋b－c)C.eq\f(1,2)(a－b＋c)D.eq\f(1,2)(－a－b＋c)3.(多选)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，已知AC1的中点为O，则下列互为相反向量的是()A.eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))与eq\o(OB1,\s\up6(→))＋eq\o(OC1,\s\up6(→))B.eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))与eq\o(OA1,\s\up6(→))－eq\o(OD1,\s\up6(→))C.eq\o(OA1,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))与eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OC1,\s\up6(→))D.eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))与eq\o(OA1,\s\up6(→))＋eq\o(OB1,\s\up6(→))＋eq\o(OC1,\s\up6(→))＋eq\o(OD1,\s\up6(→))4.(2023漯河阶段练习)如图，在三棱柱ABC-A′B′C′中，eq\o(AC,\s\up6(→))与eq\o(A′C′,\s\up6(→))是________向量，eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(B′A′,\s\up6(→))是________向量(用“相等”“相反”填空).5.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，化简下列向量表达式：(1)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))；(2)eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(B1C1,\s\up6(→))＋eq\o(D1D,\s\up6(→)).【参考答案与解析】【活动方案】1.(1)我们把既有大小又有方向的量叫做向量．(2)向量的大小称为向量的长度(或称为模).(3)长度为0的向量叫做零向量．长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量．方向相同或相反的非零向量叫做平行向量．(4)长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．平行向量也叫做共线向量．我们把与向量a长度相等，方向相反的向量叫做a的相反向量．2.存在唯一一个实数λ，使b＝λa(a≠0).3.填表略思考1：可以发现，eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA′,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AA′,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AC′,\s\up6(→)).一般地，对于三个不共面的向量a，b，c，以任意点O为起点，a，b，c为邻边作平行六面体，则a，b，c的和等于以O为起点的平行六面体对角线所表示的向量．另外，利用向量加法的交换律和结合律，还可以得到：有限个向量求和，交换相加向量的顺序，其和不变．思考2：对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.思考3：在直线上任取一个非零向量a，我们把与向量a平行的非零向量都称为该直线的方向向量，则直线的方向向量的方向就可以表示直线的方向．思考4：直线上一点和它的方向向量确定．思考5：略例1(1)eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(BA1,\s\up6(→))＝eq\o(CA1,\s\up6(→)).(2)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AA1,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\o(AM,\s\up6(→)).(3)eq\o(AA1,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(CA1,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(BA1,\s\up6(→)).跟踪训练A①eq\o(A1D1,\s\up6(→))－eq\o(A1A,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AD1,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(BD1,\s\up6(→))；②eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BB1,\s\up6(→))－eq\o(D1C1,\s\up6(→))＝eq\o(BC1,\s\up6(→))＋eq\o(C1D1,\s\up6(→))＝eq\o(BD1,\s\up6(→))；③eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(DD1,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\o(DD1,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\o(BB1,\s\up6(→))＝eq\o(B1D,\s\up6(→))≠eq\o(BD1,\s\up6(→))；④eq\o(B1D1,\s\up6(→))－eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(DD1,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(DD1,\s\up6(→))＝eq\o(BD1,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))≠eq\o(BD1,\s\up6(→)).例2因为eq\o(OE,\s\up6(→))＝keq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OF,\s\up6(→))＝keq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OH,\s\up6(→))＝keq\o(OD,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋meq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(EG,\s\up6(→))＝eq\o(EH,\s\up6(→))＋meq\o(EF,\s\up6(→))，所以eq\o(EG,\s\up6(→))＝eq\o(OH,\s\up6(→))－eq\o(OE,\s\up6(→))＋m(eq\o(OF,\s\up6(→))－eq\o(OE,\s\up6(→)))＝k(eq\o(OD,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＋km(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＝keq\o(AD,\s\up6(→))＋kmeq\o(AB,\s\up6(→))＝k(eq\o(AD,\s\up6(→))＋meq\o(AB,\s\up6(→)))＝keq\o(AC,\s\up6(→))，所以eq\o(AC,\s\up6(→))∥eq\o(EG,\s\up6(→)).因为AC，EG无公共点，所以AC∥EG.【检测反馈】1.A对于A，因为空间向量eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(BA,\s\up6(→))互为相反向量，所以空间向量eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(BA,\s\up6(→))的长度相等，故A正确；对于B，将空间中所有的单位向量平移到同一个起点，则它们的终点构成一个球面，故B错误；对于C，空间向量可以用空间中的一条有向线段表示，但空间向量不是有向线段，故C错误；对于D，两个空间向量不相等，它们的模可能相等，也可能不相等，如向量eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(BA,\s\up6(→))的模相等，故D错误．2.Beq\o(NM,\s\up6(→))＝eq\o(NA,\s\up6(→))＋eq\o(AM,\s\up6(→))＝(eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(ON,\s\up6(→)))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(a＋b－c).3.ACD如图，设M，N分别为AD，B1C1的中点，O1，O2分别为上、下底面的中心.eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))＝2eq\o(OM,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))1＋eq\o(OC1,\s\up6(→))＝2eq\o(ON,\s\up6(→))，互为相反向量，故A正确；eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))，eq\o(OA1,\s\up6(→))－eq\o(OD1,\s\up6(→))＝eq\o(D1A1,\s\up6(→))，互为相等向量，故B错误；eq\o(OA1,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OC1,\s\up6(→))＝eq\o(C1C,\s\up6(→))，互为相反向量，故C正确；eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))＝2eq\o(OO2,\s\up6(→))