数学归纳法 高二下学期数学北师大版（2019）选择性必修二册

数学归纳法数学北师大版选择必修二第一章第五节你玩过多米诺骨牌吗？你能发现它有什么特点？图二：后续的多米诺骨牌会依次倒下吗？为什么？图一：图中的多米诺骨牌会倒下吗？思考：什么情况下可以使得一系列的多米诺骨牌全都倒下？1）使开头的第一块倒下2）后续的多米诺骨牌间隔必须满足前一块倒下后能使得后一块也倒下新课引入思考：什么情况下可以使得一系列的多米诺骨牌全都倒下？1）使开头的第一块倒下2）后续的多米诺骨牌间隔必须满足前一块倒下后能使得后一块也倒下在数列的学习过程中，我们得到过很多公式:等差数列通项公式：an＝a1＋(n－1)d等差数列前n项和公式：或多米诺骨牌问题中蕴含着什么样的数学思维呢？对于这样一些与正整数n有关的命题，如何证明它们对于任意的正整数n都成立？数学归纳法知识点数学归纳法一般地，证明一个与正整数n有关的数学命题，可按如下两个步骤进行：(1)证明当n＝n0(n0∈N＋)时命题成立；(2)假设当n＝k(k≥n0，k∈N＋)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．根据(1)(2)，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立上述证明方法叫作数学归纳法．思考：什么情况下可以使得一系列的多米诺骨牌全都倒下？1）使开头的第一块倒下2）后续的多米诺骨牌间隔必须满足前一块倒下后能使得后一块也倒下为什么数学归纳法可以说明命题从n0开始的所有正整数n都成立？

取k=1取k=2根据（2）可知n=1+1=2时命题成立；由于n=2时命题成立，故再根据（2）可知n=2+1=3时命题成立······以此递推n=4,5,6·····时命题也成立，即命题对任意正整数都成立

验证是基础递推是关键利用假设是核心数学归纳法的三个关键点(1)验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定是1.(2)递推是关键：数学归纳法的实质在于递推，要正确分析式子中项数的变化，弄清式子两边的构成规律.(3)利用假设是核心：在第二步证明n＝k＋1时，一定要利用归纳假设.课堂练习1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)推证n＝k＋1时可以不用n＝k时的假设．(

)(2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明．(

)(3)不管是等式还是不等式，用数学归纳法证明时由n＝k到n＝k＋1时，项数都增加了一项．(

)(4)用数学归纳法证明等式“1＋2＋22＋…＋2n＋2＝2n＋3－1”，验证n＝1时，左边式子应为1＋2＋22＋23.(

)×××√

3.证明：假设当n＝k(k∈N＋)时等式成立，即2＋4＋…＋2k＝k2＋k，则当n＝k＋1时，2＋4＋…＋2k＋2(k＋1)＝k2＋k＋2(k＋1)＝(k＋1)2＋(k＋1)，即当n＝k＋1时，等式也成立.因此对于任何n∈N＋等式都成立.以上用数学归纳法证明“2＋4＋…＋2n＝n2＋n(n∈N＋)”的过程中的错误为___________________.缺少步骤(1)验证n=1时成立4.用数学归纳法证明关于n的恒等式，当n＝k时，表达式为1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2，则当n＝k＋1时，表达式为____________________________________________________.1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＋(k＋1)(3k＋4)＝(k＋1)(k＋2)2当n＝k＋1时，表达式左侧为1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＋(k＋1)(3k＋4)，表达式右侧为(k＋1)(k＋2)2，则当n＝k＋1时，表达式为1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＋(k＋1)(3k＋4)＝(k＋1)(k＋2)2.例2左边＝右边，所以等式成立.(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时等式成立，即有则当n＝k＋1时，所以当n＝k＋1时，等式也成立.由(1)(2)可知，对一切n∈N＋等式都成立.

数学归纳法常与不完全归纳法结合起来使用：用不完全归纳法发现规律，用数学归纳法证明结论．壹贰用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤是：(1)证明当n取第一个值n0时结论正确；(2)假设当n＝k(k∈N*,k≥n0)时结论正确,证明当n＝k＋1时结论也正确．这两个步骤缺一不可．证明的第一步是为了获得递推的基础，但这一步还不能说明递推的普遍性；证明的第二步，是为了获得递推的依据．在第二步中，归纳假设起着“已知条件”的作用，在证n＝k＋1时一定要运用它，否则就不是数学归纳法．叁方法规律小结16数学归纳法的三个关键点(1)验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定是1.(2)递推是关键：数学归纳法的实质在于递推，要正确分析式子中项数的变化，弄清式子两边的构成规律.(3)利用假设是核心：在第二步证明n＝k＋1时，一定要利用归纳假设.反思总结数学归纳法一般地，证明一个与正整数n有关的数学命题，可按如下两个步骤进行：(1)证明当n＝n0