初高衔接突破18讲上课讲义（学生版）

目录TOC\o"1-1"\h\u26410突破01一元二次方程与一元二次函数 414832(一)一元二次方程根与系数的关系 613190(二)一元二次函数的综合问题 830突破02一元二次不等式的解法与高次不等式的解法 1112449(一)一元二次不等式的解法 1423500(二)一元二次不等式的应用 1615899(三)高次不等式的解法 1717339突破03二次函数的最值问题 1932023(一)二次函数（不含参数）的最值问题 2130937(二)二次函数（含参数）的最值问题 2319488突破04分式不等式与绝对值不等式 2430591(一)分式方程与分式不等式的解法 2529930(二)绝对值不等式的解法 261894突破05集合的概念及其表示 2920090(一)集合的概念 3225409(二)元素与集合之间的关系 3315260(三)、集合的表示方法 343882（四）、集合相等 3523698（五）、判断两个集合之间的关系 3616974（六）、确定集合的子集的个数 372696突破06集合的运算重难点突破 3927449（一）、集合的基本运算 4329597（二）、集合中的新定义问题 4426115（三）、集合的交、并、补运算 4426229专题07集合中含有参数的问题 487440(一)元素与集合的关系中含有参数问题 5030805(二)集合中元素个数的含参数问题 51936(三)、集合基本关系中的含参问题 5217344(四)、集合基本运算中的含参问题 5428916突破08函数及其表示 5539551．函数概念 59163932．函数相等 6016693．函数图象 61188234．分段函数 6280805．映射 62227776．求函数的解析式时忽略函数的定义域 6328704突破09函数的三要素重难点突破 6771181．函数的定义域 70231752．求函数值或函数的值域 73211153．函数解析式的求法 741270突破10函数的单调性与最值重难点突破 7412971(一)证明或判断函数的单调性 7724783(二)函数单调性的应用 7830997(三)求函数的最大值与最小值 7924465突破11函数的奇偶性重难点突破 8224688(一)证明或判断函数的奇偶性 8410431(二)函数奇偶性的应用 8532246突破12函数的单调性与奇偶性综合应用重难点突破 8711321专题13指数与指数函数重难点突破 9780401．分数指数幂与根式的转化 100206132．指数幂的运算 101224273．知值求值问题 1039654．指数函数的概念 104186785．指数函数的图象 105184116．与指数函数相关的定义域和值域问题 106228427．指数函数单调性的应用 10765718．忽略的范围导致式子化简出错 1081069．利用换元法时，遗漏指数函数的值域导致出错 1081129突破15幂函数重难突破 112216861．K重点——幂函数的定义 11416492．幂函数的图象 116278543．幂函数性质的应用 117138184．幂函数单调性的应用 117227505．求出参数后，忽略检验致错 1187875突破16含指数，对数，幂函数，二次函数的复合函数问题 1232290(一)复合函数的单调性与最值 12519675(二)复合函数的奇偶性与周期性 1275325(三)幂函数 13024163(四)二次函数以及其他函数综合问题 13118448突破17函数与方程重难点突破 13422217(一)二分法求函数的近似值 13512652(二)方程的根与函数的零点 13620325(三)综合应用（多个零点或交点问题） 13724566突破18函数的应用重难点突破 14131912(一)几种选择函数拟合问题 141278(二)函数模型的应用举例 145突破01一元二次方程与一元二次函数一、考情分析二、经验分享【重难点1：一元二次方程】1、一元二次方程有实数根的判断①△＞0方程（※）有两个不同的实数根，；②△=0方程（※）有两个相同的实数根，；③△＜0方程（※）没有实数根；2、根与系数的关系如果的两个根是，则，．①，②，③【重难点2：一元二次函数】1、形如的函数叫做二次函数，其图象是一条抛物线。2、二次函数的解析式的三种形式：①一般式②顶点式，其中顶点为（m，n）③零点式，其中，是的两根。3、二次函数的性质开口方向对称轴直线直线直线顶点坐标()增减性当时，在对称轴左侧，y随着x的增大而减少；在对称轴右侧，y随着x的增大而增大；当时，在对称轴左侧，y随着x的增大而增大；在对称轴右侧，y随着x的增大而减少；最值当时，当时，当时，=（或用代入法）(1)决定抛物线的开口方向：①开口向上；②开口向下．(2)决定抛物线与y轴交点的位置：①图象与y轴交点在x轴上方；②图象过原点；③图象与y轴交点在x轴下方．(3)决定抛物线对称轴的位置(对称轴：)：①同号对称轴在y轴左侧；②对称轴是y轴；③异号对称轴在y轴右侧，简记为：左同右异中为0．(4)顶点坐标．(5)决定抛物线与x轴的交点情况：①△>0抛物线与x轴有两个不同交点；②△=0抛物线与x轴有唯一的公共点(相切)；③△<0抛物线与x轴无公共点．三、题型分析(一)一元二次方程根与系数的关系例1．若α、β为方程的两个实数根，则的值为的值为（）A．﹣13B．12C．14D．15【变式训练1】．关于x的一元二次方程有两个不相等的正实数根，则m的取值范围是（）A．B．且C．D．【变式训练2】．已知关于x的方程x2+x﹣a=0的一个根为2，则另一个根是（）A．﹣3 B．﹣2 C．3 D．6【变式训练3】．若是方程的两个根，且，则的值为（）A．或2B．1或C．D．1例2．已知关于x的一元二次方程有两个实数根，．（1）求m的取值范围；（2）若，满足，求m的值．

【变式训练1】．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．以下关于倍根方程的说法，正确的是________．（写出所有正确说法的序号）．①方程是倍根方程；②若是倍根方程，则；③若点在反比例函数的图像上，则关于的方程是倍根方程；④若方程是倍根方程，且相异两点，都在抛物线上，则方程的一个根为．

(二)一元二次函数的综合问题例3．如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象，下列结论：①二次三项式ax2+bx+c的最大值为4；②4a+2b+c＜0；③一元二次方程ax2+bx+c=1的两根之和为﹣1；④使y≤3成立的x的取值范围是x≥0．其中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【变式训练1】．二次函数（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：（1）4a+b=0；（2）9a+c＞3b；（3）8a+7b+2c＞0；（4）若点A（﹣3，）、点B（，）、点C（，）在该函数图象上，则；（5）若方程a（x+1）（x﹣5）=﹣3的两根为和，且，则＜﹣1＜5＜．其中正确的结论有（）A．2个B．3个C．4个D．5个

【变式训练2】．如图是二次函数图像的一部分，其对称轴是，且过点（－3，0），下列说法：①②③④若是抛物线上两点，则，其中说法正确的是（）A．①②B．②③C．①②④D．②③④【变式训练3】．如果函数的图象经过平面直角坐标系的四个象限，那么的取值范围是．例4．已知当x1=a，x2=b，x3=c时，二次函数对应的函数值分别为y1，y2，y3，若正整数a，b，c恰好是一个三角形的三边长，且当a＜b＜c时，都有y1＜y2＜y3，则实数m的取值范围是．

【变式训练1】．如图，一段抛物线：y=﹣x（x﹣2）（0≤x≤2）记为C1，它与x轴交于两点O，A1；将C1绕A1旋转180°得到C2，交x轴于A2；将C2绕A2旋转180°得到C3，交x轴于A3；…如此进行下去，直至得到C6，若点P（11，m）在第6段抛物线C6上，则m=．

四、迁移应用1．一元二次方程与的所有实数根之和为（）A．2B．-4C．4D．32．已知x=1是一元二次方程的一个根，则（）A．2 B．1 C．0 D．-13．已知关于x的一元二次方程的一个实数根为2，则另一实数根及m的值分别为（）A．4，﹣2B．﹣4，﹣2C．4，2D．﹣4，24．若实数a、b满足，则=__________．5．设一元二次方程的两根分别是，，则=．6．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过A（2，0），B（0，﹣1）和C（4，5）三点．（1）求二次函数的解析式；（2）设二次函数的图象与x轴的另一个交点为D，求点D的坐标；（3）在同一坐标系中画出直线y=x+1，并写出当x在什么范围内时，一次函数的值大于二次函数的值．突破02一元二次不等式的解法与高次不等式的解法一、考情分析二、经验分享【重难点01形如的不等式称为关于的一元二次不等式．】一般式二次函数二次方程一元二次不等式图像与解xxyOx1x2或xxyOx0无解xxyO无解R无解（表中，）【重难点02二次函数恒成立问题】①恒成立;②恒成立【重难点03高次不等式的解法——穿根法】1、基本思路：先因式分解，再使用穿根法．2、注意：因式分解后，整理成每个因式中未知数的系数为正． 3、步骤：①在数轴上标出化简后各因式的根，使等号成立的根，标为实点，等号不成立的根要标虚点．②自右向左自上而下穿线，遇偶次重根不穿透，遇奇次重根要穿透(叫奇穿偶不穿)． ③数轴上方曲线对应区域使“>”成立，下方曲线对应区域使“<”成立． 

三、题型分析(一)一元二次不等式的解法例1．（1）不等式9x2＋6x＋1≤0的解集是()A. B.C．∅ D.（2）．不等式－x2－3x＋4>0的解集为________．(用区间表示)（3）．x2－5x＋6>0；（4）．－eq\f(1,2)x2＋3x－5>0.【变式训练1】．求下列不等式的解集.（1）；（2）；（3）；（4）.

例2．【四川省宜宾市2017-2018学年高一上学期期末】当时,不等式恒成立，则的取值范围为（）A．或 B．或C．或 D．【变式训练1】．【山东省泰安市第四中学2019-2020学年高一上学期第一次月考】在上定义运算：，若不等式对任意的实数恒成立，则实数的取值范围是()A． B． C． D．【变式训练2】．不等式的解集为__________．

(二)一元二次不等式的应用例3．某省每年损失耕地20万亩，每亩耕地价值24000元，为了减小耕地损失，决定按耕地价格的t%征收耕地占用税，这样每年的耕地损失可减少t万亩，为了既减少耕地的损失又保证此项税收一年不少于9000万元，t变动的范围是________．【变式训练1】．【2016届上海市闸北区高三上学期期末】有一块铁皮零件，其形状是由边长为的正方形截去一个三角形所得的五边形，其中，如图所示.现在需要用这块材料截取矩形铁皮，使得矩形相邻两边分别落在上，另一顶点落在边或边上.设，矩形的面积为.（1）试求出矩形铁皮的面积关于的函数解析式，并写出定义域；（2）试问如何截取（即取何值时），可使得到的矩形的面积最大？

(三)高次不等式的解法例4．不等式的解集是__________．【变式训练1】．【上海市虹口区复兴高级中学2016-2017学年高一上学期期中】不等式的解集是______.

四、迁移应用1．若集合A＝{x|(2x＋1)(x－3)<0}，B＝{x|x∈N*，x≤5}，则A∩B等于()A．{1,2,3} B．{1,2}C．{4,5} D．{1,2,3,4,5}2．在R上定义运算“⊙”：a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足x⊙(x－2)<0的实数x的取值范围为()A．(0,2) B．(－2,1)C．(－∞，－2)∪(1，＋∞) D．(－1,2)3．关于x的不等式ax2＋bx＋2>0的解集为{x|－1<x<2}，则关于x的不等式bx2－ax－2>0的解集为()A．{x|－2<x<1}B．{x|x>2或x<－1}C．{x|x>1或x<－2}D．{x|x<－1或x>1}4．不等式mx2－ax－1>0(m>0)的解集可能是()A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x<－1或x>\f(1,4))))) B．RC.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)<x<\f(3,2))))) D．∅5．不等式的解集为___________．解不等式．6．解下列不等式：(1) (2)7．解关于x的不等式8．已知不等式的解是求不等式的解．9．若不等式对任意实数均成立，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.10．已知集合，集合.若，求实数的取值范围.11．求下列不等式的解集（1）；（2）.12．已知不等式的解集为或(1)求，的值；(2)解不等式.突破03二次函数的最值问题一、考情分析二、经验分享重难点-具体归纳如下：1、二次函数(一般情况)的最值问题：①二次函数的增减性当时，在对称轴左侧，y随着x的增大而减少；在对称轴右侧，y随着x的增大而增大；当时，在对称轴左侧，y随着x的增大而增大；在对称轴右侧，y随着x的增大而减少．②二次函数的最值【一般二次函数求最值】根据最值公式计算即可，或把对称轴代入表达式，对应的函数值就是最值。一元二次函数时，【给定自变量取值范围求二次函数的最值】①如果给定的范围在对称轴的一侧，只需要计算两个端点的函数值，两个值中最大的为最大值，最小的为最小值。②如果给定的范围包含对称轴，需要计算两个端点的函数值和顶点的纵坐标，三个值中最大的为最大值，最小的为最小值。2、二次函数(含有参数)的最值问题一元二次函数在区间[m,n]上的最值。①、当，②、当，③、当时，④、时，三、题型分析(一)二次函数（不含参数）的最值问题例1、当时，求函数的最大值和最小值．例2、当时，求函数的最大值和最小值．【变式训练1】．二次函数的图象如图所示，当﹣1≤x≤0时，该函数的最大值是（）A．3．125 B．4 C．2 D．0【变式训练2】．当时，求函数的取值范围．

(二)二次函数（含参数）的最值问题例3．已知函数，存在，使得，则的取值范围是__________．例4．已知函数，那么使成立时的取值范围是（）A．(－1，2) B．(－∞，－1)∪(2，＋∞)C．(－2，1) D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)【变式训练1】．不等式对任意实数都成立，则实数的取值范围____【变式训练2】．当时，求函数的最小值(其中为常数)．

例5、某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量(件)与每件的销售价(元)满足一次函数．(1)写出商场卖这种商品每天的销售利润与每件销售价之间的函数关系式；(2)若商场要想每天获得最大销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？突破04分式不等式与绝对值不等式一、考情分析二、经验分享【重难点01分式方程与分式不等式】1、分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．(1)分式方程的解法①一般解法：去分母法，即方程两边同乘以最简公分母．②特殊解法：换元法．(2)验根：由于在去分母过程中，当未知数的取值范围扩大而有可能产生增根．因此，验根是解分式方程必不可少的步骤，一般把整式方程的根的值代人最简公分母，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去．说明：解分式方程，一般先考虑换元法，再考虑去分母法．2、分式不等式的解法：

分母恒为正时可去分母；分母不恒为正时不能去分母，应先移项使右边为0再通分并将分子分母分解因式，最后用标根法求解。解分式不等式的主旨是化分式不等式为整式不等式，进行求解．3、可化为一元二次方程的分式方程1．去分母化分式方程为一元二次方程 2．用换元法化分式方程为一元二次方程简单分式不等式的解法【重难点02绝对值不等式】1、实数绝对值的意义2、a>0：①②或x>a3、解含有绝对值不等式关键是如何去绝对值符号．对于形如和的不等式，可利用绝对值的含义去绝对值符号得或；．三、题型分析(一)分式方程与分式不等式的解法例1、解方程．【变式训练1】解方程例2．不等式的解是__________．【变式训练2】不等式的解为____________．【变式训练3】不等式的解为______．【变式训练4】不等式的解是__________．(二)绝对值不等式的解法例3．（1）、不等式的解集为__________．（2）、已知的解集是，则实数，的值是（）A．，B．，C．，D．，【变式训练1】关于的不等式在上恒成立，则的取值范围是__________．例4．若关于的不等式恰好有4个整数解，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【变式训练1】．的解集为（）A．B．C．D．

四、迁移应用1．分式方程的解为：（）A、1B、2C、D、02．用换元法解方程时，设，则原方程可化为（）A．B．C．D．3．不等式的解集是（）A．B．C．D．4．不等式的解集是（）A．B．C．或D．5.解下列不等式： (1) (2)6．方已知关于x的分式方程的解为负数，则k的取值范围是．7．关于x的两个方程与有一个解相同，则m=．8．解方程：．

9．若关于x的分式方程的解为负数，则k的取值范围为．10．分式方程的解是．突破05集合的概念及其表示一、考情分析二、经验分享【知识点一、集合的概念】1．集合与元素一般地，我们把___________统称为元素，用小写拉丁字母表示．把___________组成的总体叫做集合，用大写拉丁字母表示．说明：组成集合的元素可以是数、点、图形、多项式，也可以是人或物等．2．元素与集合的关系如果是集合的元素，就说属于集合，记作___________；如果不是集合中的元素，就说不属于集合，记作___________．注意：与取决于元素a是否是集合A中的元素．根据集合中元素的确定性可知，对任何元素a与集合A，与这两种情况中必有一种且只有一种成立．3．集合中元素的特征（1）___________：集合中的元素是否属于这个集合是确定的，即任何对象都能明确它是或不是某个集合的元素，两者必居其一．这是判断一组对象是否构成集合的标准．（2）___________：给定集合的元素是互不相同的．即对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．（3）___________：集合中各元素间无先后排列的要求，没有一定的顺序关系．4．集合相等只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的．【知识点二、常用的数集及其记法】1．全体___________组成的集合称为非负整数集（或自然数集），记作N；2．所有___________组成的集合称为正整数集，记作或；3．全体___________组成的集合称为整数集，记作Z；4．全体___________组成的集合称为有理数集，记作Q；5．全体___________组成的集合称为实数集，记作R．易错点：为非负整数集（即自然数集），包括0，而表示正整数集，不包括0，注意区分．【知识点三、集合的表示方法】1．列举法把集合的元素___________出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．注意：（1）用列举法表示的集合，集合中的元素之间用“，”隔开，另外，集合中的元素必须满足确定性、互异性、无序性．（2）“{}”含有“所有”的含义，因此用表示所有实数是错误的，应是．2．描述法用集合所含元素的___________表示集合的方法称为描述法．具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的___________．说明：用描述法表示集合应写清楚该集合中的代表元素，即代表元素是数、有序实数对、集合，还是其他形式．【知识点四、Venn图，子集】1．Venn图的概念我们经常用平面上___________的内部代表集合，这种图称为Venn图．说明：（1）表示集合的Venn图的边界是封闭曲线，它可以是圆、矩形、椭圆，也可以是其他封闭曲线．（2）Venn图表示集合时，能够直观地表示集合间的关系，但集合元素的公共特征不明显．2．子集（1）子集的概念一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中___________都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作（或），读作“A含于B”（或“B包含A”）．用Venn图表示AB如图所示：（2）子集的性质①任何一个集合是它自身的子集，即．②传递性，对于集合，，，如果，且，那么．【知识点五、从子集的角度看集合的相等】如果集合是集合的___________（），且集合是集合的___________（），此时，集合与集合中的元素是一样的，因此，集合与集合相等，记作．用Venn图表示如图所示．【知识点六、真子集】1．真子集的概念如果集合，但存在元素___________，我们称集合是集合的真子集，记作（或）．如果集合是集合的真子集，在Venn图中，就把表示的区域画在表示的区域的内部．如图所示：2．真子集的性质对于集合，，，如果，，那么．辨析：子集与真子集的区别：若，则或；若，则．【知识点七、空集】1．空集的概念我们把___________任何元素的集合叫做空集，记作，并规定：空集是任何集合的子集．2．空集的性质（1）空集是任何集合的___________，即；（2）空集是任何非空集合的___________，即．注意：空集不含任何元素，在解题过程中容易被忽略，特别是在隐含有空集参与的集合问题中，往往容易因忽略空集的特殊性而导致漏解三、题型分析(一)集合的概念判断指定的对象的全体能否构成集合，关键在于能否找到一个明确的标准，使得对于任何一个对象，都能确定它是否是给定集合中的元素．注意：构成集合的元素除常见的数、式、点等数学对象外，还可以是其他任意确定的对象．【例1】下列各组对象中不能构成集合的是（）A．正三角形的全体 B．所有的无理数C．高一数学第一章的所有难题 D．不等式2x＋3>1的解【变式训练1】考察下列每组对象，能组成一个集合的是①油高高一年级聪明的学生②直角坐标系中横、纵坐标相等的点③不小于3的正整数④的近似值．A．①② B．③④ C．②③ D．①③【变式训练2】现有以下说法，其中正确的是①接近于0的数的全体构成一个集合；②正方体的全体构成一个集合；③未来世界的高科技产品构成一个集合；④不大于3的所有自然数构成一个集合．A．①② B．②③ C．③④ D．②④(二)元素与集合之间的关系元素与集合之间有且仅有“属于（）”和“不属于（）”两种关系，且两者必居其一．判断一个对象是否为集合中的元素，关键是看这个对象是否具有集合中元素的特征．若集合是用描述法表示的，则集合中的元素一定满足集合中元素的共同特征，可据此列方程（组）或不等式（组）求解参数；若，且集合是用列举法表示的，则a一定等于集合A的其中一个元素，由此可列方程（组）求解．【例2】已知，则有A． B． C． D．【变式训练1】集合，，中的不能取的值是A．2 B．3 C．4 D．5【变式训练2】已知，，，，则，且 B．，且 C．，且 D．，且【变式训练3】集合，的元素个数为A．4 B．5 C．10 D．12【变式训练4】对于任意两个正整数，，定义某种运算“※”如下：当，都为正偶数或正奇数时，※；当，中一个为正偶数，另一个为正奇数时，※．则在此定义下，集合※中的元素个数是A．18 B．17 C．16 D．15(三)、集合的表示方法对于元素较少的集合宜采用列举法表示，用列举法表示集合时，要求元素不重复、不遗漏、不计次序；对于元素较多的集合宜采用描述法表示．但是对于有些元素较多的集合，如果其中的元素具有规律性，那么也可以用列举法表示，常用省略号表示多个元素．但要注意不要忽略集合中元素的代表形式．【例3】选择适当的方法表示下列集合：（1）1和70组成的集合；（2）大于1且小于70的自然数组成的集合．（3）大于1且小于70的实数组成的集合．（4）平面直角坐标系中函数图象上的所有点组成的集合．【变式训练1】用列举法表示下列集合：（1），；（2）；【变式训练2】已知集合．（1）若中只有1个元素，试求实数的值，并用列举法表示集合；（2）若集合中有2个元素，求实数的取值范围．

（四）、集合相等从集合相等的概念入手，寻找两个集合中元素之间的关系，看一个集合中的元素与另一集合中的哪个元素相等，一般需要分类讨论，在求出参数值后，要注意检验是否满足集合中元素的互异性及是否使有关的代数式有意义．【例4】已知集合M中含有三个元素2，a，b，集合N中含有三个元素2a，2，，且两集合相等，求a，b的值．【变式训练1】已知集合，下列结论正确的是A． B． C． D．【变式训练2】已知集合，，，，若，则A．1 B．2 C． D．【变式训练3】已知，，若集合，，，，，则的值为A． B． C．1 D．2

（五）、判断两个集合之间的关系（1）从集合关系的定义入手，对两个集合进行分析，首先，判断一个集合A中的任意元素是否属于另一集合B，若是，则A⊆B，否则A不是B的子集；其次，判断另一个集合B中的任意元素是否属于第一个集合A，若是，则B⊆A，否则B不是A的子集；若既有A⊆B，又有B⊆A，则A＝B．（2）确定集合是用列举法还是描述法表示的，对于用列举法表示的集合，可以直接比较它们的元素；对于用描述法表示的集合，可以对元素性质的表达式进行比较，若表达式不统一，要先将表达式统一，然后再进行判断．也可以利用数轴或Venn图进行快速判断．【例5】指出下列各组中两个集合的包含关系：（1），；（2），；（3），，，．【变式训练1】已知集合，，，，则A． B．M⊊N C．N⊊M D．M∩N=∅【变式训练2】设集合，，则集合与集合的关系是A． B． C．M⊊P D．P⊊M【变式训练3】若集合M＝{x||x|≤1}，N＝{y|y＝x2，|x|≤1}，则（）A．M∩N＝（0，1] B．M⊆N C．N⊆M D．M＝N

（六）、确定集合的子集的个数有限集子集的确定问题，求解关键有三点：（1）确定所求集合；（2）注意两个特殊的子集：和自身；（3）依次按含有一个元素的子集，含有两个元素的子集，含有三个元素的子集……写出子集．就可避免重复和遗漏现象的发生．【例6】集合的真子集个数为A．7 B．8 C．15 D．16【变式训练1】已知集合且，且．（1）写出集合的子集；（2）写出集合的真子集．【变式训练2】已知集合，求集合的真子集．

【变式训练3】定义，，．设集合，，，．（1）求集合的所有元素之和．（2）写出集合的所有真子集．

四、迁移应用1．（2019秋•桂林期末）集合A＝{x|x2＝x}中所含元素为（）A．0，1 B．﹣1，1 C．﹣1，0 D．12．（2018秋•东阳市校级月考）设集合A＝{x|x＞2}，则（）A．∅∈A B．0∈A C．2∈A D．3.（2018新疆乌鲁木齐二模）若集合，，则（）A．B．C.RD．4．（2019秋•钦南区校级月考）对于任意两个正整数m，n，定义某种运算“※”，法则如下：当m，n都是正奇数时，m※n＝m+n；当m，n不全为正奇数时，m※n＝mn，则在此定义下，集合M＝{（a，b）|a※b＝16，a∈N*，b∈N*}的真子集的个数是（）A．27﹣1 B．211﹣1 C．213﹣1 D．214﹣15.（2018江苏苏州调研）已知集合，，且，则正整数．6．（2019春•莲湖区校级期末）若a，b∈R，集合，求b﹣a的值突破06集合的运算重难点突破一、考情分析二、经验分享【知识点1、并集】1．并集的概念一般地，由___________属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集，记作：___________（读作“A并B”），即．用Venn图表示如图所示：（1）（2）（3）由上述图形可知，无论集合A，B是何种关系，恒有意义，图中阴影部分表示并集．注意：并集概念中的“或”指的是只需满足其中一个条件即可，这与生活中的“或”字含义不同．生活中的“或”字是或此或彼，必居其一，而并集中的“或”字可以是兼有的．2．并集的性质对于任意两个集合A，B，根据并集的概念可得：（1），；（2）；（3）；（4）．【知识点2、交集】1．交集的概念一般地，由___________的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作：___________（读作“A交B”），即．用Venn图表示如图所示：（1）A与B相交（有公共元素）（2），则（3）A与B相离（）注意：（1）交集概念中的“且”即“同时”的意思，两个集合的交集中的元素必须同时是两个集合的元素．（2）定义中的“所有”是指集合A和集合B中全部的公共元素，不能是一部分公共元素．2．交集的性质（1）；（2）；（3）；（4）．【知识点3、全集与补集】1．全集的概念一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U，是相对于所研究问题而言的一个相对概念．学+科网说明：“全集”是一个相对的概念，并不是固定不变的，它是依据具体的问题来加以选择的．例如：我们常把实数集看作全集，而当我们在整数范围内研究问题时，就把整数集看作全集．2．补集的概念对于一个集合A，由全集U中___________集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作，即．用Venn图表示如图所示：说明：（1）补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算．求集合A的补集的前提是A是全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的，因此，它们是互相依存、不可分割的两个概念．（2）若，则或，二者必居其一．3．全集与补集的性质设全集为U，集合A是全集U的一个子集，根据补集的定义可得：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．

三、题型分析（一）、集合的基本运算集合基本运算的求解规律(1)离散型数集或抽象集合间的运算，常借用Venn图求解．(2)集合中的元素若是连续的实数，常借助数轴求解，但是要注意端点值能否取到的情况．(3)根据集合运算求参数，先把符号语言译成文字语言，然后灵活应用数形结合求解．例1、(1)已知集合，，则（）A． B．C．D．(2)【2019·黄冈调研】已知函数f(x)＝eq\f(1,\r(1－x2))的定义域为M，g(x)＝ln(1－x)的定义域为N，则M∪(∁RN)＝()A．{x|x>－1} B．{x|x≥1}C．∅ D．{x|－1＜x＜1}(3)已知集合A＝{1,3，eq\r(m)}，B＝{1，m}，A∪B＝A，则m＝()A．0或eq\r(3) B．0或3C．1或eq\r(3) D．1或3【变式训练】(1)．【江西省名校（临川一中、南昌二中)2019届高一5月联合考试数学】已知集合，则（）A． B．C． D．(2)．【福建省龙岩市（漳州市）2019届高一5月月考数学】已知集合，，则（）A． B．C． D．

（二）、集合中的新定义问题解题技巧：集合中的新定义问题(1)紧扣“新”定义：分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题的关键所在．(2)把握“新”性质：用好集合的性质(概念、元素的性质、运算性质等)是破解新定义型集合问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的性质．(3)遵守“新”法则：准确把握新定义的运算法则，将其转化为集合的交集、并集与补集的运算即可．例2.(1)【2019·武汉调研】设A，B是两个非空集合，定义集合A－B＝{x|x∈A，且x∉B}．若A＝{x∈N|0≤x≤5}，B＝{x|x2－7x＋10＜0}，则A－B＝()A．{0,1} B．{1,2}C．{0,1,2} D．{0,1,2,5}(2)若对任意的x∈A，有eq\f(1,x)∈A，则称A是“伙伴关系集合”，则集合M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－1，0，\f(1,2)，1，2))的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为__________．（三）、集合的交、并、补运算（1）“”是指所有属于集合A或属于集合B的元素并在一起所构成的集合．注意对概念中“所有”的理解：不能认为“”是由A中的所有元素和B中的所有元素组成的集合，即简单拼凑，要满足集合中元素的互异性，A与B的公共元素只能作并集中的一个元素．（2）“”是指属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合．注意对概念中“且”的理解：不能仅认为中的任意元素都是A和B的公共元素，它同时还表示集合A与B的公共元素都属于，而且并不是任何两个集合都有公共元素，当集合A和集合B没有公共元素时，．（3）．全集与补集的性质：①一个集合与其补集的并集是全集，即；②一个集合与其补集的交集是空集，即；③一个集合的补集的补集是其本身，即；④空集的补集是全集，即；⑤全集的补集是空集，即．⑥若，则；反之，若，则；⑦若，则；反之，若，则；⑧德▪摩根定律：并集的补集等于补集的交集，即；交集的补集等于补集的并集，即．（4）解决集合的混合运算时，一般先运算括号内的部分，如求时，先求出，再求交集；求时，先求出，再求补集．例3、（1）设集合，则＝A． B． C． D．（2）已知集合，则A． B． C． D．（3）已知全集，则集合A． B． C． D．【变式训练1】（1）已知集合A＝{﹣1，3}，B＝{2，a2}，若A∪B＝{﹣1，3，2，9}，则实数a的值为（）A．±1 B．±3 C．﹣1 D．3（2）已知集合M＝{x|x＞3}，N＝{x|x2﹣7x+10≤0}，则M∪N＝（）A．[2，3） B．（3，5] C．（﹣∞，5] D．[2，+∞）（3）已知集合A＝{x∈R|﹣2≤x≤5}，B＝{x∈R|m+1≤x≤2m﹣1}，若A∪B＝A，则实数m的取值范围是（）A．[2，3] B．[﹣3，3] C．（﹣∞，3] D．[﹣3，2]【变式训练2】（1）已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2＝0}，B＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，则A∩B＝（）A．{﹣2，1} B．{﹣1，2} C．{﹣2，﹣1} D．{1，2}（2）已知集合，B＝{x|x＜2}，则A∩B＝（）A．（2，4） B．（﹣2，4） C．（﹣2，2） D．（﹣2，2]（3）集合A＝{x|x+a＜0}，B＝{x|x2﹣2x≤0}，若A∩B＝B，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣2） B．（﹣∞，﹣2] C．（0，+∞） D．（2，+∞）【变式训练3】（1）已知全集U＝{x|x≤1}，集合A＝（0，1]，则∁UA＝（2）已知集合M＝{x|﹣1＜x＜1}，N＝x|≤0}，则∁MN＝．（用区间表示）（3）已知集合A＝{x||x﹣1|＞3}，U＝R，则∁UA＝．（4）图中阴影部分表示的集合是（）A．A∩（∁UB） B．（∁UA）∩B C．∁U（A∩B） D．∁U（A∪B）（5）已知：如图，集合U为全集，则图中阴影部分表示的集合是（）A．∁U（A∩B）∩C B．∁U（B∩C）∩A C．A∩∁U（B∪C） D．∁U（A∪B）∩C

四、迁移应用1．（2019秋•兴宁区校级月考）已知集合A＝{0，1，2}，B＝{x|﹣2＜x＜2}，则（）A．A∩B＝{0，1} B．A∪B＝{x|﹣2＜x＜2} C．A∪B＝{﹣2，﹣1，0，1，2} D．A∩B＝{x|0＜x＜2}2．（2019秋•天津期中）设全集为U＝{n|n∈N*且n＜9}，集合S＝{1，3，5}，T＝{3，6}，则∁U（S∪T）等于（）A．∅ B．{2，4，7，8} C．{1，3，5，6} D．{2，4，6，8}3．（2019秋•宛城区校级月考）已知全集U＝R，A＝{x|x2﹣3x﹣4＞0}，B＝{x|﹣2≤x≤2}，则如图所示的阴影部分所表示的集合为（）A．{x|﹣2≤x＜4} B．{x|x≤2或x≥4} C．{x|﹣2≤x≤﹣1} D．{x|﹣1≤x≤2}4.（2018广东江门3月模拟）设集合，，则（）A．B．C．D．5.（2018江西南昌4月模拟）已知集合N，，Z，则（）A．B．C．D．6.（2018湖南湘潭三模）已知集合，，若，则的值为（）A．B．C．D．7．（2018秋•沙坪坝区校级月考）方程x2﹣（p﹣1）x+q＝0的解集为A，方程x2+（q﹣1）x+p＝0的解集为B，已知A∩B＝{﹣2}，则A∪B＝{﹣2，﹣1，1}．

8．（2019秋•上饶期中）已知全集U＝{x|x≤10，x∈N}，A＝{0，2，4，6，8}，B＝{x|x∈U，x＜5}（1）求M＝{x|x∈A且x∉B}；（2）求（∁UA）∩（∁UB）．专题07集合中含有参数的问题一、考情分析二、经验分享【重难点突破】1．若有限集A中有n个元素,则集合A的子集个数为2n,真子集的个数为2n－1.2．A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B.3．奇数集：.4.数集运算的封闭性,高考多次考查,基础知识如下:若从某个非空数集中任选两个元素(同一元素可重复选出),选出的这两个元素通过某种(或几种)运算后的得数仍是该数集中的元素,那么,就说该集合对于这种(或几种)运算是封闭的.自然数集N对加法运算是封闭的;整数集Z对加、减、乘法运算是封闭的.有理数集、复数集对四则运算是封闭的.对加、减、乘运算封闭的数集叫数环,有限数集{0}就是一个数环,叫零环.设F是由一些数所构成的集合,其中包含0和1,如果对F中的任意两个数的和、差、积、商(除数不为0),仍是F中的数,即运算封闭,则称F为数域.5.德▪摩根定律：①并集的补集等于补集的交集，即；②交集的补集等于补集的并集，即．

三、题型分析(一)元素与集合的关系中含有参数问题方法导入已知某元素属于或不属于集合，求参数的取值范围是一种常见题型，一般利用分类讨论思想求解步骤第1步：由元素属于或不属于集合入手分类讨论；第2步：将求得参数值回代到集合，利用集合元素的互异性检验能否构成集合；第3步，经检验后找出符合条件的参数的值及得所求；反思要注意两点，一是分类讨论需做到不重不漏，二是一定要将所求得的参数带入集合进行检验例1、已知集合A＝{a+2，（a+1）2，a2+3a+3}，若1∈A，求实数a的取值集合．【变式训练1】设集合A中含有三个元素3，x，x2﹣2x．（1）求实数x应满足的条件；（2）若﹣2∈A，求实数x．【变式训练2】设集合A＝{2，3，a2+2a﹣3}，集合B＝{|a+3|，2}，已知5∈A，且5∉B．求a的值．(二)集合中元素个数的含参数问题方法导入此类题型一般为已知一元一次或二次方程解集中元素个数求参，常利用根的判别式求解.步骤第1步，对方程的二次项系数是否为零进行讨论；第2步，当方程的二次项系数不为零时，利用根的判别式进行求解；反思要注意两点，一是解集是否可能为空集，二是二次项系数是否为0.例2、若集合A＝{x|x2+ax+b＝x}中，仅有一个元素a，求a、b的值．【变式训练1】设集合A＝{x|ax2+2x+1＝0，a∈R}（1）当A中元素个数为1时，求：a和A；（2）当A中元素个数至少为1时，求：a的取值范围；（3）求：A中各元素之和．

【变式训练2】已知集合A＝{x∈R|ax2﹣3x+2＝0，a∈R}．（1）若A是空集，求a的取值范围；（2）若A中只有一个元素，求a的值，并把这个元素写出来；（3）若A中至多只有一个元素，求a的取值范围．(三)、集合基本关系中的含参问题方法导入由两个集合间的包含关系求参是一种常见题型，常利用子集的知识将问题转化为解方程(组)或不等式(组)求解.步骤第1步确定两个集合中谁是谁的子集;第2步，若集合是有限极或离散型无限极，常依据集合间的包含关系，转化为解方程(组)求解，若集合是连续型无限极，常借助数轴转化为不等式(组)求解;第3步，综合各分类讨论的结果，得到最终参数的取值;反思要注意两点，一是注意对子集是否为空集进行讨论，二是注意集合中元素的互异性及端点值能否取到.例3、已知集合A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|2＜x＜10}，C＝{x|x＜a}．（1）求A∪B；（2）若A⊆C，求a的取值范围．

【变式训练1】设集合A＝{x|a﹣1＜x＜2a，a∈R}，不等式x2﹣2x﹣8＜0的解集为B．（1）当a＝0时，求集合A，B；（2）当A⊆B时，求实数a的取值范围．【变式训练2】方程x2﹣x﹣m＝0在（﹣1，1）上有解．（1）求满足题意的实数m组成的集合M；（2）设不等式（x﹣a）（x+a﹣2）＜0的解集为N，若M⊆N，求a的取值范围．

(四)、集合基本运算中的含参问题方法导入这类问题一般通过观察得到不同集合间元素之间的关系，再列方程组或不等式组求解.步骤第1步，通过集合运算得到各集合间的关系;第2步利用各集合间的关系列方程组或不等式组求解;第3步综合各分类讨论的结果得到最终参数的取值.反思要注意对求解结果进行检验，防止违背集合中元素有关特性，尤其是互异性.例4、已知集合A＝{x|x≤﹣3或x≥2}，B＝{x|1＜x＜5}，C＝{x|m﹣1≤x≤2m}（1）求A∩B，（∁RA）∪B；（2）若B∩C＝C，求实数m的取值范围．【变式训练1】已知集合A＝{x|﹣3＜x＜2}，B＝{x|0≤x＜5}，C＝{x|x＜m}，全集为R．（1）求A∩（∁RB）；（2）若（A∪B）⊆C，求实数m的取值范围．

【变式训练2】设全集为U＝R，集合A＝{x|（x+3）（x﹣6）≥0}，B＝{x||x﹣6|＜6}．（Ⅰ）求A∩∁RB；（Ⅱ）已知C＝{x|2a＜x＜a+1}，若C∪B＝B，求实数a的取值范围．突破08函数及其表示一、考情分析二、经验分享【知识点一、函数的概念】1．函数的概念设A、B是______，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的_____x，在集合B中都有______的数和它对应，那么就称为从集合A到集合B的一个函数，记作．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．名师解读：（1）“A，B是非空的数集”，一方面强调了A，B只能是数集，即A，B中的元素只能是实数；另一方面指出了定义域、值域都不能是空集，也就是说定义域为空集的函数是不存在的．（2）理解函数的概念要注意函数的定义域是非空数集A，但函数的值域不一定是非空数集B，而是集合B的子集．（3）函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非空数集A中的任意一个（任意性）元素x，在非空数集B中都有（存在性）唯一（唯一性）的元素y与之对应．（4）函数符号“”是数学中抽象符号之一，“”仅为y是x的函数的数学表示，不表示y等于f与x的乘积，也不一定是解析式，还可以是图表或图象．2．函数的构成要素由函数概念知，一个函数的构成要素为___________．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以确定一个函数只需要两个要素：定义域和对应关系．辨析与：表示当自变量时函数的值，是一个常量，而是自变量x的函数，它是一个变量，是的一个特殊值．3．相等函数（同一函数）对于两个函数，只有当两个函数的_______都分别相同时，这两个函数才相等，即是同一函数．名师解读：（1）判断两个函数是相同函数的准则是两个函数的定义域和对应关系分别相同．定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是相同函数，即使定义域与值域都相同，也不一定是相同函数．（2）函数是两个数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的．（3）在化简解析式时，必须是等价变形．【知识点二、区间及其表示】1．区间的概念设a，b是两个实数，而且a<b．我们规定：（1）满足不等式的实数x的集合叫做闭区间，表示为___________；（2）满足不等式的实数x的集合叫做开区间，表示为___________；（3）满足不等式的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为__________．其中实数a，b都叫做相应区间的端点．我们可以在数轴上表示上述区间，为了区别开区间、闭区间的端点，我们用_____表示包括在区间内的端点，用_____表示不包括在区间内的端点．定义名称符号数轴表示闭区间开区间半开半闭区间半开半闭区间注意：区间符号里面的两个字母（或数字）之间用“，”隔开．2．无穷大的概念实数集可以用区间表示为___________，“∞”读作“无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”，“+∞”读作“正无穷大”．把满足的实数x的集合分别表示为．【知识点三、函数的三种表示方法】1．解析法用___________表示两个变量之间的对应关系的方法叫做解析法．2．图象法用___________来表示两个变量之间的对应关系的方法叫做图象法．3．列表法通过列出___________来表示两个变量之间的对应关系的方法叫做列表法．名师解读：（1）解析法：利用解析式表示函数的前提是变量间的对应关系明确，且利用解析法表示函数时要注意注明其定义域．（2）图象法：图象既可以是连续的曲线，也可以是离散的点．（3）列表法：采用列表法的前提是函数值对应清楚，选取的自变量要有代表性．【知识点四、分段函数】1．分段函数的概念在函数定义域内，对于自变量x的不同___________，有着不同的对应关系，这样的函数称为分段函数．名师解读：（1）分段函数每一段都有一个解析式，这些解析式组成的整体才是该分段函数的解析式．分段函数是一个函数，而不是几个函数．（2）分段函数的定义域：一个函数只有一个定义域，分段函数的定义域是所有自变量取值区间的并集，分段函数的定义域只能写成一个集合的形式，不能分开写成几个集合的形式．（3）分段函数的值域：求分段函数的值域，应先求出各段函数在对应自变量的取值范围内的函数值的集合，再求出它们的并集．2．分段函数的图象分段函数有几段，它的图象就由几条曲线组成，作图的关键是根据每段的定义区间和表达式在同一坐标系中作出其图象，作图时要注意每段曲线端点的___________，横坐标相同的地方不能有两个或两个以上的点．名师解读：作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏．【知识点五、映射】一般地，设A，B是两个___________，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的___________元素x，在集合B中都有___________的元素y与之对应，那么就称对应为从集合A到集合B的一个映射．名师解读：（1）映射包括非空集合A，B以及对应关系f，其中集合A，B可以是数集，可以是点集，也可以是其他任何形式的集合．当A，B为数集时，此时的映射就是函数，即函数是一种特殊的映射．（2）集合A，B是有先后次序的，即A到B的映射与B到A的映射是不同的．（3）集合A中每一个元素在集合B中必有唯一的元素和它对应（有，且唯一），但允许B中元素没有A中元素与之对应．（4）A中元素与B中元素对应，可以是“一对一”、“多对一”，但不能是“一对多”．知识提升对于映射，我们通常把集合A中的元素叫原象，而把集合B中与A中元素相对应的元素叫象，集合A叫原象集，象集为C，则．象是对原象而言的，原象也是对象而言的，原象和象不可以互换．设A，B是两个集合，是从集合A到集合B的映射，如果在这个映射下，对于集合A中不同的元素，在集合B中有不同的象，而且B中的每一个元素都有原象，那么这个映射叫做A到B上的一一映射．参考答案：一、1．非空的数集任意一个数唯一确定2．定义域、对应关系和值域3．定义域和对应关系二、1．（1）（2）（3），实心点空心点2．三、1．数学表达式2．图象3．表格四、1．取值区间2．虚实五、非空的集合任意一个唯一确定三、题型分析1．函数概念判断所给对应是否是函数，首先观察两个数集A，B是否非空；其次验证对应关系下，集合A中数x的任意性和集合B中数y的唯一性（即不能没有数y对应数x，也不能有多于一个的数y对应数x）．【例1】给出下列两个集合的对应：①；②；③；④；⑤．其中是到的函数有__________个．【变式训练1】设集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，那么下面的4个图形中，能表示集合M到集合N的函数关系的有（）①②③④A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．②【变式训练2】设集合M＝{x|（x+1）（x﹣3）≤0}，N＝{y|y（y﹣3）≤0}，函数f（x）的定义域为M，值域为N，则函数f（x）的图象可以是（）B．C．D．【变式训练3】下列四个图象中，是函数图象的是①②③④A．① B．①③④ C．①②③ D．③④2．函数相等讨论两个函数是否为同一函数时，要树立“定义域优先”的原则，若定义域相同，再化简函数解析式，看对应关系是否相同．注意：定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是同一函数．【例2】下列各组函数中，与表示同一函数的是（）A．与 B．与C．与 D．与【变式训练1】在下列四组函数中，与表示同一函数的是A． B． C． D．【变式训练2】下列各组函数中表示同一个函数的是A．， B．， C．， D．，3．函数图象（1）要判断一个图象是否为某个函数的图象，其方法是：任作垂直于轴的直线，若此直线与该图象最多有一个交点，则该图象为在此定义域内的函数图象，否则不是．（2）识别函数图象的关键是明确函数的定义域对函数图象的限制，再利用特殊点确定函数的图象．若函数是分段函数，需注意分段函数的图象由几部分构成．（3）函数图象主要应用于研究函数的性质，如最值、值域等；也常用于研究方程的解、不等式的解集以及图象的交点个数等问题，应用时注意将所给的问题转化为函数问题，再通过画函数的图象，借助于图象的直观性来处理．【例3】函数的图象是（）A． B．C． D．【变式训练1】在函数y＝|x|(x∈[－1，1])的图象上有一点P(t，|t|)，此函数与x轴、直线x＝－1及x＝t围成图形(如图阴影部分)的面积为S，则S与t的函数关系图可表示为()【变式训练2】如图，函数f(x)的图象是曲线OAB，其中点O，A，B的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则的值等于________．4．分段函数（1）求分段函数的函数值的方法：先确定要求值的自变量的取值属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现的形式时，应从内到外依次求值．（2）在分段函数的前提下，求某条件下自变量的值的方法：先假设所求的值在分段函数定义域的各段上，然后相应求出自变量的值，切记代入检验．【例4】已知，则=_________．【变式训练1】设函数若（a），则实数的值为A． B． C．或 D．或【变式训练2】已知使成立的的取值范围是A．， B．， C．， D．，【变式训练3】已知函数则（5）A．0 B． C． D．15．映射判断一个对应是不是映射，关键有两点：（1）对于A中的任意一个元素，在B中是否有元素与之对应；（2）B中的对应元素是不是唯一的．对于一一映射f：A→B，应满足：（1）A中每一个元素在B中都有唯一的元素与之对应；（2）A中的不同元素对应B中的元素也不同；（3）B中每一个元素在A中都有唯一的元素与之对应．【例5】给出下列两个集合间的对应：（1）A＝{你班的同学}，B＝{体重}，f：每个同学对应自己的体重；（2），f：n＝2m；（3）X＝R，Y＝{非负实数}，f：y＝x4．其中是映射的有________个，是函数的有________个．6．求函数的解析式时忽略函数的定义域【例6】已知等腰三角形的周长是20，底边长y是一腰长x的函数，求关于的函数解析式．【变式训练1】已知函数的定义域为集合，函数，，的值域为集合．（1）求，；（2）设集合C＝{x|m≤x≤m+2}，若C∩（A∪B）＝C，求实数m的取值范围．

【变式训练2】已知函数；（1）若的定义域为，求实数的取值范围；（2）若的值域为，，求实数的取值范围．三、课后习题1．函数f（x）=+的定义域是A．{x|x>0} B．{x|x≥0} C．{x|x≠0} D．R2．下列图形中，不能表示以x为自变量的函数图象的是A． B． C． D．3．下面哪个点不在函数y=–2x+3的图象上A．（–5，13） B．（0.5，2） C．（3，0） D．（1，1）4．函数的定义域是A．（–1，+∞） B．（–1，1）∪（1，+∞） C．[–1，+∞） D．[–1，1）∪（1，+∞）5．已知函数f（x）=，x∈{1，2，3}．则函数f（x）的值域是A． B．（–∞，0] C．[1，+∞） D．R6．函数y=x2+1的值域是A．[1，+∞） B．（0，1] C．（–∞，1] D．（0，+∞）7．已知A=B=R，x∈A，y∈B，f：x→y=ax+b是从A到B的映射，若1和8的原象分别是3和10，则5在f下的象是A．3 B．4 C．5 D．68．已知映射f：A→B，其中A={a，b}，B={1，2}，已知a的象为1，则b的象为A．1，2中的一个 B．1，2 C．2 D．无法确定9．已知函数y=，若f（a）=10，则a的值是A．3或–3 B．–3或5 C．–3 D．3或–3或510．已知函数f（x）=的定义域为R，则实数m取值范围为A．{m|–1≤m≤0} B．{m|–1<m<0} C．{m|m≤0} D．{m|m<–1或m>0}11．若集合A={x|x（x–1）<0}，B={y|y=x2}，则A．A=B B．A⊆B C．A∪B=R D．B⊆A12．若集合，则A．A=B B．A⊆B C．A∪B=R D．B⊆A13．设x∈R，定义符号函数sgnx=，则函数f（x）=|x|sgnx的图象大致是A． B． C． D．14．已知f（x）=则不等式x+（x+2）•f（x+2）≤5的解集是A．[–2，1] B．（–∞，–2] C． D．15．函数的值域是A．{y|–1≤y≤1} B．{y|–1≤y<1} C．{y|–1<y≤1} D．{y|0<y≤1}16．设函数f（x）=，若f（x0）=8，则x0=__________．17．已知函数f（x）=（1）在坐标系中作出函数的图象；（2）若f（a）=，求a的取值集合．18．（2018•新课标Ⅲ）函数y=–x4+x2+2的图象大致为A． B．C． D．19．（2015•湖北）设，定义符号函数则A． B．C． D．20．（2016•江苏）函数y=的定义域是__________．21．（2016•浙江）设函数．已知a≠0，且，则实数a=__________，b=__________．突破09函数的三要素重难点突破一、考情分析二、经验分享【重难点1．函数的定义域】当函数是由解析式给出时，求函数的定义域就是求使解析式有意义的自变量的取值集合，求函数定义域的一般方法有：①分式的分母不为0；②偶次根式的被开方数非负；③要求；④当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合；⑤已知的定义域，求的定义域，其实质是由的取值范围，求出的取值范围；⑥已知的定义域，求的定义域，其实质是由的取值范围，求的取值范围；⑦由实际问题建立的函数，还要符合实际问题的要求．名师提醒：（1）定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．（2）已知函数的定义域，逆向求解函数中参数的取值或取值范围，需运用分类讨论以及转化与化归的方法，转化为方程或不等式的解集问题，根据方程或不等式的解集情况来确定参数的值或取值范围．这种思想方法即通过某种转化过程，将一个难以解决的问题转化为一个已经解决或者比较容易解决的问题，从而获解．【重难点2．求函数值或函数的值域】（1）函数求值即用数值或字母代替表达式中的x，而计算出对应的函数值的过程．注意所代入的数值或字母应满足函数的定义域要求．求函数值应遵循的原则：①已知的表达式求时，只需用a替换表达式中的x．②求的值应遵循由里往外的原则．③用来替换表达式中x的数a必须是函数定义域内的值．（2）求函数的值域，应根据各个式子的不同结构特点，选择不同的方法：①观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到；②③分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域．分离常数的目的是为了减少“变量”，变换后x仅出现在分母上，这样x对函数的影响就比较清晰了；④换元法：对于一些无理函数（如），通过换元把它们转化为有理函数，然后利用有理函数求值域的方法，间接地求解原函数的值域．在利用换元法求解函数的值域时，一定要注意换元后新元的取值范围，否则会产生错解．求新元的范围，要根据已知函数的定义域．【重难点3．函数解析式的求法】（1）已知函数的模型求函数解析式，常采用待定系数法，由题设条件求待定系数．（2）已知f（g（x））=h（x），求f（x），常用的有两种方法：①换元法，即令t=g（x），解出x，代入h（x）中，得到一个含t的解析式，即为所求解析式；②配凑法，即从f（g（x））的解析式中配凑出“g（x）”，即用g（x）来表示h（x），然后将解析式中的g（x）用x代替即可．利用这两种方法求解时一定要注意g（x）的取值范围的限定．（3）已知f（x）与f（g（x））满足的关系式，要求f（x）时，可用g（x）代替两边所有的x，得到关于f（x）与f（g（x））的方程组，消去f（g（x））解出f（x）即可．常见的有f（x）与f（−x），f（x）与．（4）所给函数方程含有两个变量时，可对这两个变量交替使用特殊值代入，或使这两个变量相等代入，再利用已知条件，可求出未知的函数，至于取什么特殊值，根据题目特征而定．三、题型分析1．函数的定义域【例1】函数的定义域是（）A． B．C． D．【名师点睛】对于，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域．当函数以解析式的形式给出时，函数的定义域是使这个解析式有意义的自变量x的取值范围．求函数的定义域：（1）要明确使各函数表达式有意义的条件是什么，函数式有意义的准则一般有：①分式的分母不为0；②偶次根式的被开方数非负；③要求x≠0等．（2）当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合．（3）已知的定义域，求的定义域，其实质是由的取值范围，求出的取值范围．（4）已知的定义域，求的定义域，其实质是由的取值范围，求的取值范围．名师提醒：①求函数的定义域时，一定要根据最原始的解析式求解，否则可能会改变原函数的定义域．②定义域必须用集合或区间（后面内容中学习）表示；③由实际问题建立的函数，还要符合实际问题的要求．已知函数的定义域，逆向求解函数中参数的取值或取值范围，需运用分类讨论以及转化与化归的方法，转化为方程或不等式的解集问题，根据方程或不等式的解集情况来确定参数的值或取值范围．这种思想方法即通过某种转化过程，将一个难以解决的问题转化为一个已经解决或者比较容易解决的问题，从而获解．【变式训练1】求下列函数的定义域．（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．【变式训练2】求下列函数的定义域：（1）（2）．【变式训练3】求下列函数的定义域（1）；（2）．

【变式训练4】（1）已知的定义域为，，求函数的定义域；（2）已知的定义域为，，求函数的定义域．【变式训练5】（1）已知函数的定义域为，，求函数的定义域．（2）已知函数的定义域为，，求函数的定义域．【变式训练6】若的定义域为，，求的定义域．

2．求函数值或函数的值域【例2】函数y=的值域为（）A． B． C． D．【例3】函数的值域为A． B． C． D．【变式训练1】求下列函数的值域（1），，；（2）．（3），，；（4）．（5）（6）（7）．

3．函数解析式的求法【例4】已知，求．【变式训练1】（1）设二次函数满足，且，求的解析式．（2）已知二次函数满足条件和，求的解析式；（3）已知是一次函数，且有，求的解析式．【变式训练2】（1）设函数满足，求的解析式；（2）已知，求的解析式突破10函数的单调性与最值重难点突破一、考情分析二、经验分享【知识点一、函数的单调性】1．函数单调性的定义一般地，设函数f（x）的定义域为I：①如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，都有___________，那么就说函数f（x）在区间D上是增函数；②如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，都有___________，那么就说函数f（x）在区间D上是减函数．名师解读：对函数单调性的理解：（1）定义中的x1，x2有三个特征：①任意性，即不能用特殊值代替；②属于同一个区间；③有大小，一般令x1<x2．（2）增、减函数的定义实现自变量的大小关系与函数值的大小关系的直接转化：若是增函数，则；若是减函数，则．2．函数的单调区间如