数学人教A必修5新一线应用案巩固提升章末演练轻松闯关1

[学生用书P87(单独成册)][A基础达标]1．在△ABC中，B＝45°，C＝60°，c＝1，则最短边长为()A.eq\f(\r(6),2) B.eq\f(\r(6),3)C.eq\f(1,2) D．eq\f(\r(3),2)解析：选B.A＝180°－(60°＋45°)＝75°，故最短边为b，由正弦定理可得eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，即b＝eq\f(csinB,sinC)＝eq\f(1×sin45°,sin60°)＝eq\f(\r(6),3)，故选B.2．在锐角△ABC中，角A，B所对的边分别为a，b.若2asinB＝eq\r(3)b，则角A等于()A.eq\f(π,12) B.eq\f(π,6)C.eq\f(π,4) D．eq\f(π,3)解析：选D.由已知及正弦定理得2sinAsinB＝eq\r(3)sinB，因为sinB>0，所以sinA＝eq\f(\r(3),2).又A∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以A＝eq\f(π,3).3．符合下列条件的三角形有且只有一解的是()A．a＝1，b＝2，c＝3 B.a＝1，b＝eq\r(2)，A＝30°C．a＝1，b＝2，A＝100° D．b＝c＝1，B＝45°解析：选D.A中a＋b＝3＝c，不能构成三角形；B中bsinA<a<b，故有两解；C中a<b，故A应为锐角，而已知A＝100°，故不能构成三角形；D中b＝c＝1，故△ABC为等腰三角形，所以C＝B＝45°，所以A＝90°，故只有一解．4．在△ABC中，已知sin2A＝sin2B＋sin2C，且sinA＝2sinBcosC，则△ABC的形状是()A．等腰三角形 B.等边三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形解析：选D.由sin2A＝sin2B＋sin2C及正弦定理可知a2＝b2＋c2⇒A为直角；而由sinA＝2sinBcosC，可得sin(B＋C)＝2sinBcosC,整理得sinBcosC＝cosBsinC，即sin(B－C)＝0，故B＝C.综合上述，B＝C＝eq\f(π,4)，A＝eq\f(π,2).即△ABC为等腰直角三角形．5．飞机沿水平方向飞行，在A处测得正前下方地面目标C的俯角为30°，向前飞行10000米，到达B处，此时测得目标C的俯角为75°，这时飞机与地面目标C的距离为()A．5000米 B.5000eq\r(2)米C．4000米 D．4000eq\r(2)米解析：选B.如图，在△ABC中，AB＝10000米，A＝30°，C＝75°－30°＝45°.根据正弦定理得，BC＝eq\f(AB·sinA,sinC)＝eq\f(10000×\f(1,2),\f(\r(2),2))＝5000eq\r(2)(米)．6．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c且a＝2，cosC＝－eq\f(1,4)，3sinA＝2sinB，则c＝________．解析：因为3sinA＝2sinB，所以3a＝2b.又a＝2，所以b＝3.由余弦定理可知c2＝a2＋b2－2abcosC，所以c2＝22＋32－2×2×3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)))＝16，所以c＝4.答案：47．在△ABC中，其外接圆半径R＝2，A＝30°，B＝120°，则△ABC的面积为________．解析：由A＝30°，B＝120°，知C＝30°，则a＝c＝2RsinC＝2，则S△ABC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)×2×2×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3).答案：eq\r(3)8．在锐角三角形ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边．若2asinB＝eq\r(3)b，b＋c＝5，bc＝6，则a＝________．解析：因为2asinB＝eq\r(3)b，所以2sinAsinB＝eq\r(3)sin B.所以sinA＝eq\f(\r(3),2)，因为△ABC为锐角三角形，所以cosA＝eq\f(1,2)，因为bc＝6，b＋c＝5，所以b＝2，c＝3或b＝3，c＝2.所以a2＝b2＋c2－2bccosA＝22＋32－2×6×eq\f(1,2)＝7，所以a＝eq\r(7).答案：eq\r(7)9．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，a，b是方程x2－2eq\r(3)x＋2＝0的两个根，且2cos(A＋B)＝1.求：(1)角C的大小；(2)边AB的长．解：(1)因为cosC＝cos[π－(A＋B)]＝－cos(A＋B)＝－eq\f(1,2)，所以C＝120°.(2)由题设，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋b＝2\r(3)，,ab＝2，))所以AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcosC＝a2＋b2－2abcos120°＝a2＋b2＋ab＝(a＋b)2－ab＝(2eq\r(3))2－2＝10.所以AB＝eq\r(10).10．已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若B＝eq\f(π,3)，且(a－b＋c)(a＋b－c)＝eq\f(3,7)bc.(1)求cosC的值；(2)若a＝5，求△ABC的面积．解：(1)由(a－b＋c)(a＋b－c)＝eq\f(3,7)bc，得a2－(b－c)2＝eq\f(3,7)bc，即a2＝b2＋c2－eq\f(11,7)bc，由余弦定理，得cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(11,14)，所以sinA＝eq\f(5,14)eq\r(3).又因为B＝eq\f(π,3)，所以cosC＝－cos(A＋B)＝－cosAcosB＋sinAsinB＝eq\f(1,7).(2)由(1)得sinC＝eq\f(4,7)eq\r(3).在△ABC中，由正弦定理，得eq\f(c,sinC)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(a,sinA).所以c＝eq\f(asinC,sinA)＝8，所以S＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)×5×8×sineq\f(π,3)＝10eq\r(3).[B能力提升]11．(2019·福建厦门高二(上)期末考试)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝eq\r(2)，b＝2，sinB＝eq\r(3)(1－cosB)，则sinA的值为()A.eq\f(\r(2),4) B.eq\f(\r(3),4)C.eq\f(\r(6),4) D．eq\f(\r(3),2)解析：选C.由sinB＝eq\r(3)(1－cosB)，得sin(B＋eq\f(π,3))＝eq\f(\r(3),2).又0<B<π，得B＝eq\f(π,3)，由eq\f(\r(2),sinA)＝eq\f(2,sin\f(π,3))⇒sinA＝eq\f(\r(6),4).12．(2018·高考全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsinC＋csinB＝4asinBsinC，b2＋c2－a2＝8，则△ABC的面积为________．解析：因为bsinC＋csinB＝4asinBsinC，所以由正弦定理得sinBsinC＋sinCsinB＝4sinAsinBsinC.又sinBsinC>0，所以sinA＝eq\f(1,2).由余弦定理得cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(8,2bc)＝eq\f(4,bc)>0，所以cosA＝eq\f(\r(3),2)，bc＝eq\f(4,cosA)＝eq\f(8\r(3),3)，所以S△ABC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)×eq\f(8\r(3),3)×eq\f(1,2)＝eq\f(2\r(3),3).答案：eq\f(2\r(3),3)13．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(2a－b)cosC＝ccosB，△ABC的面积S＝10eq\r(3)，c＝7.(1)求角C；(2)求a，b的值．解：(1)因为(2a－b)cosC＝ccosB，所以(2sinA－sinB)cosC＝sinCcosB，2sinAcosC－sinBcosC＝sinCcosB，即2sinAcosC＝sin(B＋C)．所以2sinAcosC＝sinA.因为A∈(0，π)，所以sinA≠0.所以cosC＝eq\f(1,2).所以C＝eq\f(π,3).(2)由S＝eq\f(1,2)absinC＝10eq\r(3)，C＝eq\f(π,3)，得ab＝40.①由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC，即c2＝(a＋b)2－2abeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋cos\f(π,3)))，所以72＝(a＋b)2－2×40×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2))).所以a＋b＝13.②由①②得a＝8，b＝5或a＝5，b＝8.14.(2019·河南、河北重点中学第三次联考)如图，在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c＝4，b＝2，2ccosC＝b，D，E分别为线段BC上的点，且BD＝CD，∠BAE＝∠CAE.(1)求线段AD的长；(2)求△ADE的面积．解：(1)因为c＝4，b＝2，2ccosC＝b，所以cosC＝eq\f(b,2c)＝eq\f(1,4).由余弦定理得cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(a2＋4－16,4a)＝eq\f(1,4)，所以a＝4，即BC＝4.在△ACD中，CD＝2，AC＝2，所以AD2＝AC2＋CD2－2AC·CD·cos∠ACD＝6，所以AD＝eq\r(6).(2)因为AE是∠BAC的平分线，所以eq\f(S△ABE,S△ACE)＝eq\f(\f(1,2)AB·AE·sin∠BAE,\f(1,2)AC·AE·sin∠CA