高考数学（文）培优增分一轮全国经典版培优讲义第10章概率第1讲随机事件的概率

第1讲随机事件的概率板块一知识梳理·自主学习[必备知识]考点1概率1．在相同条件下，大量重复进行同一试验时，随机事件A发生的频率会在某个常数附近摆动，即随机事件A发生的频率具有稳定性．我们把这个常数叫做随机事件A的概率，记作P(A)．2．频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，但频率是随机的，而概率是一个确定的值，因此，人们用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率作为随机事件概率的估计值．3．概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1.(2)必然事件的概率：P(A)＝1.(3)不可能事件的概率：P(A)＝0.(4)概率的加法公式如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．(5)对立事件的概率若事件A与事件B互为对立事件，则A∪B为必然事件．P(A∪B)＝1，P(A)＝1－P(B)．考点2事件的关系与运算[必会结论]1．从集合的角度理解互斥事件和对立事件(1)几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合的交集为空集．(2)事件A的对立事件eq\x\to(A)所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集．2．概率加法公式的推广当一个事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时，要用到概率加法公式的推广，即P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．[考点自测]1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“下周六会下雨”是随机事件．()(2)事件发生的频率与概率是相同的．()(3)随机事件和随机试验是一回事．()(4)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值．()(5)两个事件的和事件是指两个事件同时发生．()(6)对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件．()答案(1)√(2)×(3)×(4)√(5)×(6)√2．[2015·湖北高考]我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为()A．134石B．169石C．338石D．1365石答案B解析由题意可知这批米内夹谷为eq\f(28,254)×1534≈169(石)，故选B.3．[课本改编]一袋中装有大小相同，编号分别为1,2,3,4,5,6,7,8的8个球，从中有放回地每次取一个球，共取2次，则取得两个球的编号和不小于15的概率为()A.eq\f(1,32)B.eq\f(1,64)C.eq\f(3,32)D.eq\f(3,64)答案D解析从8个球中有放回的每次取一个球，取2次共有8×8＝64种取法．两个球的编号和不小于15，则两球号码可以为(7,8)，(8,7)，(8,8)三种可能，其概率为P＝eq\f(3,64).4．[2018·宁夏检测]抽查10件产品，设事件A为“至少有2件次品”，则事件A的对立事件为()A．至多有2件次品B．至多有1件次品C．至多有2件正品D．至少有2件正品答案B解析∵“至少有n个”的反面是“至多有n－1个”，又∵事件A“至少有2件次品”，∴事件A的对立事件为“至多有1件次品”．5．[2018·云南质检]在2,0,1,8这组数据中，随机取出三个不同的数，则数字2是取出的三个不同数的中位数的概率为()A.eq\f(3,4)B.eq\f(5,8)C.eq\f(1,2)D.eq\f(1,4)答案C解析分析题意可知，共有(0,1,2)，(0,2,8)，(1,2,8)，(0,1,8)4种取法，符合题意的取法有2种，故所求概率P＝eq\f(1,2).6．[2018·湖南长沙模拟]同时掷3枚硬币，至少有1枚正面向上的概率是()A.eq\f(7,8)B.eq\f(5,8)C.eq\f(3,8)D.eq\f(1,8)答案A解析由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是将1枚硬币连续抛掷三次，共有23＝8种结果，满足条件的事件的对立事件是3枚硬币都是背面向上，有1种结果，所以至少一枚正面向上的概率是1－eq\f(1,8)＝eq\f(7,8).故选A.板块二典例探究·考向突破考向事件的概念例1从6件正品与3件次品中任取3件，观察正品件数与次品件数，判断下列每对事件是不是互斥事件；如果是，再判断它们是不是对立事件．(1)“恰好有1件次品”和“恰好有2件次品”；(2)“至少有1件次品”和“全是次品”；(3)“至少有2件次品”和“至多有1件次品”．解从6件正品与3件次品中任取3件，共有4种情况：①3件全是正品；②2件正品1件次品；③1件正品2件次品；④全是次品．(1)“恰好有1件次品”即“2件正品1件次品”；“恰好有2件次品”即“1件正品2件次品”，它们是互斥事件但不是对立事件．(2)“至少有1件次品”包括“2件正品1件次品”“1件正品2件次品”“全是次品”3种情况，它与“全是次品”既不是互斥事件也不是对立事件．(3)“至少有2件次品”包括”1件正品2件次品”“全是次品”2种情况；“至多有1件次品”包括“2件正品1件次品”“全是正品”2种情况，它们既是互斥事件也是对立事件．触类旁通事件间关系的判断方法对互斥事件要把握住不能同时发生，而对于对立事件除不能同时发生外，其并事件应为必然事件，这些也可类比集合进行理解，具体应用时，可把所有试验结果写出来，看所求事件包含哪几个试验结果，从而断定所给事件的关系．【变式训练1】[2018·湖北十市联考]从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是()A．“至少有一个黑球”与“都是黑球”B．“至少有一个黑球”与“都是红球”C．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”D．“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”答案D解析A中的两个事件是包含关系，不是互斥事件；B中的两个事件是对立事件；C中的两个事件都包含“一个黑球一个红球”的事件，不是互斥关系；D中的两个事件是互斥而不对立的关系．考向随机事件的概率与频率例2[2017·全国卷Ⅲ]某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)天数216362574以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)．当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．解(1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25，由表格数据知，最高气温低于25的频率为eq\f(2＋16＋36,90)＝0.6，所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，若最高气温不低于25，则Y＝6×450－4×450＝900；若最高气温位于区间[20,25)，则Y＝6×300＋2(450－300)－4×450＝300；若最高气温低于20，则Y＝6×200＋2(450－200)－4×450＝－100，所以，Y的所有可能值为900,300，－100.Y大于零当且仅当最高气温不低于20，由表格数据知，最高气温不低于20的频率为eq\f(36＋25＋7＋4,90)＝0.8，因此Y大于零的概率的估计值为0.8.触类旁通概率和频率的关系概率可看成频率在理论上的稳定值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小，它是频率的科学抽象，当试验次数越来越多时频率向概率靠近，只要次数足够多，所得频率就近似地当作随机事件的概率．【变式训练2】[2016·全国卷Ⅱ]某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：出险次数01234≥5频数605030302010(1)记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”．求P(A)的估计值；(2)记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”．求P(B)的估计值；(3)求续保人本年度平均保费的估计值．解(1)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知，一年内出险次数小于2的频率为eq\f(60＋50,200)＝0.55，故P(A)的估计值为0.55.(2)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由所给数据知，一年内出险次数大于1且小于4的频率为eq\f(30＋30,200)＝0.3，故P(B)的估计值为0.3.(3)由所给数据得保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a频率0.300.250.150.150.100.05调查的200名续保人的平均保费为0．85a×0.30＋a×0.25＋1.25a×0.15＋1.5a×0.15＋1.75a×0.10＋2a×0.05＝1.1925a.因此，续保人本年度平均保费的估计值为1.1925a.考向互斥事件、对立事件的概率命题角度1互斥事件的概率例3[2018·洛阳模拟]经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数及相应的概率如下：排队人数012345人及5人以上概率0.10.160.30.30.10.04求：(1)至多2人排队等候的概率是多少？(2)至少3人排队等候的概率是多少？解记“无人排队等候”为事件A，“1人排队等候”为事件B，“2人排队等候”为事件C，“3人排队等候”为事件D，“4人排队等候”为事件E，“5人及5人以上排队等候”为事件F，则事件A，B，C，D，E，F互斥．(1)记“至多2人排队等候”为事件G，则G＝A∪B∪C，所以P(G)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.(2)解法一：记“至少3人排队等候”为事件H，则H＝D∪E∪F，所以P(H)＝P(D∪E∪F)＝P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44.解法二：记“至少3人排队等候”为事件H，则其对立事件为事件G，所以P(H)＝1－P(G)＝0.44.命题角度2对立事件的概率例4[2018·扬州模拟]某超市为了了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示．已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.(1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率．(将频率视为概率)解(1)由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝20.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为eq\f(1×15＋1.5×30＋2×25＋2.5×20＋3×10,100)＝1.9(分钟)．(2)记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A1，A2分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为2.5分钟”，“该顾客一次购物的结算时间为3分钟”，将频率视为概率得P(A1)＝eq\f(20,100)＝eq\f(1,5)，P(A2)＝eq\f(10,100)＝eq\f(1,10).P(A)＝1－P(A1)－P(A2)＝1－eq\f(1,5)－eq\f(1,10)＝eq\f(7,10).故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为eq\f(7,10).触类旁通求复杂的互斥事件的概率的一般方法(1)直接法：将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率求和，运用互斥事件的概率求和公式计算．(2)间接法：先求此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)＝1－P(eq\x\to(A))，即运用逆向思维，特别是“至少”“至多”型题目，用间接法就显得较简便．核心规律1.对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用频率fn(A)来估计概率P(A)．2.若某一事件包含的基本事件较多，而它的对立事件包含的基本事件较少，则可用“正难则反”思想求解．满分策略1.正确认识互斥事件与对立事件的关系：对立事件是互斥事件，是互斥事件中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件．2.需准确理解题意，特别留心“至多……”“至少……”“不少于……”等语句的含义．3.正确判定事件间的关系，善于将A转化为互斥事件的和或对立事件，切忌盲目代入概率加法公式.板块三启智培优·破译高考易错警示系列12——随机事件概率求解中的易误点[2018·湖南模拟]某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量Y(单位：kg)与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示：X1234Y51484542这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米．(1)完成下表，并求所种作物的平均年收获量；Y51484542频数4(2)在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量至少为48kg的概率．错因分析解答本题有以下几点容易失分：①不能读懂表格，无法估计所种作物的平均年收获量；②不能将概率问题转化为频率来进行估计；③不能正确地把所求事件转化为几个互斥事件的和，导致计算错误．解(1)所种作物的总株数为1＋2＋3＋4＋5＝15，其中“相近”作物株数为1的作物有2株，“相近”作物株数为2的作物有4株，“相近”作物株数为3的作物有6株，“相近”作物株数为4的作物有3株．列表如下：Y51484542频数2463所种作物的平均年收获量为eq\f(51×2＋48×4＋45×6＋42×3,15)＝eq\f(102＋192＋270＋126,15)＝eq\f(690,15)＝46.(2)由(1)知，P(Y＝51)＝eq\f(2,15)，P(Y＝48)＝eq\f(4,15).故在所种作物中随机选取一株，它的年收获量至少为48kg的概率为P(Y≥48)＝P(Y＝51)＋P(Y＝48)＝eq\f(2,15)＋eq\f(4,15)＝eq\f(2,5).答题启示用互斥事件和对立事件的概率公式解题，关键是弄清所求事件是由哪些事件组成的，它们之间有什么关系，一般地较为复杂的事件都可视为若干互斥事件的和事件，从而可用概率加法公式求解，而含有至少、至多等词语时，事件往往较复杂，可考虑用对立事件的概率公式求解.跟踪训练根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率是0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率是0.3，设各车主购买保险相互独立．(1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中一种的概率；(2)求该地1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率．解记A表示事件：该车主购买甲种保险；B表示事件：该车主购买乙种保险但不购买甲种保险；C表示事件：该车主至少购买甲、乙两种保险中的一种；D表示事件：该车主甲、乙两种保险都不购买．(1)由题意得P(A)＝0.5，P(B)＝0.3，又C＝A∪B，所以P(C)＝P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.5＋0.3＝0.8.(2)因为D与C是对立事件，所以P(D)＝1－P(C)＝1－0.8＝0.2.板块四模拟演练·提能增分[A级基础达标]1．在5张卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若事件“2张全是移动卡”的概率是eq\f(3,10)，那么概率是eq\f(7,10)的事件是()A．至多有一张移动卡 B．恰有一张移动卡C．都不是移动卡 D．至少有一张移动卡答案A解析至多有一张移动卡包含“一张移动卡，一张联通卡”“两张全是联通卡”两个事件，它是“2张全是移动卡”的对立事件，故选A.2．[2018·南通模拟]从1,2，…，9中任取两数，其中：①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个奇数和两个数都是奇数；③至少有一个奇数和两个数都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数．在上述事件中，是对立事件的是()A．①B．②④C．③D．①③答案C解析从9个数字中取两个数有三种取法：一奇一偶，两奇，两偶，故只有③中两事件是对立事件．3．[2018·陕西模拟]从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为()A.eq\f(1,5)B.eq\f(2,5)C.eq\f(3,5)D.eq\f(4,5)答案C解析如图，从A，B，C，D，O这5个点中任取2个，共有(A，B)，(A，C)，……，(D，O)10种取法，满足两点间的距离不小于正方形边长的取法有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(B，C)，(B，D)，(C，D)，共6种，因此所求概率P＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5).4．有两张卡片，一张的正反面分别写着数字0与1，另一张的正反面分别写着数字2与3，将两张卡片排在一起组成两位数，则所组成的两位数为奇数的概率是()A.eq\f(1,6)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2)D.eq\f(3,8)答案C解析将两张卡片排在一起组成两位数，则所组成的两位数有12,13,20,21,30,31，共6个，两位数为奇数的有13,21,31，共3个，故所组成的两位数为奇数的概率为eq\f(3,6)＝eq\f(1,2).5．从1,2,3,4,5这5个数中任取3个不同的数，则取出的3个数可作为三角形的三边边长的概率是()A.eq\f(3,10)B.eq\f(1,5)C.eq\f(1,2)D.eq\f(3,5)答案A解析从1,2,3,4,5这5个数中任取3个不同的数的基本事件有(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，共10个，取出的3个数可作为三角形的三边边长的基本事件有(2,3,4)，(2,4,5)，(3,4,5)，共3个，故所求概率P＝eq\f(3,10).选A.6．[2018·银川模拟]已知甲、乙两人下棋，和棋的概率为eq\f(1,2)，乙胜的概率为eq\f(1,3)，则甲胜的概率和甲不输的概率分别为()A.eq\f(1,6)，eq\f(1,6)B.eq\f(1,2)，eq\f(2,3)C.eq\f(1,6)，eq\f(2,3)D.eq\f(2,3)，eq\f(1,2)答案C解析“甲胜”是“和棋或乙胜”的对立事件，所以甲胜的概率为1－eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＝eq\f(1,6).设“甲不输”为事件A，则A可看作是“甲胜”与“和棋”这两个互斥事件的和事件，所以P(A)＝eq\f(1,6)＋eq\f(1,2)＝eq\f(2,3)eq\b\lc\(\rc\(\a\vs4\al\co1())或设“甲不输”为事件A，则A可看作是“乙胜”的对立事件，所以P(A)＝1－eq\f(1,3)＝eq\f(2,3)eq\b\lc\\rc\)(\a\vs4\al\co1()).7．[2018·陕西模拟]对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测，图为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间[20,25)上为一等品，在区间[15,20)和[25,30)上为二等品，在区间[10,15)和[30,35]上为三等品．用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取1件，则其为二等品的概率是()A．0.09B．0.20C．0.25D．0.45答案D解析由频率分布直方图的性质可知，样本数据在区间[25,30)上的频率为1－5×(0.02＋0.04＋0.06＋0.03)＝0.25，则二等品的频率为0.25＋0.04×5＝0.45，故任取1件为二等品的概率约为0.45.故选D.8．[2018·温州十校联考]记一个两位数的个位数字与十位数字的和为A.若A是不超过5的奇数，从这些两位数中任取一个，其个位数为1的概率为________．答案eq\f(2,9)解析根据题意，个位数字与十位数字之和为奇数且不超过5的两位数有：10,12,14,21,23,30,32,41,50，共9个，其中个位是1的有21,41，共2个，因此所求的概率为eq\f(2,9).9．[2018·吉林模拟]从分别写有0,1,2,3,4的五张卡片中取出一张卡片，记下数字后放回，再从中取出一张卡片．则两次取出的卡片上的数字之和恰好等于4的概率是________．答案eq\f(1,5)解析从0,1,2,3,4五张卡片中取出两张卡片的结果有25种，数字之和恰好等于4的结果有(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)，所以数字和恰好等于4的概率是P＝eq\f(1,5).10．一根绳子长为6米，绳子上有5个节点将绳子6等分，现从5个节点中随机选一个将绳子剪断，则所得的两段绳长均不小于2米的概率为________．答案eq\f(3,5)解析随机选一个节点将绳子剪断共有5种情况，分别为(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)．满足两段绳长均不小于2米的为(2,4)，(3,3)，(4,2)，共3种情况．所以所求概率为eq\f(3,5).[B级知能提升]1．在运动会火炬传递活动中，有编号为1,2,3,4,5的5名火炬手．若从中任选3人，则选出的火炬手的编号相连的概率为()A.eq\f(3,10)B.eq\f(5,8)C.eq\f(7,10)D.eq\f(2,5)答案A解析从1,2,3,4,5中任取三个数的结果有10种，其中选出的火炬手的编号相连的事件有：(1,2,3)，(2,3,4)，(3,4,5)，∴选出的火炬手的编号相连的概率为P＝eq\f(3,10).2．[2018·合肥一模]某城市有连接8个小区A，B，C，D，E，F，G，H和市中心O的整齐方格形道路网，每个小方格均为正方形，如图所示．某人从道路网中随机地选择一条最短路径，由小区A前往小区H，则他经过市中心O的概率为()A.eq\f(1,3)B.eq\f(2,3)C.eq\f(1,4)D.eq\f(3,4)答案B解析由题意知，此人从小区A前往小区H的所有最短路径为：A→B→C→E→H，A→B→O→E→H，A→B→O→G→H，A→D→O→E→H，A→D→O→G→H，A→D→F→G→H，共6条．记“此人经过市中心O”为事件M，则M包含的基本事件为：A→B→O→E→H，A→B→O→G→H，A→D→O→E→H，A→D→O→G→H，共4个，所以P(M)＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3)，即他经过市中心O的概率为eq\f(2,3).3．[2018·苏锡常镇调研]在不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y≤x，,0<x≤3，,y>\f(1,x)))所表示的平面区域内的所有格点(横、纵坐标均为整数的点称为格点)中任取3个点，则该3点恰能作为一个三角形的3个顶点的概率为________．答案eq\f(9,10)解析不等式组表示的平面区域内的格点有(2,1)，(2,2)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，共5个，从中任取3个点，有10种取法，其中共线的3点不能构成三角形，有(3,1)，(3,2)，(3,3)1种，即能够作为三角形3个顶点的情况有9种，故所求概率是eq\f(9,10).4．[2018·宁波模拟]一盒中装有各色球共12个，其中5个红球、4个黑球、2个白球、1个绿球．从中随机取出1个球，求：(1)取出1个球是红球或黑球的概率；(2)取出1个球是红球、黑球或白球的概率．解记事件A1＝{任取1个球为红球}，A2＝{任取1个球为黑球}，A3＝{任取1个球为白球}，A4＝{任取1个球为绿球}，则P(A1)＝eq\f(5,12)，P(A2)＝eq\f(4,12)，P(A3)＝eq\f(2,12)，P(A4)＝eq\f(1,12)，解法一：(利用互斥事件的概率公式求概率)根据题意，知事件A1，A2，A3，A4彼此互斥，由互斥事件的概率公式，可知，(1)取出1个球为红球或黑球的概率为P(A1∪A2)＝P(A1)＋P(