江西省部分学校2023-2024学年高二下学期5月统一调研测试数学试卷

2024年5月江西省高二年级统一调研测试高二数学试卷试卷共4页，19小题，满分150分。考试用时120分钟。注意事项：1．考查范围：选择性必修第一册占，选择性必修第二册占，集合与常用逻辑用语占。2．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡指定位置上。3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，请将答题卡交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．“对任意，是偶函数”的否定是（）A．存在，使不是偶函数B．对任意，不是偶函数C．存在，使是偶函数D．不存在，使是偶函数2．已知为等差数列，若，则的公差为（）A． B． C． D．3．已知，则（）A． B． C． D．4．已知变量x，y线性相关，利用样本数据求得的回归直线方程为，且点都在直线上，则这组样本数据的相关系数（）A．1 B． C． D．5．已知函数是奇函数，当时，，若的图象在处的切线方程为，则（）A．4 B． C．2 D．6．已知双曲线的渐近线与圆没有公共点，数列中，且是递增数列，则p是q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．既不充分也不必要条件 D．充要条件7．已知数列的前n项和为，若，，则（）A． B． C． D．8．已知，，若存在，，使得，则有（）A．最小值为 B．最大值为C．最小值为 D．最大值为二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．某公司为入职员工实行每月加薪，小王入职第1个月工资为a元，从第2个月到第13个月，每月比上个月增加100元，从第14个月到第25个月，每月比上个月增加50元，已知小王前3个月的工资之和为9300元，则（）A．B．小王第3个月与第7个月工资之和等于第2个月与第8个月工资之和C．小王入职后前15个月的工资之和是第8个月工资的15倍D．小王入职后第20个月的工资为4550元10．若数列满足，对任意正整数n，恒有，则的通项可以是（）A． B． C． D．11．根据的单调性判断，下列结论正确的有（）A． B． C． D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．若，，则____________．13．已知是公差不为零的等差数列，是公比为正数的等比数列，若，，，则____________．14．若函数的图象与直线有4个交点，则实数a的取值范围是____________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）据统计，目前中国各省市博物馆藏品数量最多的前5个省市及藏品数量（单位：万件）依次为：北京（632.2）、四川（470.9）、上海（342.1）、陕西（329.2）、广东（262.7），从这5个省市中任意选取2个省市，记选取到的博物馆藏品数量超过400万件的省市个数为X．（1）求X的分布列与期望；（2）在的条件下，求广东省没有被选取到的概率．16．（15分）已知四棱锥中，底面，，四边形是边长为4的菱形，点E，F分别为，的中点，．（1）证明：平面平面；（2）求平面与平面的夹角的余弦值．17．（15分）已知数列满足，．（1）证明：数列是等差数列；（2）若，，求的前n项和．18．（17分）已知椭圆的离心率为，且a，b的等比中项为2．（1）求C的方程；（2）若直线与C交于点A，B两点，直线过点A且与C交于另外一点，直线过点B，且与C交于另外一点．（ⅰ）设，，证明：；（ⅱ）若直线的斜率为，判断是否存在常数m，使得k是m，的等比中项，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．19．（17分）已知函数的导函数为，的导函数为，对于区间A，若与在区间A上都单调递增或都单调递减，则称为区间A上的自律函数．（1）若是R上的自律函数．（ⅰ）求a的取值范围；（ⅱ）若a取得最小值时，只有一个实根，求实数t的取值范围；（2）已知函数，判断是否存在b，c及，使得在上不单调，且是及上的自律函数，若存在，求出b与c的关系及b的取值范围；若不存在，请说明理由．2024年5月江西省高二年级统一调研测试高二数学参考答案及评分细则1．【答案】A【解析】因为命题“，x具有性质”的否定是“，x不具有性质”．故选A．2．【答案】D【解析】设的公差为d，因为，所以，．故选D．3．【答案】D【解析】因为，所以，则．故选D．4．【答案】B【解析】由点都在直线上，可得，又x，y负相关，所以．故选B．5．【答案】D【解析】的图象在处的切线方程为，则，，当时，，，因为是奇函数，图象关于原点对称，的图象在处及处的切线也关于原点对称，所以，，即所以，，．故选D．6．【答案】A【解析】若双曲线的渐近线与圆没有公共点，则点到直线的距离大于1，即，解得；若数列是递增数列，则，所以p是q的充分不必要条件．故选A．7．【答案】C【解析】由，，得，所以，所以数列是首项为1、公比为的等比数列，所以，，所以，，两式相减得，所以，所以．故选C．8．【答案】B【解析】由得，，设，则，设，由，得，所以t的取值范围是，，设，则，所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以，没有最小值，所以当，时，取得最大值，没有最小值．故选B．9．【答案】ABD（每选对1个得2分）【解析】小王前3个月的工资之和为，所以，A正确；记小王入职第n个月工资为，则时，是等差数列，因为，所以，B正确；由时是公差为100的等差数列，当时，是公差为50的等差数列，，C错误；小王入职后第13个月的工资为，第20个月的工资为，D正确．故选ABD．10．【答案】ACD（每选对1个得2分）【解析】对于A，，当时最小，满足题意，A正确；对于B，，当，，所以，B错误；对于C，，当时，，当时，，且随n的增大而减小，C正确；对于D，，数列的前7项依次为，，1，，，1，，该数列是以3为周期的周期数列，易知D正确．故选ACD．11．【答案】BC（每选对1个得3分）【解析】由，得，所以在上单调递增，在上单递减，由得，即，A错误；由得，即，B正确；由得，即，C正确；由得，即，所以，D错误．故选BC．12．【答案】【解析】当时，，当时，，，，所以．13．【答案】【解析】设的公差为，的公比为，由题意得解得，所以．14．【答案】【解析】函数的图象与直线有4个交点，即方程有4个不同实根，即有4个不同实根，设，，则，由，得，所以在上单调递减，在上单调递增，，所以有2个不同实根0与1，令，得，设，则，在上单调递减，在上单调递增，，且时，所以当时，直线与函数的图象没有交点，当或时，直线与函数的图象有1个交点，当时，直线与函数的图象有2个交点，令，得，设，则，在上单调递减，在上单调递增，，且时，，所以当时，直线与函数的图象没有交点，当或时，直线与函数的图象有1个交点，当时，直线与函数的图象有2个交点，综上得当时，函数的图象与直线有4个交点．【评分细则】14题答案写成或或也正确．15．解：（1）X的所有可能取值为0，1，2，（1分），，， （4分）所以X的分布列如下表所示，X012P（6分）． （8分）（2）设事件A表示“”，事件B表示“广东省没有被选取到”，则，， （11分）所以在的条件下，广东省没有被选取到的概率为． （13分）【评分细则】第（2）小题，不设事件，直接列式计算，若计算正确，不扣分．16．（1）证明：因为四边形是菱形，且，所以， （1分）因为平面，平面，所以， （3分）因为，所以平面， （4分）因为平面，所以平面平面． （6分）（2）解：由（1）可得，，两两垂直，因为，，，所以， （7分）以点A为坐标原点，，，所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则，，，，，，所以，，，， （9分）设平面的法向量，则即取，得，，故平面的一个法向量， （11分）设平面的法向量，则即取，得，，故平面的一个法向量， （13分）设平面与平面的夹角为，则，所以平面与平面的夹角的余弦值为． （15分）【评分细则】如用其他解法，若正确，也给满分．17．（1）证明：因为，所以， （2分）两边同时除以得，即， （5分）所以数列是公差为4的等差数列． （7分）（2）解：由（1）得是公差为4的等差数列，首项，所以， （9分）所以， （10分）， （12分）所以． （15分）【评分细则】第（2）小题最终结果写成也正确．18．（1）解：因为C的离心率为，所以， （2分）整理得，所以， （3分）因为a，b的等比中项为2，所以，即，，，所以C的方程为． （5分）（2）（ⅰ）证明：与联立得，所以， （6分）因为，且， （7分）所以， （9分）所以，即得证． （10分）（ⅱ）解：由（ⅰ）知，．因为直线经过点，，直线经过点，，设，则，． （12分）又，， （15分）所以，所以，9的一个等比中项为k，即存在，使得k是m，的等比中项． （17分）【评分细则】如用其他解法，若正确，也给满分．19．解：（1）（ⅰ）因为，所以，， （2分）因为是R上的自律函数，所以恒成立，恒成立，所以 （4分）解得，所以a的取值范围是． （5分）（ⅱ）