2024年江苏省南通市新高考适应性测试数学试题 含答案【新结构】

绝密★启用前

【新结构】江苏省南通市2024届新高考适应性调研试题

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干

净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。

3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.数据68,70,80,88,89,90,96,98的第15百分位数为()

A.69B.70C.75D.96

2.已知双曲线会*l(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±3x,则双曲线的离心率是

()

A.710B.罂C.嚼D.3VI0

3.等差数列｛5｝和｛｝｝的前几项和分别记为S”与彩，若攀=息，则安％=()

A.yB.|jC.yD.2

4.已知见/?是两个平面，m,九是两条直线，则下列命题簿送的是()

A.如果a〃,，nua,那么7i〃/?

B.如果7nla,n//a,那么m1荏

C.如果zn//n,m1a,那么n1a

D.如果7nlri,m1a,n//p,那么a1/?

5.为了更好的了解党的历史，宣传党的知识，传颂英雄事迹，某校团支部6人组建了“党史宣讲”、“歌

曲演唱”、“诗歌创作”三个小组，每组2人，其中甲不会唱歌，乙不能胜任诗歌创作，则组建方法有种

()

A.60B.72C.30D.42

6.已知直线(m—l)x+jny+3=0与直线G：(机-1)尤+2y—1=0平行，贝!J"m=2"是"匕平行于

%”的

()

A.必要不充分条件B.充分不必要条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

7.已知a,06(0,]),2tana=则tan(2a+。+E)=()

A.SB.一？C耳D.<3

8.双曲线C：/—y2=4的左，右焦点分别为6,尸2,过尸2作垂直于X轴的直线交双曲线于4B两点，△

6A81，2，3，4123

AFrF2,ABF#2A的内切圆圆心分别为。。。则。。。的面积是

()

A.672-8B.6<2-4C.8-472D.6-

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6

分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.关于函数/(%)=sin|%|+|sin%|有下述四个结论，其中错误的是()

A./(%)是偶函数B./(%)在区间(9")单调递增

C./(%)在[-兀,汨有4个零点D./(%)的最大值为2

10.已知复数Z1，Z2，满足|z/•忆2|W0,下列说法正确的是()

A.若=忆21^\zl=zlB.\z1+z2\<kil+\z2\

C.若Z1Z2ER,则久CRD.\zz\=\z\\z\

z2r2r2

11.已知函数/(久)的定义域为R,且/口+丫次》一村二产⑺一尸。)，/(I)=f(2x+|)为偶函数,

则

()

A.f(0)=0B./(久)为偶函数

C.f(3+久)=-/(3-%)D.£膂/也)=73

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.定义集合运算：AQB{z\zxyQx+y),xEA,yeB],集合4={0,1},8={2,3},则集合AOB所有

元素之和为

13.早在南北朝时期，祖冲之和他的儿子祖晅在研究几何体的体积时，得到了如下的祖唯原理：鼎势既

同，则积不容异。这就是说，夹在两个平行平面间的两个几何体，如果被平行于这两个平面的任意平面所

截，两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积一定相等，将双曲线G：%2—曰=1与y=O,y=

门所围成的平面图形(含边界)绕其虚轴旋转一周得到如图所示的几何体「其中线段。力为双曲线的实半

轴，点8和点C为直线y=C分别与双曲线一条渐近线及右支的交点，则线段BC旋转一周所得的图形的面

积是，几何体「的体积为.

14.已知X为包含u个元素的集合OEN*,v>3),设4为由X的一些三元子集(含有三个元素的子集)组成的集

合，使得X中的任意两个不同的元素，都恰好同时包含在唯一的一个三元子集中，则称(X,4)组成一个"阶

的Ste讥er三元系.若(X,4)为一个7阶的Ste讥er三元系，则集合4中元素的个数为.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题13分)

已知函数/(%)=Inx+ax—a2x2{a>0).

(1)若久=1是函数y=f(x)的极值点，求a的值；

(2)求函数y=f(x)的单调区间.

16.(本小题15分)

A,B,C,。四人进行羽毛球单打循环练习赛，其中每局有两人比赛，每局比赛结束时，负的一方下场，

第1局由4B对赛，接下来按照C,D的顺序上场第2局、第3局(来替换负的那个人)，每次负的人其上场顺

序排到另外2个等待上场的人之后(即排到最后一个)，需要再等2局(即下场后的第3局)才能参加下一场练习

赛.设各局中双方获胜的概率均为各局比赛的结果相互独立.

(1)求前4局4都不下场的概率;

(2)用X表示前4局中B获胜的次数，求X的分布列和数学期望.

17.(本小题15分)

四棱锥P-4BCD中，四边形4BCD为菱形，AD=2,ABAD=60°,平面PBD_L平面4BCD.

(1)证明：PB14C；

(2)若PB=PD,且P4与平面ZBCD成角为60。，点E在棱PC上，且而=：而，求平面E8D与平面BCD的夹

角的余弦值.

18.(本小题17分)

如图，已知椭圆C：冒+，=l(a>6>0)的左、右项点分别为4,42,左右焦点分别为&，f2，离心率

(1)求椭圆。的方程；

(H)设过点P(4,m)的直线P&,P&与椭圆分别交于点M,N,其中爪>0,求AOMN的面积S的最大值.

19.(本小题17分)

01,1。1,2…al,m\

am

Q:2...\\(jn>2)是血2个正整数组成的7n行加列的数表，当1<i<s<771,14

(即1,1…^m,m/

aaa

j<t<m时，记戢七,力4,。=\i,j~sj\+\sj~•设九€N*,若4n满足如下两个性质：

®aije{123;…=12…，瓶;/=12…即)；

②对任意kE{1,2,3,…，九}，存在i土{12・・・,m}JW{1,2,…,M}，使得4,j=k,则称4n为7数表・

/I23\

(1)判断4=231是否为心数表，并求以的,1，。2,2)+以。2,2，。3,3)的值；

\312/

(2)若心数表4满足d&j,%+ij+J=l(i=123;/=123),求4中各数之和的最小值；

(3)证明：对任意心数表Ai。，存在1<i<s<10,1<y<t<10,使得或七,力%,。=。・

【新结构】江苏省南通市2024届新高考适应性调研试题

答案和解析

【答案】

1.B2.A3.D4.Z?5.D6.B7.B

8.A

9.BC10.BDll.ACD

12.18

12兀4百

13.冗;----7C

3

14.7

15.解：⑴函数定义域为(0,+8),/(幻=2矿『+依+1

X

因为x=l是函数y=/(x)的极值点，所以/'(1)=1+。—2/=0,解得a=—g或。=1,

因为a.0,所以a=l.

止匕时f(x)=-2>+x+l=一(2「+1)(无T)

XX

/'(月>0得0<*<1函数单调递增，/(x)<0得X>1函数单调递减，

所以x=l是函数的极大值.

所以。=1.

(2)若。=0,Hx)=->0,

X

则函数“X)的单调增区间为(。,+8)；

•++*八八,/X—+ax+1(2。％+1)(—cix+1)

右。>。，f(%)=------------------=---------------------,

XX

因为a>0,x>0,则2or+l>0,

由r(x)>。，结合函数的定义域，可得0<x<L;

a

由尸(x)<。，可得

a

二函数的单调增区间为(0,工)；单调减区间为(-,+00).

aa

综上可知：当。=0时，函数”X)在(0,+8)上单调递增，无递减；

当a>0时，函数〃x)在(0,工)上单调递增，在(工,+8)上单调递减.

aa

16.解：⑴前4局/都不下场说明前4局/都获胜，

故前4局力都不下场的概率为P==

222216

(2)X的所有可能取值为0,1,2,3,4,

其中，X=0表示第1局5输，第4局是8上场，且6输，则P(X=0)=(x]=!；

224

X=1表示第1局夕输，第4局是6上场，且笈赢；或第1局夕赢，且第2局夕输,

贝！IP(X=1)=-x—+—x—=—；

22222

X=2表示第1局夕赢，且第2局笈赢，第3局吕输，

则尸(X=2)=\x\x'二：；

X=3表示第1局夕赢，且第2局占赢，第3局笈赢，第4局笈输，

贝IJ尸(X=3)=±x!xgxg=]；

X=4表示第1局B赢，且第2局6赢，第3局彳赢，第4局5赢，

则P(X=4)=^x1x^xi=-^.

2222lo

所以X的分布列为

01234

1111

P

4281616

故X的数学期望为E(X)=0XL+1X’+2XL+3*L+4*-1-=^.

428161616

17.解：⑴证明：因为四边形力灰力为菱形，

所以

因为平面？60，平面力反刀，平面？BDc平面458=60,ACu平面“5c

所以AC_L平面PBD,

因为PBu平面2故ACLPB

(2)设ACcBDu。，则。为力G5。的中点，

又因为PB=PD，

所以POL3。，

又因为AC±平面PBD,POu平面PBD,

所以POLAC,

因为ACc5Q=O,AC,BDu平面四，

所以PO_L平面ABCD,

所以NR4O为K4与平面力反力所成角，故/PAO=60°，

由于四边形力HQ为边长为AD=2,ZBAD=60°的菱形，

所以AO=ADsin60=PO—AOtanZ.PAO=\[3xA/3=3<

以点。为坐标原点，OA.0B、。户所在直线分别为x、/z轴建立如下图所示的空间直角坐标系:

则A(0,0,0),C(-Ao,O),B(o,1,0),D(0,-l,0),P(0,0,3),

由PE=—PC=—(―>/3,0,—3)=(—―^―,0,—1),

得8石=82+「£=(0,-1,3)+(-5,0,-1)=(-?,-1,2),且。3=(0,2,0),

设平面的法向量为〃?=(羽y,z),

则<m-DB=2y=Om-BE=-^-x-y+2z=0,

取，则z=i，y=°，

所以布=（2也,0,1）,

又平面BCD的一个法向量为n=（0,0,1）,

\m-n\_1y/13

所以|COS〈防㈤1=

\m\-\n\13

所以平面EBD与平面BCD的夹角的余弦值为叵

13

18.解：（I）离心率为日，|耳耳|=2有，，

-=—2c=2^/3,

a2

。=2,c=y/3，则b=1,

y2

.••椭圆。的方程的方程为：—+/=1.

4-

(U)由(I)得4(—2,0),4(2,0),

yyi777

直线M，的方程分别为：y=((%+2),>=—(%—2),

62

Im尤2

2

由<y=：(x+2):+y2=1得(9+苏A?+4mx+-36=0,

I64

・-2+/=渭,可得也18-2m2m.6m

右尸,M=-(XM+2)=—

由；>=W(x-2)?+>2T，可得(1+加2)12—4mx+4机2—4=0,

2i

4m2nl-2m/c、—2m

2+x—，可得％N=〉N=3(XN-2)二

N1+m21+m21+m2

y”一以2m

2，

3-m

—2m2m2m2-2

直线AW的方程为:y—），

1+m23—m21+m2

2m2m2-22m2m2m2-23-m22m

y二)-)=(%—1)，

3—m21+m21+m23-m21+m21+m23-m2

可得直线MV过定点（1,0）,故设九W的方程为：x^ty+1,

由JX=9+2—+y2=1得02+4),2+29_3=0,

-2t-3

设"(为％)，NC%,%)，则乂%=^^，

IM-%1="(M+y?)2-4/%=4,+；3,

.-.OMN的面积5=3义1义(%一%)=2，；,，

____2d2

令4+3=d,(d..石),则$一d?+]一1+1,

d

d..也,且函数/(d)=d+=在[括,+oo)递增，

a

；.当d=55取得最小值遮.

2

19.解：⑴4=(123231312)是口数表，

1(%1，%2)+4(〃2,2,13,3)=2+3=5.

(2)由题可知d(q,j，4+i,j+i)=l&j—4+i,jl+lq+i,j—4+i,j+il=l(i=1,2,3"=1,2,3).

当4+i,j=1时，有d(&j，4+i,j+i)=|%j-l|+|a,+i,j+i-l|=l,

所以%+4+i,j+i=3.

j,a,，-

当心,j=2时，有d(a.a;+1J+1)=|at.-21+1+lj+121=1,

所以%+4+5=3.

所以ai,j+ai+i,j+i~3(i=1,2,3;j=1,2,3).

所以知+a22+a33+〃44=3+3=6,q3+a1A=3,«31+=3.

62+。23+〃34=3+1=4或者42+。23+。34=3+2=5,

%]+〃32+〃43=3+1=4或者121+〃32+143=3+2=5,

«1,4=1或％4=2,%」=1或=2,

故各数之和..6+3+3+4+4+1+1=22,

当4=(1111122212111212)时，各数之和取得最小值22.

⑶由于r4数表Ao中共io。个数字，

必然存在无©{123,4}，使得数表中〃的个数满足T..25.

设第/行中％的个数为箕=1,2,…,10).

当时.2时，将横向相邻两个女用从左向右的有向线段连接，

则该行有4-1条有向线段，

1=1

所以横向有向线段的起点总数7?=^(^.-i)...E(<-i)=r-io.

及10

设第/列中々的个数为q(j=l,2,…,10).

当%.2时，将纵向相邻两个〃用从上到下的有向线段连接，

则该列有q-i条有向线段，

j=i

所以纵向有向线段的起点总数c=Z(q-D…z(q-1)=7-10.

Cj..210

所以R+C..2T-20,

因为T..25,所以R+C-T..2T-20-T=T-20>0.

所以必存在某个左既是横向有向线段的起点，又是纵向有向线段的终点，

即存在1<“<倒10,

使得au.p=av,p=av,q=k,

daaaaa0

所以(.u.P，v.q)=1u,P-I+IV.P-,.q1=,

则命题得证.

【解析】

1.【分析】

本题考查求百分位数，属于基础题.

根据百分位数的定义即可得到答案.

【解答】

解：因为8xl5%=1.2,根据百分位数的定义可知，该数学成绩的第15百分位数为第2个数据70.

故选：B.

2.【分析】

本题考查双曲线的性质和离心率的知识点，属于基础题.

由题易知'=3,根据公式e=J1+求出离心率的值.

【解答】

V"V*bb

解：由题可知双曲线j—==l(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±—x,所以一=3,

abaa

所以e=Jl+3。=

故答案为A.

3.【分析】

本题考查等差数列，属于基础题.

~H-QlQ

利用b3—-T5即可求解.

2:

【解答】

S8n

解：因为^2n

T”3〃+5

10

所以出+<9_%+0io_2।_S'_40_2

b.~b+b~5-r--20--

3-x1yA55(4+々)§

故答案选：D.

4.【分析】

本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、

推理论证能力，属基础题.

根据相关定理或性质逐一判定即可得出结论.

【解答】

解：对于4由面面平行的定义可得〃与力没有公共点，即〃//月,故力正确；

对于3如果m_Ltz,nila,那么在?内一定存在直线6||〃，又加则故吕正确;

对于C,如果m//〃，m±a,那么根据线面平行的性质可得“_L。，故。正确；

对于。，如果mVa,则〃〃々或"utz,又〃〃/7,那么?与可能相交，也可能平行，故。

错误.

故选D

5.【分析】

本题考查排列、组合的综合应用，属于中档题.

由6人平均分3个不同组，共生遗3=90种，排除甲在歌曲演唱小组，乙在歌曲诗歌创作小组的可

3!

能结果即可.

【解答】

解:6人平均分3个不同组，共至竺.3!=90种，

3!

甲在歌曲演唱小组，此时有生&-2!=30种，

2!

乙在歌曲诗歌创作小组，此时有C•2!=30种，

2!

甲在歌曲演唱小组且乙在歌曲诗歌创作有&=12种，

故共有90—30—30+12=42种，

故选：D.

6.【分析】

本题考查两直线平行的判定及其应用，考查充分、必要条件的判断，属于基础题.

根据两直线的位置关系、充分和必要条件的定义进行判断.

【解答】

解：当/[///2时，(m-l)x2=»i(根-1),解得m—1或m=2,

经检验可知机=1或机=2都符合.

所以“帆=2”是“4//乙”的充分不必要条件.

故选：B

7.【分析】

本题考查两角和的余弦公式、诱导公式的应用，考查三角函数的化简求值，属于基础题.

根据两角和的余弦公式和诱导公式化简求值即可.

【解答】

々刀上。*_____2sincr_sin2/3_2sinQcos尸_2CGS(3

角牛：由2tana==——­.n=―一7).2。i；一:,

cosasinp+sin2psm//+sinp1+smp

可得cosacos^=(l+sin/7)sina,即cosacos4一sinasin4=sina,

JI

得cos(cr+/?)=sin=cos(--a),

因为ae(0，W)，/?e(0,1),

TT

所以a+/?=]—tz,

2。+/3=—,tan(2a+/3+—)=tan—=tan(——)=-tan—=一3L

236663

故选B.

8.【分析】

本题考查双曲线中的面积问题，属于较难题.

由题意画出图，由已知求出。的值，找出A,3的坐标，由.4片鸟,一8片耳”片的内切圆圆心分别为

进行分析，由等面积法求出内切圆的半径，从而求出。1。203的底和高，利用三角形的面积

公式计算即可.

【解答】

解：由题意如图所示：

由双曲线。：必一V=4,知42=〃=4,

所以/—a2+b2—8>

所以巴(2夜,0),国用=2c=4应,

所以过工作垂直于X轴的直线为X=2虚,

代入C中，解出A（2A/2,2）,S（2A/2,-2）,

由题知..A耳心耳心的内切圆的半径相等，

且||=|37",..A4玛…34心的内切圆圆心a,2的连线垂直于x轴于点P,

设为r,在，A4心中，由等面积法得：

；（|A埒+|9|+闺用）.一；闺用色封，

由双曲线的定义可知：|A耳阳=21,

由|A玛|=2,所以|A耳|=6,

所以（（6+2+4逝）"=5><4夜x2,

解得：r=H2卫=2五一

2+722

因为g为.£A3的AAFXB的角平分线，

所以。3一定在6巴上，即x轴上，令圆。3半径为兄

在，中，由等面积法得：

1|M|+M+M）.R=；国研网,

又|A人|=|34|=6,

所以g*（6+6+4）.R=gx4A4,

所以H=0，

所以|尸周=/=2应-2,

\O3P\=\O3F2\-\PF2\=R-r=y/2-^2y/2-2）=2-,

002G3=^O\\OP\=^x2rx\OP\

所以S1233

=rx|O5P|=（2V2-2）x（2-V2）=6A/2-8.

故选A.

9.【分析】

本题考查了三角函数的性质，属于基础题.

直接利用相应性质的判断方法判断即可.

【解答】

解：函数定义域为R关于原点对称，

又/(-%)=sin|-x|+|sin(-x)|=sin岗+|sinx\=f(x),

「•/(%)是偶函数，故力正确；

当X£[-71,句时，/(%)={-2sin[-71,0)2sin[0,»],

易判断xe[-时，函数有3个零点，故。不正确；

当时，函数单调递减，故彳不正确；

jr

显然sin|x|,,l,|sin.r|„1,存在x=—使得sin|x|=1,|sinx|=l,故〃x)的最大值为2,故〃正确.

2

10.【分析】

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，属于一般题.

由复数的模及复数的基本概念判断B与D；举例判断力与C

【解答】

解：取4=1,z?=i,满足|马|=匕|,但z；wz；,,故力错误；

利用模的运算性质可知彳正确；

取4=1+1,z0=1-1,则Z[Z2=2eR,但一LgR,故c错误；

一一Z]

设4=a+bi,z2=c+di人a,b,c,dGR),

|z1z2|=\ac-bd+^ad+be)z|={(ac-bdj+(ad+bc)2

=Ja2c2+a2d2+[2。2+12~2，

IZ]HZ21=7«2+b2-7c2+d2=y/a2c2+a2d2+b2c2+b2d2，

即上闻=|讣㈤，故〃正确.

故选：BD.

11•【分析】

本题考查抽象函数的奇偶性、对称性及周期性，属于难题.

令x=y=O可判断力；若为偶函数，令无=0,y=-1可得/。)=0,与已知矛盾，从而可判断

B；取尤=0,得到/(—x)=—"力，结合了(2尤+6为偶函数可判断G由。可得/(x)的周期为6,对

称轴为x=：,从而可得〃1)+〃2)+〃3)+/(4)+〃5)+〃6)=0,根据周期性可判断。.

【解答】解：令x=y=。，可得/(0)/(0)=0,解得/(0)=。，故/正确；

若〃x)为偶函数，令x=o,y=—1,可得“T)”i)=r⑼一尸(T),即尸(T)+〃-i)〃i)=o,

则/⑴+/⑴/⑴=。，解得/。)=。，与〃1)=百矛盾，故不是偶函数，故5错误；

取九=0,可得/(y)/(—y)=—尸(四，化得/(y)[/(y)+/(-y)]=0,

则/'(y)=0或〃y)=-=㈠),

易知若"y)=o,则/㈠)=0,可得/(/=-〃-y)恒成立,即知X)为奇函数.

因为/(2x+|)为偶函数，所以/[2X+T]=/1-2X+T],

即+=—x+|],gp/(3+x)=/(-x).

因为〃—x)=—/(X)，所以"3+x)=-〃x)=-43-x),故C正确；

因为〃3+x)=-/(x),所以f(x+6)=-〃x+3)=f(r),所以的周期为6.

因为〃3+X)=〃T),所以/(x)的对称轴为x=T,

因为〃1)=百,所以〃2)=〃1)=4,/(3)=/(0)=0,f(4)=f(-l)=-f(l)=-^3,

/(5)=/(5-6)=/(-1)=-A/3,/(6)=/(0)=0,

所以〃1)+〃2)+/⑶+〃4)+〃5)+〃6)

=73+^+0-A/3-73+0=0.

X2023=6x337+1,

2023

所以伏)=337x「/⑴+”2)+/(3)+/(4)+/(5)+/(6)]+〃1)=行，故〃正确.

k=T

故选ACD.

12•【分析】

本题考查集合的新定义问题，属于基础题.

根据A一3的定义即可求出集合中的元素，从而得出各元素之和.

【解答】

解：当x=0,y=2,;.z=。；

当x=l,y=2,;.z=6；

当尤=0,y=3,z=0；

当x=Ly=3,;.z=12,

，集合AB={0,6,12）,

集合A2所有元素的和为0+6+12=18.

故答案为：18.

13.【分析】

本题考查双曲线的简单性质，以及几何体体积的计算，属于中档题.

过y轴任意一点作直线//ABC,交双曲线渐近线、双曲线于9、C,计算内部圆形（绿色部分）和环带

面积（橙色部分），利用祖眶原理即可求解.

【解答】

解：

如图所示，BC//BC,

双曲线的一条渐近线方程为y=6x,设8'（3，%）,。（，+彳,%）,

当8。绕y轴旋转一周时，内部圆形面积（绿色部分）为万彳，

所以线段5c旋转一周所得的图形的面积是万吏_万皿__乃，

33

外部橙色环带面积为万，+与一万¥=万，

此部分对应的体积等价于底面积为万，高为百的圆柱，

所以几何体r的体积为由橙色部分）+；7G（圆锥部分）=殍兀.

4J3

故答案为万；竺电兀.

3

14•【分析】

本题考查集合的新定义，为难题.

【解答】

解：7阶中元素个数为7个，设为{1,2,3,4,5,6,7},则7阶的三元子集的集合个数为=35,

若要使得X中的任意两个不同的元素，都恰好同时包含在唯一的一个三元子集中，

不妨先挑选{1,2,3},则三元子集中不能包含：

{1,2,4},{1,2,5},{1,2,6},{1,2,7},{2,3,4},{2,3,5},{2,3,6},{2,3,7}{1,3,4},{1,3,5},{1,3,6},{1,3,7},共12个剔

除；

再从剩余三元子集中挑选{1,4,5},