新高考数学大一轮复习讲义之方法技巧专题39圆锥曲线中的定点、定值问题(原卷版+解析)

专题39圆锥曲线中的定点、定值问题【方法技巧与总结】1、定值问题解析几何中定值问题的证明可运用函数的思想方法来解决．证明过程可总结为“变量—函数—定值”，具体操作程序如下：（1）变量----选择适当的量为变量．（2）函数----把要证明为定值的量表示成变量的函数．（3）定值----化简得到的函数解析式，消去变量得到定值．2、求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊情况入手，求出定值，再证明该定值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理过程中消去变量，从而得到定值．常用消参方法：①等式带用消参：找到两个参数之间的等式关系，用一个参数表示另外一个参数，即可带用其他式子，消去参数．②分式相除消参：两个含参数的式子相除，消掉分子和分母所含参数，从而得到定值．③因式相减消参：两个含参数的因式相减，把两个因式所含参数消掉．④参数无关消参：当与参数相关的因式为时，此时与参数的取值没什么关系，比如：，只要因式，就和参数没什么关系了，或者说参数不起作用．3、求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；（3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明．一般解题步骤：①斜截式设直线方程：，此时引入了两个参数，需要消掉一个．②找关系：找到和的关系：，等式带入消参，消掉．③参数无关找定点：找到和没有关系的点．【题型归纳目录】题型一：面积定值题型二：向量数量积定值题型三：斜率和定值题型四：斜率积定值题型五：斜率比定值题型六：线段定值题型七：直线过定点题型八：动点在定直线上题型九：圆过定点题型十：角度定值【典例例题】题型一：面积定值例1．已知双曲线的焦距为，且过点，，直线与曲线右支相切（切点不为右顶点），且分别交双曲线的两条渐近线与，两点，为坐标原点．（1）求双曲线的方程；（2）求证：面积为定值，并求出该定值．例2．已知双曲线的一个焦点坐标为，其中一条渐近线的倾斜角的正切值为，为坐标原点．（1）求双曲线的方程；（2）直线与轴正半轴相交于一点，与双曲线右支相切（切点不为右顶点），且分别交双曲线的两条渐近线于，两点，证明：的面积为定值，并求出该定值．例3．已知椭圆的离心率为，过椭圆的焦点且与长轴垂直的弦长为1．（1）求椭圆的方程；（2）设点为椭圆上位于第一象限内一动点，，分别为椭圆的左顶点和下顶点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求四边形的面积．变式1．已知椭圆，离心率为，点与椭圆的左、右顶点可以构成等腰直角三角形．（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线与椭圆交于，两点，为坐标原点直线，的斜率之积等于，试探求的面积是否为定值，并说明理由．变式2．已知椭圆的左、右焦点分别为、且椭圆上的点到、两点的距离之和为4．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若直线与椭圆交于、两点，为坐标原点直线、的斜率之积等于，试探求的面积是否为定值，并说明理由．变式3．已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，点是椭圆上一点，△的周长为．（1）求椭圆的方程；（2）直线与椭圆交于，两点，且四边形为平行四边形，求证：四边形的面积为定值．变式4．已知椭圆的离心率为，且过点，．（1）求椭圆的标准方程；（2）直线与椭圆交于，两点，为椭圆上的点，且满足，求证：四边形的面积为定值．变式5．已知椭圆的焦距为，，为其左右焦点，为椭圆上一点，且，（1）求椭圆的方程；（2）设直线与椭圆相交于、两点，以线段，为邻边作平行四边形，其中顶点在椭圆上，为坐标原点，求证：平行四边形的面积为定值．变式6．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，，椭圆的离心率．（1）求椭圆的标准方程；（2），是椭圆上与点不重合的任意两点，若的重心是坐标原点，试证明：的面积为定值，并求出该定值．题型二：向量数量积定值例4．己知椭圆的左、右焦点分别为，左顶点为，离心率为．(1)求的方程；(2)若直线与交于点，线段的中点分别为．设过点且垂直于轴的直线为，若直线与直线交于点，直线与直线交于点，求证：为定值．例5．已知椭圆的离心率为，且经过点．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）过点的动直线交椭圆于另一点，设，过椭圆中心作直线的垂线交于点，求证：为定值．例6．已知，分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆的上顶点，△是面积为4的直角三角形．（1）求椭圆的方程；（2）设圆上任意一点处的切线交椭圆于点，，问：是否为定值？若是，求出此定值；若不是，说明理由．题型三：斜率和定值例7．已知椭圆的两个焦点，点在此椭圆上．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点的直线与椭圆相交于，两点，设点，记直线，的斜率分别为，，求证：为定值．例8．已知椭圆的离心率为，且过点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知点，，过点的直线交椭圆于，两点，直线，的斜率分别为，，求证：为定值．例9．已知椭圆的左､右焦点为，，且左焦点坐标为，为椭圆上的一个动点，的最大值为.(1)求椭圆的标准方程；(2)若过点的直线与椭圆交于两点，点，记直线的斜率为，直线的斜率为，证明：.题型四：斜率积定值例10．已知椭圆：的离心率为，短轴长为2.(1)求的方程；(2)过点且斜率不为0的直线与自左向右依次交于点，，点在线段上，且，为线段的中点，记直线，的斜率分别为，，求证：为定值.例11．已知分别是椭圆的左､右顶点，分别是的上顶点和左焦点.点在上，满足.(1)求的方程；(2)过点作直线（与轴不重合）交于两点，设直线的斜率分别为，求证：为定值.例12．已知椭圆的焦距为2，点在椭圆C上．(1)求椭圆C的方程；(2)点P为椭圆C上异于顶点的任意一点，点M、N分别与点P关于原点、y轴对称．连接MN与x轴交于点E，并延长PE交椭圆C于点Q．试问：是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．变式7．已知椭圆的左､右焦点分别为，，，面积为的正方形ABCD的顶点都在上.(1)求的方程；(2)已知P为椭圆上一点，过点P作的两条切线和，若，的斜率分别为，，求证：为定值.变式8．已知椭圆的右顶点为，上顶点为，为坐标原点，，的面积为1．（1）求椭圆的方程；（2）若，是椭圆上两点，且，记直线，的斜率分别为，，证明：为定值．题型五：斜率比定值例13．已知椭圆的一个焦点为，过点且与轴不重合的直线与椭圆交于两点.(1)若线段中点的横坐标为，求直线的方程；(2)设直线与直线交于点，点满足轴，轴，试求直线的斜率与直线的斜率的比值.例14．设为椭圆的右焦点，过点的直线与椭圆交于，两点．（1）若点为椭圆的上顶点，求直线的方程；（2）设直线，的斜率分别为，，求证：为定值．例15．已知动点到点，的距离比它到直线的距离小2．（Ⅰ）求动点的轨迹方程；（Ⅱ）记点的轨迹为，过点斜率为的直线交于，两点，，延长，与交于，两点，设的斜率为，证明：为定值．题型六：线段定值例16．如图，中心在原点O的椭圆的右焦点为，右准线l的方程为：．(1)求椭圆的方程；(2)在椭圆上任取三个不同点，使，证明：为定值，并求此定值．例17．已知椭圆的右顶点坐标为A（2，0），左、右焦点分别为F1、F2，且|F1F2|＝2，直线l交椭圆Γ于不同的两点M和N．(1)求椭圆Γ的方程；(2)若直线l的斜率为1，且以MN为直径的圆经过点A，求直线l的方程；(3)若直线l与椭圆Γ相切，求证：点F1、F2到直线l的距离之积为定值．例18．已知椭圆的离心率为，若与圆相交于M，N两点，且圆E在内的弧长为．(1)求的值；(2)过椭圆的上焦点作两条相互垂直的直线，分别交椭圆于A，B、C，D，求证：为定值．变式9．已知椭圆C：的离心率为，点在椭圆C上．(1)求椭圆C的方程；(2)若椭圆C的两条切线交于点M（4，t），其中，切点分别是A、B，试利用结论：在椭圆上的点处的椭圆切线方程是，证明直线AB恒过椭圆的右焦点；(3)试探究的值是否恒为常数，若是，求出此常数；若不是，请说明理由．变式10．已知椭圆过点．，分别为左右焦点，为第一象限内椭圆上的动点，直线，与直线分别交于，两点，记和的面积分别为，．(1)试确定实数的值，使得点到的距离与到直线的距离之比为定值，并求出的值；(2)在（1）的条件下，若，求的值．变式11．已知椭圆过点且离心率为．（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的左、右顶点分别为、，左焦点为，过的直线与交于、两点和均不在坐标轴上），直线、分别与轴交于点、，直线、分别与轴交于点、，求证：为定值，并求出该定值．变式12．已知椭圆的离心率为，点在上．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点作直线交椭圆于另外一点，交轴于点，为椭圆上一点，且，求证：为定值．变式13．已知椭圆，其上顶点与左、右焦点、围成的是面积为的正三角形．（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆的右焦点的直线的斜率存在）交椭圆于，两点，弦的垂直平分线交轴于点，问：是否是定值？若是，求出定值；若不是，说明理由．题型七：直线过定点例19．已知分别为椭圆的左、右焦点，过点且与轴不重合的直线与椭圆交于两点，的周长为8.(1)若的面积为，求直线的方程；(2)过两点分别作直线的垂线，垂足分别是，证明：直线与交于定点.例20．在平面直角坐标系中，椭圆：的左，右顶点分别为、，点是椭圆的右焦点，，．(1)求椭圆的方程；(2)不过点的直线交椭圆于、两点，记直线、、的斜率分别为、、.若，证明直线过定点，并求出定点的坐标．例21．已知，是椭圆上的两点．(1)求椭圆E的方程；(2)过椭圆E的上顶点A和右焦点F的直线与椭圆E交于另一个点B，P为直线上的动点，直线，分别与椭圆E交于C（异于点A），D（异于点B）两点，证明：直线经过点F．变式14．已知椭圆过点．右焦点为，纵坐标为的点在上，且．(1)求的方程：(2)设过与轴垂直的直线为，纵坐标不为的点为上一动点，过作直线的垂线交于点，证明：直线过定点．变式15．已知椭圆C：的右顶点是M（2，0），离心率为．(1)求椭圆C的标准方程．(2)过点T（4，0）作直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，点B关于x轴的对称点为D，问直线AD是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．题型八：动点在定直线上例22．已知为的两个顶点，为的重心，边上的两条中线长度之和为6.(1)求点的轨迹的方程.(2)已知点，直线与曲线的另一个公共点为，直线与交于点，试问：当点变化时，点是否恒在一条定直线上？若是，请证明；若不是，请说明理由.例23．已知直线l经过椭圆C：（a＞b＞0）的右焦点（1，0），交椭圆C于点A，B，点F为椭圆C的左焦点，△ABF的周长为8．(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线m与直线l的倾斜角互补，且交椭圆C于点M，N，，求证：直线m与直线l的交点P在定直线上．例24．已知椭圆C:的上下顶点分别为，过点P且斜率为k(k<0)的直线与椭圆C自上而下交于两点，直线与交于点.(1)设的斜率分别为，求的值;(2)求证：点在定直线上.变式16．已知为的两个顶点，为的重心，边上的两条中线长度之和为6.(1)求点的轨迹的方程.(2)已知点，直线与曲线的另一个公共点为，直线与交于点，求证：当点变化时，点恒在一条定直线上.变式17．已知椭圆：（）过点，且离心率为．(1)求椭圆的方程；(2)记椭圆的上下顶点分别为，过点斜率为的直线与椭圆交于两点，证明：直线与的交点在定直线上，并求出该定直线的方程．变式18．如图，已知椭圆，的左、右焦点为、，其上顶点为．已知△是边长为2的正三角形．（1）求椭圆的方程；（2）过点任作一动直线交椭圆于，两点，记，若在线段上取一点使得，试判断当直线运动时，点是否在某一定直线上运动？若在请求出该定直线，若不在请说明理由．变式19．已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，两条曲线在第一象限内的交点满足．（1）求椭圆以及抛物线的标准方程；（2）设动直线与椭圆有且只有一个公共点，过椭圆的左焦点作的垂线与直线交于点，求证：点在定直线上，并求出定直线的方程．变式20．如图所示，椭圆的左、右顶点分别为、，上、下顶点分别为、，右焦点为，，离心率为．（1）求椭圆的方程；（2）过点作不与轴重合的直线与椭圆交于点、，直线与直线交于点，试探讨点的纵坐标是否为定值，若是求出此定值；若不是，请说明理由．变式21．在平面直角坐标系中，已知椭圆的一条准线方程为，离心率为．（1）求椭圆的方程；（2）如图，设为椭圆的上顶点，过点作两条直线，，分别与椭圆相交于，两点，且直线垂直于轴．①设直线，的斜率分别是，，求的值；②过作直线，过作直线，与相交于点．试问：点是否在一条定直线上？若在，求出该直线的方程；若不在，请说明理由．变式22．已知椭圆的长轴长为，，是的左、右焦点，为直线上一点，△是底角为的等腰三角形，直线与轴交于点，过点作直线交于点，．（1）求的方程；（2）设，是直线上关于轴对称的两点，问：直线与的交点是否在一条定直线上？若在，求出这条定直线的方程；若不在，请说明理由．变式23．已知椭圆的左、右顶点分别为和，离心率为，且点在椭圆上．（1）求椭圆的方程；（2）过点作一条斜率不为0的直线交椭圆于，两点，连接、，直线与交于点，探求点是否在一条定直线上，若在，求出该直线方程；若不在，请说明理由．题型九：圆过定点例25．已知椭圆的上顶点为，右焦点为，△为等腰直角三角形为坐标原点），抛物线的焦点恰好是该椭圆的右顶点．（1）求椭圆的方程；（2）若点，分别是椭圆的下顶点和上顶点，点是椭圆上异与，的点，求证：直线和直线的斜率之积为定值．（3）已知圆的切线与椭圆相交于，两点，那么以为直径的圆是否经过定点？如果是，求出定点的坐标；如果不是，请说明理由．例26．已知椭圆的离心率为，左右焦点分别为，，抛物线的焦点恰好是该椭圆的一个顶点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知圆的切线与椭圆相交于、两点，那么以为直径的圆是否经过定点，如果是，求出定点的坐标，如果不是，请说明理由．例27．已知定点，曲线上任意一点，到定点的距离比它到轴的距离大2．（Ⅰ）求曲线的方程；（Ⅱ）过点任作一直线与曲线交于，两点，直线，与直线别交于点，为坐标原点）．试判断以线段为直径的圆是否经过点？请说明理由．变式24．已知椭圆和抛物线的焦点均在轴上，的中心和的顶点均为原点，从它们每条曲线上至少取两个点，将其坐标记录于下表中：540（Ⅰ）求和的方程；（Ⅱ）过点且斜率为的动直线交椭圆于、两点，在轴上是否存在定点，使以线段为直径的圆恒过这个点？若存在，求出的坐标，若不存在，说明理由．变式25．抛物线的焦点为，准线为，点为抛物线上一点，，垂足为，若直线的斜率为，且．（1）求抛物线的方程；（2）若过的直线与曲线交于，两点，直线，与直线分别交于，两点，试判断以为直径的圆是否经过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．变式26．已知椭圆离心率，短轴长为2．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设直线过椭圆的右焦点，并与椭圆相交于，两点，截得的弦长为，求直线的方程；（Ⅲ）如图，椭圆左顶点为，过原点的直线（与坐标轴不重合）与椭圆交于，两点，直线，分别与轴交于，两点．试问：以为直径的圆是否经过定点（与直线的斜率无关）？请证明你的结论．题型十：角度定值例28．已知椭圆上的点到它的两个焦点的距离之和为4，以椭圆C的短轴为直径的圆O经过这两个焦点，点A，B分别是椭圆C的左、右顶点.(1)求圆O和椭圆C的方程；(2)已知P，Q分别是椭圆C和圆O上的动点（P，Q位于y轴两侧），且直线PQ与x轴平行，直线AP，BP分别与y轴交于点M，N.求证：为定值.例29．已知椭圆的左顶点为，左、右焦点分别为，，动点在上且位于第一象限，.当时，直线的斜率为.(1)求的方程；(2)设，，证明：.例30．已知点是椭圆的左焦点，过且垂直轴的直线交于，，且.(1)求椭圆的方程(2)四边形(A，D在轴上方的四个顶点都在椭圆上，对角线，恰好交于点，若直线，分别与直线交于，，且为坐标原点，求证：．专题39圆锥曲线中的定点、定值问题【方法技巧与总结】1、定值问题解析几何中定值问题的证明可运用函数的思想方法来解决．证明过程可总结为“变量—函数—定值”，具体操作程序如下：（1）变量----选择适当的量为变量．（2）函数----把要证明为定值的量表示成变量的函数．（3）定值----化简得到的函数解析式，消去变量得到定值．2、求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊情况入手，求出定值，再证明该定值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理过程中消去变量，从而得到定值．常用消参方法：①等式带用消参：找到两个参数之间的等式关系，用一个参数表示另外一个参数，即可带用其他式子，消去参数．②分式相除消参：两个含参数的式子相除，消掉分子和分母所含参数，从而得到定值．③因式相减消参：两个含参数的因式相减，把两个因式所含参数消掉．④参数无关消参：当与参数相关的因式为时，此时与参数的取值没什么关系，比如：，只要因式，就和参数没什么关系了，或者说参数不起作用．3、求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；（3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明．一般解题步骤：①斜截式设直线方程：，此时引入了两个参数，需要消掉一个．②找关系：找到和的关系：，等式带入消参，消掉．③参数无关找定点：找到和没有关系的点．【题型归纳目录】题型一：面积定值题型二：向量数量积定值题型三：斜率和定值题型四：斜率积定值题型五：斜率比定值题型六：线段定值题型七：直线过定点题型八：动点在定直线上题型九：圆过定点题型十：角度定值【典例例题】题型一：面积定值例1．已知双曲线的焦距为，且过点，，直线与曲线右支相切（切点不为右顶点），且分别交双曲线的两条渐近线与，两点，为坐标原点．（1）求双曲线的方程；（2）求证：面积为定值，并求出该定值．【解析】解：（1）设双曲线的焦距为，由题意可得：，解得：，，所以双曲线的方程为：；（2）证明：设直线的方程：，直线与曲线的右支相切（切点不为右顶点）则，整理可得：，△，可得，①设直线与轴交于一点，则，，双曲线的渐近线的方程为，联立，可得，，同理可得，，则，由①及直线与曲线右支相切，与异号，则．例2．已知双曲线的一个焦点坐标为，其中一条渐近线的倾斜角的正切值为，为坐标原点．（1）求双曲线的方程；（2）直线与轴正半轴相交于一点，与双曲线右支相切（切点不为右顶点），且分别交双曲线的两条渐近线于，两点，证明：的面积为定值，并求出该定值．【解析】（1）解：由双曲线的一个焦点坐标为，其中一条渐近线的倾斜角的正切值为，得，解得，则双曲线的方程为．（2）证明：由于直线与双曲线右支相切（切点不为右顶点）则直线的斜率在不为0．设直线的方程为，，联立，消去，得，．由直线与双曲线右支相切得，△，即．由于直线与轴正半轴交于一点，令，代入直线方程得，即．所以，双曲线两条渐近线方程为，联立，所以，联立，所以，，故的面积为定值．例3．已知椭圆的离心率为，过椭圆的焦点且与长轴垂直的弦长为1．（1）求椭圆的方程；（2）设点为椭圆上位于第一象限内一动点，，分别为椭圆的左顶点和下顶点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求四边形的面积．【解析】解：（1）因为离心率为，过椭圆的焦点且与长轴垂直的弦长为1，所以，解得，，所以椭圆的方程为．（2）因为椭圆的方程为，所以，，设，，，则，即，则直线的方程为，令，得，同理，直线的方程为，令，得，所以，所以四边形的面积为定值2．变式1．已知椭圆，离心率为，点与椭圆的左、右顶点可以构成等腰直角三角形．（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线与椭圆交于，两点，为坐标原点直线，的斜率之积等于，试探求的面积是否为定值，并说明理由．【解析】解：（1）椭圆离心率为，即，点与椭圆的左、右顶点可以构成等腰直角三角形，，，，故椭圆方程为．（2）由直线与椭圆交于，两点，联立，得，设，，，，则△，，，所以，，，原点到的距离，为定值．变式2．已知椭圆的左、右焦点分别为、且椭圆上的点到、两点的距离之和为4．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若直线与椭圆交于、两点，为坐标原点直线、的斜率之积等于，试探求的面积是否为定值，并说明理由．【解析】解：（Ⅰ）由已知，，又点在椭圆上，，，故椭圆方程为（Ⅱ）设，，，，由得：△且，直线，的斜率之积等于，，即：又到直线的距离为，，所以（定值）．变式3．已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，点是椭圆上一点，△的周长为．（1）求椭圆的方程；（2）直线与椭圆交于，两点，且四边形为平行四边形，求证：四边形的面积为定值．【解析】解：（1）由题意可知且，解得，，，所以椭圆方程为；（2）证明：设，，，，，，直线设为，联立方程，得，，，，四边形为平行四边形，，得，将点坐标代入椭圆方程得，点到直线的距离为，，所以平行四边形的面积为：．变式4．已知椭圆的离心率为，且过点，．（1）求椭圆的标准方程；（2）直线与椭圆交于，两点，为椭圆上的点，且满足，求证：四边形的面积为定值．【解析】解：（1）因为椭圆的离心率为,且过点,,所以,解得,,所以椭圆的方程为．（2）证明：设,,,,联立,得,所以,,,因为,所以,,即,,因为点在椭圆上，所以,化简得,所以,所以原点到直线的距离,所以．变式5．已知椭圆的焦距为，，为其左右焦点，为椭圆上一点，且，（1）求椭圆的方程；（2）设直线与椭圆相交于、两点，以线段，为邻边作平行四边形，其中顶点在椭圆上，为坐标原点，求证：平行四边形的面积为定值．【解析】解：（1）由题意可知，，即，设，，在△中，，（2分）解得：，（4分）椭圆方程为．（5分）（2）证明：由直线与椭圆相交于、两点，设，，，，联立，消可得，（6分）△，则，则，（8分），而，（9分）点在椭圆上，代入椭圆方程：，整理可得：，满足△，（10分）又（11分）设到直线的距离为，则，（12分），平行四边形的面积为定值．（13分）变式6．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，，椭圆的离心率．（1）求椭圆的标准方程；（2），是椭圆上与点不重合的任意两点，若的重心是坐标原点，试证明：的面积为定值，并求出该定值．【解析】解：（1），，，，，，椭圆的标准方程为：；（2）最多只有1条边所在直线与轴垂直，不妨设所在直线与轴不垂直，其方程为的重心是，不在直线上，由得，设，、，，则△，且，，从而，设，，的重心是坐标原点，，，，点，在椭圆上，即，且符合△，点，到直线的距离为：，的面积，由即，得为常数．题型二：向量数量积定值例4．己知椭圆的左、右焦点分别为，左顶点为，离心率为．(1)求的方程；(2)若直线与交于点，线段的中点分别为．设过点且垂直于轴的直线为，若直线与直线交于点，直线与直线交于点，求证：为定值．【解析】（1）椭圆左顶点为，，又离心率，，，的方程为：.（2）设，，则，，由得：，则，，；直线方程为：，，；同理可得：，又，，，，为定值.例5．已知椭圆的离心率为，且经过点．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）过点的动直线交椭圆于另一点，设，过椭圆中心作直线的垂线交于点，求证：为定值．【解析】解：（Ⅰ）椭圆：椭圆的离心率为，且经过点．，，．，．椭圆的标准方程为；（Ⅱ）设直线的方程为，．代入，整理可得．解得，于是，直线的斜率为．，直线的方程为．由，解得（定值）．例6．已知，分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆的上顶点，△是面积为4的直角三角形．（1）求椭圆的方程；（2）设圆上任意一点处的切线交椭圆于点，，问：是否为定值？若是，求出此定值；若不是，说明理由．【解析】解：（1）由为椭圆的上顶点，△是面积为4的直角三角形．可得：，且，解得：，所以，所以椭圆的方程为：；（2）当切线的斜率不存在时，其方程，将代入椭圆的方程：得，设，，，，又，，所以，同理可得，也有，当切线的斜率存在时，设方程为：，设，，，，直线与圆相切，所以，即，联立，整理可得：，，，又，因为，所以，所以是直角三角形，所以．综上所述：．题型三：斜率和定值例7．已知椭圆的两个焦点，点在此椭圆上．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点的直线与椭圆相交于，两点，设点，记直线，的斜率分别为，，求证：为定值．【解析】解：（Ⅰ）依题意知：，椭圆方程为；（Ⅱ）直线过点，设直线的方程为，再设，，，，由，消得：，，，，为定值．例8．已知椭圆的离心率为，且过点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知点，，过点的直线交椭圆于，两点，直线，的斜率分别为，，求证：为定值．【解析】解：（Ⅰ）由题意可知椭圆的，椭圆过点，则，则，椭圆的标准方程：；（Ⅱ）设直线的方程为，，，，．联立，消去，整理得，△，整理得：．则，，，，直线，的斜率分别为，，，，为定值2．例9．已知椭圆的左､右焦点为，，且左焦点坐标为，为椭圆上的一个动点，的最大值为.(1)求椭圆的标准方程；(2)若过点的直线与椭圆交于两点，点，记直线的斜率为，直线的斜率为，证明：.【解析】（1）因为左焦点坐标为，所以，当点在上､下顶点时，最大，又的最大值为.所以，由得，所以椭圆的标准方程为；（2）当直线的斜率为0时，直线的方程为，直线与椭圆没有交点，与条件矛盾，故可设直线的方程为，联立直线的方程与椭圆方程可得，，化简可得，所以，由已知方程的判别式，又直线过点，所以，所以，所以，设，则，，因为所以，所以方法二：设直线的方程为，由椭圆的方程，得.联立直线的方程与椭圆方程，得，即，，所以.因为直线过定点，所以，代入，得.题型四：斜率积定值例10．已知椭圆：的离心率为，短轴长为2.(1)求的方程；(2)过点且斜率不为0的直线与自左向右依次交于点，，点在线段上，且，为线段的中点，记直线，的斜率分别为，，求证：为定值.【解析】（1）由椭圆：的离心率为，短轴长为2，可知，则，故的方程为；（2）证明：由题意可知直线的斜率一定存在，故设直线的方程为，设，联立，可得，，则，所以，又，所以，解得，从而，故，即为定值.例11．已知分别是椭圆的左､右顶点，分别是的上顶点和左焦点.点在上，满足.(1)求的方程；(2)过点作直线（与轴不重合）交于两点，设直线的斜率分别为，求证：为定值.【解析】（1）因为，故可设，因为，故，即，解得.又在椭圆上，故，解得，故.又，故，故，.故的方程为.（2）因为椭圆方程为，故，当斜率为0时或重合，不满足题意，故可设：.联立可得，设，则.故故定值为例12．已知椭圆的焦距为2，点在椭圆C上．(1)求椭圆C的方程；(2)点P为椭圆C上异于顶点的任意一点，点M、N分别与点P关于原点、y轴对称．连接MN与x轴交于点E，并延长PE交椭圆C于点Q．试问：是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．【解析】（1）由已知，，所以，解得，椭圆方程为；（2）设，，则，，所以，,直线方程为，代入椭圆方程得，显然是此方程的一个解，另一解为，而，即为点的横纵坐标，,所以．所以为定值．变式7．已知椭圆的左､右焦点分别为，，，面积为的正方形ABCD的顶点都在上.(1)求的方程；(2)已知P为椭圆上一点，过点P作的两条切线和，若，的斜率分别为，，求证：为定值.【解析】（1）根据对称性，不妨设正方形的一个顶点为，由，得，所以，整理得.①又，②由①②解得，，故所求椭圆方程为.（2）由已知及（1）可得，设点，则.设过点P与相切的直线l的方程为，与联立消去y整理可得，令，整理可得，③根据题意和为方程③的两个不等实根，所以，即为定值.变式8．已知椭圆的右顶点为，上顶点为，为坐标原点，，的面积为1．（1）求椭圆的方程；（2）若，是椭圆上两点，且，记直线，的斜率分别为，，证明：为定值．【解析】解：（1）由题意可得，，所以，且，解得，，所以椭圆的方程为；（2）证明：由（1）可得，，所以，设，，，直线的方程为，联立直线与椭圆的方程，整理可得，则△，即，且，，所以，所以，所以为定值．题型五：斜率比定值例13．已知椭圆的一个焦点为，过点且与轴不重合的直线与椭圆交于两点.(1)若线段中点的横坐标为，求直线的方程；(2)设直线与直线交于点，点满足轴，轴，试求直线的斜率与直线的斜率的比值.【解析】（1）若直线的斜率不存在时，线段中点的横坐标为，与已知矛盾；设，，则，，，所以，记线段中点为，设的纵坐标为，由已知可得点的坐标为，所以，，所以，因为直线过点，，所以，所以，所以，当时，，所以直线的斜率为，所以直线的方程为，因为直线：与的交点坐标为，点在椭圆内，故直线与椭圆相交，满足条件，当时，，所以直线的斜率为，所以直线的方程为，因为直线：与的交点坐标为，点在椭圆内，故直线与椭圆相交，满足条件，所以直线的方程为或；（2）设直线的方程为，联立，化简可得，所以，方程的判别式，所以或，设，，则，，联立，化简可得，所以点的坐标为，因为轴，轴，所以点的坐标为，所以直线的斜率，直线的斜率，所以，又，所以，例14．设为椭圆的右焦点，过点的直线与椭圆交于，两点．（1）若点为椭圆的上顶点，求直线的方程；（2）设直线，的斜率分别为，，求证：为定值．【解析】解：（1）若为椭圆的上顶点，则，又过点，故直线，代入椭圆，可得，解得，，即点，，从而直线；（2）证明：设，，，，直线，代入椭圆方程可得：，△，所以，，故，又，均不为0，故，即为定值．例15．已知动点到点，的距离比它到直线的距离小2．（Ⅰ）求动点的轨迹方程；（Ⅱ）记点的轨迹为，过点斜率为的直线交于，两点，，延长，与交于，两点，设的斜率为，证明：为定值．【解析】（Ⅰ）解：动点到点，的距离比它到直线的距离小2，动点到点，的距离与它到直线的距离相等，动点的轨迹是以点，为焦点的抛物线，动点的轨迹方程为；（Ⅱ）证明：设，，，，，，，，则直线的方程为，代入抛物线方程中，得，，直线，过点，同理可得，，，，．题型六：线段定值例16．如图，中心在原点O的椭圆的右焦点为，右准线l的方程为：．(1)求椭圆的方程；(2)在椭圆上任取三个不同点，使，证明：为定值，并求此定值．【解析】（1）设椭圆方程为．因焦点为，故半焦距，又右准线的方程为，从而由已知，因此，，故所求椭圆方程为；（2）记椭圆的右顶点为A，并设（1，2，3），不失一般性，假设，且，．又设点在上的射影为，因椭圆的离心率，从而有

．解得．因此，而，故为定值．综上，椭圆方程为；.例17．已知椭圆的右顶点坐标为A（2，0），左、右焦点分别为F1、F2，且|F1F2|＝2，直线l交椭圆Γ于不同的两点M和N．(1)求椭圆Γ的方程；(2)若直线l的斜率为1，且以MN为直径的圆经过点A，求直线l的方程；(3)若直线l与椭圆Γ相切，求证：点F1、F2到直线l的距离之积为定值．【解析】（1）因为|F1F2|＝2c＝2，则c＝1，因为a＝2，，所以椭圆Γ的方程；（2）因为直线l的斜率为1，故设直线l的方程为y＝x+m，设M（x1，y1），N（x2，y2），由，消去y整理得，则，，因为以MN为直径的圆经过右顶点A，则，所以，即整理得∴整理得，解得或，因为，显然当或时，成立所以直线l的方程为或；（3）证明：椭圆Γ的左、右焦点分别为，①当直线l平行于y轴时，因为直线l与椭圆Γ相切，所以直线l的方程为x＝±2，此时点F1、F2到直线l的距离分别为d1＝1，d2＝3，所以d1d2＝3，②当直线l不平行与y轴时，设直线l的方程为y＝kx+b，联立，消去y整理得，所以，因为直线l与椭圆Γ相切，则Δ＝0，所以，因为到直线l的距离为，到直线l的距离为，所以，所以点F1、F2到直线l的距离之积为定值，且定值为3．例18．已知椭圆的离心率为，若与圆相交于M，N两点，且圆E在内的弧长为．(1)求的值；(2)过椭圆的上焦点作两条相互垂直的直线，分别交椭圆于A，B、C，D，求证：为定值．【解析】（1）圆的圆心为，半径为，圆E在内的弧长为，可得，即有，设在第一象限，可得，，即为，将代入椭圆方程可得，联立解得，（2）由（1）可得椭圆的方程为，，上焦点为，①当直线（或）与轴平行时，可得，将代入椭圆得，则，则；②当直线（或）与轴不平行时，设，则，联立方程组，消去y并化简得，设点，，∴，，即有，将k换为，可得，则，综上所述，为定值．变式9．已知椭圆C：的离心率为，点在椭圆C上．(1)求椭圆C的方程；(2)若椭圆C的两条切线交于点M（4，t），其中，切点分别是A、B，试利用结论：在椭圆上的点处的椭圆切线方程是，证明直线AB恒过椭圆的右焦点；(3)试探究的值是否恒为常数，若是，求出此常数；若不是，请说明理由．【解析】（1）∵椭圆C：的离心率为，点在椭圆C上．∴，①，②，由①②得：，，∴椭圆C的方程为．（2）证明：设切点坐标，，则切线方程分别为，．又两条切线交于点M（4，t），即，，即点A、B的坐标都适合方程，令，可得故对任意实数t，点（1，0）都适合这个方程，故直线AB恒过椭圆的右焦点．（3）将直线AB的方程，代入椭圆方程，得，即，∴，，不妨设，，，同理，∴，∴的值恒为常数．变式10．已知椭圆过点．，分别为左右焦点，为第一象限内椭圆上的动点，直线，与直线分别交于，两点，记和的面积分别为，．(1)试确定实数的值，使得点到的距离与到直线的距离之比为定值，并求出的值；(2)在（1）的条件下，若，求的值．【解析】（1）设椭圆的焦距为，则，即，所以，，则，，所以椭圆的方程为，设，（，），则，又，即，所以，因为为定值，所以，解得，所以；（2）由（1）得，直线：，又，，，则直线：，令，则，所以，同理直线：，令，则，所以，所以，所以，化简可得或，解得或（舍），所以，，则，，，，所以.变式11．已知椭圆过点且离心率为．（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的左、右顶点分别为、，左焦点为，过的直线与交于、两点和均不在坐标轴上），直线、分别与轴交于点、，直线、分别与轴交于点、，求证：为定值，并求出该定值．【解析】解：（1）由题意知：，，，解得：，，所以椭圆的方程为：；（2）证明：由（1）得：，，，由题意显然的斜率不为0，所以设直线的方程为：，设，，联立与椭圆的方程整理得：，，，直线的方程为：令，，所以，同理可得点，所以；直线，令，，即，同理可得所以同理可得，为定值．所以为定值．变式12．已知椭圆的离心率为，点在上．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点作直线交椭圆于另外一点，交轴于点，为椭圆上一点，且，求证：为定值．【解析】解：（Ⅰ）根据题意，椭圆的离心率为，则，则有，即，又由点在椭圆上，则有，解可得：，所以椭圆程为．（Ⅱ）设直线，，，可得韦达定理：，则，令直线为且令，，得，可得韦达定理：，所以，则，所以定值为2．变式13．已知椭圆，其上顶点与左、右焦点、围成的是面积为的正三角形．（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆的右焦点的直线的斜率存在）交椭圆于，两点，弦的垂直平分线交轴于点，问：是否是定值？若是，求出定值；若不是，说明理由．【解析】解：（1）因为△为正三角所以，解得，由对称性可得，，所以，即，所以，所以，所以椭圆的方程为．（2）当直线的斜率不为0时，设其方程为，，，，，联立，得，所以，且，所以弦的中点的坐标为，，则弦的垂直平分线方程为，令，得，所以，所以，所以，当直线的斜率为0时，，，所以，综上所述，是定值且为4．题型七：直线过定点例19．已知分别为椭圆的左、右焦点，过点且与轴不重合的直线与椭圆交于两点，的周长为8.(1)若的面积为，求直线的方程；(2)过两点分别作直线的垂线，垂足分别是，证明：直线与交于定点.【解析】（1）因的周长为8，由椭圆定义得，即，而半焦距，又，则，椭圆的方程为，依题意，设直线的方程为，由消去x并整理得，设，，则，，，因此，解得，所以直线的方程为或.（2）由（1）知，，则，，设直线与交点为，则，，而，，则，，两式相加得：，而，则，因此，两式相减得：，而，则，即，所以直线与交于定点.例20．在平面直角坐标系中，椭圆：的左，右顶点分别为、，点是椭圆的右焦点，，．(1)求椭圆的方程；(2)不过点的直线交椭圆于、两点，记直线、、的斜率分别为、、.若，证明直线过定点，并求出定点的坐标．【解析】（1）由题意知，，，，∵，，∴，解得，从而，∴椭圆的方程为.（2）设直线的方程为，，．直线不过点，因此．由，得，时，，，∴，由，可得，即，故的方程为，恒过定点．例21．已知，是椭圆上的两点．(1)求椭圆E的方程；(2)过椭圆E的上顶点A和右焦点F的直线与椭圆E交于另一个点B，P为直线上的动点，直线，分别与椭圆E交于C（异于点A），D（异于点B）两点，证明：直线经过点F．【解析】（1）由题意可得,解得，故椭圆E的方程为．（2）证明：由（1）可知，，则直线的方程为联立方程组,整理得，解得或，则，设，直线的方程为，直线的方程为，设，联立方程组，整理得，可得，联立方程组，整理得，则，从而．因为，，即,所以直线经过点F．变式14．已知椭圆过点．右焦点为，纵坐标为的点在上，且．(1)求的方程：(2)设过与轴垂直的直线为，纵坐标不为的点为上一动点，过作直线的垂线交于点，证明：直线过定点．【解析】（1）设点，其中，则，因为椭圆过点，则，将点的坐标代入椭圆的方程，可得可得，解得，因此，椭圆的标准方程为.（2）证明：由对称性可知，若直线过定点，则点必在轴上，设点，设点，则，所以，直线的垂线的斜率为，故直线的方程为，在直线的方程中，令，可得，即点，所以，直线的方程为，因为点在直线上，所以，，即，①又因为，所以，，②将②代入①可得，即，，则，所以，直线过定点.变式15．已知椭圆C：的右顶点是M（2，0），离心率为．(1)求椭圆C的标准方程．(2)过点T（4，0）作直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，点B关于x轴的对称点为D，问直线AD是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．【解析】（1）由右顶点是M（2，0），得a＝2，又离心率，所以，所以，所以椭圆C的标准方程为．（2）设，，显然直线l的斜率存在．直线l的方程为，联立方程组消去y得，由，得，所以，．因为点，所以直线AD的方程为．又，所以直线AD的方程可化为，即，所以直线AD恒过点（1，0）．（方法二）设，，直线l的方程为，联立方程组消去x得，由，得或，所以，．因为点，则直线AD的方程为．又，所以直线AD的方程可化为，此时直线AD恒过点（1,0），当直线l的斜率为0时，直线l的方程为y＝0，也过点（1，0）．综上，直线AD恒过点（1，0）．题型八：动点在定直线上例22．已知为的两个顶点，为的重心，边上的两条中线长度之和为6.(1)求点的轨迹的方程.(2)已知点，直线与曲线的另一个公共点为，直线与交于点，试问：当点变化时，点是否恒在一条定直线上？若是，请证明；若不是，请说明理由.【解析】（1）因为为的重心，且边上的两条中线长度之和为6，所以，故由椭圆的定义可知的轨迹是以为焦点的椭圆（不包括长轴的端点），且，所以，所以的轨迹的方程为；（2）设直线的方程为：，，，联立方程得：，则，，所以，又直线的方程为：，又直线的方程为：，联立方程，解得，把代入上式得：，所以当点运动时，点恒在定直线上例23．已知直线l经过椭圆C：（a＞b＞0）的右焦点（1，0），交椭圆C于点A，B，点F为椭圆C的左焦点，△ABF的周长为8．(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线m与直线l的倾斜角互补，且交椭圆C于点M，N，，求证：直线m与直线l的交点P在定直线上．【解析】（1）由已知，得，，，∴椭圆的标准方程为．（2）证明：若直线的斜率不存在，则直线的斜率也不存在，这与直线与直线相交于点矛盾，∴直线的斜率存在,又因为两直线倾斜角互补，所以直线斜率不为0.设，，，，，．将直线的方程代入椭圆方程联立得，，，，．同理，．由得化简得，即，，，此时，，∴直线，联立直线方程解得，即点在定直线上．例24．已知椭圆C:的上下顶点分别为，过点P且斜率为k(k<0)的直线与椭圆C自上而下交于两点，直线与交于点.(1)设的斜率分别为，求的值;(2)求证：点在定直线上.【解析】（1）设，，，，所以.（2）设，得到，，，直线，直线，联立得:，法一：，解得.法二：由韦达定理得，.解得，所以点在定直线上.变式16．已知为的两个顶点，为的重心，边上的两条中线长度之和为6.(1)求点的轨迹的方程.(2)已知点，直线与曲线的另一个公共点为，直线与交于点，求证：当点变化时，点恒在一条定直线上.【解析】(1)因为为的重心，且边上的两条中线长度之和为6，所以,故由椭圆的定义可知的轨迹是以为焦点的椭圆（不包括长轴的端点），且，所以，所以的轨迹的方程为；(2)设直线的方程为：，，联立方程得：，则，所以，又直线的方程为：，又直线的方程为：，联立方程得：，把代入上式得：，所以当点运动时，点恒在定直线上变式17．已知椭圆：（）过点，且离心率为．(1)求椭圆的方程；(2)记椭圆的上下顶点分别为，过点斜率为的直线与椭圆交于两点，证明：直线与的交点在定直线上，并求出该定直线的方程．【解析】(1)由椭圆过点，且离心率为，所以，解得故所求的椭圆方程为．(2)由题意得，，直线的方程，设，联立，整理得，∴，．由求根公式可知，不妨设，，直线的方程为，直线的方程为，联立，得代入，得，解得，即直线与的交点在定直线上．变式18．如图，已知椭圆，的左、右焦点为、，其上顶点为．已知△是边长为2的正三角形．（1）求椭圆的方程；（2）过点任作一动直线交椭圆于，两点，记，若在线段上取一点使得，试判断当直线运动时，点是否在某一定直线上运动？若在请求出该定直线，若不在请说明理由．【解析】（本小题满分10分）解：（1）椭圆，的左、右焦点为、，其上顶点为，△是边长为2的正三角形，，，（1分）故椭圆的方程为．（3分）（2）由题意知直线的斜率必存在，设其直线方程为，设，，，，联立方程组，消去，得，△，，，由，得，解得，设点的坐标为，，则由，得，解得，又，，从而，故点在定直线上．变式19．已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，两条曲线在第一象限内的交点满足．（1）求椭圆以及抛物线的标准方程；（2）设动直线与椭圆有且只有一个公共点，过椭圆的左焦点作的垂线与直线交于点，求证：点在定直线上，并求出定直线的方程．【解析】解：（1）由抛物线的方程可得焦点，，准线的方程为，由题意可得，所以可得①，所以椭圆的方程为：，联立方程组，整理可得：，解得第一象限的交点的横坐标为：，又因为，由抛物线的性质到焦点的距离等于到准线的距离可得：，解得：，可得，所以椭圆的标准方程为：；抛物线的标准方程为：；（2）证明：由（1）可得左焦点，联立，整理可得：，①由直线与椭圆相切可得，且△，可得：，即，代入①可得，即，解得：，，即，，所以，由题意可得，所以直线的方程为：，联立直线，的方程：，两式相除可解得：，即在直线上，变式20．如图所示，椭圆的左、右顶点分别为、，上、下顶点分别为、，右焦点为，，离心率为．（1）求椭圆的方程；（2）过点作不与轴重合的直线与椭圆交于点、，直线与直线交于点，试探讨点的纵坐标是否为定值，若是求出此定值；若不是，请说明理由．【解析】解：（1）由题意，，离心率为．可得，，解得，，，因此，椭圆的标准方程为；（2）由题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为，设点，、，，联立，消去并整理得，△，由韦达定理得，．易知点、，直线的斜率为，直线的方程为，直线的斜率为，直线的方程为，由，，可得，其中，，解得．因此，点的纵坐标为定值3变式21．在平面直角坐标系中，已知椭圆的一条准线方程为，离心率为．（1）求椭圆的方程；（2）如图，设为椭圆的上顶点，过点作两条直线，，分别与椭圆相交于，两点，且直线垂直于轴．①设直线，的斜率分别是，，求的值；②过作直线，过作直线，与相交于点．试问：点是否在一条定直线上？若在，求出该直线的方程；若不在，请说明理由．【解析】解：（1）设椭圆的半焦距为．由题意，得解得从而．所以椭圆的方程为．（2）①根据椭圆的性质，，两点关于轴对称，故可设，，，，，从而．因为点在椭圆上，所以，所以，所以．②设，，依题意．因为，所以，即；因为，所以，即，故，化得．从而必有，即．即点在一条定直线上．变式22．已知椭圆的长轴长为，，是的左、右焦点，为直线上一点，△是底角为的等腰三角形，直线与轴交于点，过点作直线交于点，．（1）求的方程；（2）设，是直线上关于轴对称的两点，问：直线与的交点是否在一条定直线上？若在，求出这条定直线的方程；若不在，请说明理由．【解析】解：（1）因为椭圆的长轴长为，所以．又△是底角为的等腰三角形，所以，，所以．所以，即，解得．所以，所以椭圆的方程为．（2）由（1）知直线的方程为，．设，，，，，，①当过点的直线的斜率不等于0时，设直线的方程为，联立方程组消去并整理得，所以△，即，，，则．又由直线的方程是，直线的方程是，联立两直线的方程，并消去得，，，，所以，所以与的交点恒在定直线上．②当过点的直线的斜率等于0时．，是椭圆的左、右两个顶点，不妨设，，则直线的方程是，直线的方程是，联立两直线的方程，并消去得，所以此时与的交点也在定直线上．综上所述，直线与的交点恒在定直线上．变式23．已知椭圆的左、右顶点分别为和，离心率为，且点在椭圆上．（1）求椭圆的方程；（2）过点作一条斜率不为0的直线交椭圆于，两点，连接、，直线与交于点，探求点是否在一条定直线上，若在，求出该直线方程；若不在，请说明理由．【解析】解：（1）由题设，，，且所以，，椭圆方程为；（2）由（1）知，，，设直线的方程为，联立方程组，得，因为△，设，，，，所以，设直线的方程为，直线的方程为，则，即，而，，，即直线与直线的交点在直线上．题型九：圆过定点例25．已知椭圆的上顶点为，右焦点为，△为等腰直角三角形为坐标原点），抛物线的焦点恰好是该椭圆的右顶点．（1）求椭圆的方程；（2）若点，分别是椭圆的下顶点和上顶点，点是椭圆上异与，的点，求证：直线和直线的斜率之积为定值．（3）已知圆的切线与椭圆相交于，两点，那么以为直径的圆是否经过定点？如果是，求出定点的坐标；如果不是，请说明理由．【解析】解：（1）已知，，则，则所求方程为：；（2）由已知，，设，则，；（3）当直线的斜率不存在时，因为直线与圆相切，故其中的一条切线方程为．代入椭圆方程可得，可得，，，，则以为直径的圆的方程为．当直线的斜率为零时，因为直线与圆相切，所以其中的一条切线方程为．代入椭圆方程可得，可得，，，，则以为直径的圆的方程为．显然以上两圆都经过点．当直线的斜率存在且不为零时，设直线的方程为．代入椭圆方程消去，得，设，，，，则，．所以．所以①，因为直线和圆相切，所以圆心到直线的距离，整理，得，②将②代入①，得，显然以为直径的圆经过定点，综上可知，以为直径的圆过定点．例26．已知椭圆的离心率为，左右焦点分别为，，抛物线的焦点恰好是该椭圆的一个顶点．（Ⅰ）求椭圆的