2024届高考数学模拟卷 【新课标卷】

2024届高考数学模拟卷【新课标卷】

【满分：150分】

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

l.^z=—+2i,则|z|=()

1+i

A.OB.-C.lD.V2

2

2.已知集合A={xy=Jx2—5b3={0,1,2,3,4},则A3=()

A.{0,1}B.{1,2}C.{2,3}D.{3,4}

3.南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题,其中一部分水蓄入某水库.已知该水库

水位为海拔148.5m时，相应水面的面积为140。kn?；水位为海拔157.5m时，相应水面的面

积为180。kn?.将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5m

上升到157.5m时，增加的水量约为(⑺'=2.65)()

A.l.OxlO9m3B.1.2xl09m3

C.1.4xl09m3D.1.6xl09m3

4.函数y=(3=3T)cosx在区间-方、的图象大致为()

5.若从1,2,3,9这9个整数中取出4个不同的数排成一排，依次记为a,b,c,d,则

使得ax/jxc+d为奇数的不同排列方法有()

A.1224种B.1800种C.1560种D.840种

6.定义在R上的函数/⑴满足/(幻>1-/(x),且/(0)=6,r(x)是的导函数，则不等

式e*/(x)〉e，+5(其中e为自然对数的底数)的解集为()

A.(-oo,0)L(1,-HX>)B.(-oo,0)...(3,+oo)

C.(0,+oo)D.(3,+oo)

7.设等比数列｛叫的前附项和为%S〃=a-若不等式K<S〃<N对任意的〃eN*恒

成立，则N-K的最小值为()

317

A.lB.-C.2D.—

412

8.已知/(x)=sinf2020%+讣cos^2020%-才的最大值为A.若存在实数巧,々，使得对任意

实数x总有成立，则川七-々|的最小值为()

,2020B高c式

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

9.二十大报告中提出加强青少年体育工作，促进群众体育和竞技体育全面发展，加快体育强

国建设步伐，某校进行50米短跑比赛，甲、乙两班分别选出6名选手，分成6组进行比赛,

每组甲、乙每班各派出十名选手，且每名选手只能参加一个组的比赛下面是甲、乙两班6个

小组50米短跑比赛成绩(单位：秒)的折线图，则下列说法正确的是()

A.甲班成绩的极差小于乙班成绩的极差

B.甲班成绩的众数小于乙班成绩的众数

C.甲班成绩的平均数大于乙班成绩的平均数

D.甲班成绩的方差大于乙班成绩的方差

10.已知圆C:(x-2)2+V=i,点夕是直线/：%+y=。上一动点，过点尸作圆C的切线以，

PB,切点分别为A和5,则下列说法错误的有()

A.圆C上恰有一个点到直线I的距离为

2

B.切线长PA的最小值为百

C.四边形AC3P面积的最小值为1

D.直线A3恒过点段］

H.已知/(x)=2sinx+cosx+l,对任意的XER均有</(x)</(x2),则下列说法正确的

是()

A./(%)-/(%2)=-2B./(^)+/(X2)=2

「•_2君n._26

C.sin再————D.sinx2——-—

22

12.已知椭圆?+%=1(0<6<2)的左、右焦点分别为耳，F2,过点耳的直线/交椭圆于A,

3两点.若司+忸闾的最大值为5,则()

A.椭圆的短轴长为B.当m闾+忸闾最大时，闾=|皮引

c.离心率为乎的最小值为3

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.平面向量a=(1,2),b=(4,2),c=ma+b(m^R),且c与a的夹角等于c与力的夹角，则

m=.

14.已知抛物线C:/=4x的焦点为R经过抛物线上一点P,作斜率为之的直线交C的准线

4

于点Q，H为准线上异于。的一点，当NPQA=NP。尸时，|尸尸|=.

15.已知函数/（x）的定义域为（0,+co）,且满足/（%）+/（9）=/（中2），当％>1时，/（X）<0.

16.在棱长为9的正方体ABCD-AB'C'D'中，点E,R分别在棱AB,DD上,满足

空=2£=2,P是直线DD上一点，且Pfi〃平面CEF,则四棱锥P-ABCD外接球的表面

EBFD

积为..

四、解答题：本题共6题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（10分）已知数列同｝的首项4=1,且一1匚=巳7+1.

4+i%

（1）求数列｛4｝的通项公式；

（2）若数列也｝满足4丸=〃，求数列低｝的前〃项和S”.

18.（12分）如图，在平面四边形ABCD中，AB=BC=CD=2,AD=2有.

（1）若。3平分NADC,证明：A+C=7i；

（2）记△AB。与△BCD的面积分别为5和S2，求S；+S；的最大值.

19.（12分）如图，在四棱锥S-ABCD中，四边形ABCD是矩形，△SAD是等边三角形，平

面1sA。，平面ABCD,AB=1,E为棱SA上一点，P为棱AD的中点，四棱锥S-ABCD的

体积为唱

（1）若E为棱SA的中点，R是S3的中点，求证：平面PEF〃平面SCD；

（2）是否存在点E,使得平面PEB与平面SAD的夹角的余弦值为画?若存在，确定点E

10

的位置；若不存在，请说明理由.

20.（12分）某研究公司为了调查公众对某事件的关注程度，对某年的连续6个月内，月份x,

和关注人数为（单位：百）（，=L2,3,…,6）的数据做了初步处理，得到下面的散点图及一些统

计量的值.

66

Z&-元）（%-歹）71330

i=li=l

17.53536.5

（1）由散点图看出，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用相关系数加以说明，并建立

y关于x的回归方程；

（2）经统计，调查材料费用v（单位：百元）与调查人数满足函数关系式丫=上+更哭，求

23y

材料费用的最小值，并预测此时的调查人数；

（3）现从这6个月中，随机抽取3个月份，求关注人数不低于1600人的月份个数4的分布

列与数学期望.

£（%-元）（y-歹）

参考公式:相关系数r=,;=1,若r>0.95,则y与x的线性相关程度相当

VZ=11=1

高，可用线性回归模型拟合y与x的关系.

回归方程9=%+6中斜率与截距的最小二乘估计公式分别为B----------------,

寸

1=1

a=y-bx.

22

21.(12分)已知双曲线C:j-1=1(a>0,b>0)的左，右焦点分别为耳，工，斜率为

-3的直线/与双曲线C交于A,3两点，点〃(4,-2后)在双曲线C上，且|咋国=24.

(1)求△州鸟的面积；

(2)若。3+。&=0(。为坐标原点)，点N(3,l),记直线ML,N3'的斜率分别为6,k2,

问：左•右是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

22.(12分)已知函数/(%)=皿+呸+2的图象在点(1J⑴)处的切线方程为y-3=0.

XX

(1)求函数/(X)的单调区间；

(2)证明：当尤>0时，/(%)<e21.

答案以及解析

1.答案：C

解析：z="+2i=鱼创匕D+2i=—i+2i=i,则|z|=l.故选C.

1+i(l-i)(l+i)

2.答案：D

解析：人=(-8,-百］」石,+8),所以A5={3,4},故选D.

3.答案：C

解析：如图，由已知得该棱台的高为157.5-148.5=9(m),所以该棱台的体积

V=1x9x(140+7140x180+180)xl06=60X(16+3A/7)X106

标60x(16+3x2.65)x106=I437x10*4义1()9陋).故选C.

4.答案：A

解析：法——：取x=l,贝>Jy=[3-；]cosl='|cosl〉0；取％=—1,贝>J

y=Q-3]cos(-l)=-gcosl<0.结合选项知选A.

法二：令y=/(x),则/(—%)=(3一=3，cos(—x)=—(3，—3f)cosx=—/(无)，所以函数

y=(3*—3f)cosx是奇函数，排除B,D；取x=l,则y=13-Jcosl=jcosl〉0,排除C.故

选A.

5.答案：B

解析：当d为奇数时，axbxc为偶数:

①a,。，c为一偶两奇，此时不同的排列方法有C：C；C；A；=720种；

②a,。，c为两偶一奇，此时不同的排列方法有C；C：C；A：=720种；

③a,b,c为三个偶数，此时不同的排列方法有C；C：A；=120种.

当d为偶数时，ax/?xc为奇数，此时a,b,c为三个奇数，则不同的排列方法有

C；C；A；=240种.综上，不同的排列方法有720+720+120+240=1800种.故选B.

6.答案：C

解析：设g(x)=e，"(x)—e*(xeR),则g'(x)=e，・f(x)+ex-/'(x)—e、=e、(/(x)+f\x)-1).

:.f(x)+f'(x)-l>0,:.g'(x)>0,二丁二8。)在定义域上单调递增.

ex-/(x)>ex+5,g(x)>5.又-，g(0)=e°"(0)-e°=6-1=5,g(x)>g(0),/.x>0,

不等式的解集为(0,+s),故选C.

7.答案：B

解析：因为S==a—,所以当〃=1时，6=a+g；当“22时，S"-i=a—1―gj，所以

(―因为｛4｝为等比数列，所以

所以则一(一[].当“为奇数时,

a1=a+—=—,a=l,S0=1则

“22"I2

1<^<-；当〃为偶数时，s„=i-f--T=i-f-T,则3ws,<i,所以。可”.因为不

、2"[2J\1)4"4"2

等式K<S“<N对任意的〃eN*恒成立，所以N2』，K<~,所以-K2-3,则

244

N-K>--^-=-,即N—K的最小值为之.故选B.

2444

8.答案：B

解析：/(%)=sin2020%+-^+cosf2020%——

j।jIj।j।

=sin2020%•cos—+cos2020%sin—+cos2020%cos—+sin2020犬sin—

6633

sin2020%+—•cos2020%+—cos2020%+—sin2020%

222

=sin2020%+cos2020x=2sin(2020x+,所以/(x)的最大值A=2.由题意得，归―的

最小值为工=二，所以川%-引的最小值为2=」匚.

2202011」20201010

9.答案：AB

解析：甲班成绩的极差为9.1-8.1=1.0(秒)，乙班成绩的极差为9.3-70=2.3(秒)，A项正

确；

甲班成绩的众数为8.6秒，乙班成绩的众数为8.9秒，B项正确；

甲班成绩的平均数为辱=-x(8.1+9.1+8.5+8.6+8.7+8.6)=8.6,乙班成绩的平均数为

6

务」x(7.0+9.3+8.3+9.2+8.9+8.9)=8.6.所以小气，C项错误；

6

甲班成绩波动小，相对于甲班的平均值比较集中，乙班成绩波动大，且相对于乙班的平均值

比较分散，所以甲班成绩的方差小于乙班成绩的方差，D项错误.故选AB.

10.答案:ABD

2

解析：易知圆心半径厂圆心到直线/的距离VL如图.

C(2,0),=1,Cd正

对于A,d—厂=8—1<!，.•.圆C上有两个点到直线/的距离为工，A中说法错误；

22

对于B,由切线的性质可知PA=y]PC2-r2=y/PC2-1,易知当PC，/时，PC

取最小值，且(。，(皿二^二④，故(%)皿=夜=1=1，B中说法错误；

对于C,易知Q4=PB,又，AC^BC,PC=PC,:.Z\PAC^Z\PBC,故四边形AC3P的面

积5=25揖.=尸44。=尸421，二四边形4底。面积的最小值为1，C中说法正确；

对于D,设点P(m,“)，则加+〃=0,线段PC的中点为1等记为E,则

=血-2)-+〃一,二以线段为直径的圆E的方程为

2

2)TJ将圆E和圆C的方程作差可得

4

%—y—2=0

(m-2)x+ny+3-2m=Q,又加+〃=0,...加(x-y-2)+3-2x=0,由《'解得

3-2%=0,

x-上

<2；故直线A3恒过点||,-g),D中说法错误.故选ABD.

?="2，

11.答案：BD

解析：由题可知，〃不)是/(%)的最小值，/(%)是/(幻的最大值.因为

/(%)=2sinx+cosx+l=A/5sin(x+(z)+1,其中sinacosa=~~~>所以

/(毛)=6+1,/6)=-6+1,所以)(七)一/(W)=一2故A错误./(%)+/(%2)=2,

故B正确.

因为/(%)是/(x)的最小值，所以/+a=2丘一1,kGZ,即可=2471-'一。，左eZ,所以

sin%1=sinf2^K--|--aj=sin[=-sin[-^+6/j=-cosa=———,左eZ,故C错误.

因为/(尤2)是/(x)的最大值，所以々+。=24兀+^,ZeZ,

7U兀275

即x=2kn+--a,左eZ,所以sin4=sin2kTt+--a=sin--6Z=cosa=-----

2I2)5

keZ,故D正确.故选BD.

12.答案：ABD

解析：由题意知a=2,所以忸闾+|M|+|AB|=4a=8.因为|A闾+忸闾的最大值为5,所以

的最小值为3,故D正确.当且仅当轴时，取得最小值，此时|A闾=|典

故B正确.由B的分析,不妨令+局,将点A的坐标代入椭圆方程,得小靠“又

一〃2

-3所T4+Q91，解得ML，所以椭圆的短轴长为L班,故A正

确.易得C=l,所以e=£=L故C错误.选ABD.

a2

13.答案：2

解析：由a=(1,2),b—(4,2)>—ma+b—(m+4,2m+2),|a|=>J5,\b|=2^/5,

a-c=5m+8,b-c=8m+20.c与Q的夹角等于c与力的夹角，J

'\c\\a\~\c\\b\，

即膏=然£,解得根=2.

14.答案：—

9

解析：如图，过点P作PH垂直于准线，垂足为R,JLZPQR^ZPQF,所以PQ为NPQR的

平分线，又。是斜率为:的直线与抛物线准线的交点,

则点P在第一象限内，而m_LQR,

（2、

根据角平分线性质知P/FQF,令尸—,m且加>0,则直线PQ的方程为

I4J

2、2

3mAi1l16m-3m-12所以Q［一"二12

y-m=—x------'令一则7n为=一而一,又

44JI16)

,“22

、23

vyi16m—3m—12、Cm\6ITT-3/71-12/M

F(l,0),所以"•/Q=--l,m--2,=2------+=0,整理

I4JV16J216

Q2G;

可得34—8m2+12m—32=(m2+4)(3m-8)=0,则故|尸氏|=|尸/|=?+1=豆

15.答案：（0,也j

解析：任取%1，%2£（°，+°°）,且王<X2，则上〉1,.—<0,

%7

///

x、x、x

・••/(%)—/(%)=/X222<0,即/⑸</&),

k.再)

AP+->72,当且仅当石=々时取等号，〈后.又/(x)的定义域为(0,+oo),二。〉。.

V%2Xl

综上可知，。€(0,0].

16.答案:178K

解析：以。为原点，DA,DC,的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角

坐标系(图略)，由已知得E(9,6,0),C(0,9,0),尸(0,0,3),8(9,9,0),设P(0,0j),所以

EC=(-9,3,0),CF=(0,-9,3),PB=(9,9,—t).

设平面CEF的一个法向量为〃=(x,y,z),则‘即"‘不妨令z=3,贝I]

n-CF=Q,l-9y+3z=0.

y=l,x=_,所以〃=仕,1,31.因为Pfi〃平面CEE,所以=gp-x9+lx9-3z=o,

-3UJ3

解得r=4,所以P(0,0,4).因为PD,平面ABCD,且底面ABC。是正方形，所以四棱锥

P-ABCD外接球的直径就是Pfi,由PB=(9,9,-4),M|PB\=792+92+(-4)2=V178,所以

/\2

其外接球的表面积S=4兀段=178兀.

I2J

17.答案：(1)4=不二

Z—1

（2）Sn=（n-1""”+2—“。丁）

12

解析：（1）因为---=---H1,

%an

1（1

所以---1-1=21-1.

“n+lI%J

又q=l,所以—nl=2,

q

所以工+1是首项为2,公比为2的等比数歹U，

UJ

所以1"+1=2"，即

42-1

(2)因为4•〃=”,所以6“=—=〃・2"-”.

’an

记数列｛〃•2"｝的前〃项和为T/

则7；=1x21+2x22+3x23++(〃—1)X2”T+〃x2",

234Z!n+1

2Tn=1X2+2X2+3X2++(n-l)-2+nx2,

所以—7；=21+22+23+24++2n-nx2n+1,

整理得，=(〃-1)2向+2,

所以S〃=(“-l)2'+i+2/(〃+l).

2

18.答案：(1)证明见解析

(2)14

解析：(1)证明：DB平分ZADC,；.ZADB=NCDB,贝ijcosNADfi=cosNCOS,

由余弦定理得AD'BDy+BDM,即12+.2-4=4+»—4,

2ADBD2CDBD4y/3BD4BD

BD2=4(73+1).

“AD-+AB2-BD212+4-4(73+1)0—1

cosA=----------------------=-----------；=--------=--------

2ADAB8A/32

CD。+BC?-BD?4+4—4(6+1)1-73

cosC=

2CDBC82

...cosA=-cosC.又Ac(0,兀)，Ce(0,7t),A+C=n.

(2)BD7=AB-+AD--2AB-ADcosBC2+CD2-2BC-CD-cosC,

/.16-8^/3cosA=8-8cosC,整理可得cosC=GeosA-l.

.,.S；+S；=[gAD.ABsinA]+[^BC-CDsmC^=12sin2A+4sin2C

=12-12cos2A+4-4COS2C=16-12COS2A-4(A^COSA-1)2

(石丫

=-24cos2A+8A/3COSA+12=-24cosA----+14.

I6J

4口0,兀)，.•.当cosA=且时，S：+S；取得最大值，最大值为14.

6

19.答案：(1)证明见解析

(2)存在点E,且E为AS上靠近A点的三等分点

解析：(1)证明：在等边三角形SAD中，P为AD的中点，于是SPLAD,

又平面&LDL平面ABCD,平面&4。平面ABCD=AD,SPu平面SAD,

平面A3CD,

SP是四棱锥S-ABCD的高,

m

设AD—m,则SP=m,S矩形4BC£>=，

2

m

%棱锥S-ABS=S矩形ABC®-SP--m'~^=3，-'.rn—l,

如图，以点P为坐标原点，以所在直线为x轴，过点P且与A3平行的直线为y轴，PS所在

直线为2轴，建立空间直角坐标系，

则P(0,0,0),A(l,0,0),5(1,1,0),S(0,0,百)，E1,0,1J.⑻

F”‘句

.-.PE=f-,O,—,PF=f-,-,—1

〔22J〔222)

设4=(X]，X，zJ是平面PEF的一个法向量，

16_A

%1+Z1=0,

口J〃「PE=O,Hn2T

12

则即1厂

nlPF=O,116_八

2%i+5%+~fZi=a

令Z]=1,则%=_#>,%=0,.4.riy=(—A/3,0,1).

同理可得平面SCD的一个法向量为〃2=(-6,0,1).

/=丐，平面PEFH平面SCD.

(2)AE=AAS=2(-1,0,73)=(-2,0,^2)(0<2<1),

则PE=PA+AE=(1,0,0)+(-2,0,后)=(1-2,0,后)，PB=(1,1,0),

设平面PEB的一个法向量为相=(x,y,z),

则m-PE=(1-2)x+j3Az=0,

m-PB=%+y=0,

令x=A/32,贝！Jy=—A/32,z=X-1,

m-—A/3A,A—1)f

易知平面SAD的一个法向量为AB=(0,1,0),

,i,\AB-m\|-A/32|屈

\AB\\m\V722-22+l1。

0<2<l,.\A=-,

3

二存在点E,且E为AS上靠近A点的三等分点.

20.答案：(1)9=2x+9

(2)y=207

(3)见解析

解析：(1)由题意得，=工义(11+13+16+15+20+21)=16,

6

6

V)2=76.

i=l

66

又'可2=17.5,可(％-9)=35,

?=1i=l

£(%-可(y-9)

3535

1=1亡0.96.

nn717.5x76-y/1330

fa-元江(％-寸

i=\i=l

由于y与x的相关系数”0.96>0.95,

这说明y与x的线性相关程度相当高，可用线性回归模型拟合y与x的关系.

6

-2(无一可(X一9)351

又Z?二-一%----------=----=2,且无=­x(l+2+3+4+5+6)=3.5,

(—\217.56

%)

Z=1

a=y-bx=16-2x3.5=9,回归方程为夕=2x+9.

△V1863>2hx^=18,即调查材料费用的最小值为1800元，此时

(2)v=—+------

23y[23y

余墨所以-7.

(3)J可能的取值为0,1,2,3,

3!23

且%=。)=C:1PC=1)=C皆2cl=9/，PC=2)=/CC9即=3)=C,$1

J的分布列为

40123

1991

P

20202020

“1991

£C)=0x-----Fix-----i-2x-----i-3x—=1.5.

20202020

21.答案：(1)8后

(2)匕•履为定值-1

解析：(1)依题意可知，月(-c,0),马(c,0),

贝I］防|=J(4+c)2+(—2夜—0)2=7(4+77+8,

222

\MF2