2024届上海市数学高三年级上册期末经典模拟试题含解析

2024届上海市上海师范大学附中数学高三上期末经典模拟试题

注意事项

1.考生要认真填写考场号和座位序号。

2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑

色字迹的签字笔作答。

3.考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.定义在［-2,2］上的函数与其导函数/'（力的图象如图所示，设。为坐标原点，A、B、C、O四点的横坐

标依次为-［、1、!，则函数y=的单调递减区间是（）

263-

2.若双曲线与一齐=1（。＞0］＞0）的渐近线与圆（%—2）2+产=1相切，则双曲线的离心率为（）

G

AA«2,BR•（,r/■--2--6---nD•073

23

3.复数满足z+恸=4+8i,则复数z在复平面内所对应的点在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

4.已知定义在R上的函数/（x）在区间［0,—）上单调递增，且y=/（x-1）的图象关于x=l对称，若实数。满足

flog,«j＜/（-2）,则。的取值范围是（）

A.（0'{|B.C./,4）D.（4,+co）

27r27r_

5.若i为虚数单位，则复数z=-sin-y+icosq-,则I在复平面内对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

6.若复数二满足2z-N=3+12i,其中i为虚数单位，2是z的共轨复数，则复数目=（）

A.35/5B.2亚C.4D.5

7.已知函数=以下结论正确的个数为（）

①当a=0时，函数/（x）的图象的对称中心为（0,—1）；

②当a23时，函数Ax）在（-1,1）上为单调递减函数;

③若函数Ax）在（一1,1）上不单调，则0<”3；

④当a=12时，/*）在［Y,5］上的最大值为1.

A.1B.2C.3D.4

|log3(x+l)|,xG(-l,8)

8.已知/(x)=4「、若/[(〃2-1)/(%)]-240在定义域上恒成立，则加的取值范围是()

--,XG[8,+OO)

、A-U

A.(0,+oo)B.[1,2)C.[1,+co)D.(0,1)

)

一■一各月最低气温平均值一一各月最高气温平均值

A.各月最高气温平均值与最低气温平均值总体呈正相关

B.全年中,2月份的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大

C.全年中各月最低气温平均值不高于10℃的月份有5个

D.从2018年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值呈下降趋势

10.中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几

何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理”，若正整数N除以正整数团后的余数为〃，则记为N="(mod〃z),例如

ll=2(mod3).现将该问题以程序框图的算法给出，执行该程序框图，则输出的〃等于().

A.21B.22C.23D.24

11.设函数/'(%)是奇函数F(x)(xeA)的导函数，当x>0时，f\x)\nx<--f(x),则使得(f-l)/(x)>0成立

x

的X的取值范围是()

A.(-1,0)(0,1)B.(1,+8)

C.(-1,0)?(1,?)D.―)(0,1)

12.射线测厚技术原理公式为/=/减-。〃，其中/。，/分别为射线穿过被测物前后的强度，e是自然对数的底数，/为被

测物厚度，P为被测物的密度，〃是被测物对射线的吸收系数.工业上通常用锢241(刈4〃)低能/射线测量钢板的

厚度.若这种射线对钢板的半价层厚度为0.8,钢的密度为7.6,则这种射线的吸收系数为()

(注：半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度，In2。0.6931,结果精确到0.001)

A.0.110B.0.112C.0.114D.0.116

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.如图是某几何体的三视图，俯视图中圆的两条半径长为2且互相垂直，则该几何体的体积为

正性滋tn•在效国

mwis

14.《易经》是中国传统文化中的精髓，如图是易经八卦（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根

线组成（“一,“表示一根阳线，”■,”表示一根阴线），从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有两根阳线，四根

阴线的概率为.

天

15.函数/(%)=的定义域为.

16.设(V5+x)i°=/+4》+%*2+q。/,则“2=

(+c(2+%+-，+4())-—(4+见+G+♦♦•+佝)的值为

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

*

X—

17.（12分）在平面直角坐标系中，已知直线/的参数方程为y（/为参数），圆C的方程为

4-4

y=

x2+(y-l)2=l,以坐标原点。为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.

(1)求/和C的极坐标方程；

(2)过。且倾斜角为夕的直线与/交于点A，与C交于另一点5，若一Wa4——，求目的取值范围.

612\0A\

：

18.(12分)已知〃：VxeA,〃?(4x2+l)>x；(73xG[2,8],/Mlog2x+L.O.

(D若〃为真命题，求实数，〃的取值范围；

(2)若4为真命题且r7Aq为假命题，求实数，"的取值范围.

19.(12分)如图，在长方体—中，AB=2BC=2A4,=4,£为AR的中点，N为BC的中点,

---1----

M为线段G。上一点，且满足MG=w〃G，/为的中点.

(1)求证：ER〃平面4。。；

(2)求二面角N-AC—尸的余弦值.

20.(12分)AABC的内角A,6,C的对边分别为a,b,c,且sinCnsinB+siMA-B).

(1)求角A的大小

⑵若(1=币4ABC的面积S=3叵,求4A8C的周长.

2

21.(12分)已知集合4={1,2,,〃},〃wN*，n>2,将A,,的所有子集任意排列，得到一个有序集合组

,M),其中加=2".记集合中元素的个数为%,k^N*,k<m,规定空集中元素的个数为0.

(MPM2,m

(1)当〃=2时，求4+4++册的值；

(2)利用数学归纳法证明：不论〃(〃22)为何值，总存在有序集合组满足任意ieN*,1,

都有何-a*|=L

22.(10分)在八钻C中，内角A,B,C所对的边分别为”,仇c,已知出b,且

cos2A-cos2B=V3sinAcosA-V3sinBcosB.

(I)求角C的大小；

(D)若。=有，求面积的取值范围.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B

【解题分析】

先辨别出图象中实线部分为函数y=/(x)的图象，虚线部分为其导函数的图象，求出函数y=的导数为

ex

由y<o,得出r(x)</(x),只需在图中找出满足不等式r(x)<，(x)对应的工的取值范围

即可.

【题目详解】

若虚线部分为函数y=/(x)的图象，则该函数只有一个极值点，但其导函数图象(实线)与X轴有三个交点，不合乎

题意；

若实线部分为函数y=/(x)的图象，则该函数有两个极值点，则其导函数图象(虚线)与*轴恰好也只有两个交点，

合乎题意.

对函数V=」工。求导得y=,⑴一仆),由y<0得r(x)</(X),

exex

由图象可知，满足不等式/'(x)</(x)的X的取值范围是［-1,1),

因此，函数1，=勺0的单调递减区间为(-g,l).

故选：B.

【题目点拨】

本题考查利用图象求函数的单调区间，同时也考查了利用图象辨别函数与其导函数的图象，考查推理能力，属于中等

题.

2、C

【解题分析】

利用圆心(2,0)到渐近线的距离等于半径即可建立a,b,c间的关系.

【题目详解】

|2/?|

由己知，双曲线的渐近线方程为所±◎=0,故圆心(2,0)到渐近线的距离等于1,即=1,

yla2+b2

所以/=3b。，e=£=+(―)2=J1+g=2

故选：C.

【题目点拨】

本题考查双曲线离心率的求法，求双曲线离心率问题，关键是建立三者间的方程或不等关系，本题是一道基础

题.

3、B

【解题分析】

设z=a+bi(a,。eR),则z+1z|=a+hi+&+"=4+8i,可得f,即可得到z，进而找到对应的点所

在象限.

【题目详解】

设2=<2+历(。力6玲z+\z\=a+bi+\la2+b2=4+8z,

a+\Ja2+b2=4a=-6

z=-6+8i,

b=8b=S

所以复数z在复平面内所对应的点为(-6,8)，在第二象限.

故选:B

【题目点拨】

本题考查复数在复平面内对应的点所在象限,考查复数的模，考查运算能力.

4、C

【解题分析】

根据题意，由函数的图象变换分析可得函数y=/(x)为偶函数，又由函数y=/(x)在区间［0,+8)上单调递增，分

析可得/log/</(-2)=>y(|log2«|)<,/-(2)=>|log2«|<2,解可得4的取值范围，即可得答案.

v27

【题目详解】

将函数.v=/(X—1)的图象向左平移1个单位长度可得函数y=f(x)的图象，

由于函数y=/(x-l)的图象关于直线x=l对称，则函数>=/(%)的图象关于)’轴对称，

即函数y=/(x)为偶函数，由/log1，</(一2),得川k)g2H)</(2),

函数,y=/(x)在区间［0，”)上单调递增，则|log2al<2,得—2<log2"2,解得;<a<4.

因此，实数”的取值范围是4).

故选：C.

【题目点拨】

本题考查利用函数的单调性与奇偶性解不等式，注意分析函数y=/(x)的奇偶性，属于中等题.

5、B

【解题分析】

首先根据特殊角的三角函数值将复数化为z=-3-Lj,求出I，再利用复数的几何意义即可求解.

22

【题目详解】

.2万,2万G1.

z=-sin---bzcos——=-------1，

3322

22

则I在复平面内对应的点的坐标为,位于第二象限.

\/

故选：B

【题目点拨】

本题考查了复数的几何意义、共扼复数的概念、特殊角的三角函数值，属于基础题.

6、D

【解题分析】

根据复数的四则运算法则先求出复数Z,再计算它的模长.

【题目详解】

解：复数z=a+6i,4、6GR；

V2Z-Z=3+12/,

：.2(a+W)-(a-bi)=3+121,

2a-a=3

即《，

2b+b=\2

解得a=3,b=4,

：.z=3+4i,

二|z|=43?+42=5•

故选o.

【题目点拨】

本题主要考查了复数的计算问题，要求熟练掌握复数的四则运算以及复数长度的计算公式，是基础题.

7、C

【解题分析】

逐一分析选项，①根据函数y=丁的对称中心判断；②利用导数判断函数的单调性；③先求函数的导数，若满足条件,

则极值点必在区间(-L1)；④利用导数求函数在给定区间的最值.

【题目详解】

①y=为奇函数，其图象的对称中心为原点，根据平移知识，函数f(x)的图象的对称中心为(0,-1),正确.

②由题意知/'(x)=3x2—a.因为当—1<X<1时，3/<3，

又所以/”(x)<0在(-U)上恒成立，所以函数f(x)在上为单调递减函数，正确.

③由题意知/'。)=3/一。，当。4()时，f'(X)>Q,此时f(X)在(-8,+8)上为增函数，不合题意，故。>0.

令/''(幻=。，解得兀=±巫.因为〃x)在(-M)上不单调，所以/'(x)=0在(一1,1)上有解，

3

需0〈且<1,解得0<a<3,正确.

3

④令/'(X)=3/-12=0,得％=±2.根据函数的单调性，/(x)在［Y,5］上的最大值只可能为了(—2)或/(5).

因为/(-2)=15,/(5)=64,所以最大值为64,结论错误.

故选：C

【题目点拨】

本题考查利用导数研究函数的单调性，极值，最值，意在考查基本的判断方法，属于基础题型.

8、C

【解题分析】

QQ

先解不等式f(x)W2,可得出无求出函数)=/(x)的值域，由题意可知，不等式(〃7-1)/(力2-3在定义

域上恒成立，可得出关于加的不等式，即可解得实数〃7的取值范围.

【题目详解】

|log3(^+l)|,jf€(-l,8)

/(x)=4r、，先解不等式〃x)W2.

----,xe[8,-HX)

.x-6

①当一1cxv8时，由/(x)=|log3(x+l)|<2,#-2<log3(x+l)<2,解得一此时一•14x<8；

4

②当x28时，由/(力=——<2,得xN8.

九一6

Q

所以，不等式/(x)W2的解集为xxN-

下面来求函数y=/(x)的值域.

当-l<x<8时，0<x+l<9,则log3(x+l)<2,此时/(x)=|log3(x+l)|20；

4

当xN8时，x-6>2,此时/(x)=——-e(O,2].

x—6

综上所述，函数y=/(x)的值域为[0,一)，

由于/[(m-1)/(力]-2W0在定义域上恒成立，

Q

则不等式在定义域上恒成立，所以，加一12()，解得fnNL

因此，实数〃?的取值范围是[1,+8).

故选：C.

【题目点拨】

本题考查利用函数不等式恒成立求参数，同时也考查了分段函数基本性质的应用，考查分类讨论思想的应用，属于中

等题.

9、D

【解题分析】

根据折线图依次判断每个选项得到答案.

【题目详解】

由绘制出的折线图知：

在A中，各月最高气温平均值与最低气温平均值为正相关，故A正确；

在B中，全年中，2月的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大，故B正确；

在C中，全年中各月最低气温平均值不高于10C的月份有1月，2月，3月，11月，12月，共5个，故C正确；

在D中，从2018年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值，先上升后下降，故D错误.

故选：D.

【题目点拨】

本题考查了折线图，意在考查学生的理解能力.

10、C

【解题分析】

从21开始，输出的数是除以3余2,除以5余3,满足条件的是23,故选C.

11、D

【解题分析】

构造函数，令g(x)=lnx-/(x)(x>0),则g'(x)=ln?'(x)+&^,

由/'(力/*<-1/。)可得8’(力<(),

则g(x)是区间((),+。)上的单调递减函数，

且g(l)=lnlx/⑴=0,

当xG(0,1)时遭(x)>0,T/nx<0J(x)<0,(x2-lV(x)>0;

当xG(1,+oo)时£(x)v0；加x>0,.,.y(x)v0,(x2-lV(x)<0

是奇函数，当xG(-l,0)时加)次x)〈0

当xe(-8,-l)时1Ax)>0,(xMmx)>0.

综上所述，使得(通1次>0成立的x的取值范围是.

本题选择O选项.

点睛：函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似

乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、

化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据

题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解

决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.

12、C

【解题分析】

根据题意知,，=0区P=7.6,；=：,代入公式/=I/。"，求出〃即可.

I。Z

【题目详解】

由题意可得,工=0-8,夕=7.6,：=；因为/=1产,

所以=e-7.6x。8M即In2=a6931H4,

27.6x0.86.08

所以这种射线的吸收系数为0.114.

故选:C

【题目点拨】

本题主要考查知识的迁移能力，把数学知识与物理知识相融合;重点考查指数型函数，利用指数的相关性质来研究指数型

函数的性质,以及解指数型方程；属于中档题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、207

【解题分析】

由三视图知该几何体是一个圆柱与一个半球的四分之三的组合，利用球体体积公式、圆柱体积公式计算即可.

【题目详解】

由三视图知，该几何体是由一个半径为2的半球的四分之三和一个底面半径2、高为4的圆

柱组合而成，其体积为乃X22X4+'X—〃x23=20;r.

83

故答案为：201.

【题目点拨】

本题考查三视图以及几何体体积，考查学生空间想象能力以及数学运算能力，是一道容易题.

14、』

14

【解题分析】

观察八卦中阴线和阳线的情况为3线全为阳线或全为阴线各一个，还有6个是1阴2阳和1阳2阴各3个。抽取的两

卦中共2阳4阴的所有可能情况是一卦全阴、另一卦2阳1阴，或两卦全是1阳2阴。

【题目详解】

八卦中阴线和阳线的情况为3线全为阳线的一个，全为阴线的一个，1阴2阳的3个，1阳2阴的3个。抽取的两卦中

共2阳4阴的所有可能情况是一卦全阴、另一卦2阳1阴，或两卦全是1阳2阴。

.•.从8个卦中任取2圭卜，共有*=28种可能，两卦中共2阳4阴的情况有+=6,所求概率为尸=二=2。

2814

故答案为：三3。

14

【题目点拨】

本题考查古典概型，解题关键是确定基本事件的个数。本题不能受八卦影响，我们关心的是八卦中阴线和阳线的条数,

这样才能正确地确定基本事件的个数。

15、1x[0<

【解题分析】

->0

由题意可得，<”,解不等式可求.

【题目详解】

->0

解：由题意可得，J,

解可得，0cx,,,

故答案为

【题目点拨】

本题主要考查了函数的定义域的求解，属于基础题.

16、7201

【解题分析】

利用二项展开式(〃+»"的通式4+l=C“r力'可求出生;令(0+x)i°=4+4x+%x2+为才。中的x=l,

x=—1得两个式子，代入4++。4+…+”io)—(4+。3+。5+…+“9)可得结果.

【题目详解】

利用二项式系数公式，1=盘)(&)8%2=720%2,故4=720,

4+4+…+q()=(5/2+1尸,々()-q+①-...+〃[()=(A/2—1)1(),

故(4+出+/+,,,+4。)~一(4+%+%+,,,+%)~

=(4+ciy+...+4。)(。0—q+a?—...+q。)=(\/2+1)^^(>/2_1)*^=1,

故答案为：720：1.

【题目点拨】

本题考查二项展开式的通项公式的应用，考查赋值法，是基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

「13~

17、(1)6/?cos8+0sin6-4=0；p=2sin0(2)—

【解题分析】

(1)直接利用转换公式，把参数方程，直角坐标方程与极坐标方程进行转化;

(2)利用极坐标方程将\O舄B转\化为三角函数求解即可.

1。41

【题目详解】

x=t,

(1)因为“所以/的普通方程为瓜+y-4=(),

y=4_£t

又x=/7cos6,y=psin(9,x2+y2=p2,

/的极坐标方程为百℃05。+夕5皿。­4=0,

C的方程即为Y+y2_2y=o,对应极坐标方程为q=2sine.

4

(2)由己知设A(/7[,a),B(p,ot],则P|=7-------；­,q=2sina,

2vScosa+sina

所以，^^=2=!><2sina(百cosa+sine)=1F73sin2a-cos2a+1

\OA\p.4'/4L

1z\

/万\

2s1•nI+

--2a--D

4k67

「71’,5乃71,〜71,?71

又一«。《一,—<2a——<——,

612663

兀兀7t|OB|1

当2c—9=9,即a=J时，片取得最小值；；

666\0A\2

当2a—g=g,即a=g时，端取得最大值

623\0A\4

|(9B|P131

所以，房4的取值范围为不丁.

【题目点拨】

本题主要考查了直角坐标方程，参数方程与极坐标方程的互化，三角函数的值域求解等知识，考查了学生的运算求解

能力.

18、(1)]!，+8](2)加V-1或m〉工

(4)4

【解题分析】

(1)根据P为真命题列出不等式，进而求得实数机的取值范围；(2)应用复合命题真假判定的口诀：真“非”假，假“非”

真，一真“或”为真，两真“且”才真.

【题目详解】

(1)VxeR-m{^x2+>x,

二〃2>0且1-16/<0，

解得m>\

4

所以当P为真命题时，实数，〃的取值范围是+8).

(2)由mxG[2,8],mlog,x+120,可得1^€[2,8],m2一1」一

log2x

又•.•当xe[2,8]时，一-----e-h--,

log?%L3」

•.•当-ipv4为真命题，且力入<7为假命题时，

...p与q的真假性相同，

，1

m<—

当，假4假时，有彳4,解得〃?<一1；

m<-1

1

m>—I

当“真4真时，有彳4,解得〃2〉一；

m>-14

故当-1PV4为真命题且-/?八9为假命题时，可得/“<一1或〃2>1.

4

【题目点拨】

本题主要考查结合不等式的含有量词的命题的恒成立问题，存在性问题，考查复合命题的真假判断，意在考查学生对

这些知识的掌握水平和分析推理能力.

19、(1)证明见解析(2)—2匣

35

【解题分析】

(1)解法一：作。。的中点H,连接四，.利用三角形的中位线证得利用梯形中位线证得加〃8,

由此证得平面4。。〃平面及〃L进而证得EP〃平面4。。.解法二：建立空间直角坐标系，通过证明直线旅的方

向向量和平面的法向量垂直，证得〃平面AOC.

(2)利用平面4CN和平面4FC法向量，计算出二面角N-A。-尸的余弦值.

【题目详解】

(1)法一：作。|。的中点，，连接EH,尸”.又七为4。的中点，，£”为第。2的中位线，,四〃4。，又

E为MC的中点，...FH为梯形。。CM的中位线，...FH〃CO,在平面中，A。CD=D,在平面£/小

中，EHFH=H,：.平面ADC〃平面EHF,又EFu平面,二EF7/平面A。。.

另解：(法二)•.•在长方体A3CO-A4GA中，DA,DC,两两互相垂直，建立空间直角坐标系。一孙z如

图所示，

则。(0,0,0),A(2,0,0),B(2,4,0),

C(0,4,0),。(0,0,2),A(2,0,2),

4(2,4,2),G(0,4,2),£(1,0,2),

N(l,4,0),M(0,3,2),尸(o，D

(1)设平面A]OC的一个法向量为m=(X,y,z),

,\m-A.D=Q\(x,y,z)■(-2,0,-2)=0(x+z-0

则<=>s=>s

m-AtC=0^(x,y,z)■(-2,4,-2)-0[x-2y+z=0

令x=l,则z=-L,y=0..\m=(l,0,-l),又EF=

EFm=0,£/_1/〃，又£尸6平面4℃，£F〃平面AQC.

(2)设平面4CN的一个法向量为〃=(x,y,zj,

fn-AA^=0[(X],y,zj•(-1,4,-2)=0(x-4y+2z^0

则〈=〈/、=>s,

n-A1C=0[(%,加4).(-2,4,-2)=0[x-2y+z=0

令y=l,贝!)z=2,x=0.An=(0,l,2).

同理可算得平面4FC的一个法向量为町=(3,2,1)

町•/?_2J75

同小|35

又由图可知二面角N-A.C-F的平面角为一个钝角,

故二面角D-A.C-N的余弦值为一独0.

35

MCi

【题目点拨】

本小题考查线面的位置关系，空间向量与线面角，二面角等基础知识，考查空间想象能力，推理论证能力，运算求解

能力，数形结合思想，化归与转化思想.

20、(I)A=-；(II)5+近.

3

【解题分析】

试题分析：(I)由已知可得5由。=5抽(4+3)=5出8+5也(4-8)=2(：054?BsinBi=>cosA=-

2

q_1〃、.4_3A/3I_6

MSCKSin222

=>A=—；(II)依题意得：｛22=>｛,22=>(b+c)=b+c+2bc=25

3b+c=13

a~=b~+c-2Z?ccosA

n0+c=5=>a+/?+c=5+V7=>AABC的周长为5+万.

试题解析：(D丁A+5+。=乃，，C=»―(A+3).