2024高考数学一轮复习讲义+练习：基本不等式二（解析版）

专题7基本不等式（2）

题型一条件等式求最值

12

1.已知OVaVl,O<Z?<1,且4次?一4a—4b+3=0,则一+7的最小值是

ab

【答案】4+述

3

【解析】已知0＜。＜1,0＜）＜1,

由4"-4a—4Z?+3=0得4ab—4〃一4/?+4=1,即（l-a）（l-b）=—,

4

令x=1£（0,1）,y=1-Z?£（0,1）,4xy=1,

所以y=[£（o,i）,所以

12121218x

—I——-------1--------------------1---------------------1----------

故Qb1—xl—yl—x］__1_1—x4x—1

c42

=2c+--1+--2--=2+--------+--------=2+-二+二［（4-4x）+（4x-l）］

1-x4x-l4一4x4x-l314—4x4x-l

_2+46+4（41）+2（4-4砌2出41）2（…4•

—ZHOH---------------------1---------------------------------------4I-----------------------------------------4H-------------,

34-4x4x-l3V4—4%4x—l3

当且仅当陪?2（4-4%）即.午时,

取等号.

41

故答案为….

2.已知正实数x,y满足孙＜J,且4y之+4移+1=2，则3y的最小值为

4xx

【答案】20

【解析】解：正实数x,y满足孙〈J,且4y2+4盯+1=）

4x

所以2+1-4y2-4孙=2,即二一4y（x+y）=2,也即（x+y）H-4y1=2

XXyxJ

贝Ij—+x-3y=——4y+x+y=-------F（X+y）>2A/2

xxx+y

25五一庖

x+y=------x+y=^2x=

x+y8

当且仅当则<时取等号,

G+y）&4y3&+如

=2〔xy二

8

此时孙=『＜:'所以取得最小值2a

故答案为：2枝.

(〃+1-21+暗的最小值为

3.已知a>0,b>0,c>l且a+6=l,则

、ab

【答案】4+20

【解析】因为〃＞。，Z?＞0,a+b=l,

/+1〃2+(a+Z?)22Q2+b?+2ab〉2yflab+2ab

所以=2应+2,

abababab

(/+1

又c〉1,则

、ab-c-1

C2(c-l)+—+2>V22./2(c-l)--+2=4+2夜,

c-1c-1

2a2=b1

其中等号成立的条件：当且仅当a+b=l

解得u=A/2—1,>b=2,—yfl，c———,

(/+1-2)+色的最小值是4+2万

所以

、ab

故答案为：4+26.

ab

4.若正实数。，匕满足(2a+b)2=6必+1,则的最大值为

2a+Z?+1

【答案】7

O

ab2a+b—l

【解析】(2a+Z?)2—1=6ab^(2a+b+\)(2a+b—1)=6ab,即

2Q+Z?+16

2a+bj=1(2a+6)2,等号成立的条件为2a=6,原式整理为

又6ab=3-2tz-Z?<3

2

(2a+&)2<l+|(2a+Z?)2^(2a+/?)2<4,即0<2a+bW2,那么ab2。+b-12-l1由］

----:---^—―=7»所以

2a+b+l6o6

ab的最大值是9.

2a+Z?+16

5.求下列函数的最值

X2+2

(1)求函数y=(x〉l)的最小值.

x—1

(2)若正数无，＞满足x+3y=5孙，求3元+4y的最小直

【答案】(1)2+2有；(2)5.

(%-1)2+2(%-1)+3

【解析】(1)y==(x-1)H----+2..2y/3+2,当且仅当(％—I)?=3即％=>/3+1时等号成

x-1x-1

立，

故函数y的最小值为2+2石.

131

(2)由％+3y=5^得二+二=1,

5y5x

mic/k/、/13、3%12y1313,[36,

贝Ij3x+4)；=(3x+4^)(—++2/—=5,

5yJX5y5x55V25

当且仅当等=m，即>=:，x=i时等号成立，

5x5y2

故3x+4y的最小值为5.

题型二基本不等式的恒成立问题

1.已知“，b为正实数，^a+2b=3ab,若Q+Z?-c20对于满足条件的a、b恒成立，则c的取值范围

为.()

,2^/2

A.5cc<1H---->

3B.“卜|+应>

C.{c|c<6}D.{c|cW3+2码

【答案】A

21

【解析】将，+2人=3。人变形为一+7=3,

ab

所以…=*+嗯+力=鼠3+/+$小+20)=1+乎

当且仅当”=逐时，即。=6-30力=36-3时取等号.

a+b-c20恒成立等价于cWa+6恒成立，^c<(a+b).,所以041+迪

\/nun3

故选：A.

14

2.已知1、》都为正数，且％+y=4,若不等式一+—>机恒成立，则实数用的取值范围是.

%)

9

【答案】

4

【解析】X、)都为正数，且x+y=4,由基本不等式得4[：+:]="+曰[：++]

=^+—+5>2U—+5=9,即,+32?,当且仅当y=2无时，等号成立，

%y\xyxy4

14QQ

所以，一+一的最小值为了，，相.

xJ44

3.已知正实数%,y满足2x+5y=20.

(1)求孙的最大值；

（2）若不等式W+’N疗+4加恒成立，求实数机的取值范围.

%y

91

【答案】（1）10；（2）

【解析】（1）20=2「+5yN2j2x2y,解得冲工1。,

当且仅当％=5,，=2取等号，

・•・孙最大值为10.

1011055yx、5c5yx9

(2)----1—二+1+=-+—+——>-+2-

%yxiU442xlOy42^Wy4

当且仅当％=半20，y=：4取等号,

991

m9+4m<—,解得一$W].

4

i1m

4.设a>b>c,且一=+丁二2—乙恒成立，求实数加的取值范围.

a—bb—ca—c

【答案】m<4

【解析]由a>>>c知。一匕>0,b-c>0,a-c>Q.

•••原不等式等价于U+产Nm.

a—bb—c

要使原不等式恒成立，只需一+二的最小值不小于小即可.

a—bb-c

,a-c।"0=（"6）+仅一。）।"6）+（.一<?）=b-c।"b、jb-c"，=（

a-bb-ca-bb-ca-bb-c\a-bb-c

当且仅当”=譬，即a=a+c时，等号成立.

a-bb—c

:.m<4

5.已知%>，，若对任意正数x,y,不等式「左-!/+◎..历恒成立，求实数上的取值范围.

【答案】［碓…皆

【解析】Vx>o,y>0,...不等式13左-口无+狂.历恒成立等价于+也恒成立.

又吟,；.卜—证+#.2朴k-m（当且仅当,上一《］工=外时，等号成立），

2^k.s/2,解得鼠—§（舍去）或％…万，

实数上的取值范围为…

题型三对勾函数求最值

1.设X,y均为负数，且无+y=-l,那么孙+,有（）.

孙

A.最大值-117B.最小17值C.最大值"17D.最小值”17

4444

【答案】D

【解析】设"=-x,b=—y,贝!Ja＞。，＞＞。.由。+匕=122^^得

由函数y=x+；的图像得，当。时，浦+：在处取得最小值,

.・.冲+―=〃?+、■2：+4=］，当且仅当x=y=-1时取等号成立.

xyab442

117

综上可得，孙+一有最小值U.

移4

故选D.

5丫2—4Y:5

2.已知x2—,贝ljy=^~世土巳有()

2-2x-4

A.最大吗B.最小畤C.最大值1D.最小值1

【答案】D

22

X-4X+5(x-2)+11TzA1

【解析】解：由得,>1,

2x-42(x-2)297x-2

当且仅当x-2=＜，即x=3时，等号成立，

无一2

故选：D.

题型四基本不等式的应用

1.某工厂第一年年产量为4第二年的增长率为。，第三年的增长率为乩这两年的平均增长率为无，则

()

a+b„/a+b„a+b「、a+b

1.x=------B.xW------C.x>------D.无N----

2222

【答案】B

【解析】解：由题意得，A(l+«)(l+&)=A(l+x)2,则(1+a)(1+切=(1+以，

2

1+a+1+b

因为(l+a)(l+6)W

2

,2+a+b,a+b

所以1+xV—-—=1+——

22

所以xwge,当且仅当a=6时取等号,

故选：B

2.《几何原本》中的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成为了后世数学家处理问题的重要依

据.通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.如图所示

的图形，在A3上取一点C,使得AC=a,BC=b,过点C作CD，AB交圆周于。，连接0D.作

CE工0D交0D于E.由CD.QE可以证明的不等式为（）

A.y/ab...2""(a>0,Z?>0)B.“；」..(a>0,b>0)

a+b

22

/lei+ba+b22

C.V———..；———(a〉0/〉0)D.a+b..2ab(a>0,Z?>0)

【答案】A

八「DC2ab2ab

］）卜—______—_________—________

-

【解析】解：由射影定理可知C£）2=£>E.OD,即OD~a+b~a+b>

2

由DC..DE得疝..义之,

a+b

故选：A.

3.工厂需要建造一个仓库，根据市场调研分析，运费与工厂和仓库之间的距离成正比，仓储费与工厂和

仓库之间的距离成反比，当工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费为5万元.则工厂

和仓库之间的距离为千米时，运费与仓储费之和最小.

【答案】2

【解析】设工厂和仓库之间的距离为x千米，运费为％万元，仓储费为％万元,

设％=—;

x

当工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费为5万元,

所以20=4《，5=殳，则勺=5&=20；

4

所以运费与仓储费之和为5尤+2上0，

X

S^j5x+—>2J5xx—=20,当且仅当5%=一，即兀=2时，运费与仓储费之和最小为20万元.

XVXX

故答案为：2

4.已知实数〃，b满足4/一5次?+4/=9,则Q+力最大值为.

【答案】2月.

【解析】由4/一5々〃+4"=9,

4B,4（4+-）2-9

置ab=---------，

13

由基本不等式得［审:，当且仅当。=匕取等号，

所以4（/：?29《（货J,

所以+<12,

解得a+b<2^3，

所以最大值为2g.

故答案为：26

5.已知一个矩形的周长为36cm,矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱.当矩形的边长为多少时，旋转

形成的圆柱的侧面积最大？

【答案】矩形的长、宽均为9cm时，旋转形成的圆柱侧面积最大.

【解析】设矩形的长为“，宽为6,

•••矩形的周长为36,，2（a+》）=36,.•.6=18—

而旋转形成的圆柱的侧面积为万。6=不。（18-a）4"x"~—=81万，

当且仅当a=18-a,即“=人=9时等号成立.

.••当矩形的长、宽均为9时，旋转形成的圆柱侧面积最大.

答：矩形的长、宽均为9cm时，旋转形成的圆柱侧面积最大.

6.某厂家拟定在2020年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量（即该厂的年产量）无万件与年促销

费用机（，叱0）万元满足x=3——/为常数）.如果不搞促销活动，那么该产品的年销量只能是1万

件.已知2020年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件

产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金）.

（1）将2020年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；

（2）该厂家2020年的促销费用投入多少万元时，厂家利润最大？

【答案】（1）y=—£-（根+1）+29（加加）；（2）该厂家2020年的促销费用投入3万元时，厂家的利

m+1

润最大为21万元..

【解析】⑴由题意知，当根=0时，x=l（万件）,

2

所以1=3一上川:=2,所以x=3-.........（m>0）,

m+1

每件产品的销售价格为L5x型如（元），

X

所以2020年的利润y=1.5xx任&-8-16x-m

X

=——（m+l）+29（m>0）.

m+1

⑵因为,位0时，*-+（优+1巨2&?=8,

m+1

1A

所以产一8+29=21,当且仅当----=机+1=>机=3（万元）时，ymax=21（万元）.

m+1

故该厂家2020年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为21万元.

7.如图，徐州某居民小区要建一座八边形的展馆区，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABC。

和EFG”构成的面积为200m2的十字形地域，计划在正方形MNP。上建一座花坛，造价为4200元/m?；

在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为210元/rtf；再在四个空角（图中四个三角形）铺

草坪，造价为80元/nR

（D设总造价为5（单位：元），长为尤（单位：m）,求出S关于尤的函数关系式；.

（2）当长取何值时，总造