湖南省永州市2023-2024学年高二年级下册开学检测数学 含解析

2024年上期永州市一中高二入学检测

数学试题

满分：150分考试时间：120分钟

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.若两条直线2*+（川+5），—8=°和（加+3卜+4，+3机―5=°平行，则实数用的值为（）

A.1B.-1C.-3D.-7

【答案】D

【解析】

【分析】由直线平行求出加，注意检验重合情形即可.

【详解】因为两直线平行，

所以2>4=（m+5）（m+3）,

解得机=-1或〃2=-7,

当〃2=-1时，两直线重合，舍去，

故选：D

2.等差数列｛。”｝的刖n项和为Sn.若+41012+“1013=6,则邑023=（）

A.8092B.4048C.4046D.2023

【答案】C

【解析】

【分析】由等差数列的性质得到Gon=2,利用求和公式和等差数列性质求出答案.

【详解】由等差数列的性质可得01011+01013=24012，所以3。1012=6，解得曲）12=2,

所以S，023=2°23（4+/023）=2023al012=4046.

ZUZD1U1Z

故选：c.

3.如图，空间四边形。43c中，OA=a,O8=6,OC=c,点M在线段。4上，且=点N为

BC中点，则MN=（）

2」工

B.

322

D.二J+L

322

【答案】D

【解析】

【分析】结合图形，利用空间向量的线性运算即可求解.

【详解】点M在线段OA上，且OM=2MA,

A/A=—0A——a

33

又AB=OB—OA=b—a，

为2C的中点，

:.BN=^BC=^(OC-OB)=^(c-b)

MN=MA+AB+BN=—a+b-a+—(c-b)=--a+—b+—c.

32322

故选：D.

n—Y

4.已知曲线y=T存在过坐标原点的切线，则实数。的取值范围是()

e

A.[T,0]B,+oo)

C.(-4,0)D.(-oo,-4)iJ(O,-H»)

【答案】B

【解析】

【分析】设出切点横坐标％,利用导数几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于％的方程,

根据此方程应有实数根，求得。的取值范围.

【详解】；y=巴;，

,-1-a+x

••y-，

ex

设切点为(%,%),则％=a『,切线斜率4=1：+',

cc

切线方程为y-与含=T；：+%(x_x°),

:切线过原点，

..._a^xQ=1e：+”(—Xo)，整理得：xl-ax0~a=0,

•.•存在过坐标原点的切线，

•**A=a2+4a>0，解得aW-4或a20,

实数。的取值范围是(一",T0,+").

故选：B.

5.已知抛物线E：V=4x,圆C：_?+丁=2%,过圆心C作直线/与抛物线E和圆。交于四点，自上

而下依次为A,M,N,B,若|"M，|人呵成等差数列，则直线/的斜率为()

A.夜B.±72C.巫D.土旦

22

【答案】B

【解析】

【分析】根据给定条件，可得圆心C为抛物线的焦点，求出弦AB长，设出直线AB方程并与抛物线方程联

立，求解作答

【详解】圆C：(了-1)2+产=1的圆心。(1,0),半径r=1,显然点C(LO)为抛物线E:/=4x的焦点，

其准线为x=—1,

设4>1，%),8(%2，，2)，则IA3|=|AC|+|3cl=西+1+%2+1=尤1+々+2,而|MV|=2,

由|肱V|,|NB|成等差数列得，|AM|+|NB|=2|MV|=4,因此|AB|=6,

即有玉+々+2=6,解得芯+巧=4,设直线/的方程为丁=左(％-1),显然左W0,

y—k(x—1)4

由12,消去y得：k2x2-(2k2+4)x+k2=0,则有石+々=2+言=4,解得左=±0,

y=4xk

所以直线/的斜率为土0.

故选：B

J

6.设函数尸(x)是奇函数/(x)(xeR)的导函数，/(—1)=0,当x>0时，矿(％)—/(x)<0,则使

得/(%)>0成立的x的取值范围是

A.(-®,-l)J(0,l)B.(-1,0)?(1,?)

C.(T0,-1)U(-L。)D.(0,1)U(l,+oo)

【答案】A

【解析】

【详解】构造新函数g(x)="")，g'(x)=对("L,当x>0时g'(x)<0.

XX

所以在(0,+8)上g(x)=/H单减,又/⑴=0,即g⑴=0.

X

所以g(x)=/H>0可得0<x<l,止匕时/(%)>0,

又了(九)为奇函数，所以/(力>0在上的解集为：(fo,T)u(0,l).

故选A.

点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，需要构造函数，例如才(X)-/(X),想到构造

g⑴=以立.一般：(1)条件含有〃x)+/'(x),就构造g(x)=e"(x),(2)若/(%)--(%),就

构造g(x)=&h(3)2f(x)+f'(x),就构造g(x)=e2"(x),(4)2/(x)—/'⑺就构造

ex

g(x)=/学，等便于给出导数时联想构造函数.

7.已知数列｛%｝满足的="%=:且%%+矶4=2%%T(〃之2),若b“=a”a“+i，数列也｝

2o

的前〃项和为（，则（024（）

.202320232024506

A.-------B.--------C.-------D.-------

8096202420252025

【答案】D

【解析】

可得数列，—>是等差数列,进而可得数列｛«„｝的通项公式,

【分析】由an+ian+%%=2an+1an_1（«>2）

an,

故可得数列出｝的通项公式，进而通过裂项相消法得到数列也｝的前〃项和T,,最后代入得到金24.

【详解】an+1an+=2an+1an_1(n>2),

111cl11

-----+------=2-----,二数歹!一、是等差数列,

J4+1an

11

7，44=3-=2,-=8,

Zo

,数列I，的公差d=2,

—=2+2(〃-1)=2”，既q=J-

anIn

111j__1

+故hJ…〃”五•而而=”

nn+\

1111111n

二4=（仇+么+&+------------1------------F------------1—

22334n〃+177+1471+1

,12024506

"2024一屋2025—2025'

故选：D.

/、-xlnx小

911

8.若对任意的石,马e（O,m）,且石<%2，都有X―>2成立，则加的最大值为（)

1

A-B.1D.e2

e

【答案】A

【解析】

【分析】将已知不等式变形为詈+/号+不令且（力=一+・，将问题转化为且⑴在（。汨上

单调递增，利用导数可求得单调性，由此可得加的最大值.

xAnx,-xAnXy小/、

【详解】由J7--->2可得菁一％1nxi>2(马-玉)，

、lnxlux,221ILX2Inx,2

由X，%2£(z0,根)，且玉<%2,所以---9-------〉-------，即---9-+—>----+一，

\，x2%!x1x2x2x2玉玉

令=里+一，贝！Jg(%)=坐+一在X£(O,根)上单调递增，

XXXX

ll-，/\1-lnx2-1-lnx人一,八i1

所以g(%)=——$----r=---5，令一1一lnx=。，则％=一，

xxxe

当时，g'(x)>0,此时g(x)=t+：在上单调递增；

当xe］g,+oo］时，g'(%)<0,此时g(x)=U竺+2在］:,+GO］上单调递减；

所以(o,m)口故mwL

故选：A.

【点睛】关键点点睛：本题解题关键是将恒成立的不等式变形为同一函数不同函数值之间大小关系的比

较问题，通过构造函数的方式，将问题转化为函数在区间内单调的问题.

二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分.在每小题给出的四个选项中，有多

项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.

9.已知空间四点4-1,1,0),3(221),0(1,1,1),0(023),则下列四个结论中正确的是()

AAB±CDB.AD=y/li

c.点A到直线BC的距离为J7D.点。到平面ABC的距离为几

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据空间向量的数量积的坐标运算公式，空间的距离公式和点到直线、点到平面的距离的向量运

算公式，逐项判定，即可求解.

【详解】对于选项A:结合题意可得=(3,1,1),CD=(-1,1,2),

因为A3-CD=—3+1+2=0，所以ABLCD，故选项A正确；

对于选项B：结合题意可得AD=^/(-1-0)2+(2-1)2+(3-0)2=而，故选项B正确；

对于选项c：结合题意可得5c=（—i,—1,0）

取a=BA=(—3,—1,—l),a=^^=y(—L—1,。)=[—--,—-—

所以a=JTi,a•it=2J5，所以点A到直线BC的距禺为Ja—(a•a)=Jl1-8=血,

故选项C错误；

对于选项D：结合题意可得AB=(3,l,l),AC=(2,0,l),AD=(l,l,3),

设平面ABC的法向量为〃=（羽y,z）,

n-AB=3x+y+z=0/、

则《,，令x=l,贝=

n-AC=2x+z=0

\n-Au\11-1-61r...................

所以点。到平面ABC的距离为d—pi—=i-=v6，故选项D正确；

忖Vl+1+4

故选：ABD.

10.已知圆C：X2+/-4J+2=0,则下列说法正确的有（）

A.圆C关于直线x—y=0对称的圆的方程为（x—2）2+V=2

B.直线x—y+l=0被圆。截得的弦长为如

2

C.若圆C上有四个点到直线x—y+m=0的距离等于白，则掰的取值范围是（1,3）

D.若点P（%,y）是圆C上的动点，则f+》2的取值范围是［2—J5,2+J可

【答案】AC

【解析】

【分析】把圆化成标准方程，得到圆心坐标和半径，利用圆的几何性质，解决对称问题，弦长问题，点到

直线距离和取值范围.

【详解】圆C：X2+/-4j+2=0,化成标准方程为尤2+（y—2）2=2,

圆心坐标为C（0,2）,半径为厂=0.

圆C关于直线x-y=0对称的圆，圆心坐标为（2,0）,半径为&,

圆的方程为（x—2y+y2=2,A选项正确；

圆心C(0,2)到直线x—y+l=。的距离为1=号把=立,

所以直线x-y+l=O被圆。截得的弦长为2,户—屋=逐，B选项错误；

若圆C上有四个点到直线x—y+m=0的距离等于白，则圆心。(0,2)到直线x—y=0的距离小

于正，

2

即号声1〈孝，解得1<相<3,即机的取值范围是。,3),C选项正确；

若点p(x,y)是圆C上的动点，满足f+y2_4y+2=0,则代+产二分―2,

由圆心坐标和半径可知，2-0<><2+0,则6-4后<4y—2W6+40,

所以产+V的取值范围是［6-472,6+4后］,D选项错误.

故选：AC

11.已知函数/(x)=d—x+1,则()

A.7(无)有两个极值点B./④有三个零点

C.点(0,1)是曲线y=/(尤)的对称中心D.直线y=2x是曲线y=/(x)的切线

【答案】AC

【解析】

【分析】利用极值点的定义可判断A,结合Ax)的单调性、极值可判断B,利用平移可判断C；利用导数

的几何意义判断D.

详解】由题，/，(%)=3%2-1,令用x)>0得X〉#或X<—乎，

令/'(x)<0得—立<x<走，

33

所以/(x)在(_00,一理)，(#,+00)上单调递增，(—与，当)上单调递减，所以x=±等是极值点，

故A正确；

因/(-#)=1+乎〉0,/(g)=l-寺〉0,/(-2)=-5<0,

所以，函数/(%)在1―8,一上有一个零点，

当时，/(力》/卜£卜0,即函数/(%)在£，+°°上无零点，

综上所述，函数/⑺有一个零点，故B错误；

令//(%)=d-x,该函数的定义域为R,〃(一无)=(-%)'—(一无)=-无3+x=—/?(尤)，

则h(x)是奇函数，(0,0)是/i(x)的对称中心，

将/z(x)的图象向上移动一个单位得到了⑴的图象，

所以点(0,D是曲线丁=/(幻对称中心，故C正确；

令/'(x)=3f—1=2,可得九=±1,又/⑴=/(—1)=1,

当切点为(1,1)时，切线方程为y=2x—1,当切点为时，切线方程为y=2x+3,故D错误.

故选：AC.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

2

12.点耳，马分别是双曲线E:Yt—/=1的左、右焦点，点「在后上，且/耳尸耳=§TT,则△耳P鸟的面

积为.

【答案】［

【解析】

【分析】根据给定条件，利用双曲线定义、余弦定理求出1「耳|・|。K1=4,再利用三角形面积公式计算

作答.

【详解】结合题意可得：双曲线二-丁=1的实半轴长。=2,半焦距c=占，

47

有|附卜B/=2。=4,

22

在△耳中，由余弦定理得|耳工|=|P耳『+1PF2\-21PF}IIPF21cosZFtPF2,

即有|EK|2=(附HP与Y+2附归月1(1-COS60),

因此(2逐)2=42+21WIIPEJ(1—g),解得I尸4I•I|=4,

所以6的面积为力咤=||P^|-|P^|sin60=V3.

故答案为：出.

i2

13.已知。，b为正实数，直线y=x-2a与曲线y=ln(x+b)相切，则一+一的最小值是.

ab

【答案】8

【解析】

【分析】根据题意结合导数的几何意义分析可得2a+3=1,再结合基本不等式运算求解.

【详解】由题意可得：＞=ln(x+b)的导数为y'=,，

x+b

设切点为(〃ln(m+»),切线斜率左=]匕，则在该点的切线方程为

]1m

y—ln(m+Z7)=-------(x—m\,即y=-------x+ln(m+Z?)-----------,

m+b^m+bm+b

irj4-h

由题意可得《，整理得2a+b=l,

,,、m-

InIzm+p)---------=-2a

、m+b

1212b4a」4a1

则_L+*=(_L+*)(2a+》)=2+2+2+丝》4+2、2,丝=8,当且仅当2a=b=—时取等号，

ababab\ab2

故—I—的最小值为8.

ab

故答案为：8.

14.已知函数/(x)=e2'—2a(%-2户一。2X2(。＞0)恰有两个零点，则々=.

2

【答案】—e

2

【解析】

【分析】利用导数，求出/(九)的单调区间，由函数/(%)恰有两个零点即函数/(%)与x轴有两个不同的

交点，从而建立等量关系求解可得.

【详解】因为〃x)=—2a(x—2)e"—//(〃>。)，

所以「(%)=2e?x—2〃[e"+(x—2)e，]—2〃2jv=2(e'—or)(e'+〃)

令y=ex-ax则y'=e'-〃，令y'>0,

故当%>ln〃时y'>。，函数y=e*-ax为增函数,

当％<lna时Vv。，函数y=ex-ax为减函数,

即当x=lna时函数y=ex-ax有最小值”(1一Ina),

若a(l—lna)之。，即0<a<e时/'(x)20,此时函数/(%)在R上为增函数，与题意不符，且当a=e

时，/'(%)的零点为1;

若Q(1—lna)<0,即〃>e时，此时函数y=e无一利,(a>0)与％轴有两个不同交点，

,、,、fer,=ax,

设交点为(花，。)，(9,0),S.0<x1<l<x2,即｛,

2

e=ax2

所以当x<x或x>3时y>0,即用x)>o,此时函数7(%)为增函数，

当玉<x<尤2时y<0,即/'(x)<0,此时函数为减函数，

依题意，函数〃力恰有两个零点即函数八％)与x轴有两个不同的交点，即〃%)=0或/'(/卜。，

所以e~*_2a(菁_2)e''_cre'2—2a—2)e*2_#x，=0,

£1—金

所以玉<1<%=2,所以a=

x,2

2

故答案为：—e.

2

【点睛】根据函数零点个数求解参数范围的问题的一般方法：

设万⑺=〃x)-g(x)

方法一：转化为函数/(%)与X轴交点个数问题，通过求解厂(%)单调性构造不等式求解；

方法二：转化为函数y=/⑴,y=g(x)的交点个数问题求解.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知等差数列｛4｝的前"项和为Sn,4=3,Ho=65；数列｛b”｝的前〃项和7；=2〃一2.

(1)求数列｛4｝与也｝的通项公式；

(2)若g=anbn,求数列｛c“｝的前几项和Gn.

【答案】(1)+优=2"

n+1

(2)Gn=n-2.

【解析】

【分析】(1)设数列｛4｝的公差为d,由题意列方程可求得q,d,由等差数列的通项公式即可求出

｛4｝；当时，T“_i=2b,_「2,两式相减得可证得｛么｝是以2为首项，公比为2的等比数列，进而

求出｛%｝的通项公式；

(2)由(1)知%=(〃+1)2”,再由错位相减法求解即可.

【小问1详解】

设数列｛4｝的公差为d,

a1+d=3

4=2

则s10x9,，解得,

10a,H-----d=65d—1

2

所以%=2+(/7-1)X1=/Z+1.

因为T“=2b”—2,当2时，T“_i=2b“_r2,两式相减得：bn^2bn_x.

又b\=2b「2,得仇=2,所以｛2｝是以2为首项，公比为2的等比数列，

所以〃=2X2"T=2".

【小问2详解】

由⑴矢口g=(〃+1)2”.

则a=2x21+3x2?+4x23+…+5+1)2-

2G^=2X22+3X23+---+ZZX2/,+(W+1)2,,+1,

两式相减得：—&,=2x智+2?+23+…+2"—(〃+1)I"】

=2+_("+1)2'+1=_您'+1

1-2

所以G“=〃2+L

16.已知在四棱锥P-ABCD中，底面A3CD为正方形，侧棱上4,平面A3CD,点M在线段尸。上,

直线P5〃平面核IC,PA=AD=1.

P

(2)求平面A4C与平面MAC夹角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

⑵返~

3

【解析】

【分析】(1)由线面平行的性质定理可知〃aW,从而得证；

(2)由空间向量中两平面的夹角公式求解.

【小问1详解】

连接3D交AC于点N,连接肱V,

因为P5〃平面MAC,且PBu平面P3D，

平面PBD1平面MAC=MN,所以PBHMN.

又因为在正方形A3CD中，N是3。的中点，所以点M为77)中点.

【小问2详解】

因为上4,平面A3CD,四边形A3CD为正方形，

AB，ADu平面ABCD,所以AB,AD，AP两两垂直，

以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

所以4(0,0,0),5(1,0,0),C(l,l,0),D(0,l,0),P(0,0,l),

所以AM=[g,£],AC=(1,1,0).

设平面MAC的法向量为〃=(x,y,z),

则J即,22-

〔”.AC=O,"=0,

令x=l,则y=-l,z=l,即“=（1,一1,1）；

由上4,平面ABC。，得PA_LBD,

又ACLBD,PA\AC=A,R4u平面PAC,ACu平面PAC,

所以5。1平面PAC,

即3。=（一1,1,0）是平面PAC的一个法向量.

।_j\n-BD\2J6

所以r[=-=一.

11rr

\H\-\BD\百X近3

所以平面PAC与平面MAC夹角的余弦值为叵.

3

（a>6>0）经过点Nf网.

(1)求椭圆G的标准方程；

(2)已知点4(0,2),B,C为椭圆G上异于A的两点，且A31AC,证明：直线过定点，并求

出该定点的坐标.

22

【答案】(1)—+^=1

124

(2)证明见解析，定点(0,—1)

【解析】

【分析】(1)根据题意代入M,N运算求解即可;

(2)设直线的方程为、=辰+利，联立方程可得韦达定理，结合向量垂直的坐标表示运算求解.

【小问1详解】

由题意可得:,解得a=26，6=4,

故椭圆G的标准方程为—+^=1.

124

【小问2详解】

因为B,C为椭圆G上异于A的两点，所以直线的斜率存在,

不妨设直线的方程为、=履+优，8（%,%）,C（x2,y2）,

y=kx+m

联立方程

id2,消去y得(1+3左之)/+6knvc+3TTI2—12=0,

——+—=1

1124

则A=(6kmf-4(1+3左2)(3疗_12)>0,整理得12k2+4>nr，

2

।…।f—6km3m-12

由韦达定理得+x2=-一

因为A(0,2),AB=(xl,yl-2),AC=(%2,j2-2),ABLAC

可得AB・AC：%%+(%-2)(%—2)=石%2+(何+m-2)(Ax2+m-2)

2

二(1+k2)%%2+左—+x2)+(m-2)

=(1+用?^+皿-2)噂+(%2)2=0

化简得(相—2乂m+1)=0,解得加=2或机=-1,

当机=2时，直线BC的方程为丁=6+2,直线过点4(0,2),不合题意;

当〃?=-1时，12左？+4>m2恒成立，直线的方程为，=近一1,

所以直线过定点（0,—1）.

【点睛】方法点睛：过定点问题的两大类型及解法

(1)动直线/过定点问题.解法：设动直线方程(斜率存在)为丁=区+l由题设条件将f用人表示为

t=mk+n,得y=Z(x+7")+”,故动直线过定点(一加,")；

(2)动曲线C过定点问题.解法：引入参变量建立曲线C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数

等于零，得出定点.

22

18.已知。为坐标原点，双曲线C:十方=1(。>0,6>0)的离心率为5且过点(2,2).

(1)求双曲线C的标准方程；

(2)圆必+丁=4的切线/与双曲线C相交于A3两点.

(i)证明：OA±OB；

(ii)求，Q45面积的最小值.

22

【答案】(1)--^=1

24

(2)(i)证明过程见解析；(ii)4

【解析】

【分析】(1)待定系数法求解双曲线方程；

(2)(i)考虑切线/的斜率为0和不为0两种情况，设出切线方程兀=磔+乙联立双曲线方程，得到两

根之和，两根之积，求出。4.08=0得到垂直关系；

(ii)在(i)的基础上，求出当切线/的斜率为。时的三角形面积，再得到切线/的斜率不为。时,OAB

面积表达式，求出其取值范围，得到面积的最小值.

【小问1详解】

由题意得:=石，将(2,2)代入双曲线中得，—5=1,

又02=储+〃，解得/=2,〃=4,

22

故双曲线C的标准方程为—-^-=1；

24

【小问2详解】

(i)当切线/的斜率为。时，方程为y=±2,

丫292

不妨设，=2,此时］—\=1,解得］=±2,不妨设4(—2,2),3(2,2),

则OA・O3=(-2,2)・(2,2)=T+4=0,所以04,03；

当切线斜率不为。时，设为％=切+1,

\t\

由圆心到直线距离可得J^=2,故/=4+4加2，

J1+疗

联立x=my+/与---=1得，(2nl~y"+4mty+2厂—4=0,

24v)

［2疗-IHO

则〈人21*(c、\/21\C，又厂=4+4m~，

A=16m2r-4(2厂一4)(2加2—1)>0

解得"Iw±—,

2

-4mt2tl—4

设4(%，%)，3(%，%)，则%+为=

2苏_］，%%-2疗_］

故%入2=(7孙+')(7盯2+。=.X%+皿(X+%)+/，

故04・03=石9+M%=(1+m2)乂%+〃才(％+%)+产

(,2、2/一44"?2/22r-4+2m2t2-4m2-4mV2+2m2t2-r

=1+m—；----------；—+r=--------------------------；--------------------------

')2m2-12m"-12m2-1

_t2-4-W

2m2-1

故04,06；

(1)当a=0时，求曲线y=/(x)在点处的切线方程，

(2)当a=g时，判断了(%)是否存在极值，并说明理由；

(3)VXGR,/(X)+-<0,求实数”的取值范围.

【答案】(1)y=-4ex+2e

(2)有一个极大值，一个极小值，理由见解析

(3)[(1—月eRo)

【解析】

【分析】(1)当a=0时，求得/—2(x+l)e=结合导数的几何意义，即可求解；

(2)当a=g时，求得/'(%)=e，(ex—2%—2),令/(X)=1—2