2024-2025学年新教材高中数学第2章直线和圆的方程2.3.1两条直线的交点坐标课件新人教A版选择性必修第一册

第二章2.3.1两条直线的交点坐标学习单元3

直线的交点坐标与距离公式初中定性地研究了“相交线与平行线”,建立直线方程后,就可以用代数方法对直线的有关问题进行定量的研究.如利用两直线方程组公共解的数量,来判断两条直线的位置关系.若相交还能求出交点位置,若平行还能求出两平行线间的距离.距离,是平面几何中一个非常重要的基本几何量,我们可以得到两点间的距离公式、点到直线的距离公式、两条平行线间的距离公式等.这是本学习单元的知识明线.具体内容结构如下图所示:通过对两直线交点坐标的求解,以及距离的代数表示,加深对平面内点、直线相互间关系的认识,积累几何问题代数化的经验,反过来也要识别代数式蕴含的几何意义,体会数形结合的思想,并在实际问题的解决中逐步加深对解析几何“四步曲”大观念的应用意识.学习目标1.会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.(逻辑推理,数学运算)2.会根据方程组解的个数判定两条直线的位置关系.(逻辑推理,数学运算)基础落实·必备知识一遍过知识点

两条直线的交点1.已知两条直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0相交,设这两条直线的交点为P,则点P既在直线l1上,也在直线l2上.所以点P的坐标既满足直线l1的方程A1x+B1y+C1=0,也满足直线l2的方程A2x+B2y+C2=0,即点P的坐标是方程2.方程组

的解一组无数组无解直线l1和l2公共点的个数1无数0直线l1和l2的位置关系

相交重合平行名师点睛如果两条直线相交,则交点坐标分别满足两条直线的方程,即交点坐标是两条直线的方程所组成的方程组的解.判断两条直线平行或重合,由于运算的原因,平时比较少用解的个数.微思考1.判断两直线平行,可以通过斜率、向量以及交点个数来判断.如何选择?

2.若直线l1的方程A1x+B1y+C1=0,直线l2的方程A2x+B2y+C2=0,则方程(A1x+B1y+C1)+λ(A2x+B2y+C2)=0有什么几何特征?提示

当直线方程用点斜式或斜截式时,可以通过斜率来判断;当直线方程为一般式时,通过向量来判断比较方便;通过交点个数来判断,相对较少,因为运算相对会复杂一点.提示

该方程是一条直线方程,且是过l1,l2交点的直线方程.重难探究·能力素养速提升问题1“两条直线相交有一个交点”的几何关系,从代数上来看应如何描述?问题2“直线的交点坐标”从代数上来看,应该如何描述?问题3根据两直线交点的特性,可否构建过两直线交点的直线系方程?如何构建?构建此方程有何优点?探究点一求过两直线交点的直线方程【例1】

(1)求经过点(2,3)且经过直线l1:x+3y-4=0与l2:5x+2y+6=0的交点的直线方程;(2)求经过两条直线2x-3y-3=0和x+y+2=0的交点且与直线3x+y-1=0垂直的直线方程.(方法2)设此直线方程为(2x-3y-3)+m(x+y+2)=0,且与直线3x+y-1=0垂直,即3(2+m)+(m-3)=0,可得m=-,则此直线方程为5x-15y-18=0.规律方法

过两条直线交点的直线的方程的求法(1)常规解法(方程组法):一般是先解方程组求出交点坐标,再结合其他条件写出直线方程.(2)特殊解法(直线系法):先设出过两直线交点的直线方程,再结合条件利用待定系数法求出参数,最后确定直线方程.探究点二含参直线恒过定点问题4点斜式方程根据其方程形式容易观察出定点坐标,若把点斜式方程转化为一般式方程,是否还能看出其定点坐标?“动直线过定点”的几何特征,从直线方程的角度来分析,可以认为是什么代数关系?【例2】

无论实数a取何值,方程(a-1)x-y+2a-1=0表示的直线恒过定点,试求该定点.解

由(a-1)x-y+2a-1=0,得-x-y-1+a(x+2)=0.所以,已知直线恒过直线-x-y-1=0与直线x+2=0的交点.所以方程(a-1)x-y+2a-1=0表示的直线恒过定点(-2,1).规律方法

含有参数的直线恒过定点的问题(1)方法一:任给直线中的参数赋两个不同的值,得到两条不同的直线,然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点,从而问题得解.(2)方法二:若能整理为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0的形式,其中λ是参数,这就说明了它表示的直线必过定点,其定点可由方程组

解得.若整理成y-y0=k(x-x0)的形式,则表示的直线必过定点(x0,y0).探究点三对称问题问题5如何用几何法作出点关于直线的对称点?问题6根据图形的作法,可否把此作图过程代数化,从而计算出点关于直线的对称点坐标?问题7对于特殊直线的对称,如关于x轴,y轴,y=±x+b等直线的对称,几何上都容易观察,可否有相应简单的求对称的方法?【例3】

光线通过点A(2,3)在直线l:x+y+1=0上反射,反射光线经过点B(1,1),试求入射光线和反射光线所在直线的方程.规律方法

点关于直线的对称点的求法(1)点P(x,y)关于直线Ax+By+C=0的对称点P0(x0,y0),满足关系

解方程组可得点P0的坐标.(2)若关于斜率为±1的直线对称,运算会简单一点.如例3中,设点A(2,3)关于直线l:x+y+1=0的对称点为A'(x0,y0),则根据x+y+1=0可得x=-y-1=-3-1=-4,y=-x-1=-2-1=-3,所以A'(-4,-3).本节要点归纳1.知识清单:(1)两条直线的交点;(2)直线系过定点问题.2.方法归纳:消元法、直线系法.3.常见误区:(1)对两直线相交条件理解不清;(2)容易混淆直线交点与对应方程组解的关系.学以致用·随堂检测促达标1231.(例1对点题)已知直线l经过原点,且经过另两条直线2x+3y+8=0,x-y-1=0的交点,则直线l的方程为(

)A.2x+y=0 B.2x-y=0C.x+2y=0 D.x-2y=0B(方法2)设直线l的方程为2x+3y+8+λ(x-y-1)=0,因其过原点,所以8+(-λ)=0,λ=8,直线l的方程为2x-y=0.1232.(例2对点题)求证:不论m为何值,直线(m-1)x+(2m-1)y=m-5都通过一定点.证明

将原方程按