2024-2025学年新教材高中数学第2章直线和圆的方程2.4.2圆的一般方程课件新人教A版选择性必修第一册

第二章2.4.2圆的一般方程学习目标1.理解圆的一般方程及其特点.(数学抽象)2.掌握圆的一般方程和标准方程的互化.(数学运算)3.会求圆的一般方程以及与圆有关的简单的轨迹方程问题.(逻辑推理)基础落实·必备知识一遍过知识点1

圆的一般方程二元二次方程要想表示圆,需x2和y2的系数相同且不为0,没有xy这样的二次项

当D2+E2-4F>0时,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示以

为圆心,

为半径的圆,这个方程叫做圆的一般方程.名师点睛1.当D2+E2-4F=0时,方程表示一个点

;当D2+E2-4F<0时,方程不表示任何图形.2.几个常见圆的一般方程:(1)过原点的圆的方程:x2+y2+Dx+Ey=0(D,E不全为0);(2)圆心在y轴上的圆的方程:x2+y2+Ey+F=0(E2-4F>0);(3)圆心在x轴上的圆的方程:x2+y2+Dx+F=0(D2-4F>0);(4)圆心在x轴上且过原点的圆的方程:x2+y2+Dx=0(D≠0);(5)圆心在y轴上且过原点的圆的方程:x2+y2+Ey=0(E≠0).微思考1.二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆需要满足哪些条件?

2.任何一个二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0所代表的图形是否都是圆?提示

(1)A=C,且均不为0;(2)B=0;(3)D2+E2-4AF>0.知识点2

由圆的一般方程判断点与圆的位置关系微思考“根据圆的标准方程判断点与圆的位置关系”与“根据圆的一般方程判断点与圆的位置关系”有什么区别?提示

根据圆的标准方程判断点与圆的位置关系有两种方法,几何上是把圆心到点的距离与半径相比较,代数上是把点的坐标代入圆的方程来看不等式的方向.根据圆的一般方程判断点与圆的位置关系一般从代数上来分析.知识点3

与圆有关的轨迹问题点M的坐标(x,y)满足的关系式称为点M的轨迹方程.求符合某种条件的动点M的轨迹方程,实质上就是利用题设中的几何条件,通过“坐标化”将其转化为关于变量x,y之间的方程.微思考轨迹和轨迹方程有什么区别?提示

轨迹是指点在运动变化中形成的图形,一般情况下要先求出轨迹方程,再说出表示的几何图形,比如直线、圆等.轨迹方程是点的坐标满足的关系式.重难探究·能力素养速提升问题1从方程的代数角度来看圆的一般方程,该方程有何特征?探究点一圆的一般方程初步理解问题2通过什么方法可以把圆的一般方程化为圆的标准方程?【例1】

若方程x2+y2+2mx-2y+m2+5m=0表示圆,求:(1)实数m的取值范围;(2)圆心坐标和半径.规律方法

形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的二元二次方程,判定其是否表示圆时可有如下两种方法:(1)由圆的一般方程的定义,若D2+E2-4F>0成立,则表示圆,否则不表示圆.(2)将方程配方后,根据圆的标准方程的特征求解.应用这两种方法时,要注意所给方程是不是x2+y2+Dx+Ey+F=0这种形式;若不是,则要化为这种形式再求解.探究点二求圆的一般方程问题3圆的一般方程更好地体现了其代数特征,从量的角度来思考,本质是解决含有几个量的方程?【例2】

已知A(2,2),B(5,3),C(3,-1).(1)求△ABC的外接圆的一般方程;(2)若点P(a,2)在△ABC的外接圆上,求a的值.解

(1)设△ABC外接圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,即△ABC的外接圆的方程为x2+y2-8x-2y+12=0.(2)由(1)知,△ABC的外接圆的方程为x2+y2-8x-2y+12=0,∵点P(a,2)在△ABC的外接圆上,∴a2+22-8a-2×2+12=0,即a2-8a+12=0,解得a=2或6.规律方法

应用待定系数法求圆的方程时的注意点(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心坐标、半径列方程,一般采用圆的标准方程,再用待定系数法求出a,b,r.(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系,一般采用圆的一般方程,再用待定系数法求出常数D,E,F.探究点三求动点的轨迹方程问题4如何求一个动点的轨迹方程?其基本思路是什么?具体用什么方法落实?【例3】

已知等腰三角形的顶点是A(4,2),底边一个端点是B(3,5),求另一个端点C的轨迹方程,并说明它的轨迹是什么图形.思路分析设出点C的坐标,根据|AB|=|AC|列出方程并化简.解

设另一端点C的坐标为(x,y).依题意,得|AC|=|AB|.由两点间距离公式,得整理,得(x-4)2+(y-2)2=10.这是以点A(4,2)为圆心,以

为半径的圆,如图所示.又因为A,B,C为三角形的三个顶点,所以A,B,C三点不共线,即点B,C不能重合,且点B,C不能为一直径的两端点,故端点C的轨迹方程是(x-4)2+(y-2)2=10(除去(3,5)和(5,-1)两点),即另一个端点C的轨迹是以A(4,2)为圆心,为半径的圆,但除去(3,5)和(5,-1)两点.规律方法

求动点的轨迹方程的常用方法

本节要点归纳1.知识清单:(1)圆的一般方程;(2)求动点的轨迹方程.2.方法归纳:待定系数法、几何法、定义法、代入法.3.常见误区:忽视圆的一般方程表示圆的条件.学以致用·随堂检测促达标1231.(例1对点题)若方程x2+y2-x+y+m=0表示圆,则实数m的取值范围是(

)A解析

因为x2+y2-x+y+m=0表示圆,则1+1-4m>0,所以m<.1232.(例2对点题)圆心在直线y=x上,且过点A(-1,1),B(3,-1)的