立体几何中的动态问题 学生版-2024年高考数学重难点攻略

微重点立体几何中的动态问题

“动态”问题是高考立体几何问题最具创新意识的题型，它渗透了一些“动态”的点、线、面等元素，给静态的

立体几何题赋予了活力，题型更新颖.同时，由于“动态”的存在，也使立体几何题更趋多元化，将立体几何问题

与平面几何中的解三角形问题、多边形面积问题以及解析几何问题之间建立桥梁，使得它们之间灵活转化.

知织导图

考点一：动点轨迹问题

考点二:折叠、展开问题

考点三：最值、范围问题

考点分类讲解

考点一:动点轨迹问题

规律方法解决与几何体有关的动点轨迹问题的方法

⑴几何法：根据平面的性质进行判定.

（2）定义法:转化为平面轨迹问题，用圆锥曲线的定义判定或用代数法进行计算.

（3）特殊值法:根据空间图形线段长度关系取特殊值或位置进行排除.

I题目口（2024•浙江温州•一模）如图,所有棱长都为1的正三棱柱ABC-A.B.C,,BE=2/，点F是侧棱

441上的动点，且#=2而,H为线段上的动点，直线SC平面AEG=M,则点用■的轨迹为（)

A.三角形（含内部）B.矩形（含内部）C.圆柱面的一部分D.球面的一部分

〔题目〔2〕侈选）（23-24商三上•贵州安M期本）如图，在棱长为2的正方体ABCD-中，点E、F、

3、8分别为棱。。1、。。1、4。1、48的中点,点河为棱人田1上动点,则（）•••

A.点E、F、G、H共面B.|GM+也阳1的最小值为l+，5

C.点B到平面ABC的距离为印D.DE±A.H

o

：＞1区（2023•贵州•一模）如图，已知正方体4BCD—ABQiR的棱长为2,M,N,P分别为棱44i,CG，AD

的中点，Q为该正方体表面上的点，若M,N,P,Q四点共面，则点Q的轨迹围成图形的面积为.

：题目④（2023•宁波艰考）正方体ABCD-的棱长为1,点P满足而=4万H+〃茄"九〃eR）,则下

列说法正确的有（）

A.若彳+〃=1,则A1P±ADl

B.若N+〃=l,则三棱锥力—PDG的体积为定值

C.若点P总满足PA±BDi，则动点P的轨迹是一条直线

D.若点P到点A的距离为V3,则动点P的轨迹是一个面积为兀的圆

考点二:折叠、展开问题

规律方法画好折叠、展开前后的平面图形与立体图形，抓住两个关键点:不变的线线关系、不变的数量关系.

蜃回工（2024•河南•模板预测）为体现市民参与城市建设、共建共享公园城市的热情，同时搭建城市共建共享

平台，彰显城市的发展温度,某市在中心公园开放长椅赠送点位，接受市民赠送的休闲长椅.其中观景草坪上

一架长椅因其造型简单别致，颇受人们喜欢（如图1）.已知AB和CD是圆。的两条互相垂直的直径,将平

面ABC沿AB翻折至平面ABC,使得平面ABCX.平面ABD（如图2）此时直线AB与平面CBD所成角的

正弦值为（）

•••

图1图2

［题目|2］（22-23南三上•浙江•开学专武）如图，矩形ABCD中，AD=2,AB=3,Zg=2EB,将AADE沿直线

DE翻折成△AQH,若M为线段AQ的点，满足加=2MA,,则在AADE翻折过程中（点4不在平面

DEBC内），下面四个选项中正确的是（）

A.BM//平面AQEB.点河在某个圆上运动

C.存在某个位置，使OE，ACD.线段BA的长的取值范围是（祈,3）

.»①（2024高三•全国•专题练习）如图1,在等边AABC中，点。、E分别为边AB.AC上的动点且满足

DE〃,记盗=4.将&ADE沿DE翻折至U△MDE的位置,使得平面MDE，平面DECB,连接MB,

JDG

如图2,N为的中点.

（1）当EN//平面MBD时，求4的值.

（2）随着4的值的变化,二面角B--E的大小是否改变？若是,请说明理由;若不是，请求出二面角B—

MD—E的正弦值.

［题目④（2023阴用模拟）如图所示,在矩形ABCD中，4B=四,4D=1,AF，平面ABCD，且AF=3,点

E为线段CD（除端点外）上的动点,沿直线AE将△D4E翻折到△0AE,则下列说法中正确的是（）

•••

F

A.当点E固定在线段CD的某位置时,点D'的运动轨迹为球面

B.存在点E,使平面。7LE

C.点A到平面BCF的距离为空

D.异面直线EF与BC所成角的余弦值的取值范围是

考点三:最值、范圉问题

规律方法在动态变化过程中产生的体积最大、距离最大（小）、角的范围等问题，常用的解题思路是

（1）直观判断:在变化过程中判断点、线、面在何位置时,所求的量有相应最大、最小值.

（2）函数思想:通过建系或引入变量，把这类动态问题转化为目标函数，从而利用代数方法求目标函数的最值.

题目（多选）（2023•鞍山模拟）如图,正方体ABCD-的棱长为1,P是线段上的动点,则下列

结论正确的是（）

A.四面体P4AA的体积为定值B.AP+PC的最小值为2打

C.4P〃平面A。。D.直线4P与AC所成的角的取值范围是［。，j］

：题目0（2023•青岛模拟）三面角是立体几何的基本概念之一,而三面角余弦定理是解决三面角问题的重要依

据.三面角P-ABC是由有公共端点P且不共面的三条射线PA,PB,PC以及相邻两射线间的平面部分

所组成的图形，设乙4PC=a,乙5?。=万，=二面角A—PC-B为仇由三面角余弦定理得cos9

=cosy—cosaysB.在三棱锥p_ABC中，=6,AAPC=60°,ABPC=45°,/APB=90°,PB+PC

smdf-sinp

=6,则三棱锥P—ABC体积的最大值为（）

A.甲B.与C.|D.言

4424

（题目［3］（23-24高三下•北京•开学考试）正方体ABCD-A.B.C.D,的棱长为1,动点河在线段CG上，动点

P在平面上，且平面MB。.线段AP长度的取值范围是（）

•••

题目回（2023•黑龙江哈尔滨•三模）已知四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD±底面ABCD,PD=AD,

点E是线段PB上的动点,则直线OE与平面所成角的最大值为（）

BcD

A*-z-i-t

强化训练

一、单选题

、题目工（2023•云南保山•二模）己知正方体ABC。一ABiGR,Q为上底面4耳。1。所在平面内的动点，当

直线。。与。A的所成角为45°时，点Q的轨迹为（）

A.圆B.直线C.抛物线D.椭圆

题目区（2023•全国•三模）在平面直角坐标系中，P为圆/+”=16上的动点，定点4—3,2）.现将v轴左侧

半圆所在坐标平面沿y轴翻折,与y轴右侧半圆所在平面成萼的二面角，使点A翻折至A,P仍在右侧半

圆和折起的左侧半圆上运动，则4,P两点间距离的取值范围是（）

A.[V13,3V5]B.[4-V13,7]C.[4-V13,3V5]D.[V13,7]

题目包（2024•全国•模拟预测）如图，已知矩形ABCD中，E为线段CD上一动点（不含端点）,记AAED=a,

现将△入£）£沿直线AE翻折到△人?£；的位置，记直线CP与直线AE所成的角为6，则（）

.cosdf>sinySD.sina<cos/?

Ml④（2023•上海宝山•二模）在空间直角坐标系。—凝/z中，已知定点4（2,1,0）,B（0,2,0）和动点

。（0工,t+2）（方＞0）.若△04。的面积为S,以O,AB,C为顶点的锥体的体积为V,则占的最大值为

（）

2L1L4L4f—

A.~—~y/5B.--VKC.~~y/5D.--y/5

155155

［题目|5）（23-24高三上•河北衡水•阶段练习）正三棱柱ABC-A5G中，4B=2,AA1=6，。为BC的中

点，河为棱B1G上的动点，N为棱AM上的动点，且端=盥，则线段7W长度的取值范围为（）

C.[4，警]D.[V3,V6]

［题目|6）（23-24高三下•山西•阶段练习）在棱长为4的正方体ABCD-中，E是。。的中点，P是

CG上的动点，则三棱锥A-DEF外接球半径的最小值为（）

A.3B.2V3C.V13D.V15

「题目Q（2023•陕西咸阳•模拟预测）如图，点P是棱长为2的正方体ABCD-的表面上一个动点，则

以下不正确的是（）

A.当P在平面BCG瓦上运动时，四棱锥P—AA.D.D的体积不变

B.当P在线段47上运动时，DF与4G所成角的取值范围是管受］

C.使直线AP与平面ABCD所成的角为45°的点P的轨迹长度为兀+42

D.若干是人倒的中点，当P在底面ABCD上运动,且满足PF〃平面BCD1时，PF长度的最小值是V5

>1瓦（2023•吉林长春•模拟演测）四棱柱ABCD-中，侧棱底面ABCD,AB//CD,2AB

=BC=CD,BC±CD,侧面A/BBi为正方形，设点。为四棱锥儿―外接球的球心，E为。。上

的动点，则直线AE与OB所成的最小角的正弦值为（）

二、多选题

南|］可（23—24高三下•江苏苏州•开学考•试）在正方体ABCD—45GA中，点”为棱4B上的动点，则

A.平面ABG。」平面ArDMB.平面BCD/平面ArDM

C.AM与BG所成角的取值范围为因等］D.AM与平面人及犯所成角的取值范围为传,于］

题目3（2023•全国•模拟覆测）如图①，四边形ABCD是两个直角三角形拼接而成，AB=LBD=2，

AABD=/C=90°,ABDC=45°.现沿着BD进行翻折,使平面ABD，平面BCD,连接AC,得到三棱锥

A—BCD（如图②），则下列选项中正确的是（）•••

BD

BD

图①图②

A.平面ABC±平面ACDB.二面角B—40—C的大小为60°

C.异面直线A。与BC所成角的余弦值为号

D.三棱锥A-BCD外接球的表面积为兀

o

［题目巨］（2023•全国•模拟预测）如图1,矩形值BCG由正方形耳BAA与4力CG拼接而成.现将图形沿4

A对折成直二面角，如图2.点P（不与5,。重合）是线段场。上的一个动点，点E在线段4B上，点F在线

段4G上，且满足人8，刊?，4。1，则（）

图2

A.PE=PFB.BQ_L平面PEF

C./EPF的最大值为需D.多面体CFAEF的体积为定值

O

三、填空题

痼目至］（2023•河南•模拟覆测）如图，在棱长为1的正方体ABCD-4BQQ1中，P是棱。小（不包含端

点）上一动点，则三棱锥P—AB］。的体积的取值范围为.

题目口1］（2023•江苏淮安・模拟预测）某同学参加课外航模兴趣小组活动，学习模型制作.将一张菱形铁片

ABCD进行翻折,菱形的边长为1,ZABC=60°,E是边BO上一点，将△CDE沿着DE翻折到△C'DE位

置,使平面C'DEL面4BED,则点力与。'之间距离最小值是

［题目|14）（23-24南三上•河北保定.期末）如图,在棱长为8的正方体ABCD-4563中，E是棱人4上的

一个动点，给出下列三个结论:①若F为BA上的动点，则EF的最小值为40；②。到平面BED1的距离的

最大值为反£;③〃■为5。的中点，P为空间中一点，且PD与平面ABCD所成的角为30°,PAf与平面

ABCD所成的角为60°，则P在平面ABCD上射影的轨迹长度为3方兀，其中所有正确结论的序号是

四答题

仄(2023•河南・二«)如图所示，正六棱柱ABCDEF—ARCBEiR的底面边长为1,高为P为线

段。用上的动点.

(1)求证：AP〃平面4BC；

⑵设直线AP与平面CD网4所成的角为仇求sin©的取值范围.

•••

、题目记（2024高三•全国•专题练习）如图,在正方体ABCD-45GA中，E、F分别是、CD的中点.

⑴求AE与。F所成的角；

（2）