河北省邯郸市邯郸市2024届中考数学五模试卷含解析

河北省邯郸市邯郸市育华中学2024届中考数学五模试卷

注意事项

1.考生要认真填写考场号和座位序号。

2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑

色字迹的签字笔作答。

3.考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1.某校决定从三名男生和两名女生中选出两名同学担任校艺术节文艺演出专场的主持人，则选出的恰为一男一女的概

率是（）

432

A.—B.—C.一

555

Y2

2.若代数式，有意义，则实数x的取值范围是（）

x-2

A.x=0B.x—2C.x/0D.

3.一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为2的正方形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的表面积是（）

A.67rB.4nC.8nD.4

4.下列四个命题中，真命题是（）

A.相等的圆心角所对的两条弦相等

B.圆既是中心对称图形也是轴对称图形

C.平分弦的直径一定垂直于这条弦

D.相切两圆的圆心距等于这两圆的半径之和

5.在下列二次函数中，其图象的对称轴为％=-2的是

A.y=（x+2）~B.y-2x~-2C.y=-lx2-2D.y=2（尤—2）~

6.如图，AABC为等边三角形，要在AABC外部取一点。，使得AABC和ADBC全等，下面是两名同学做法：（）

甲：①作NA的角平分线/；②以B为圆心，长为半径画弧，交/于点。，点。即为所求；

乙：①过点3作平行于AC的直线/；②过点C作平行于的直线加，交/于点。，点。即为所求.

A.两人都正确B.两人都错误C.甲正确，乙错误D.甲错误，乙正确

7.不等式x+2,3的解集在数轴上表示正确的是（）

8.如图，共有12个大不相同的小正方形，其中阴影部分的5个小正方形是一个正方体的表面展开图的一部分.现从

其余的小正方形中任取一个涂上阴影，则能构成这个正方体的表面展开图的概率是（）

9.化简一L+—匚的结果为（）

a-11-a

A.-1B.1C.巴D・巴

a-11-a

10.改革开放40年以来，城乡居民生活水平持续快速提升，居民教育、文化和娱乐消费支出持续增长，已经成为居民

各项消费支出中仅次于居住、食品烟酒、交通通信后的第四大消费支出，如图为北京市统计局发布的2017年和2018

年我市居民人均教育、文化和娱乐消费支出的折线图.

教育、文化和娱乐）当要支出折线图

说明：在统计学中，同比是指本期统计数据与上一年同期统计数据相比较，例如2018年第二季度与2017年第二季度

相比较；环比是指本期统计数据与上期统计数据相比较，例如2018年第二季度与2018年第一季度相比较.

根据上述信息，下列结论中错误的是（）

A.2017年第二季度环比有所提高

B.2017年第三季度环比有所提高

C.2018年第一季度同比有所提高

D.2018年第四季度同比有所提高

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11.一组数据：1,2,a,4,5的平均数为3,则2=

12.因式分解：3a3-6a2b+3ab2=.

13.写出一个大于3且小于4的无理数：.

14.如图，二次函数y=a(x-2)2+k(a>0)的图象过原点，与x轴正半轴交于点A,矩形OABC的顶点C的坐标

为(0,-2),点P为x轴上任意一点，连结PB、PC.则APBC的面积为.

y小

15.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A,B,C均在格点上.

(I)AC的长等于；

(II)在线段AC上有一点D,满足AB2=AD・AC,请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出点D,并简要说

明点D的位置是如何找到的(不要求证明).

⑹若关于x的方程三十三?=2有增根'则m的值是一^

17.△ABC的顶点都在方格纸的格点上，则sinA=▲.

三、解答题(共7小题，满分69分)

18.(10分)如图，△ABC内接于。O,CD是。O的直径，AB与CD交于点E,点P是CD延长线上的一点，AP=AC,

且NB=2NP.

(1)求证：PA是。。的切线；

(2)若PD=V§",求。O的直径；

(3)在(2)的条件下，若点B等分半圆CD,求DE的长.

19.（5分）下面是小星同学设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程：

已知：如图，直线/和直线/外一点A

求作：直线AP,使得AP〃/

作法：如图

①在直线/上任取一点5（A3与/不垂直），以点A为圆心，A5为半径作圆，与直线/交于点C

②连接AGAB,延长R4到点。；

③作NZMC的平分线AP.

所以直线AP就是所求作的直线

根据小星同学设计的尺规作图过程，使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）

A•

完成下面的证明

AZABC=ZACB（填推理的依据）

ABC的外角，

ZDAC=Z.ABC+ZACB（填推理的依据）

：.ZDAC=2ZABC

TAP平分NZMC,

；.NDAC=2NDAP

：.ZDAP=ZABC

：.AP//l（填推理的依据）

20.（8分）有一项工作，由甲、乙合作完成，合作一段时间后，乙改进了技术，提高了工作效率.图①表示甲、乙合

作完成的工作量y（件）与工作时间t（时）的函数图象.图②分别表示甲完成的工作量y甲（件）、乙完成的工作量y

乙(件)与工作时间t(时)的函数图象.

(1)求甲5时完成的工作量；

(2)求y甲、y乙与t的函数关系式(写出自变量t的取值范围)；

(3)求乙提高工作效率后，再工作几个小时与甲完成的工作量相等?

21.(10分)如图所示，A、B两地之间有一条河，原来从A地到B地需要经过桥DC,沿折线A-D-C-B到达，

现在新建了桥EF(EF=DC),可直接沿直线AB从A地到达B地，已知BC=12km,ZA=45°,ZB=30°,桥DC和

AB平行.

(1)求桥DC与直线AB的距离；

(2)现在从A地到达B地可比原来少走多少路程？

(以上两问中的结果均精确到0.1km,参考数据：V2-1.14,73=1.73)

22.(10分)如图，在平面直角坐标系中，矩形OCDE的三个顶点分别是C(3,0),D(3,4),E(0,4).点A在

DE上，以A为顶点的抛物线过点C,且对称轴x=l交x轴于点B.连接EC,AC.点P,Q为动点，设运动时间为

t秒.

图①图②

（1）求抛物线的解析式.

（2）在图①中，若点P在线段OC上从点O向点C以1个单位/秒的速度运动，同时，点Q在线段CE上从点C向

点E以2个单位/秒的速度运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动.当t为何值时，APCQ为直角三角

形？

（3）在图②中，若点P在对称轴上从点A开始向点B以1个单位/秒的速度运动，过点P做PFLAB,交AC于点F,

过点F作FGLAD于点G,交抛物线于点Q,连接AQ,CQ.当t为何值时，△ACQ的面积最大？最大值是多少？

23.（12分）元旦放假期间，小明和小华准备到西安的大雁塔（记为A）、白鹿原（记为5）、兴庆公园（记为C）、秦

岭国家植物园（记为中的一个景点去游玩，他们各自在这四个景点中任选一个，每个景点被选中的可能性相同.求

小明选择去白鹿原游玩的概率；用树状图或列表的方法求小明和小华都选择去秦岭国家植物园游玩的概率.

24.（14分）校车安全是近几年社会关注的重大问题，安全隐患主要是超速和超载，某中学数学活动小组设计了如下

检测公路上行驶的汽车速度的实验：先在公路旁边选取一点C,再在笔直的车道1上确定点D,使CD与1垂直，测得

CD的长等于24米，在1上点D的同侧取点A、B,使NCAD=30。，ZCBD=60°.求AB的长（结果保留根号）；已

知本路段对校车限速为45千米〃J、时，若测得某辆校车从A到B用时1.5秒，这辆校车是否超速？说明理由.（参考数

据：y/3~1.7,yf2~1.4）

参考答案

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1、B

【解析】

试题解析：列表如下：

男1男2男3女1女2

男1—一VV

男2——VV

男3一—VV

女1VVV—

女2VVV—

二共有20种等可能的结果，P（一男一女）

故选B.

2、D

【解析】

根据分式的分母不等于0即可解题.

【详解】

2

解：•.•代数式一VJ有意义，

x-2

/.x-2#,BPx#2,

故选D.

【点睛】

本题考查了分式有意义的条件，属于简单题，熟悉分式有意义的条件是解题关键.

3、A

【解析】

根据题意，可判断出该几何体为圆柱.且已知底面半径以及高，易求表面积.

解答：解：根据题目的描述，可以判断出这个几何体应该是个圆柱，且它的底面圆的半径为1,高为2,

那么它的表面积=2kx2+Rxlxlx2=6k,故选A.

4、B

【解析】

试题解析：A.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的两条弦相等，故A项错误；

B.圆既是中心对称图形也是轴对称图形，正确；

C.平分弦(不是直径)的直径一定垂直于这条弦，故C选项错误;

D.外切两圆的圆心距等于这两圆的半径之和，故选项D错误.

故选B.

5^A

【解析】

y=(x+2)2的对称轴为x=-2,A正确；

y=2x?-2的对称轴为x=0,B错误；

y=-2x2-2的对称轴为x=0,C错误；

y=2(x-2)2的对称轴为x=2,D错误.故选A.

1.

6、A

【解析】

根据题意先画出相应的图形，然后进行推理论证即可得出结论.

【详解】

甲的作法如图一：

V.ABC为等边三角形，AD是N54c的角平分线

：.ZBEA=90°

ZBEA+ZBED=180°

:.ZBED=90°

:.ZBEA=ZBED=90°

由甲的作法可知，AB=BD

:.ZABC=ZDBC

AB=BD

在ABC和0cB中，<NA3C=ZD3C

BC=BC

ABC=^DCB(SAS)

故甲的作法正确；

乙的作法如图二：

认’

图二

BD//AC,CD//AB

ZACB=ZCBD,ZABC=/BCD

ZABC=ZBCD

在ABC和DCB中，\BC=BC

ZACB=ZCBD

ABC=.DCB(ASA)

故乙的作法正确；

故选：A.

【点睛】

本题主要借助尺规作图考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键.

7、B

【解析】

根据不等式的性质：先移项，再合并即可解得不等式的解集，最后将解集表示在数轴上即可.

【详解】

解：解：移项得，

x<3-2,

合并得，

x<l；

在数轴上表示应包括1和它左边的部分，如下:

-2-1012

故选：B.

【点睛】

本题考查了一元一次不等式的解集的求法及在数轴上表示不等式的解集，注意数轴上包括的端点实心点表示.

8,D

【解析】

由正方体表面展开图的形状可知，此正方体还缺一个上盖，故应在图中四块相连的空白正方形中选一块，再根据概率

公式解答即可.

【详解】

因为共有12个大小相同的小正方形，其中阴影部分的5个小正方形是一个正方体的表面展开图的一部分，所以剩下7

个小正方形.

在其余的7个小正方形中任取一个涂上阴影，能构成这个正方体的表面展开图的小正方形有4个，因此先从其余的小

4

正方形中任取一个涂上阴影，能构成这个正方体的表面展开图的概率是,.

故选D.

【点睛】

本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比，掌握概率公式是本题的关键.

9、B

【解析】

先把分式进行通分，把异分母分式化为同分母分式，再把分子相加，即可求出答案.

【详解】

a1a1a-1,

解：——+——=----------=——=1.

a-11-aa-1a-1a-1

故选B.

10、C

【解析】

根据环比和同比的比较方法，验证每一个选项即可.

【详解】

2017年第二季度支出948元，第一季度支出859元，所以第二季度比第一季度提高，故A正确；

2017年第三季度支出1113元，第二季度支出948元，所以第三季度比第二季度提高，故3正确；

2018年第一季度支出839元，2017年第一季度支出859元，所以2018年第一季度同比有所降低，故C错误；

2018年第四季度支出1012元，2017年第一季度支出997元，所以2018年第四季度同比有所降低，故O正确；

故选C.

【点睛】

本题考查折线统计图，同比和环比的意义；能够从统计图中获取数据，按要求对比数据是解题的关键.

二、填空题(共7小题，每小题3分，满分21分)

11、1

【解析】

依题意有：(l+2+a+4+5)+5=1,解得a=L故答案为1.

12、3a(a-b)1

【解析】

首先提取公因式3a,再利用完全平方公式分解即可.

【详解】

3a3-6a1b+3ab1,

=3a(.a1-lab+b1},

=3a(a-b)L

故答案为：3a(a-b)i.

【点睛】

此题考查多项式的因式分解，多项式分解因式时如果有公因式必须先提取公因式，然后再利用公式法分解因式，根据

多项式的特点用适合的分解因式的方法是解题的关键.

13、如"等，答案不唯一.

【解析】

本题考查无理数的概念.无限不循环小数叫做无理数.介于3和4之间的无理数有无穷多个，因为3?=9,42=16,故而

9和16都是完全平方数，&5,而,疵，，都是无理数.

14、4

【解析】

根据二次函数的对称性求出点A的坐标，从而得出BC的长度，根据点C的坐标得出三角形的高线，从而得出答案.

【详解】

•.•二次函数的对称轴为直线x=2,...点A的坐标为(4,0),•.•点C的坐标为(0,-2),

.,.点B的坐标为(4,-2),；.BC=4,则SBCP=4x2+2=4.

【点睛】

本题主要考查的是二次函数的对称性，属于基础题型.理解二次函数的轴对称性是解决这个问题的关键.

15、5见解析.

【解析】

⑴由勾股定理即可求解；⑵寻找格点M和N,构建与△ABC全等的△AMN,易证MNLAC,从而得到MN与AC

的交点即为所求D点.

【详解】

(l)AC=742+32=5；

(2)如图，连接格点M和N,由图可知：

AB=AM=4,

BC=AN=Ja+42=屈,

AC=MN="2+32=5,

/.△ABC^AMAN,

:.NAMN=NBAC,

，ZMAD+ZCAB=ZMAD+ZAMN=90°,

AMN±AC,

易解得AMAN以MN为底时的高为y,

•/AB2=AD«AC,

,16

.,.AD=AB2+AC=—,

5

综上可知，MN与AC的交点即为所求D点.

【点睛】

本题考查了平面直角坐标系中定点的问题，理解第2问中构造全等三角形从而确定D点的思路.

16、1.

【解析】

方程两边都乘以最简公分母(x-2),把分式方程化为整式方程，再根据分式方程的增根就是使

最简公分母等于1的未知数的值求出X的值，然后代入进行计算即可求出m的值:

方程两边都乘以(X—2)得，2—X—m=2(x—2).

;分式方程有增根，2=1,解得x=2.

：.2—2—m=2(2—2),解得m=L

17、—

5

【解析】

在直角△ABD中利用勾股定理求得AD的长，然后利用正弦的定义求解.

【详解】

在直角AABO中，BD=1,AB=2,

贝(IVAS2+BD-=V22+12=75，

BD1J5

贝nl！IsinA=-----=~r==——・

ADJ55

故答案是：好.

5

三、解答题(共7小题，满分69分)

18、(1)证明见解析；(2)2瓜(3)3—6；

【解析】

(1)连接OA、AD,如图，利用圆周角定理得到NB=NADC,则可证明NADC=2

ZACP,利用CD为直径得到NDAC=90。，从而得到NADC=60。，ZC=30°,贝!|NAOP=60。,

于是可证明NOAP=90。，然后根据切线的判断定理得到结论；

(2)利用NP=30。得至iJOP=2OA,则PD=OD=6，从而得到。O的直径；

(3)作EH_LAD于H,如图，由点B等分半圆CD得到/BAC=45。，则NDAE=45。，设

DH=x,贝！］DE=2x,HE=0x,AH=HE=也为所以(6+l)x=6,然后求出x即可

得到DE的长.

【详解】

(1)证明：连接OA、AD,如图，

VZB=2ZP,ZB=ZADC,

:.ZADC=2ZP,

VAP=AC,

；.NP=NACP,

，ZADC=2ZACP,

VCD为直径,

:.ZDAC=90°,

，NADC=60°,ZC=30°,

/.△ADO为等边三角形,

...NAOP=60°,

而NP=NACP=30°,

/.ZOAP=90o,

AOAIPA,

.'PA是。O的切线;

(2)解：在RtAOAP中，VZP=30°,

/.OP=2OA,

PD=OD=6

...(DO的直径为2省;

(3)解：作EHLAD于H,如图,

•••点B等分半圆CD,

/.ZBAC=45O,

.,.ZDAE=45°,

设DH=x,

在RtZkDHE中，DE=2x,HE=&,

在RtAAHE中，AH=HE=瓜,

/.AD=A/3X+x=(G+ijx,

即(6+l)x=6,

解得

:.DE=2X=3-6.

【点睛】

本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.圆的切线垂直于经过切点的半

径.判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；有切线时，常常“遇到切点连圆心得半

径”.也考查了圆周角定理.

19、（1）详见解析；（2）（等边对等角），（三角形外角性质），（同位角相等，两直线平行）.

【解析】

（1）根据角平分线的尺规作图即可得；

（2）分别根据等腰三角形的性质、三角形外角的性质和平行线的判定求解可得.

【详解】

解：（1）如图所示，直线AP即为所求.

（2）证明：-：AB=AC,

：.ZABC=ZACB（等边对等角），

ABC的外角，

AZDAC=ZABC+ZACB（三角形外角性质），

:.ZDAC^2ZABC,

平分NZMC,

:.ZDAC^2ZDAP,

：.ZDAP=ZABC,

：.AP//l（同位角相等，两直线平行），

故答案为（等边对等角），（三角形外角性质），（同位角相等，两直线平行）.

【点睛】

本题主要考查作图能力，解题的关键是掌握角平分线的尺规作图、等腰三角形的性质、三角形外角的性质和平行线的

判定.

20?0<?<22

20、(1)1件；(2)y,=30t(0<t<5)；y^=〈\7；(3)一小时；

[60?-80(2<Z<5)3

【解析】

(1)根据图①可得出总工作量为370件，根据图②可得出乙完成了220件，从而可得出甲5小时完成的工作量；(2)

设y甲的函数解析式为y=kx+b,将点(0,0),(5,1)代入即可得出y甲与t的函数关系式；设yz的函数解析式为y=mx

(0<t<2),y=cx+d(2<t<5),将点的坐标代入即可得出函数解析式；(3)联立y甲与改进后y乙的函数解析式即可得出

答案.

【详解】

(1)由图①得，总工作量为370件，由图②可得出乙完成了220件，

故甲5时完成的工作量是1.

(2)设y单的函数解析式为y=kt(k/)),把点(5,1)代入可得：k=30

故y甲=30t(0<t<5)；

乙改进前，甲乙每小时完成50件，所以乙每小时完成20件，

当0<t<2时，可得y乙=20t；

_2c+d=40

当2VtW5时，设y=ct+d,将点(2,40),(5,220)代入可得：仁，，

5c+d=220

c=60

解得：<

d=—80

故y乙=60t-80(2<t<5).

’20?(0<Z<2)

综上可得：y甲=30t(0<t<5)；y^=

6OZ-8O(2<?<5)

y=30t

(3)由题意得:

y=60?-80

Q

解得：t=『

Q9

故改进后彳-2=；小时后乙与甲完成的工作量相等.

33

【点睛】

本题考查了一次函数的应用，解题的关键是能读懂函数图象所表示的信息，另外要熟练掌握待定系数法求函数解析式的

知识.

21、(1)桥DC与直线AB的距离是6.0km；(2)现在从A地到达B地可比原来少走的路程是4.1km.

【解析】

⑴过C向AB作垂线构建三角形，求出垂线段的长度即可；⑵过点D向AB作垂线，然后根据解三角形求出AD,CB

的长，进而求出现在从A地到达B地可比原来少走的路程.

【详解】

解：（1）作CHLAB于点H,如图所示，

VBC=12km,ZB=30°,

CH=^BC=6km,BH=68km,

即桥DC与直线AB的距离是6.0km；

(2)作DMLAB于点M,如图所示,

•.•桥DC和AB平行，CH=6km,

；.DM=CH=6km,

；NDMA=90°,NB=45°,MH=EF=DC,

DM_6_6£

AD=sin45y[2km,AM=DM=6km,

V

现在从A地到达B地可比原来少走的路程是：（AD+DC+BC）-（AM+MH+BH）=AD+DC+BC-AM-MH-

BH=AD+BC-AM-BH=6拒+12-6-66=6+6万6百X4.1km,

即现在从A地到达B地可比原来少走的路程是4.1km.

【点睛】

做辅助线，构建直角三角形，根据边角关系解三角形，是解答本题的关键.

159

22、(1)y=-x2+2x+3；(2)当1=行或时，APCQ为直角三角形；(3)当t=2时，△ACQ的面积最大，最

大值是1.

【解析】

(1)根据抛物线的对称轴与矩形的性质可得点A的坐标，根据待定系数法可得抛物线的解析式；

(2)先根据勾股定理可得CE,再分两种情况：当NQPC=90。时；当NPQC=90。时；讨论可得△PCQ为直角三角形

时t的值；

(3)根据待定系数法可得直线AC的解析式，根据SAACQ=SAAFQ+SACPQ可得SAACQ=gFQ-AD=-；(t-2)2+l,

依此即可求解.

【详解】

解：(1),••抛物线的对称轴为x=l,矩形OCDE的三个顶点分别是C(3,0),D(3,4),E(0,4),点A在DE

上，

•••点A坐标为(1,4),

设抛物线的解析式为y=a(x-1)2+4,把C(3,0)代入抛物线的解析式，可得a(3-1)2+4=0,解得a=-1.

故抛物线的解析式为y=-(x-1)2+4,即y=-X2+2X+3；

(2)依题意有：OC=3,OE=4,

CE=^OC2+OE2=A/32+42=5，

当NQPC=90。时，

PCoc

•.-cosZQPC=—=—

.3—t3hjiM_15

••,解得t=—；

2t511

当NPQC=90。时，

CQOC

VcosZQCP=—=——，

CPCE

.2t3A”-9

••——=~，解得t=—.

3—t513

159

•••当1=五或t=分时，APCQ为直角三角形;

(3)VA(1,4),C(3,0),

设直线AC的解析式为y=kx+b,则有:

k+b=4k=-2

,解得《,，.故直线AC的解析式为y=-2x+2.

3k+b=0b=6

VP(1,4-t),将y=4-t代入y=-2x+2中，得x=l+],

tt产

；・Q点的横坐标为1+—,将x=l+—代入y=-(x-1