2024届河北省邯郸市涉县重点中考数学五模试卷含解析

2024届河北省邯郸市涉县重点达标名校中考数学五模试卷

考生须知：

1.全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色

字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.如图，在△ABC中，NC=90。，点D在AC上，DE//AB,若NCDE=165。，则NB的度数为（）

165°

A.15°B.55°C.65°D.75°

2.随着“三农”问题的解决，某农民近两年的年收入发生了明显变化，已知前年和去年的收入分别是60000元和80000

元，下面是依据①②③三种农作物每种作物每年的收入占该年年收入的比例绘制的扇形统计图.依据统计图得出的以

下四个结论正确的是（）

A.①的收入去年和前年相同

B.③的收入所占比例前年的比去年的大

C.去年②的收入为2.8万

D.前年年收入不止①②③三种农作物的收入

3.已知不透明的袋中只装有黑、白两种球，这些球除颜色外都相同，其中白球有30个，黑球有〃个.随机地从袋中

摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，再从中摸出一个球，经过如此大量重复试验，发现摸出的黑球的频

率稳定在0.4附近，则n的值约为（）

A.20B.30C.40D.50

4.实数a,b在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）

£I_I_I_

-3-2-10123

A.a>-2B.a<-3C.a>-bD.a<-b

5.以坐标原点为圆心，以2个单位为半径画。O,下面的点中，在。O上的是（）

A.(1,1)B.(72，V2)C.(1,3)D.(1,y/2)

6.如图，二次函数丫=2*2+6*的图象开口向下，且经过第三象限的点P.若点P的横坐标为-1,则一次函数

y=（a—b）x+b的图象大致是（）

V

7.函数y=正亘中自变量x的取值范围是（）

x-1

A.xN・l且*1B.x>-lC.x#lD.-1<X<1

8.如图，平行四边形ABCD的顶点A、B、D在。O上，顶点C在。O直径BE上，连结AE,若NE=36。，贝！JNADC

9.如图，二次函数y=ax?+bx+c（a#0）的图象与x轴交于点A、B两点，与y轴交于点C,对称轴为直线x=-L点B

的坐标为（L0）,则下列结论：①AB=4；②b2・4ac>0；③abVO；@a2-ab+ac<0,其中正确的结论有（）个.

A.3B.4C.2D.1

10.有一组数据：3,4,5,6,6,则这组数据的平均数、众数、中位数分别是()

A.4.8,6,6B.5,5,5C.4.8,6,5D.5,6,6

11.在层口4a口4的空格口中，任意填上“+”或在所有得到的代数式中，能构成完全平方式的概率是()

A.1B.zC.=D.-

12.囱的值是()

A.±3B.3C.9D.81

二、填空题：(本大题共6个小题，每小题4分，共24分.)

13.分解因式：m2n-2mn+n=.

14.若关于x的分式方程一—-2=0二有增根，则m的值为.

x—3x—3

15.已知二次函数y=+6x+c中，函数y与x的部分对应值如下:

・・・-10123・・・

・・・105212・・・

则当V<5时，x的取值范围是.

16.中国的陆地面积约为9600OOOknA把9600000用科学记数法表示为.

17.如果点4(-4,%)、5(—3,%)是二次函数丁=2/+左(左是常数)图象上的两点，那么%%•(填

或“=”)

18.若一个扇形的圆心角为60。，面积为6兀，则这个扇形的半径为.

三、解答题：(本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19.(6分)如图，在等腰直角AABC中，NC是直角，点A在直线MN上，过点C作CELMN于点E,过点B作

BFJ_MN于点F.

(1)如图1,当C,B两点均在直线MN的上方时，

①直接写出线段AE,BF与CE的数量关系.

②猜测线段AF,BF与CE的数量关系，不必写出证明过程.

(2)将等腰直角AABC绕着点A顺时针旋转至图2位置时，线段AF,BF与CE又有怎样的数量关系，请写出你的

猜想，并写出证明过程.

(3)将等腰直角AABC绕着点A继续旋转至图3位置时，BF与AC交于点G,若AF=3,BF=7,直接写出FG的长

度.

cBC

图③B

20.（6分）在“母亲节”期间，某校部分团员参加社会公益活动，准备购进一批许愿瓶进行

销售，并将所得利润捐给慈善机构.根据市场调查，这种许愿瓶一段时间内的销售量y（个）于销售单价x（元

/个）之间的对应关系如图所示.试判断y与x之间的函数关系，并求出函数关系式；若许愿瓶的进价为6元/个，按照

上述市场调查销售规律，求利润w（元）与销售单价x（元/个）之间的

函数关系式；若许愿瓶的进货成本不超过900元，要想获得最大利润，试求此时这种许愿瓶的销售单价，并求出

N（个）

300I

最大利润.240-

180,…1

12殳…}

0rb121416x阮」个）

21.（6分）在边长为1的5x5的方格中，有一个四边形0A3C,以。点为位似中心，作一个四边形，使得所作四边形

与四边形043c位似，且该四边形的各个顶点都在格点上；求出你所作的四边形的面积.

22.（8分）清朝数学家梅文鼎的《方程论》中有这样一题：山田三亩，场地六亩，共折实田四亩七分；又山田五亩，

场地三亩，共折实田五亩五分，问每亩山田折实田多少，每亩场地折实田多少？

译文为：若有山田3亩，场地6亩，其产粮相当于实田4.7亩；若有山田5亩，场地3亩，其产粮相当于实田5.5亩,

问每亩山田和每亩场地产粮各相当于实田多少亩？

23.（8分）如图，在四边形ABCD中，AB=AD,CB=CD,E是CD上一点，BE交AC于F,连接DF.

(1)证明：ZBAC=ZDAC.

(2)若NBEC=NABE,试证明四边形ABCD是菱形.

24.(10分)问题提出

(1).如图1,在四边形ABCD中，AB=BC,AD=CD=3,NBAD=NBCD=90。，ZADC=60°,则四边形ABCD的

面积为

问题探究

(2).如图2,在四边形ABCD中，ZBAD=ZBCD=90°,ZABC=135°,AB=22,BC=3,在AD、CD上分别找

一点E、F,使得ABEF的周长最小，作出图像即可.

25.(10分)如图1,B(2m,0),C(3m,0)是平面直角坐标系中两点，其中m为常数，且m>0,E(0,n)为y

轴上一动点，以BC为边在x轴上方作矩形ABCD,使AB=2BC,画射线OA,把△ADC绕点C逆时针旋转90。得

AA'D'C,连接ED。抛物线y=。必+6》+。(a/0)过E,A，两点.

(1)填空：ZAOB=。，用m表示点A，的坐标：AY,)；

BP1

(2)当抛物线的顶点为A，，抛物线与线段AB交于点P,且｝—=工时，△D9E与AABC是否相似？说明理由;

（3）若E与原点O重合，抛物线与射线OA的另一个交点为点M,过M作MNLy轴，垂足为N：

①求a,b,m满足的关系式；

②当m为定值，抛物线与四边形ABCD有公共点，线段MN的最大值为10,请你探究a的取值范围.

26.（12分）列方程解应用题：某景区一景点要限期完成，甲工程队单独做可提前一天完成，乙工程队独做要误期6

天，现由两工程队合做4天后，余下的由乙工程队独做，正好如期完成，则工程期限为多少天？

27.（12分）某中学九（1）班为了了解全班学生喜欢球类活动的情况，采取全面调查的方法，从足球、乒乓球、篮球、

排球等四个方面调查了全班学生的兴趣爱好，根据调查的结果组建了4个兴趣小组，并绘制成如图所示的两幅不完整

的统计图（如图①，②，要求每位学生只能选择一种自己喜欢的球类），请你根据图中提供的信息解答下列问题：

图①图②

（1）九（1）班的学生人数为,并把条形统计图补充完整；

（2）扇形统计图中m=,n=,表示“足球”的扇形的圆心角是度；

（3）排球兴趣小组4名学生中有3男1女，现在打算从中随机选出2名学生参加学校的排球队，请用列表或画树状图

的方法求选出的2名学生恰好是1男1女的概率.

参考答案

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1、D

【解析】

根据邻补角定义可得NADE=15。，由平行线的性质可得NA=NADE=15。，再根据三角形内角和定理即可求得NB=75。.

【详解】

解：,.•/CDE=165°,.,.NADE=15。，

；DE〃AB,/.ZA=ZADE=15°,

AZB=180°-ZC-ZA=180°-90°-15°=75°,

故选D.

【点睛】

本题考查了平行线的性质、三角形内角和定理等，熟练掌握平行线的性质以及三角形内角和定理是解题的关键.

2、C

【解析】

117117

A、前年①的收入为60000X——=19500,去年①的收入为80000x——=26000,此选项错误；

360360

.匕广,..八,、，360—135—117必、广广1r匕AL360—126—117

B、前年③的收入所占比例为--------------X100%=30%,去年③的收入所占比例为---------------X100%=32.5%,

360360

此选项错误；

[26

C、去年②的收入为80000X——=28000=2.8（万元），此选项正确；

360

D、前年年收入即为①②③三种农作物的收入，此选项错误，

故选C.

【点睛】

本题主要考查扇形统计图，解题的关键是掌握扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量

占总数的百分数，并且通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系.

3、A

【解析】

分析：根据白球的频率稳定在0.4附近得到白球的概率约为04根据白球个数确定出总个数，进而确定出黑球个数n.

详解：根据题意得=04,

30+n

计算得出:n=20,

故选A.

点睛：根据概率的求法，找准两点:①全部情况的总数;②符合条件的情况数目;二者的比值就是其发生的概率.

4、D

【解析】

试题分析：A.如图所示：-3<a<-2,故此选项错误；

B.如图所示：-3VaV-2,故此选项错误；

C.如图所示：l<b<2,贝！又-3<a<-2,故aV-b,故此选项错误；

D.由选项C可得，此选项正确.

故选D.

考点：实数与数轴

5、B

【解析】

根据点到圆心的距离和半径的数量关系即可判定点与圆的位置关系.

【详解】

A选项,(1,1)到坐标原点的距离为百<2,因此点在圆内，

B选项(0,0)到坐标原点的距离为2=2,因此点在圆上，

C选项(1,3)到坐标原点的距离为厢>2,因此点在圆外

D选项(1,0)到坐标原点的距离为由<2,因此点在圆内，

故选B.

【点睛】

本题主要考查点与圆的位置关系，解决本题的关键是要熟练掌握点与圆的位置关系.

6、D

【解析】

【分析】根据二次函数的图象可以判断a、b、a-b的正负情况，从而可以得到一次函数经过哪几个象限，观察各选

项即可得答案.

【详解】由二次函数的图象可知，

a<0,b<0,

当x=-l时，y=a-b<0,

.•.y=(a—b)x+b的图象经过二、三、四象限，

观察可得D选项的图象符合，

故选D.

【点睛】本题考查二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质，认真识图，会用函数的思想、数形结合思想解答

问题是关键.

7、A

【解析】

分析：根据分式的分母不为0;偶次根式被开方数大于或等于0;当一个式子中同时出现这两点时，应该是取让两个条

件都满足的公共部分.

x+l>0

详解：根据题意得到：

x-11^0

解得X>-1且xRL

故选A.

点睛：本题考查了函数自变量的取值范围问题，判断一个式子是否有意义，应考虑分母上若有字母，字母的取值不能

使分母为零，二次根号下字母的取值应使被开方数为非负数.易错易混点：学生易对二次根式的非负性和分母不等于

0混淆.

8、D

【解析】

根据直径所对的圆周角为直角可得NBAE=90。，再根据直角三角形的性质和平行四边形的性质可得解.

【详解】

根据直径所对的圆周角为直角可得NBAE=90。，

根据NE=36。可得NB=54。，

根据平行四边形的性质可得NADC=NB=54。.

故选D

【点睛】

本题考查了平行四边形的性质、圆的基本性质.

9、A

【解析】

利用抛物线的对称性可确定A点坐标为(-3,0),则可对①进行判断；利用判别式的意义和抛物线与x轴有2个交点

可对②进行判断；由抛物线开口向下得到a>0,再利用对称轴方程得到b=2a>0,则可对③进行判断；利用x=-l时,

y<0,即a-b+c<0和a>0可对④进行判断.

【详解】

•.•抛物线的对称轴为直线x=-L点B的坐标为(1,0),

AA(-3,0),

.­•AB=1-(-3)=4,所以①正确；

•••抛物线与x轴有2个交点，

.,.△=b2-4ac>0,所以②正确；

•••抛物线开口向下，

.*.a>0,

b

•.•抛物线的对称轴为直线X=--=-1,

2a

b=2a>0,

.*.ab>0,所以③错误；

Vx=-1时，y<0,

:.a-b+c<0,

而a>0,

.*.a（a-b+c）<0,所以④正确.

故选A.

【点睛】

本题考查了抛物线与x轴的交点：对于二次函数y=ax?+bx+c（a,b,c是常数，a/））,△=b?-4ac决定抛物线与x轴的

交点个数：△=b2-4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4acV0时,

抛物线与x轴没有交点.也考查了二次函数的性质.

10、C

【解析】

解：在这一组数据中6是出现次数最多的，故众数是6；

而将这组数据从小到大的顺序排列3,4,5,6,6,处于中间位置的数是5,

平均数是：（3+4+S+6+6）+5=4.8,

故选C.

【点睛】

本题考查众数；算术平均数；中位数.

11、B

【解析】

试题解析：能够凑成完全平方公式，则4a前可是也可以是“+”，但4前面的符号一定是：“+”，

此题总共有（-,-）、（+,+）、（+,-）、（-,+）四种情况，能构成完全平方公式的有2种，所以概率是

故选B.

考点：L概率公式；2.完全平方式.

12、C

【解析】

试题解析：••,血=3

耶的值是3

故选C.

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）

13、n(m-I)].

【解析】

先提取公因式n后，再利用完全平方公式分解即可

【详解】

m111-lmn+n=n(m1-lm+1)=n(mT)L

故答案为n(m-1)i.

14、±73

【解析】

增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根.有增根，最简公分母x-3=0,所以增根是x=3,把

增根代入化为整式方程的方程即可求出m的值.

【详解】

方程两边都乘x-3,得

x-2(x-3)=m2,

・・,原方程增根为x=3,

.••把x=3代入整式方程，得m=±VL

【点睛】

解决增根问题的步骤：

①确定增根的值；

②化分式方程为整式方程；

③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值.

15、0<x<4

【解析】

根据二次函数的对称性及已知数据可知该二次函数的对称轴为x=2,结合表格中所给数据可得出答案.

【详解】

由表可知，二次函数的对称轴为直线x=2,

所以，x=4时,y=5,

所以，产5时，x的取值范围为0<x<4.

故答案为0<x<4.

【点睛】

此题主要考查了二次函数的性质，利用图表得出二次函数的图象即可得出函数值得取值范围，同学们应熟练掌握.

16、9.6x1.

【解析】

将9600000用科学记数法表示为9.6x1.

故答案为9.6x1.

17、＞

【解析】

根据二次函数解析式可知函数图象对称轴是x=0,且开口向上，分析可知两点均在对称轴左侧的图象上；接下来，结

合二次函数的性质可判断对称轴左侧图象的增减性，

【详解】

解：二次函数丁=2必+左的函数图象对称轴是x=0,且开口向上，

...在对称轴的左侧y随x的增大而减小，

y}>y2.

故答案为〉.

【点睛】

本题考查了二次函数的图像和数形结合的数学思想.

18、6

【解析】

设这个扇形的半径为广，根据题意可得:

60万户，,

---------=6万，解得：r=6.

360

故答案为6.

三、解答题：(本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19、(1)①AE+BF=EC；②AF+BF=2CE；(2)AF-BF=2CE,证明见解析；(3)FG=1.

【解析】

(1)①只要证明△ACE之4BCD(AAS),推出AE=BD,CE=CD,推出四边形CEFD为正方形，即可解决问题；

②利用①中结论即可解决问题；

FGAF

(2)首先证明BF-AF=2CE.由AF=3,BF=7,推出CE=EF=2,AE=AF+EF=5,由FG〃EC,可知——=——，由

ECAE

此即可解决问题；

【详解】

解：(1)证明：①如图1,过点C做CDLBF,交FB的延长线于点D,

cD

图1

VCE±MN,CD1BF,

/.ZCEA=ZD=90°,

VCE±MN,CD1BF,BF1MN,

，四边形CEFD为矩形，

...NECD=90。，

XVZACB=90°,

/.ZACB-ZECB=ZECD-ZECB,

即NACE=NBCD,

又•••△ABC为等腰直角三角形，

/.AC=BC,

在小ACE^UABCD中，

ZACE=ZBCD

<ZAEC=ZBDC=9Q°,

AC=BC

.,.△ACE^ABCD(AAS),

；.AE=BD,CE=CD,

又,••四边形CEFD为矩形，

二四边形CEFD为正方形，

.\CE=EF=DF=CD,

:.AE+BF=DB+BF=DF=EC.

②由①可知：AF+BF=AE+EF+BF

=BD+EF+BF

=DF+EF

=2CE,

(2)AF-BF=2CE

图2中，过点C作CGLBF,交BF延长线于点G,

可得NAEC=NCGB,

ZACE=ZBCG,

在小CBG^IACAE中，

ZAEC=ZCGB

<ZACE=ZBCG,

AC=BC

/.△CBG^ACAE(AAS),

/.AE=BG,

VAF=AE+EF,

AF=BG+CE=BF+FG+CE=2CE+BF,

.,.AF-BF=2CE；

(3)如图3,过点C做CDLBF,交FB的于点D,

图3

VAC=BC

可得NAEC=NCDB,

ZACE=ZBCD,

在小CBD^DACAE中，

ZAEC=ZCDB

<ZACE=ZBCD,

AC=BC

/.△CBD^ACAE(AAS),

.\AE=BD,

VAF=AE-EF,

AF=BD-CE=BF-FD-CE=BF-2CE,

.*.BF-AF=2CE.

VAF=3,BF=7,

.\CE=EF=2,AE=AF+EF=5,

VFG/7EC,

.FG_AF

••—f

ECAE

•FG3

••—―,

25

6

•\FG=-.

5

【点睛】

本题考查几何变换综合题、正方形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理、等腰直角三

角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题.

20、(1)y是x的一次函数，y=-30x+l(2)w=-30x2+780x-31(3)以3元/个的价格销售这批许愿瓶可获得最大

利润4元

【解析】

(1)观察可得该函数图象是一次函数，设出一次函数解析式，把其中两点代入即可求得该函数解析式，进而把其余两

点的横坐标代入看纵坐标是否与点的纵坐标相同.

(2)销售利润=每个许愿瓶的利润x销售量.

(3)根据进货成本可得自变量的取值，结合二次函数的关系式即可求得相应的最大利润.

【详解】

解：(l)y是x的一次函数，设丫=1«+1),

;图象过点(10,300),(12,240),

10k+b=300k=-30

\,解得《y=-30x+l.

12k+b=240b=600

当x=14时,y=180；当x=16时,y=120,

，点(14,180),(16,120)均在函数y=-30x+l图象上.

Ay与x之间的函数关系式为y=-30x+l.

(2)Vw=(x-6)(-30x+l)=-30x2+780x-31,

•*.W与X之间的函数关系式为w=-30x2+780x—31.

(3)由题意得：6(-30x+l)<900,解得它3.

780

W=-30X2+780X-31图象对称轴为:=13.

2x(-30)

,.,a=-30V0,.,.抛物线开口向下，当xN3时，w随x增大而减小.

当x=3时,w最大=4.

•••以3元/个的价格销售这批许愿瓶可获得最大利润4元.

21、(1)如图所示，见解析；四边形。47T。即为所求；(2)S四边形

【解析】

(1)结合网格特点，分别作出点A、B、C关于点O成位似变换的对应点，再顺次连接即可得;

(2)根据S四边形OA，B©=SAOA,B'+SAOBC计算可得.

【详解】

(1)如图所示，四边形即为所求.

(2)S四边彩OA‘B'C'=SAOA'B'+SAOB'C

—x4x4+x2x2

；J

=8+2

=1.

【点睛】

本题考查了作图-位似变换：先确定位似中心；再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；接着根据位似比,

确定能代表所作的位似图形的关键点；然后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形.

22、每亩山田产粮相当于实田0.9亩，每亩场地产粮相当于实田-亩.

3

【解析】

设每亩山田产粮相当于实田x亩，每亩场地产粮相当于实田y亩，根据山田3亩，场地6亩，其产粮相当于实田4.7

亩;又山田5亩，场地3亩，其产粮相当于实田5.5亩，列二元一次方程组求解.

【详解】

解：设每亩山田产粮相当于实田x亩，每亩场地产粮相当于实田y亩.

3x+6y=4.7

可列方程组为

5x+3y=5.5

x=0.9

解得

答：每亩山田相当于实田0.9亩，每亩场地相当于实田§亩.

23、证明见解析

【解析】

试题分析：由AB=AD,CB=CD结合AC=AC可得AABC也△ADC,由此可得NBAC=NDAC,再证AABFgZkADF

即可得到NAFB=NAFD,结合NAFB=NCFE即可得到NAFD=NCFE；

(2)由AB〃CD可得NDCA=NBAC结合NBAC=NDAC可得NDCA=NDAC,由此可得AD=CD结合

AB=AD,CB=CD可得AB=BC=CD=AD,即可得至!|四边形ABCD是菱形.

试题解析：

(1)在4ABC^flAADC中，

；AB=AD,CB=CD,AC=AC,

/.△ABC^AADC,

/.ZBAC=ZDAC,

在4ABF和小ADF中,

；AB=AD,ZBAC=ZDAC,AF=AF,

/.△ABF^AADF,

/.ZAFB=ZAFD.

(2)证明:VAB/7CD,

.,.ZBAC=ZACD,

VZBAC=ZDAC,

:.ZACD=ZCAD,

；.AD=CD,

VAB=AD,CB=CD,

；.AB=CB=CD=AD,

**•四边形ABCD是菱形.

24、(1)34,(2)见解析

【解析】

(1)易证AABD丝ZXCBD,再利用含30。的直角三角形求出AB、BD的长，即可求出面积.(2)作点B关于AD的对称

点B，,点B关于CD的对应点B"，连接B，B”,与AD、CD交于EF,AAEF即为所求.

【详解】

(1)VAB=BC,AD=CD=3,ZBAD=ZBCD=90°,

/.△ABD^ACBD(HL)

AZADB=ZCDB=-ZADC=30°,

2

，AB=6

:.SAABD=-ABAD=笆

22

二四边形ABCD的面积为2sAABD=3A/3

(2)作点B关于AD的对称点B，,点B关于CD的对应点B"，连接B，B”,与AD、CD交于EF,△BEF的周长为

BE+EF+BF=B,E+EF+B,,F=B,B,,^JMM.

故此时△BEF的周长最小.

【点睛】

此题主要考查含30。的直角三角形与对称性的应用，解题的关键是根据题意作出相应的图形进行求解.

25、(1)45；(m,-m)；(2)相似；(3)@b=—l—am；a<\.

4

【解析】

试题分析：(1)由B与C的坐标求出OB与OC的长，进一步表示出BC的长，再证三角形AOB为等腰直角三角形,

即可求出所求角的度数；由旋转的性质得，即可确定出A，坐标；

BP1

(2)ADrOE^AABC.表示出A与B的坐标，由——=-,表示出P坐标，由抛物线的顶点为A。表示出抛物线

AP3

解析式，把点E坐标代入即可得到m与n的关系式，利用三角形相似即可得证；

(3)①当E与原点重合时，把A与E坐标代入'=奴2+法+。，整理即可得到a,b,m的关系式；

②抛物线与四边形ABCD有公共点，可得出抛物线过点C时的开口最大，过点A时的开口最小，分两种情况考虑：

若抛物线过点C(3m,0),此时MN的最大值为10,求出此时a的值；若抛物线过点A(2m,2m),求出此时a的

值，即可确定出抛物线与四边形ABCD有公共点时a的范围.

试题解析：(1)VB(2m,0),C(3m,0),/.OB=2m,OC=3m,BPBC=m,VAB=2BC,.,.AB=2m=0B,VZABO=90°,

.•.△ABO为等腰直角三角形，...NAOBudS。，由旋转的性质得：OD，=D，A，=m,即A，(m,-m)；故答案为45；m,

(2)△DrOE^AABC,理由如下：由已知得：A(2m,2m),B(2m,0),V—=-,：.P(2m,-m),,.,A，为

AP32

抛物线的顶点，，设抛物线解析式为y=a(x-根)2-根，•.•抛物线过点E(0,n),：.n-a(Q-mf-m,即m=2n,

AOE；OD^BC：AB=1：2,VZEODr=ZABC=90°,/.AD^E^AABC；

n—Q

(3)①当点E与点O重合时，E(0,0),•抛物线y=ax2+bx+c过点E,A,A{,,整理得:

am2+bm+〃=—m

am+b=—l,即Z7二一1一anz；

②•・,抛物线与四边形ABCD有公共点，，抛物线过点C时的开口最大，过点A时的开口最小，若抛物线过点C(3m,

1