2024届高三年级上册第二次模拟考试数学试题附答案解析

2024届高三上学期第二次模拟考试数学试题

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的。

1.设全集U={-2,-1,0,1,2},集合4={-1,0,1},B={y\y=2x,xeA],则4C

QB=()

A.{—2,0,2)B.{—1,0,1)

C.{-1,1)D.{0}

2.已知z(l+2i)=1,则z的虚部为()

27「2n2.

A.B.C-5D-5l

3.已知向量3=(1,2),b=(2,1),贝嗫在加上的投影向量为()

A。/，|)B-卷3C-G4IQ)D.(2|,§4

4.已知函数/'(久)=sin(3x+R)(0<R<2兀)在区间雷，刍上单调递增，则R=()

A—B—C.JD.71

8'4

5.若正四棱锥的侧面三角形底角的正切值为2,则侧面与底面的夹角为()

A.30°B.45°C.60°D.75°

6.已知抛物线C：y2=2p%(p>0)的焦点为F,过点F且斜率为字的直线1交C于A,B两点，点

M在C的准线上，MFLAB,若AMAB的面积为32,则「=()

A.V2B.2C.2V2D.4

7.在AZBC中，若|荏+元|=1,|德+而|=2,则AABC的面积的最大值为()

A1B1C1D1

A-65c.43

8.已知函数f(久)=炳++a|(a>0),下列结论正确的是()

A./(久)的图象是中心对称图形

B./(%)在区间(―表0)上单调递增

C.若方程f(%)=b有三个解，/(b)=b,则a+b=142

D.若方程〃久)=2有四个解，则a6(2,4)

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得。分，部分选对的得2分。

9.下列结论正确的是（）

A.已知样本数据冷，…，％io的方差为2,则数据2%i—1,2%2-1，…，2%io—1的方差为

4

B.已知概率P（B|X）=1,P（2B）=%，则「缶）=4

C.样本数据6,8,8,8,7,9,10,8的第75百分位数为8.5

D.已知（1一鱼）5=a+bV^（a,b为有理数），则a=41

10.若圆锥侧面展开图是一个半径为2的半圆，则（）

A.该圆锥的母线与底面所成的角为30。

B.该圆锥的体积为孚兀

C.该圆锥的内切球的体积为翳兀

D.该圆锥的外接球的表面积为竽兀

11.已知定义域为R的函数/（%）满足/（K+y）=f（%）+/（y）+xy（K+y）,1（x）为/（%）的导函数,且

/（I）=2，贝I（）

A./（久）为奇函数

B."%）在x=—2处的切线斜率为7

C./⑶=12

D.对\/久1，%2e（0,+8）,乙片亚，/（巧产）<'（勺）'/。2）

2222

12.在平面直角坐标系久0丫中，已知曲线Ci：4x+y=1,C2：2x-y=1.与圆2+y2=i相

切的直线1交c2c2于P，Q两点，点M,N分别是曲线Cl与C2上的动点，且。MLON,则（）

A.OPOQ^0B.|OP||OQ|的最小值为2

C.|OM『+|ON|2的最小值为当D.O点到直线MN的距离为整

三'填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知。为第二象限角，cos6=—|，则tan。=.

14.已知盒中有3个红球，2个蓝球，若无放回地从盒中随机抽取两次球，每次抽取一个，则第二次

抽到蓝球的概率为.

15.已知函数f（%）=ex-ax2（x>0）有一个极值点为零点，则。=.

16.已知数列｛时｝满足=-/，an+an+i=白712cos等，则口240=-

四'解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明'证明过程或演算步骤。

17.已知数列｛时｝的前n项和为%,Sn=2an-2(nEN*).

(1)求的通项公式;

C1，(n=2k,k6N*)

(2)设%=rl求数列｛g｝的前2九+1项的和.

Jog2%!’(n=2k—1,kGN*)

18.记△力三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知B为锐角，asin^+bsinB—csinC=

2asinAsinB.

(1)求sin(4—C)；

(2)求sinZsinB的最小值.

19.如图所示，在四棱锥3-4CDE中，AE||CD,AE1AC,CD=2AE=2,平面力CDE_L平面

ABC,点F为BD的中点.

(2)若4C=BC=2,AF与平面ABE所成角的正弦值为g,求四棱锥3-4CDE的体积.

O

20.在某网络平台组织的禁毒知识挑战赛中，挑战赛规则如下：每局回答3道题，若回答正确的次

数不低于2次，该局得3分，否则得1分，每次回答的结果相互独立.已知甲、乙两人参加挑战

赛，两人答对每道题的概率均为发

(1)若甲参加了3局禁毒知识挑战赛，设甲得分为随机变量X,求X的分布列与期望；

(2)若甲参加了2九(九GN*)局禁毒知识挑战赛，乙参加了2n+2(neN*)局禁毒知识挑战赛，记

甲在禁毒知识挑战赛中获得的总分大于4n的概率为Pi，乙在禁毒知识挑战赛中获得的总分大于4n+

4的概率为「2，证明：Pi<P2-

21.已知椭圆C：胃+\=l(a>b>0)的离心率为:与，左、右焦点分别为％,4，点D为线段

OF?的中点，过点%且斜率为七(七力0)的直线1交C于M,N两点.AMFi。的面积最大值为38.

(1)求C的方程；

(2)设直线MD,ND分别交C于点P,Q,直线PQ的斜率为七，是否存在实数九使得4的+

k2=0?若存在，求出4的值：若不存在，请说明理由.

22.已知函数/'(无)=sin%—ln(l+ax).

(1)若％e[0,刍时，/(%)>0,求实数a的取值范围；

1R笛+212

(2)设nCN*,证明：sin+In2-In<Sfc=isinfc(,fc+2^<.

答案解析

L【答案】C

【解析】【解答】解：由题意知A={-1,0,1),B—(y\y—lx,xEA},

把集合A中的元素分别代入集合B中，

可得B={y|y=2x,xeA]={-2,0,2),

又因为U={-2,-l,0,l,2},

则QB={-1,1},故AnCuB={-1,1},

故答案为：C.

【分析】用列举法先求出集合B,从而可得QB,利用集合的交集运算即可求解.

2.【答案】A

【解析】【解答】解：因为z(l+2i)=l,

1l-2il-2i12.

所以z=T727一(l+2t)(l-2i)―1+4一弓一百”

所以z的实部为:虚部为-1.

故答案为：A.

【分析】利用复数的除法运算即可得出结果.

3.【答案】B

【解析】【解答】解：⑷=V1+4=V5,\b\-V4+1=V5>

l六a-b1X2+2X14

cos®切=后丽=花乂屈=耳'

44V5

所以弓在b上的投影为|Q|.cos<a,b>=V5X5=-5-，

%_4后(2,1)_84

所以石在石上的投影向量为|a卜cos<a,b>-向一于XR-(/)，

故答案为：B.

【分析】分别求出向量五，石的模，以及向量落石夹角的余弦值，利用投影向量公式计算即可求解.

4.【答案】D

【解析】【解答】解：若强斗〈沙则先3%〈竽，

所以£+043%+04+(p，

因为函数f(久)=sin(3x+0)(0<<p<2兀)在区间片上单调递增，

+cpN2/CTT一手

2(P>2/CTT—n

故3TTkeZ,即kEZ,

+042kli+£fcp<2kn—n

即=2kn—n,kEZ,

又0<R<2/r,则R=n.

故答案为：D.

【分析】根据x的取值范围确定3%+R的取值范围，结合正弦函数的单调性列不等式组，即可求得0

得表达式，结合0VR<2TT,即可求解.

5.【答案】C

【解析】【解答】解：以P为顶点，ABCD为底面，正四棱锥如图所示:

设M为4B中点，。为底面中心，设四棱锥底面边长为a,贝！JBM=2，

该四棱锥是正四棱锥，PA=PB,贝IJPM1AB,

因为侧面三角形底角的正切值为2,则有罂=2,即第=2,解得PM=a,

DM2

。为底面中心，连接0”,贝IJOMIIBC,5LAB1BC,所以。

所以ZPM。为侧面与底面的夹角，因为P。1平面4BCD,

所以P010M,0M=l，cosZPMO=罂=萱=%

乙PMa2

所以乙PM。=60°,所以侧面与底面的夹角为60。.

故答案为：C.

【分析】数形结合，先求出PM与底面边长的关系，确定NPM0为侧面与底面的平面角，求出

coszPMO=1即可求解.

6.【答案】B

【解析】【解答】解：抛物线C：y2-2px(p>0),焦点0)如图所示：

因为直线2过点唱0）且斜率为字故直线的方程为：y="（£_%,

_73rp、

由直线与抛物线联立方程组，得/二百的一刃，消y可得4/—28px+p2=0,

、y2—2px

A-（—28p）2—4x4P2>0,

设B（%2，y2），由韦达定理可得％i+%2=---=7p,%1=2=勺,

由抛物线定义可知，=/+%2+P=8p,

因为点M在C的准线上，抛物线的准线方程为：%=-1,可设点”（-0外）），

又MF1ZB,=^=-V3,所以yo=V5p,

kMF

所以|MF|=Jp2+3P2=2p,

所以SAMAB=*X8pX2P=8p2=32，解得p=2.

故答案为：B.

【分析】先求出直线的方程，并与抛物线方程联立方程组，根据抛物线的性质与直线的位置关系,

求得进行求解即可.

7.【答案】D

【解析】【解答】解：由题意得画出图形并作出辅助线如图所示：

设瓦F分别为BC,4B的中点，连接EF,

11

则EF||AC,则4BEFS^BCA,EF=^AC,故S/EF="UBC，

故SA4BC=qS四边形ACEF'

又|荏+前|=1,\CA+CB\=2，贝1」|荏+而I=|2AE|=1,\CA+CB\=|2CF|=2,

故画=^,\CF\=1，

当4E1CF时，四边形ZCEF面积最大，最大值为鼻鼻1=]

ZZ4

故44BC的面积的最大值为gx：=最

故答案为：D.

【分析】画出图形并作出辅助线EF,相似三角形性质可得SA4BC=2S噜裕“X由题意可得|版|

I，\CF\=1,从而确定四边形4CEF面积的最大值，即可求解.

8.【答案】D

【解析】【解答】解：当久>0时，f(x}=Vx+VxTa,其中(a>0),

rt(、_11_坛+dx+Ct

x2Vx2Jx+a2V%V%+a'

所以店>0,y/x+a>0,

所以尸(%)>0,所以当%>0时，函数/(%)单调递增；

因为/(%)=-yj'\x\+yJ\X+a\y

所以/(-a-1)=yj\—a—x\+y/\-a—x+a\—yj\x+a\+y/~\x\—/(%)，

所以/(久)的对称轴为久=—全

又〃一个=Ji_|i+/=2JiJi=伍，

/(。)=vW+Ji。+=疝

故图象如图所示：

对于A,由图象可知，/(%)不是中心对称图形，故A错误;

对于B,当一多<%<0时，/(%)=V-x+y/x+a,

f'(yy__1I]_-j-+a

2J.+.2V—x4x+a'

因为一2<x<0,所以2<K+a<a,0<—x<彳

所以所以/(久)<0,所以当一?<%<0时，函数〃久)单调递减，故B错误；

对于C,若方程f(%)=b有三个解，则6=岳，故(1=缶.

又f(b)=y[\b\+y/\b+a\—4b+]b+号=b,解得"=16，所以a=128,

所以a+b—144,故C错误；

对于D,由图象可知若方程〃久)=2有四个解，则历<2<伍，解得2<a<4,故D正确.

故答案为：D.

【分析】数形结合，根据导数研究函数的单调性，作出图象，并分类讨论x的范围，对各个选项逐

一判断即可.

9.【答案】B,D

【解析】【解答】解：对于A,若％1，£2,…，久10的方差为2,

则数据2%-1,2&-l,-,2x10-1的方差为22x2=8,即A错误;

对于B,已知概率P(B|4)=4,P(4B)=/由条件概率公式P(B|4)=号鬻，可得嘉.=g,可

得P(4)=*,即B正确;

对于C,将样本数据重新排列可得6,7,8,8,8,9,10,共7个数，7x75%=5.25；

所以第75百分位数为第6位数，即9,所以C错误；

对于D,由(1一&>=a+6叵，a代表展开式中的有理项，

由二项式的展开式可知，a=以x15x(-V2)0+盘x13x(-&)2+C]xMx(-V2)4=41,即D

正确；

故答案为：BD.

【分析】根据方差公式。(aX+b)=a20(X)、条件概率公式、百分位数定义以及二项展开式分别对

各个选项判断即可得出结论.

10.【答案】B,D

【解析】【解答】解：由题意可知，圆锥的母线长为2,圆锥侧面展开图的弧长为2X71=2〃，

设圆锥的母线长为/,底面半径为r,则2疗=2兀，解得r=l,则圆锥的高八=产彳=遮，

如下图：

p

对于A,设圆锥的母线与底面所成的角为仇则sin8=4=¥，解得8=60。，故A错误;

因为圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，

所以A7、，解得『

[2nr=2•2兀x2=1

所以圆锥的IWJ/I=V/2—r2=V3，

所以圆锥的体积1/=白八=9「2八=3兀，故B正确.

记圆锥的轴截面为△ABC,则小ABC是边长为2等边三角形如图所示：

圆锥外接球和内切球的半径分别是AZBC外接圆和内切圆的半径，

设圆锥外接球和内切球的半径分别为勺,「2

imi„122V3„11V3

则勺=2X2X后=—＞「2=2*2*后=守'

3

所以圆锥的内切球的体积匕=如；=/造=蝶兀，故C错误；

L2

所以圆锥的外接球的表面积S2=4吟=4兀♦(等)=学兀，故D正确.

故答案为：BD.

【分析】求出圆锥的母线、高以及底面半径，并作出图象，根据线面角的定义，圆锥的体积公式,

结合圆锥的轴截面，求出内切球和外接球的半径即可得对各选项逐一判断.

11.【答案】A,C,D

【解析】【解答】解：对于A选项，令久=y=0,则f(0)=f(0)+/(0),.•./(())=0,

令y=则/(0)=/(%)+/(一久),

...y(-x)=-/(X),故/(%)为奇函数，A正确;

对于B选项，八%)的导函数是((支)，由复合函数定义可得〃-久)的导函数是

由A选项可知/(-%)=-/(%),对等式两边分别求导可得-/'(-%)=

即「(-%)=1(%)，则「(%)为偶函数，因为9(1)=2,所以尸(一1)=6(1)=2,

令y=1代入/(%+y)=/(%)+/(y)+xy(x+y),得f(x+1)=/(%)+/(l)+%(%+1),

即/(x+1)=/(%)+2%+1>

令％=-2,贝叶'(-1)=/'(-2)一3,・・・/'(-2)=5，B错误；

对于C选项，又f(%+y)=f(x)+f(y)+xy(x+y),

则/O+y)-学”4+M争

3

令g(x)=/(%)-y1则+y)=&(x)+。(”，

由柯西方程知,g(x)=g(l)-X,故/(%)=g(%)+勺=今+g(l),

则/(%)=%2+g(i),由于，(1)=2，故1+g⑴=2,・・・g(l)=l,

即/(%)=刍■+%，贝！)/(3)=12,C正确；

对于D选项,对为X2e(0,+00),"孙/(空)-/⑶)丹)=421+空T春+

%3

+芋•+%2)

11

=8(-X1一片+%1%2+久1片)=一百01—％2)2(久1+%2)<3

故〃空)<"4"，(无2),D正确，

故答案为：ACD.

【分析】利用赋值法，结合对函数求导，可判断A,B选项；将已知条件变形为g(x+y)=g(x)+

g(y)形式，利用柯西方程计算即可判断C；利用作差法可判断D.

12.【答案】A,B,D

【解析】【解答】解：根据已知条件画出图形，如图所示，

对于A选项，当直线/斜率不存在时，直线Z与圆/+俨=1相切，不妨取直线％=1,

此时不妨取P(1,1),Q(1,T)，则丽•丽=1-1=0成立，

当直线/斜率存在，则设PQ直线方程为y=kx+m,设+m),Q(x2；kx2+m),

y=kx+m­/口。

PQ直线方程与双曲线联立方程组,2/_y2_]，消去y得(i-2)xQ2+2kmx+mQ2+10,

PQ直线方程与双曲线有两个交点，交点分别为P,Q,

即(炉—2)x2+2kmx+m2+1=0有两个不同的根,

2kmm2+l

由韦达定理可得%1+%2=-~2，%]%2=-2

r-2r-2

=1,・•・m2=k2+1,

由于圆%2+y2=1与直线/相切，故

2

OP-OQ=x1x2+久2++m)(/cx2+m)=(Q+1)%1%2+km(x1+x2)+m

(m2+l)(/c2+l)2k2ni2+.fc2+l—m2_/c2+l-(/c2+l)

,2„2I2QI2Q0;

k.-2fc-2k—2k—2

综合知丽•丽=0,A正确；

对于B,由题意知O到/的距离为1,由A知。P10Q,

贝l」|PQ|2=\OP\2+|OQ『,

11_____________

故S"OQ=^\OP\-\OQ\=^\PQ\X1,则|0P|.|0Q|=\PQ\=\0P\2+\0Q\2

>y/2\OP\'\OQ\,当且仅当|OP|=|OQ|时取等号,

即有J|OP|•|0Q|>四,二|0P|•|0Q|>2,结合|0P|=\OQ\,

此时|0P|=\OQ\=鱼时等号成立，即不妨取P(1,1),Q(LT)，

故|OP||OQ|的最小值为2,B正确；

对于C,由题意知ON斜率一定存在，设为t,则ON方程为y=tx,

NGNFN)在C2上，由于C2的渐近线方程为丫=±鱼尤，则田<企,

1

y=txN2-t21,t2

联立2%-,解得,则|ON|2=

t2

2-t2

因为。M1ON,故0M的方程为久=-ty,在Ci上，

_±2

4nM解得4彳+1,则|0M『=今日,

联立

―1114t2+1

1

\0M\2+\0N\2=\0M\2=(1+t2)(-11■)=g(2—产+针2+i)(.11

2+2------?----7-----)

2-14t+12-t24t2+l

当且仅当竺母=与即产=1时取得等号，

故|0M|2+|0N/的最小值为g,C错误；

对于D,由题意知。MLON,设。到MN的距离为d,

根据等面积法可得〃OMN=』ON||OM|=：|MN|•d

_\OM\-\ON\_\OM\-\ON\

所以记嬴产

]

]=]=x=yl

2214t2+12-t2V33,口正确,

\0M\+\0N\

22|0N/1+t21+t2

\OM\-\ON\

故答案为：ABD.

【分析】数形结合，画出图象，P。直线方程与双曲线方程联立方程组，可得韦达定理的表达式，结

合直线和圆相切以及向量的数量积的坐标运算可判断A；利用直角三角形的面积，结合基本不等

式，并求出求出|0M『+|0N|2的表达式即可判断B,C；利用等面积法可得。到的距离d,代

入计算即可判断D.

13.【答案】-1

【解析】【解答】解：a为第二象限角，且cosa=—*则sina>0,

1

所以sina=Vl-cos2a=2所以tana=*器=鼻

□cosct_2

5

故答案为：-/

【分析】利用同角三角函数的基本关系以及三角函数在各象限的符号即可求解.

14.【答案】|

【解析】【解答】解：第一次抽到红球的概率为4=3

月5

则第一次抽到红球且第二次抽到蓝球的概率为应•4=存

第一次抽到蓝球的概率为*=f,

C5

则第一次抽到蓝球且第二次抽到蓝球的概率为I•4=存

C4

故第二次抽到蓝球的概率为卷+卷=|.

故答案为：|.

【分析】二次抽到蓝球的事件包括第一次抽到红球或蓝球两种情况，根据全概率公式求解即可.

15.【答案】4

4

【解析】【解答】解：/(%)=e%-ax2(*4%>0),则/''(X)="—2ax,(久>0)，

当a=0时，〃无)=靖，在定义域内函数单调递增，没有极值点，不合题意；

当aH0时，设阳)为/(%)=ex-ax2(%>0)的极值点也为其零点，

x

则/。o)—e°—axg=0,且e3-2axo=0,则a就=2ax0,

故为o=2,或久o=0(舍去)，

2

所以％°=2,e2—4a=0,a—旨，

当口=半时，/(%)=ex—^x2^f(%)=ex-

则/(2)=0,/'(2)=0，

22

令9(%)=ex—­2'x,g'(%)=ex—^2>0时，%>2—ln2

2

g(X)在(2-ln2,+8)上单调递增，则/(久)="一多%在(2-ln2,+8)上单调递增，

所以当2—ln2<x<2时，/(%)<0)〃%)在(2-1112,2)单调递减，

当x>2时，/(%)>01/(%)在(2,+8)单调递增，

故x=2为/(%)的极小值点，

2

即函数〃K)=靖一。久2(久>0)的极值点尤=2也为零点，符合题意，故a=",

4

2

故答案为：£；.

4

【分析】先讨论函数有极值点时a的取值范围，再令极值点处的导数为0,由此可得^。-2口劭=

0,贝ija/=2ax0,即可求得劭的值，继而求得a的值，再验证即可.

16.【答案】1785

【解析】【解答】解：由题意可知，n为正整数，且结合余弦函数性质可知cos号的周期是4,

令n=4k,4k+1,4k+2,4k+3分别代入时+an+1=克九2cos等可得：

a4k+a4k+l=①，。4々+1+a4k+2=°②，。4々+2+a4k+3=一（廿+k+3③，a4k+3+a4k+4=

0©,

由可得④-③-②-①可得：a4k+4-。钝=忆+上，

且03二—4，。3+。4=0，可得04二不

由累加法可得。240=（。240—。236）+（。236—。232）+…+（。8—a4）+。4=59+/+58+/+…+1+

1,1

4+4

=59+58+■■■+1+1x60=59（5：+1）+15=1785;

4Z

故答案为：1785.

【分析】先判断cos等的周期，可得数列也"满足。4计4-a4k=k+%再由累加法，结合等差数列

前n和公式即可求解.

17.【答案】（1）解：当九=1时，臼=2方—2,则的=2

当九>2时,an=2an—2an_1；则斯=2an-1

则数列是以2为公比的等比数列，则％=2n

2n(n=2k,kEN*)

(2)解：因为0='

n,(n=2k-l,kEN*)

所以72n+i=22*+24*+26+-+22n+1+3+5+-+(2n+1),贝l2n+i=考二却+

(n+l)(l+2n+l)_4n+1-4

+(n+I)2

2=-3-

【解析】【分析】（1）根据即与5„的关系即可求得通项公式；

（2）先求出bn的表达式，结合等差数列以及等比数列的前〃项和公式并利用分组求和法即可求解.

18.【答案】(1)解：因为asinA+bsinB-csinC=2asim4sinB

由正弦定理可得原+ft2—c2=2absin力

由余弦定理可得：cosC=sinA

解得力=J-C或4=l+c

又因为B为锐角，所以A—C=£

所以sin(4—C)=1

(2)解：由(1)得sin^sinB=sinHsin(竽一24)=—sinAcos2A=2sin3i4—sin4

令t—sin4贝!Jsin力sinB=/(t)=2t3—t

因为〈孚，所以孝<t<l

Z4-Z

所以，(t)=6t2_1,当teg,1),f'(e)>0,/(t)单调递增

所以teg,1)时，f(t)e(0,1)，所以/'(t)无最值

所以sinHsinB无最值.

【解析】【分析】(1)利用正弦定理对已知条件进行边角互化，结合余弦定理可得sinZ=cosC,由值

求角可得4=1+C,从而得解；

(2)根据4-C=?以及三角形内角和关系得B=孚-24再利用诱导公式即可化简，再令t=

sin4sin^sinB=f(t)=2t3-t,由导数判断出/'(t)=2力3-t在力(孝,1)上单调递增，可得

sinAsinB无最小值；

19.【答案】(1)证明：因为AE||CD,AEA.AC，所以CD1AC

又因为平面ACDE1平面ABC,平面4CDEC平面ZBC=AC

所以CD1平面ABC,

又因为ABu平面ABC,

所以AB1CD；

(2)解：取AB、BE的中点分别为0、G,连接OC、OG,

所以。G||AE,

E因为4E||CD,所以。G||CD,

而CD，平面ABC,所以0G1平面ABC,

因为AC=BC,0A=0B,

所以AB10C,

以O为坐标原点，分别以直线OB,OC,OG为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系如

图所示：

D

设B(30,0),则z(_t,o,o),c(o,o),£)(0,2),呜,,1),

所以於=(当，h『2,1),易知元=(0,1,0)是平面ABE的一个法向量,

所以|cos凝翩=1瑞

解得”V3,

设记=(久，y,z)是平面ACDE的一个法向量，因为方=(6，1,0),CD=(0,0,2),

令％=遮，则记=(b，-3,0)

又因为通=(2g，0,0),

则点B到平面ACDE的距离为d=区犁=马驾1=V3,

|m|V3+9

所以VB-ACDE=1X号④x2xV3=V3.

【解析】【分析】(1)根据面面垂直的性质定理、线面垂直的性质定理即可证明；

(2)建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出平面ACDE的法向量，设B(t,0,0),根据AF与平面

ABE所成角的正弦值求出f,即可求出3到平面力CDE的距离，再结合棱锥体积公式即可求解.

20.【答案】(1)解：依题意可得，随机变量XC{3,5,7,9},

设甲、乙在一局比赛中得3分的概率为P,则p=c£&)3+/8)3=4，

则P(X=3)=(1)3=，P(X=5)=戏&>=招

P(X=7)=废&)3=称，p(x=9)=&)34,

则分布列：

X3579

P1331

8888

数学期望E（X）=3xJ+5x1+7x|+9xJ=6.

（2）证明：设在甲参加的2n（neN*）局禁毒知识挑战赛中，获胜局数为Y,

则所获总分为3y+（2九一丫）=2Y+2n,若2y+2九＞4n,则Y＞九，

则Pl=P(y>n),因为p(y>n)=p(Y<n),

则_1—P(Y=n)_1—。第©「I

Pi—2—2

+12n+2

同理可得_1—C2n+2由1，

「2—2

12TI+3I2n+li2n+l1

则Pl-P2=C2n+2(2)一C2n(2)=(力(4C2n+2~C2n)9

=A2n+If(2n+2)!_(2n)!

—121^4(n+l)!(n+l)!川川"

二八加+1「(2n)![(2"+2)(2计1)-4(71+1)2]]

—l2JL4(n+l)!(n+l)!」

_A271+1r(2n)!(-2n-2)

_或L4(n+l)!(n+l)!J'

故Pi<P2.

【解析】【分析】（1）求出随机变量X的每个可能取值相应的概率，即可得分布列，再用数学期望公

式即可求解；

（2）设在甲参加了的2nseN*）局中，获胜局数为匕可得Y＞n,由此求出Pi，P2的表达式，利用

作差法，即可证明结论.

21.【答案】（1）解：易知当M与椭圆的短轴的端点重合时面积有最大值

所以Tl%O|b=38，即/x与xb=3百

因为e=—=5＞a2=b2+c2

a2

解得a=4,b=2V3,c=2

所以椭圆C得方程为3+4=1

1612

（2）解：设M（%1，yi）＞N（第2，丸），P（%3，丫3），Q（%4,74）

则直线MP的方程为久==Uy+1

由116li联立得：与14y2+七4-15=0

U即巧=一15yl

则y2317—2/

32-17/

代入直线得：叼

17-2%1

he-32—17%

同理可付：%=17-2x2?'丫4=17^

丫4一丫3=17（丫1-32）+2（%。2一%2旷1）

所以忆2=

%4一%3-15（X1-%2）

又因为N、％、M三点共线，所以%;Z

即%,2一%2yl=2(当一为)

所以七=:霏I—?)=(如

JLDI九1九2J。

所以存在实数4=-彳吏得放1+k2=0

【解析】【分析】(1)△“&£)的面积最大时，”位于椭圆的短轴端点，由此结合椭圆离心率，利用

待定系数法求解即可;

(2)设M,N,P,Q点坐标，可得直线M尸的方程，直线MP与椭圆联立方程组，可得根与系数关

系，从而表示出自,々2，结合N,Fi，M