2023-2024学年北京朝阳区高三期末数学试题及答案

2024北京朝阳高三（上）期末

数学

2024.1

（考试时间120分钟满分150分）

本试卷分为选择题40分和非选择题110分

第一部分（选择题共40分）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合4={》1。WxW3},B={.r|log3x<l]则AB=

(A)[0,3](B)[0,3)(C)(0,3)(D)(0,3]

(2)设“eR,若复数(”-2i)(2+i)在复平面内对应的点位于虚轴上，则。=

(A)-4(B)-1(C)1(D)4

(3)若。<“<1,则

(A)涓(/(B)2"<3"

(C)l°g«>l°g«y(D)sina>cosa

a—,x/z,NA=—,cosC=-----

(4)在中，若63,则0=

(A)且(B)—(C)递(D)4

3393

(5)在平面直角坐标系x°y中，已知点A(°』)，8(2,1),动点尸满足,贝小°尸1的最大值为

(A)1(B)V2(C)2(D)V2+1

(6)如图，在正方体ABCD-A与CQ中，点E是平面A4G2内一点,且防〃平面ACQ,则

tan/D的的最大值为D^_

(A)孝(B)1"J；

(C)V2(D)2匕5

--------B

m

(7)设函数/⑶f-2(”'cR)的定义域为(T2),贝口，_3<,Z0”是“

/（X）在区间（T，2）内有且

仅有一个零点”的

（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件

（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件

(8)设抛物线C的焦点为尸，点E是C的准线与C的对称轴的交点，点P在C上，若NPEF=3Q,则

sinZPFE=

(A)B(B)—

43

e(D)立

(C)

22

(9)根据经济学理论，企业生产的产量受劳动投入、资本投入和技术水平的影响，用。表示产量，心表

示劳动投入，K表示资本投入，A表示技术水平，则它们的关系可以表示为Q=，其中

A>Q,K>0,L>0,Q<a<l,Q</3<^当A不变，K与L均变为原来的2倍时，下面结论中正确的是

(A)存在和夕<：,使得。不变

(B)存在和〃>；,使得。变为原来的2倍

(C)若〃=：,则。最多可变为原来的2倍

(D)若。2+£2=：,则。最多可变为原来的2倍

(10)在^ABC中，AB=AC=4V2,当彳eR时，।2+加0|的最小值为4.AM=MB,

22

AP=sm0AB+COs0ACt其中6’3,贝小加尸1的最大值为

(A)2(B)4

(C)26(D)472

第二部分(非选择题共110分)

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

(x+—)5

(11)在％的展开式中，》的系数为.(用数字作答)

(12)已知等差数列｛4｝的公差为2,$“为其前”项和，且牡，%，殁成等比数列，则%=,S"=

A-----^-=l(o>0,&>0)

(13)已知双曲线"b的一条渐近线过点(一2，1),则其离心率为.

f(x)=

(当〃时，的最大值为

(14)设函数|-26€1,3].=0/(x)若“X)无最大值，则实

数。的一个取值为.

(15)中国传统数学中开方运算暗含着迭代法，清代数学家夏鸾翔在其著作《少广缱凿》中用迭代法给出

一个“开平方捷术”，用符号表示为：已知正实数N,取一正数%作为4犷的第一个近似值，定义

—,〃为奇数，

4C+1一=j4

+。〃―1〃为偶数

-2''则q，%，，为，,是亚的一列近似值.当N=io,4=3时，给出下列四个

结论：

①£>1。；

②。汹>I。.

（§）三〃22,”2〃一1<a2n+l,

④|成,-10|<1返"_/10|.

其中所有正确结论的序号是.

三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

（16）（本小题13分）

已知函数/（x）=c°s2x+石sinxcos尤+〃7（〃[wR）的图象过原点.

（I）求机的值及"X）的最小正周期；

（II）若函数A©在区间[°用上单调递增，求正数f的最大值.

（17）（本小题14分）

如图，在四棱锥尸-ABC。中，A8//DC,/A8C=90,AB=2DC,侧面P8C,底面ABCD,E是

PA的中点.

（I）求证：平面尸BC；

（II）已知AB=BC=2,PB=PC,再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使

四棱锥尸一ABC。唯一确定，求二面角E-BD-C的余弦值.

条件①：AP=2也;\

条件②：APLBC.

AB

条件③：直线"与平面ABCO所成角的正切值为5.

注：如果选择的条件不符合要求，第（II）问得。分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按

第一个解答计分.

(18)(本小题13分)

某学校开展健步走活动，要求学校教职员工上传11月4日至11月10日的步数信息.教师甲、乙这七

天的步数情况如图1所示.

25000

20000

15000

10000

5000

0

11月5日11月6日11月7日11月8日11月9日11月10日

-士—甲乙

图1

图2

(I)从11月4日至11月10日中随机选取一天，求这一天甲比乙的步数多的概率；

(II)从11月4日至11月10日中随机选取三天，记乙的步数不少于20000的天数为X,求X的分布列

及数学期望；

(III)根据11月4日至11月10日某一天的数据制作的全校800名教职员工步数的频率分布直方图如图2

所示.已知这一天甲与乙的步数在全校800名教职员工中从多到少的排名分别为第501名和第221

名，判断这是哪一天的数据.(只需写出结论)

(19)(本小题15分)

已知函数x-—.

(I)若曲线＞=/食)在点(1,0)处的切线为x轴，求。的值;

(II)讨论在区间Q+8)内的极值点个数；

（Ill）若/（X）在区间（1，+°°）内有零点f,求证：t<a2.

（20）（本小题15分）

E:二+卫=1（。>人>0）也

已知椭圆a-b-的左顶点为A,上顶点为8,原点°到直线AS的距离为5,

△AOB的面积为1.

（I）求椭圆E的方程；

（II）过点尸（一'I）的直线/与椭圆E交于不同的两点C,O,过点C作无轴的垂线分别与直线ARAB交于

点判断点N是否为线段CM的中点，说明理由.

（21）（本小题15分）

己知是各项均为正整数的无穷递增数列，对于％wN*,定义集合纥={ieN*|a,<A},设或为集合

纥中的元素个数，若以二0时，规定%=°.

（I）若％=2",写出伉也也及九的值；

（II）若数列的』是等差数列，求数列{“"}的通项公式；

（III）设集合S={s1s="+a”,7zwN*},T={f|f=〃+b”,〃eN'},求证：ST=N*且S1T=0.

（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）

参考答案

一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）

(1)A(2)B(3)B(4)D(5)D

(6)C(7)A(8)B(9)D(10)C

二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）

匚

(11)40(12)8n~+n(13)2

(14)43（答案不唯一）（15）①④

三、解答题（共6小题，共85分）

(16)(共13分)

解：（I）由/（0）=1+根=°得加=-1

所以“幻=cos2x+V3sinxcosx-1

=COS2%+1+—sin2x-l=—sin2^+-cos2x--

22222

=sin(2尤+—)

62.

T——=兀

所以/(x)的最小正周期为2•...................................................................7分

兀兀兀

2祈——W2x+—W2E+—

(II)由262(kcZ),

.71.71

ku-----WxWku-\—

得36(%eZ).

.71.71

\_Klt，屈TJ

所以/（X）的单调递增区间为36（GeZ）.

Oe

因为/（x）在区间［0用上单调递增，且36；此时k=°,

7171

tW------

所以6,故f的最大值为6.......................................13分

（17）（共14分）

解：（I）取PB的中点J连接C£EJ

因为E是厚的中点，所以

EF〃AB,AB=2EF

又因为ABHDC,AB=2DC,

所以EF〃QC且EP=OC.

所以四边形COE尸为平行四边形.

所以DE〃C「

又因为OEU平面尸5C,CFu平面PBC,

所以£>"//平面尸8c..................................................................................................5分

(II)取8c的中点0,连接2°.

因为PB=PC,所以POLBC.

又因为侧面PBC1底面ABCD,

且平面尸8c平面ABCO=8C,

所以产°,平面A8CO.

如图，在平面ABCO中，作。y〃8A,

贝ijPO_L3C,POYOy,OyVBC

建立空间直角坐标系°一盯z.

选条件①：连接A0,在Rt^ABO中，因为钻=2,BO=1,所以A0=百

在Rt△尸4。中，因为AP=2JJ,A°=非,所以尸。=V^.

A(-l,2,0),B(-l,0,0),C(l,0,0),£>(1,1,0),尸(0,0,V3),也)

所以22.

.=(《,1当,即=(2,1,0)

所以22

设平面EDB的法向量是m=3%力，则

,1V3

—x+y-\------z=0n,

m-BDZE7=n0,J22

<

m-BD=0,即2%+y=0.

令x=i,贝ijy=_2,z=A/J.

于是i"=(1,-2,V3)

因为P01平面ABCD，所以"=(0Q1)是平面BDC的法向量.

..mnV3V6

COS(»I,n)=----=—==

所以III«I2424

_V6

由题知，二面角E-BO-C为钝角，所以其余弦值为4...........................14分

选条件③：连接A°,因为尸°工平面48cO,

所以,尸4°是直线AP与平面ABCD所成角.

/iPOV15

tanZPAO=-----=------

所以AO5

在RtAABO中,因为AB=2,8。=1,所以AO=百

RPOA

AOS/丁所以「。=石

在RtZ\P4O中,因为

下同选条件①.14分

(18)(共13分)

解：（I）设“甲比乙的步数多”为事件A.

在11月4日至11月10日这七天中，11月5日与11月9日这两天甲比乙步数多,

所以尸⑷号

3分

(II)由图可知，7天中乙的步数不少于20000步的天数共2天.

X的所有可能取值为°』，2,

z^3

1_

尸(X=0)=-^2=

C：77

所以X的分布列为

X012

24

P

777

E(X)=0x-+lx-+2x-=-

777710分

(III)11月6日.13分

(19)(共15分)

f'(x)-1--

解：([)由/(x)=x—alnx—1(〃£R)得JX

,

依题意，/（1）=1-«=0）得。=1

经验证，/（x）=x-lnx-l在点（1,0）处的切线为y=0,所以”=14分

x-a

/V)=l--

(II)由题得xX

⑴若底1,当xe（l,+⑹时，/5）＞°恒成立,

所以/（X）在区间（L+00）上单调递增，所以/（尤）无极值点.

(2)若

当xe（l，a）时，f'M＜0；故“X）在区间（1，。）上单调递减，

,00

当xe（a,+8）时,f（x）＞0）故/⑺在区间3+）上单调递增.

所以x=。为"X）的极小值点，且“X）无极大值点.

综上，当时，/（X）在区间°，+8）内的极值点个数为0；

当a＞1时，在区间（1，+8）内的极值点个数为1.9分

（III）由（II）知当。W1时,f（X）在区间（1，+8）上单调递增,

所以⑴=°.

所以A》）在区间",+°°）内无零点.

当。＞1时，/a）的单调递减区间为（u）,单调递增区间为（凡+8）

所以/⑷<AD=°.

若"尤）在区间（l，+8）内有零点t,则fe3+8）

而/(a2)=a2-2a\na-l设g(x)=x2-2xlnx-l(x>1)

则g'(x)=2x-2(1+Inx)=2(x-1-Inx)

，/、c/11x/八h'{x)=2(1——)=~—>0

设/?(尤)=2(》-1-111外。>1),贝ij'''/x

所以"（X）在区间（I+8）上单调递增.

所以〃（x）＞/z⑴=0,即g'（x）＞0.

所以g（X）在区间（1，+8）上单调递增.

所以g(a)>g⑴=。,gp/(«2)>0

又/Q)=0,a2>a

2

所以15分

(20)(共15分)

解：(I)由题可知A(-a,0),B(O,b),\AB\=y/a2+b2.

c_J_ah_1

因为^AOB的面积为1,所以AAOB-2-

275=自明>¥=*/+〃=i

因为点°到直线4?的距离为5,所以

ab=2,

a2+/=5,a=2,

ab=l.

所以>b,得

一+/=1

所以椭圆E的方程为4........................................5分

(II)点N为线段CM的中点，理由如下：

由题知直线/的斜率存在，

设过点尸(-2,1)的直线/的方程为yT=小+2),即y=小+2)+1.

{y-k(x+2)+1,

由[尤2+4y2=4,得(1+4产)/+(16/+8左)x+16〃+16后=0

由△=(16左2+8k)2-4(1+4k2)(16k2+16k)=-64k>0,得左<0

设C(X1,%),。(9,火),

16k2+8k16左2+16左

x,+x--------—，龙|X,=------

则1-21+4/121+4-、—.

y=^^(x+2)

直线相＞的方程为马+2,

_%(%+2)

令x=%,得点”的纵坐标无2+2

y=彳(％+2)

直线AB的方程为2,

_y——(x+2)

令》=看，得点N的纵坐标’N2

」+%-—1

要证点N为线段CM的中点，只需证明“一,即23

+X_+2)+乂(马+2)

y

因为2N(X+2)(X2+2)

2k(%+2)(X2+2)+(%+%2+4)

(X]+2)(X2+2)

=2%+

xvx2+2(%+x2)+4

16左2+84

+4

-2kH______1_+__4_左2

i6k2+16k16左2+8左

+2(—)+4

l+4k21+4女2

-(16fe2+8Z:)+4+16r

=2k+

16左2+16/一2(16斯+弘)+4(1+4/)

4一8人

=2k+

4

=2k+l-2k

=1,

所以点N为线段CM的中点.15分

(21)(共15分)

解：(I)瓦叫d=°,4=1,