2023-2024学年黑龙江省齐齐哈尔市九年级(上)期末数学试卷 答案解析(附后)

2023-2024学年黑龙江省齐齐哈尔市铁锋区九年级（上）期末数学

试卷

一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1.观察下列图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

2.下列事件中，是必然事件的是（）

A.水中捞月B.水涨船高C.守株待兔D.百步穿杨

3.如图，在正方形网格上有两个相似三角形和AOEF,则NBA1的度数为

A.1()51B.115C.125

4.若点（-2.%），（-1.Q,（2,以）在双曲线"-（A<（»±,则小，加，山的大小关系是（）

X

A.1/1<JA!<1/3B..V3<V2<.71c.7.1/1<1/3D.</:»<1/1

5.如图，以点。为位似中心，将「缩小后得到已知

。目则与△ABC'的面积的比为（）

A.1：3

B.1：4

C.1：5

D.1：9

6.如图，DE是△.13「的中位线，F是DE的中点，CF的延长线交AB于点G,若△C'EF的面积为

则的值为（）

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7.下列命题中，假命题的个数为（）

”）"a是任意实数，“5＞（）”是必然事件；

（2）抛物线y•1）」的对称轴是直线」,一」；

（：，）若某运动员投篮2次，投中1次，则该运动员投1次篮，投中的概率为：；

（1）某件事情发生的概率是1,则它一定发生；

（5）某彩票的中奖率为11以，则买100张彩票一定有1张会中奖；

（⑴函数y9（1.2（111r.两叵与X轴必有两个交点.

A.2B.3C.4D.5

8.在同一平面直角坐标系中，函数y，江卜6与？''，其中a,b是常数，ab/U）的大致图象是（）

ar

A.XB.JL

廿

AP

clDK

交

9.如图，已知A、8是反比例函数“-（A-:（）”＞（））图象上的两点，。《力力轴，\

X

交x轴于点C动点P从坐标原点。出发，沿OTAT/J—C匀速运动，终点为

为S,点P运动的时间为t,则s关于才\

U过点P作PQ1J-轴于Q.设△。尸Q的面积

t的函数图象大致为（）0\Q~~Cx

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A.

10.如图，直角坐标平面xOy内，动点P按图中箭头所示方向依次运动，第1次从点，LUj运动到点

⑴」)，第2次运动到点，」.())，第3次运动到点(2.2i,按这样的运动规律，动点P第2023次运动

到点()

A.(2023,0)B.2U22.-2)C.(2023,1)D.(2022,0)

二、填空题：本题共7小题，每小题3分，共21分。

11.在半径为4的圆中，出的圆周角所对的弧长为.

12.若关于x的一元二次方程」■,I：()没有实数根，则k的取值范围是

第3页，共22页

13.反比例函数—汕刈）与在第一象限内的图象如图所示，点p

在协上.长方形PC。。交打于点A,B,若图中四边形BOAP的面积为6,则

14.已知,（加和•（）」相交，圆心距d5,“九的半径为3,那么的半径r的取值范围是,

15.把长方形纸片ABCD沿对角线AC折叠，得到如图所示的图形，AD平分

AC,则

16.如图，在正方形ABC。的边长为4,以A为圆心，4为半径作圆弧.以。为

圆心,2为半径作圆弧.若图中阴影部分的面积分别为0、5」.则S'】S>

BC

17.如图，在边长为2的正方形A8C。中，点E,F分别为AD,CO边上的动点（不与端点重合），连接

BE,8F,分别交对角线AC于点P,Q.点E,F在运动过程中，始终保持NE/JF45，连接EF,PF,PD

下列结论：①PB=PO；②NEFD=2NC3F；③PQPA-CQ；④AOPF为等腰直角三角形；⑤

若过点8作垂足为M连接。H,则。H的最小值为八吨2其中所有正确结论的序号是

三、计算题：本大题共1小题，共10分。

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18.解方程：

（1）Z2-4X+1-0

四、解答题：本题共5小题，共49分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

19.（本小题6分）

如图，在平面直角坐标系中，△.43C'的三个顶点的坐标分别是.4（1.3）,B（l.l）,C（l.l）.

，■画出与△zlOC'关于x轴成轴对称的△.11；

（2）画出以点O为位似中心，与的相似比为2：1的

20.（本小题7分）

2如）不停车收费系统是目前世界上最先进的路桥收费方式，安装有ETC的车

辆通过路桥收费站无需停车就能交纳费用.某高速路口收费站有A,B,C,。四个ETC通道，车辆可任意

选择一个ETC通道通过，且通过每个ETC通道的可能性相同，一天，张叔叔和李叔叔分别驾驶安装有ETC

的汽车经过此收费站.

」）求张叔叔从8通道通过的概率；

（2）请用列表或画树状图的方法，求出张叔叔和李叔叔从相同通道通过的概率.

21.（本小题10分）

小明家饮水机中原有水的温度为加「，通电开机后，饮水机自动开始加热（此过程中水温MO与开机时

间1（分）满足一次函数关系），当加热到100个时自动停止加热，随后水温开始下降［此过程中水温”C）

与开机时间〃分）成反比例关系，当水温降至20c时，饮水机又自动开始加热…，重复上述程序（如图所

示），根据图中提供的信息，解答下列问题：

”）当时，求水温M。）与开机时间」•（分）的函数关系式；

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（2）求图中t的值；

（；，）若小明上午八点将饮水机在通电开机（此时饮水机中原有水的温度为2。C后即外出散步，预计上午八点

半散步回到家中，回到家时，他能喝到饮水机内不低于:对广的水吗？请说明你的理由.

22.（本小题12分）

如图①，NQP.V的顶点P在正方形入8CD两条对角线的交点处，NQRVc,将NQP.V绕点P旋转，

旋转过程中NQP.V的两边分别与正方形ABCD的边AD和CD交于点E和点F（点F与点C,D不重合）.

（1）如图①，当。JHI时，DE,DF,A0之间满足的数量关系是；

（2）如图②，将图①中的正方形入8CD改为乙ADC'12（1的菱形，其他条件不变，当，、（HI时，中的

结论变为。E+OF请给出证明；

（3）在（与的条件下，若旋转过程中NQP.V的边PQ与射线AD交于点E,其他条件不变，探究在整个运动

变化过程中，DE,DF,A0之间满足的数量关系，直接写出结论，不用加以证明.

23.（本小题14分）

如图，已知二次函数?/-/一%+，•的图象交x轴于点41.⑴和点B,交y轴于点］川.1）.

H）求这个二次函数的表达式；

（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P,使得PAPC的值最大？若存在，求出P点坐标；若不存在,

请说明理由.

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⑶在平面直角坐标系内，是否存在点Q，使A，8,C,Q四点构成平行四边形？若存在，直接写出点Q

的坐标；若不存在，说明理由・

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答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：.4.不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；

8.是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；

C.不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；

。.既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意.

故选：D.

根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可.

本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可

重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合.

2.【答案】B

【解析】解：A、水中捞月是不可能事件，不符合题意；

8,水涨船高是必然事件，符合题意；

C,守株待兔是随机事件，不符合题意；

。、百步穿杨是随机事件，不符合题意.

故选：B.

根据随便事件的定义对各选项进行逐一分析即可.

本题考查的是随机事件，熟知在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件是解题的关

键.

3.【答案】D

【解析】【分析】

本题考查的是相似三角形的性质，两三角形相似，对应的角相等.根据相似三角形的对应角相等即可得

出.

【解答】

解：•.△AZKS△EDF,

：.£BAC-乙DEF,

又乙DEF90,15135,

Z.BAC135,

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故选D

4.【答案】D

【解析】解：•.•点（-2.助），（-1.电），（2.山）在双曲线y-（A-<0）.h,

X

/.（2.1/j,1:1.也）分布在第二象限，（2.1川在第四象限，每个象限内，y随x的增大而增大，

/.V3<lft<92-

故选:D.

先分清各点所在的象限，再利用各自的象限内利用反比例函数的增减性解决问题.

此题主要考查了反比例函数的性质，正确掌握反比例函数增减性是解题关键，注意：反比例函数的增减性

要在各自的象限内.

5.【答案】D

【解析】【分析】

本题考查的是位似变换的概念和性质，根据位似变换的性质得到根据平行线的性

质求出△A'SY”与△A3C1的相似比，根据相似三角形的性质得到面积比.【解答】

解：由位似变换的性质可知，

OA'OB'1

•CM75773J

A'COA'1

"'ACOA3'

.•.△八'3'C"与的相似比为1：3,

.•.△AB'L与的面积比为1：9,

故选D

6.【答案】C

【解析】【分析】

本题考查三角形的中位线定理，相似三角形的判定和性质，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握

基本知识，属于中考常考题型.

作「于”交DE于M,根据三角形中位线定理得到DE〃BC,DE=证明sAGSJ,

根据相似三角形的性质、三角形的面积公式计算.

【解答】

解：如图，作于H交DE于M,

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是的中位线，

..DE,BC,DE\BC,

是DE的中点，

..DF[BC,

*4

.DF/BC,

：.△GOFSAG",

GMDF1

■■OH~BC-r

GMI

XIH3'

：DFFE,

:.SIK；F鼻X△('/17•的面积(“,〃了,

«)

故选c

7.【答案】C

【解析】解：H)“a是任意实数，㈤5>()”是不确定事件，是假命题；

(2)抛物线y(21,1『的对称轴是直线J是假命题；

(3)若某运动员投篮2次，投中1次，则该运动员投1次篮，投中的概率为1,是假命题；

，1)某件事情发生的概率是1,则它一定发生，是真命题；

(5)某彩票的中奖率为11以，则买100张彩票中奖的可能性很大，但不是一定中奖，是假命题;

16)函数y9(J--2()11/•、保)而与X轴必有两个交点，是真命题，

则假命题的个数是4；

故选

分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案.

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此题考查了命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题.判断命题的真假关键是要熟悉课

本中的性质定理.

8.【答案】A

【解析】解：若">>',6>(),

反比例函数yL(ab#。)位于一、三象限,

则yar+6经过一、二、三象限,

ar

若">0,/><-<1,

则！/ar+b经过一、三、四象限，反比例函数数y位于二、四象限,

ajr

若“V(),b>0,

则yar+b经过一、二、四象限，反比例函数y位于二、四象限,

ax

若，V(),6<(I,

则!/ar+b经过二、三、四象限，反比例函数y”(亩〃())位于一、三象限,

(11

故选：

根据a、b的取值，分别判断出两个函数图象所过的象限，要注意分类讨论.

本题主要考查了一次函数和反比例函数的图象，熟知一次函数、反比例函数的性质是解题的关键.

9.【答案】4

【解析】解：①当点P在线段OA上运动时.设。(工y).则Swl”是大于0的常数，图象为抛

物线的一部分，排除8、D；

②当点P在A8上运动时，此时的面积S-%•[•>()),保持不变；

③点P在8c上运动时，设路线A•/7•「的总路程为/，点P的速度为b,则

S\ocXPQ*OCX(/-«/),因为/,oc,b均是常数，所以S与t成一次函数关系.故排除。

故选：人

①点P在0A上运动时，S与t成二次函数关系；②点P在AB上运动时，此时PQ的面积不变；③点

P在8c上运动时，S减小，S与t的关系为一次函数，从而排除「.

本题考查了反比例函数的综合题和动点问题的函数图象，解题的关键是根据点的移动确定函数的解析式，

从而确定其图象.

10.【答案】B

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【解析】解：由题意可知，第1次运动到点⑴」）、第2次运动到点，1」））、第3次运动到点（22）、第4

次运动到点岛.（））、第5次运动到点”」），

，可得到，第。次运动到点的横坐标为“1,纵坐标为4次一循环，循环规律为1•（»-2—。一I,

•.•20234-4505……3,

,动点P第2023次运动到点的坐标为（2U22.2i,

故选：B.

本题通过寻找到题目中的循环规律来得到纵坐标的规律，通过规律来得到横坐标的规律，最后求得对应的

点的坐标.

本题通过寻找到题目中的循环规律来得到纵坐标的规律，通过规律来得到横坐标的规律，最后求得对应的

点的坐标.

1L【答案】

【解析】解：*）的圆周角所对的弧长为：（1".

lollH

故答案为：［'J

直接利用弧长公式计算得出即可.

此题主要考查了弧长公式的应用，正确记忆弧长公式是解题关键.

12.【答案】k>；

【解析】解：；关于x的一元二次方程人j1（）没有实数根，

△=（-1）2-4*<0'

k

解得：A->

*4

故答案为：*'>'

由关于X的一元二次方程比厂'-2/-1-（）没有实数根可得出关于k的一元一次不等式组，解不等式组即

可得出结论.

本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，根据一元二次方程的定义结合根的判别羔<（）,列出

关于k的一元一次不等式组是解题的关键.

13.【答案】9

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【解析】解：由图知，点P在反比例函数的图象上，四边形PC。。是长方形，

X

Sf、VCOD=ki,

•・•点A、8在反比例函数m'的图象上，

X

.0c1。3

一、GiX)D,44OC-jXJ,,,

「四边形BOAP的面积为6,

/.A：।™6+2x=9.

故答案为：9.

根据反比例函数系数k的几何意义求解即可求解.

本题考查反比例函数系数k的几何意义，熟知反比例函数比例系数k与特殊图形的面积关系是解答的关

键.

14.【答案［2<

【解析】解：由题意可知：3r|<5<3.r,

解得：2<r<8,

故答案为：2<r<8.

根据圆与圆的位置关系即可求出答案.

本题考查圆与圆的位置关系，解题的关键是正确运用圆心宽与两圆半径的数量关系来判断，本题属于基础

题型.

15.【答案】30

【解析】解：•••△.A3V'由△Aj3c翻折而成，户

NNB'AC=ABAC.'

、■

\J

•.7/)平分/斤.4「，n

：.£B'AD=ZD.4C.

£BACrZ.DAC90,即:"0."'90,

Z.DAC311,

£B'AD=30；

•••N。'=-90,Z.AEI/-£CED,

.­.ZB,CD=Z0,.4D=：Me.

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故答案为：：对

先根据翻折变换的性质得出/斤."'-zn.tr,再由八。平分/斤八厂得出/斤八。LD.XC,再由矩形的

性质得出「的度数，故可得出的度数，由三角形内角和定理即可得出结论.

本题考查的是翻折变换，熟知图形翻折不变性的性质是解答此题的关键.

16.【答案】16-

【解析】解：由图可知，

2

S2+Sj=7TX2X-=JT,

/.(S1+S3)-(S2+S»)=(16-ITT)-7T

即sS21657T,

故答案为：-5?r.

根据题意和图形，可以分别计算出S|•8和S?-S：|的值，然后用(S|-S：|)(S2+S3)即可得到S|-金的

值.

本题考查扇形面积的计算、正方形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答.

17.【答案】①②④⑤

【解析】解：如图，：四边形ABC。是正方形,

..CB=CD,ZBCP=2DCP6，

在ABCP和△OC'P中，

CB-=CD

ZBCPZDCT,

CP-CP

/.△BCP^ADCP(S.lSi,

..PBPD,故①正确；

：4EBF15,

..NPBQ=NFCQ=45°,

又：乙PQB一/(.〃，

..*笥“PQ=N"Q,

.BQCQ

PQFQ,

第14页，共22页

/.BQC乙PQF,

"BQCsAPQF,

NQPF£QBC,

•/Z.QBC+ZCFQ-90°,

Z.BPF=乙BPQ+NQPF=Z.CFQ+AQBC-90°,

..ZPZ?F=ZPFB-45°,

/.PBPF,

.•.△OFF为等腰直角三角形，故④正确；

vZEPF-Z£7V!Hi,

:.E,D,F,P四点共圆，

Z.PEF=/.PDF,

PB-PD-PF,

：.^PDF-Z.PFD,

：/.AEB+Z.DEP=ISO,ZDEP+ZPFDINI,

:.£AEB-ZPFD,

：.Z.AEB-NHEB,

,BH1.EF,

Z.DAE=Z/?//E=90°,

在和△/?£〃中，

'ZBAE=ZBHE

<ZAEB-ZHEB

.BE-BE

:.ABHBCDBC,

在RtZiOF〃和RtZkOFC'中，

fBH=BC

(BFBF

..RtZkBFH^RtAZ?FC(///.i,

4BFH-=Z.I3FC,

:乙CBF•_(1BHiI,

2Z.CBF+2ZCTB-180°,

第15页，共22页

•:乙EFD+Z.CFH=ZEFD-2^(7/；Hu,

IEFD2ZCBF,故②正确；

将△.1。，绕点8顺时针旋转皿得到△CB/,连接Q丁,

,.£ABP-Z.CH1,BP37,APCT,

Z.PBT=NA*!M),

;£EBF15,

/.ZzIBP+ZCBQ=Z.CBT+Z.CBQ-45

"PBQATBQ45,

在△3QP和中，

BP-BT

ZPBQZTBQ

{BQ=BQ

名△3Q八S.IS),

:.PQTQ,

TQ<CQ+CTCQ+AP,

PQ<PA.CQ,故③错误；

连接8。，DH,

•.•正方形ABC。的边长为2,

BD2y/2,BHAB2,

：.DH》BDBH2v22,

。〃的最小值为2、历-2,故⑤正确.

故答案为：①②④⑤.

①正确.证明△scp丝△oc,ns.ks),可得结论；

②正确.推出NCBF+NrN3!Ml,2ACBF+2Z.CFB=180°,由

AEFD-Z.CFHAEFD-2Z.CFB18(),可得结论；

③错误.可以证明PQ<P.4-CQ；

④正确.利用相似三角形的性质证明N3PP!«»,可得结论；

⑤正确.求出80,BH,根据」。。一/?〃，可得结论.

本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会

添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题.

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18.【答案】解：，」)方程移项得：z24J-1,

配方得：工2lx•I3,即「r2T3,

开方得：J,2-±)

解得：J,I2-卜瓜,Jj2\/3；

(2)方程移项得：(I--1)=0,

分解因式得："-I2)=(),

可得上一1—()或/3(),

解得：〃1,受=3.

【解析】(I)方程常数项移到右边，两边加上4变形后，开方即可求出解；

(2)方程移项后，提取公因式化为积的形式，然后利用两数相乘积为0,两因式中至少有一个为。转化为两

个一元一次方程来求解.

此题考查了解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.

19.【答案】解：⑴如图，&4山C为所作；

(2)如图，为所作.

【解析】，口利用关于x轴对称的点的坐标特征写出一九、31、的坐标，然后描点即可；

(2)①把A、B、C的横纵坐标都乘以2得到」L、3”的坐标，然后描点即可；②把A、8、C的横纵

坐标都乘以2得到八八。八的坐标，然后描点即可.

本题考查了轴对称变换和位似变换，解题的关键是掌握位似变换的概念，在平面直角坐标系中，如果位似

变换是以原点为位似中心，相似比为k,那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-上

2。【答案】解：(1);共4个通道,

.•.张叔叔从8通道通过的概率为'；

4

第17页，共22页

画树状图如图:

开始

由上图可知，共有16种等可能的结果，其中张叔叔和李叔叔从相同通道通过的结果有4种，

，张叔叔和李叔叔从相同通道通过的概率。

1（）4

【解析】“）根据概率公式计算即可.

（2）利用画树状图法计算即可.

本题考查概率的计算，熟练掌握画树状图法是解题的关键.

21.【答案】解：，1）当5—时，设水温*C）与开机时间〃分）的函数关系式为人心I贴川）,

将⑴.2。）、N1（叫代入y+b中，

f6-20

[8A--b1（MI,

w1k10

解何：Ib20'

，当时，水温V（,C）与开机时间1（分）的函数关系式为y10J-+20.

（2）当8/时，设水温射。与开机时间/（分）的函数关系式为U：%〃/（））,

m

将（8.1（H））代入!/，中，

1,M»解得：，"WMI,

O

W1M1

二当84上《/时，水温贝霓）与开机时间X分）的函数关系式为y

x

,MN）,.c

当yj20时，工1（1,

，图中t的值为10

.、，,设X）X00

当/3（）时，!/=<3().

而

答：小明上午八点半散步回到家中时，不能喝到饮水机内不低于:对厂的水.

【解析】T）根据一次函数图象上两点的坐标，利用待定系数法即可求出当（[《，（8时，水温y（C）与开机

时间〃分）的函数关系式;

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（2）由点（H.1（M»）,利用待定系数法即可求出当8《,号」时，水温M℃）与开机时间了（分）的函数关系式，

再将U-如代入该函数关系式中求出X值即可；

（用将J:炉代入反比例函数关系式中求出y值，再与30比较后即可得出结论.

本题考查了一次函数的应用、待定系数法求一次（反比例）函数解析式以及一次（反比例）函数图象上点的坐

标特征，解题的关键是：」”艮据点的坐标，利用待定系数法求出一次函数关系式；（力根据点的坐标，利

用待定系数法求出反比例函数关系式；（3）将j2）代入反比例函数关系式中，求出y值.

22.【答案】（l）DE•OFAD；

9）如图②，取AD的中点M,连接PM,

:四边形ABCO为NADC120的菱形，

.\BD=AD,ND.4P=30°,£ADP=ZCDP=600,

.•.△MOP是等边三角形，

PM=PD,^PME=ZPDF=(id,

：£PAM=30,

.-.Z.WPD(Hl,

NQP.V60,

：.£MPE-乙FPD,

在PE和中，

\PM=PD

INA/PE=ZFPD

.•.△,1/PE四△DPR.IS.4)

:.ME-DF,

：.DEtDF；.IO；

(3)OE+0F=-0；DF-DE

【解析】解：H)正方形A8c。的对角线AC,8。交于点P,

I'.X=PD,/P.4E=ZPDF=15,

第19页，共22页

.•£APE+乙EPD=ADPF+乙EPD=<M),

£APE=Z.DPF,

在△JPE和中

'Z.APE=ZDPF

<PA=PD

,ZPAE=NPDF

.•.△4PEg△DPF(.l、h,

.AEDF,

：.DE+DFAD；

Q如图②，取A。的中点M,连接PM,

•.•四边形/BCD为，ADC12()的菱形,

：.BD=AD,一/M/'311,^ADP=^CDPiin,

.•.△.I/O。是等边三角形，

PM=PD,ZP.WE=乙PDF=(i(i,

/ZP.4.W31),

ZA/PD=60,

NQP.V,

Z.WPE=ZFPD,

在和△£>「「中，

'乙PYE="DF

<PM-PD

,Z.MPE-Z.FPD

ZiMPE丝川

：.MEDF,

：.DEtDF；.I0；

(3)如图，

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B

①当点E落在AD上时，OE+OF

②当点E落在AD的延长线上时，DFDE'.ID.

，:如图3,取A。中点M,连接P